Интегрирование уравнений равновесия линейных

Интегрирование уравнений равновесия. На каждом этапе нагружения уравнения равновесия (2.86) —(2.90) или (2.95) —(2.99) являются линейными, т. е. могут быть представлены в виде, например, системы (2.95) — (2.99) после исключения [c.87]

Основная сложность при решении уравнений заключается в том, что задачи статики стержней относятся к двухточечным краевым задачам, когда решение должно удовлетворять определенным условиям в начале и в конце интервала интегрирования, в отличие от одноточечных краевых задач — задач Коши, когда все условия, которым должно удовлетворять решение, известны в начале интервала интегрирования. Поэтому хорошо разработанные методы решения систем дифференциальных линейных (и нелинейных) уравнений для одноточечных задач использовать для решения двухточечных задач в общем случае нельзя. В настоящее время имеется ряд методов численного решения линейных двухточечных задач (имея в виду стержни), которые получили распространение в расчетной практике метод начальных параметров, метод прогонки [2], метод конечных элементов [15]. Точное аналитическое решение линейных уравнений равновесия стержня, например (1.112) — (1.115), возможно только для случая, когда элементы матрицы Ах— постоянные числа [этот случай будет рассмотрен в 5.2, где изложены теория и методы расчета винтовых стержней (цилиндрических пружин)]. Для уравнений с переменными коэффициентами возможны только численные или приближенные методы решения. [c.61]

Интегрирование линейных уравнений равновесия [c.61]

Интегрирование линейных уравнений равновесия винтового стержня. Если винтовой стержень используется в качестве чувствительного элемента, например акселерометра, он нагружается распределенными силами, причем вектор q распределенных сил может иметь произвольное направление. В этом случае определить напряженно-деформированное состояние винтового стержня можно только решая систему дифференциальных уравнений. Если рассматриваются малые перемещения точек осевой линии, для определения напряженно-деформированного состояния стержня можно использовать уравнения равновесия нулевого приближения (1.107)— (1.111), положив Шо=0 [c.206]

Для линейных уравнений равновесия из (2.128) после интегрирования получим систему линейных- алгебраических уравнений относительно а,- [c.58]

Задача (7.30) называется линейной задачей о потере устойчивости. Связь критических нагрузок, полученных из решения задач (7.30) и (7.3), схематично показана на рис. 7.2. Как правило, критические нагрузки, определенные при решении нелинейной задачи о потере устойчивости, меньше соответствующих нагрузок, полученных при решении линейной задачи. Определение критических нагрузок из решения задачи (7.30) гораздо проще, чем из задачи (7.29), так как в первом случае не требуется пошаговой процедуры интегрирования нелинейных уравнений равновесия. [c.223]

Линейные консервативные системы. Собственные частоты и нормальные колебания. Зависимость собственных частот от параметров системы. Согласно результатам п. 2 настоящего параграфа задача о малых колебаниях консервативной системы около положения равновесия приводится к интегрированию уравнений Лагранжа, в которых кинетическая энергия Т является однородной квадратичной формой относительно обобщенных скоростей, а [c.250]

В заключение следует отметить, что интегрирование уравнений теории оболочек и пластинок в элементарных или специальных (табулированных) функциях удается лишь в исключительных случаях. Далеко идущие результаты в этом направлении достигнуты А. Д. Коваленко, разработавшим применение теории обобщенных гипергеометрических функций для определения напряженного состояния в дисках, круглых пластинках переменной толщины и конических оболочках вращения по линейной теории равновесия. Эти результаты частично изложены в монографиях и обзорной ста.тье А. Д. Коваленко (1955, 1959, 1963) и в книге А. Д. Коваленко, Я. М. Григоренко и Л. А. Ильина (1963). [c.234]

Прямое интегрирование диференциальных уравнений равновесия. Колонна (фиг. 2) сжата силой Р, действующей вдоль оси ее. При малой Р колонна остается прямой. При увеличении Р может наступить такой момент, когда прямолинейная форма колонны делается неустойчивой и колонна искривляется. Для нахождения того значения Р, при к-ром начинается это искривление, предполагают, что колонна уже искривилась, и составляют диференциальное ур-ие изгиба для малых отклонений от прямолинейной формы равновесия. При малых отклонениях это уравнение получается линейным. Интегрируют его и определяют из" граничных условий произвольные постоянные, вошедшие при интегрировании. Эта операция приводит к конечным уравнениям, в к-рые входят произвольные постоянные интегрирования, сила Р и размеры колонны. Критич. значение Р находится из того О соотношения между силой и размерами колонны, при к-ром уравнение изгиба может иметь несколько решений, удовлетворяющих одним и тем же граничным условиям (изгиб продольны й—см. Изгиб). Его иногда изменяют след, обр. к силе Р, критич. значение к-рой надо определить, присоединяют еще какую-либо силу (напр. поперечную силу или момент) и смотрят, при каком значении Р прогиб, вызываемый дополнительной силой, будет неопределенно возрастать. Это значение Р и будет С. к. [c.392]

Что касается общего решения однородной системы q, то оно находится по общим правилам интегрирования линейных однородных уравнений и в рассматриваемом случае движения вблизи положения асимптотически устойчивого равновесия заведомо стремится к положению равновесия при неограниченном возрастании времени t. В связи с этим движение q t) стремится в пределе к движению q (t), которое обусловлено наличием в правых частях уравнений зависящей явно от времени вынуждающей силы (t). [c.242]

