Преобразование компонент

Уравнения преобразования компонент тензоров от одной системы координат к другой аналогичны соответствующим уравнениям для компонент векторов (см. уравнения (1-2.10) и (1-2.11)). [c.25]

Подставляя в эти соотношения выражения (142.41) и сравнивая коэффициенты при т] , в обеих частях, -найдем формулы преобразования компонентов деформации [c.227]

Тогда формулы преобразования компонентов деформации [c.227]

Рассмотрим преобразование компонент вектора а при ортогональном преобразовании системы координат Х . [c.41]

Этот тензор вообще отличается от предыдущего. Рассмотрим закон преобразования компонент построенных тензоров. Обозначая компоненты первого мультипликативного тензора через Ti/ , имеем [c.44]

Формулы (1.39) и (1.40) устанавливают искомый закон преобразования компонент построенного нами тензора. Как уже отмена [c.44]

Введенные выше мультипликативные тензоры (1.37) и (1.38) можно рассматривать как результат обобщенного действия умножения векторов а и Ь. Очевидно, это действие умножения не коммутативно. Применяя формулы (1.39) или (1.40) преобразования компонент тензора, легко убедиться в том, что сумма компонент Тц [c.47]

Соотношение (Ь) — формула преобразования компонент вектора. Итак, действительно, видим, что в результате свертывания тензора второго ранга мы получили вектор. Ранг тензора снизился на две единицы. [c.58]

Рассмотрим теперь иной способ получения формул (II.22), исходя из общих формул преобразования компонент вектора при переходе от одной системы координат к другой. На основании формул (1.36) имеем [c.80]

Чтобы найти коэффициенты р], рассмотрим формулы преобразования компонент контравариантного вектора dxK Имеем [c.92]

Отметим некоторые особенности найденных выражений абсолютных дифференциалов. Эти выражения показывают, что величины da и ёа , рассматриваемые в отдельности, не подчиняются формулам преобразования контравариантных или ковариантных векторов. Также можно убедиться в том, что символы Кристоффеля не принадлежат к тензорным величинам, так как закон их преобразования при переходе к новой системе координат не является законом преобразования компонент некоторого тензора. Мы не будем здесь рассматривать эти формулы преобразования. Они будут приведены в т. II настоящей книги ). [c.94]

Проекции вектора ускорения полюса иа осп подвижной системы координат можно найти, пользуясь формулами преобразования компонент вектора при ортогональных преобразованиях системы декартовых координат, а также выражениями коэффициентов этих преобразований через функции углов Эйлера (II.10.5b). [c.129]

Соотношения (а) можно рассматривать как формулы преобразования компонент радиуса-вектора г. Заметив это, можно убедиться в том, что дифференциальные уравнения движения (IV.2) остаются инвариантными при преобразованиях координат (а). [c.445]

Рассмотрим формулы преобразования компонент радиуса-вектора г и /у. На основании формул (1.50а) и (1.51а) первого тома найдем [c.78]

Замечание. Формулы (1.91а), (1.91Ь) и аналогичные можно получить н другим способом, не обращаясь к формулам преобразования компонент тензора. Можно применить формулы I [c.79]

Формулы (11.213)—частный случай формул преобразования компонент ковариантного вектора в пространстве N измерений. Это вытекает из сравнения формул (11,213) и формул (1.51а) — (1.51Ь) первого тома преобразования компонент ковариантного вектора в трехмерном пространстве. [c.266]

Из сравнения с предыдущим равенством получим формулу преобразования компонент тензора L [c.117]

Величины называются физическими проекциями вектора а. Обозначим теперь тензор второго ранга в прямолинейных прямоугольных координатах Xi через pih, физические проекции этого тензора в криволинейных ортогональных координатах через Рх , а его контравариантные компоненты через тогда по формулам преобразования компонентов тензора (1.10) будем иметь [c.18]

Дальнейшие упрощения матрицы феноменологических коэффициентов (уменьшение их числа) можно получить при учете симметрии среды. В выражение линейного закона (2.1) входят потоки и силы, из которых одни являются скалярами (в процессах с химическими реакциями, а также с объемной вязкостью), другие — векторами (потоки массы и теплоты), а третьи — тензорами (в процессах со сдвиговой вязкостью). В зависимости от симметрии среды система линейных уравнений (2.1) должна быть инвариантна относительно соответствующих ортогональных преобразований. При преобразованиях компоненты входящих в (2.1) различных величин преобразуются по-разному, в то время как установленная между потоком и силой связь не может изменяться при преобразованиях. Это приводит в случае изотропных систем к сохранению связей лишь между потоками и силами одной тензорной размерности, что выражает принцип Кюри о сохранении симметрии причины в симметрии следствий. Поэтому, хотя согласно линейному закону (2.1) каждая декартова компонента потока / может в принципе зависеть от декартовых компонент всех термодинамических сил, по принципу Кюри в зависимости от структуры (симметрии) среды может оказаться, что компоненты потоков будут зависеть не от всех компонент термодинамических сил и, следовательно, не все причины вызывают перекрестные эффекты, например в результате химической реакции (скалярный процесс) не может возникнуть диффузионный поток (векторный процесс). [c.16]

Согласно теории относительности, при действительных координатах х = с1, л, =д , 3 = преобразования компонентов 4-вектора (Aq, А,, А , А ) имеют вид [c.151]

Этот результат является частным случаем релятивистских преобразований компонент напряжений, когда они сводятся к нормальному давлению [c.347]

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ПОВОРОТЕ КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ [c.15]

Приведем теперь формулы преобразования компонент вектора а. Разложения вектора в каждом из рассматриваемых базисов имеют вид [c.391]

Подставляя в равенство (1 .10) значение 9j по формуле (1 .7), получим закон преобразования компонент вектора при переходе от старых к новым осям [c.391]

Подстановка значения э/ по формуле (1 .б) в равенство (1 .10) дает закон преобразования компонент вектора при переходе от новых осей к старым [c.391]

Исходя из закона преобразования компонент вектора как объекта, не зависящего от поворота координатных осей, вытекает его определение. [c.391]

Очевидно, что относительное изменение объема материала не должно зависеть от выбора направления координатных осей. Действительно, в теории деформированного состояния показывается, что эта величина является так называемым инвариантом тензорного преобразования, т. е. такой скалярной величиной, которая не изменяется при повороте координатных осей. Соответственно и среднее нормальное напряжение является инвариантом тензорного преобразования компонентов напряженного состояния. Ранее мы уже получили для случая плоского напряженного состояния [c.128]

Рассмотрим пример на преобразование компонентов напряжений и деформаций, а также на применение закона Гука. Пусть даны три деформации е , е.у, Ед,, найденные по показаниям трех тензометров, уставов- [c.128]

Формулы (2.8) и (2.9) дают возможность ответить на вопрос о преобразовании компонент деформаций к новым осям. Пусть известны все шесть компонент в фиксированных осях х, у, г. Введем в рассмотрение новые также ортогональные оси координат х, у, г. Зададим эти оси таблицей направляющих косинусов, совпадающей с (1.16). Возвращаясь к формулам (2.8) и (2.9), получаем [c.209]

Если Озз = Оза = 0, формулы преобразования компонент симметричного тензора в двумерном пространстве могут быть представлены в чрезвычайно простом виде некоторое графическое построение позволяет сделать эти формулы наглядно очевидными и избавить от необходимости запоминания их или обращения к учебнику каж-Рис. 7.5.1 дый раз, когда в них возникает необ- [c.224]

ПоложиЕ В ЭТОЙ формуле соответственно пит, равными. т, у z, получим формулы, позволяющие в шислить компоненты напряжения в новой системе координат X, У, Z через компоненты напряжения в системе координат X, Y, Z. Сравнивая эти формулы с формулами преобразования компонентов деформации или компонентов скоростей деформации, моЖно установить их идентичность. Следовательно, компоненты напряжения образуют тензор [c.236]

Итак, формулы преобразования компонент вектора линейны относительно направляюпдпх косинусов новых осей. [c.42]

Теперь рассмотрим формулы преобразования компонент теизорг 2-. [c.48]

Первый тензор имеет контравариантные компоненты, второй и третий — смешанные, четвертый — ковариантные ). Поэтому построенные здесь тензоры называются соответственно контравариантными, смешанными и ковариантными тензорами второго ранга. Закон преобразования компонент этих тензоров можно непосредственно найти на основании формул (1.50а), (1.50Ь), (1.51а) и (1.51Ь). Пользуясь этими формулами и распространяя закон преобразования компонент мультипликативных тензоров на все тензоры соответствующего ранга и строения, найдем, что контравариантные компоненты тензоров второго ранга преоб )азуются по формулам [c.55]

Проекции скорости По . оц. связаны с Оох, оу и Voz формулами преобразования компонент вектора при ортогональном преобразовании системы координат (ч. I). Коэс )фнциенты преобразования — косинусы углов между направлениями осей старой и новой систем координат. Их выражения через функции углов Эйлера — фор.мулы (П.105Ь). [c.128]

Следствие. Рассмотрим случай декартовой прямоугольной системы координат Oxyz. Допустим, что в результате преобразования эта система координат переходит в новую систему Ouvw. На основании формул преобразования компонент тензора имеем [c.78]

Величины Уаб образуют геометрический объект , который называется объектом неголономности ). Закон их преобразования при изменении системы координат не рассматривается. Отметим лишь, что он отличается от закона преобразования компонент тензорных величин. [c.156]

Тогда векторы о и е служат изображением тензоров напряжений и деформаций в шестимерных пространствах напряжений и деформаций соответственно. Впоследствии будет выяснено, почему в качестве е , Сь и выбраны удвоенные компоненты тензора ец. Такое изображение не единственно с одной стороны, можно было бы ввести не шестимерное, а девятимерное пространство, если не обращать внимание на симметрию тензоров и е , обозначать, скажем, О12 и Оц как разные компоненты вектора о и не умножать вц i j) на два. С другой стороны, нужно помнить, что представление тензора в виде вектора имеет лишь ограниченный смысл и пригодно только для определенной фиксированной системы отнесения формулы преобразования компонент вектора и компонент тензора при изменении осей координат различны, поэтому, отнеся тензор напряжений или дефор- [c.236]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...