Для линейных уравне-ний равновесия из (4,186) после интегрирования по- лучим систему линейных алгебраических уравнений относительно а. [c.171]

Общий метод. Уравнения Лагранжа позволяют изучить также малые колебания системы около состояния устойчивого движения. Следуя методу, подобному тому, который был применен при изучении малых колебаний около положения устойчивого равновесия, мы опять придем к интегрированию линейных уравнений, но эти уравнения уже не будут уравнениями с постоянными коэффициентами. [c.306]

Полное интегрирование рассматриваемой системы представляет трудную задачу, и мы не будем ею заниматься. Мы ограничимся в нашем рассмотрении бесконечно малыми колебаниями маятника вокруг положения устойчивого равновесия. Покажем сначала, что при этом можно привести уравнения движения к линейной форме и найти их общее решение. [c.150]

Представляя решения этих уравнений и внешние нагрузки в виде бесконечных рядов и учитывая условия равновесия и связи между коэффициентами Фурье нагрузок и перемещений для кругового кольца, после некоторых преобразований и интегрирования из систем (3.50) получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов Фурье радиальных перемещений шпангоута 2 и опорного кольца (бандажа) Win [c.98]

Итак, задача устойчивости цилиндрической оболочки сформулирована как краевая задача на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными (6.4.1) — (6.4.5) при краевых условиях (6.4.6) и условии 2л -периодичности решения по угловой координате. Наименьшее из собственных значений этой задачи определяет критическую интенсивность внешней нагрузки, а соответствующая ему собственная вектор-функция — форму потери устойчивости. Параметрические члены уравнений нейтрального равновесия (6.4.1) в общем случае переменны и определяются путем интегрирования линейной системы уравнений осесимметричного изгиба (6.2.14) при краевых условиях (6.2.9). В выражениях для элементов матриц А, В коэффициентов этой системы (см. параграф 6.2) следует выполнить упрощения, соответствующие принятым допущениям о тонкостенности и пологости оболочки, а вектор-столбец / для рассматриваемого ниже случая нагружения оболочки равномерно распределенным внешним давлением интенсивности Р следует взять в виде [c.185]

В настоящее время, как правило, используются три метода определения критических значений нагрузок. Так называемый точный или статический метод заключается в составлении и интегрировании дифференциального уравнения рассматриваемой формы равновесия стержня или пластины. Подчиняя общий интеграл уравнения заданным краевым условиям, приходят к системе линейных однородных уравнений относительно постоянных интегрирования. Условием существования рассматриваемой формы равновесия (например, криволинейной формы равновесия сжатого прямого стержня) является обращение в нуль определителя, образованного из коэффициентов этой системы. Приравнивая нулю определитель, приходим к уравнению для вычисления критического значения нагрузки. [c.225]

Неизвестными в системе линейных уравнений (12.6) являются перемещения Ъу, относительные реакции х,-н и число нагруженных тел качения. Для определения перемещений и Ву используются условия равновесия (12.3) после их интегрирования [c.226]

В книге приводится методологически последовательная постановка геометрически и физически нелинейных задач механики деформируемого твердого тела, в том числе задачи о потере устойчивости и контактных взаимодействиях тел. Уравнения формулируются относительно скоростей или приращений неизвестных величин. Приводятся слабые формы уравнений и вариационные формулировки задач. Рассматривается применение метода конечных элементов к решению квазистатических и динамических задач. Используются следующие модели материалов изотропная линейно-упругм, несжимаемая нелинейно-упругая Муни — Ривлина, упругопластическая, термоупругопластическая с учетом деформаций ползучести. Приводятся процедуры численных решений нелинейных задач, основанные на пошаговом интегрировании уравнений равновесия (движения). Рассматриваются особенности процедур численного решения задач о потере устойчивости и контакте тел. [c.2]

Решение задачи о напряженно-деформированном состоянии тонких плит (пластин) в общем случае связано с интегрированием системы нелинейных дифференциальных уравнений равновесия (16.40), в которых усилия и моменты для линейно-упругих материалов с характеристиками деформации связаны соотношениями (16.26). Де- рмации, в свою очередь, выражаются через перемещения по формулам (16.14) в декартовых осях и по формулам (16.15) в полярных оординатах. Эта задача представляет большие математические трудности, и поэтому целесообразно классифицировать задачи, с тем чтобы выделить из них те случаи, которые дают возможность применительно к разным конкретным условиям получить более простые уравнения, поддающиеся решению относительно простыми средст-<вами. [c.389]

Впоследствии Спилкер и др. 120, 21 ] предложили упрощенную гибридную модель, считая, что деформации по толщине всей пластины распределяются линейно, как в модели Тимошенко— Миндлина. Таким образом, учитывается влияние поперечного сдвига, но пренебрегается искажением поперечного сечения. В этом подходе продольные напряжения в плоскости пластины выражаются через С и принимается распределение деформаций типа Тимошенко—Миндлина, а напряжения в плоскости поперечного сечения пластины определяются интегрированием континуальных уравнений равновесия. При этом для вычисления постоянных интегрирований используются условия непрерывности компонент напряжений на границах слоев. Такая гибридная модель, не учитывающая искажение поперечного сечения, правильно описывает поведение тонких пластин и дает удовлетворительные результаты для пластин средней толщины ). [c.420]

Э. Рейсснер [29] дает модификацию теории. Задав на первом этапе линейный закон изменения напряжений а, Оу, Т"ху ПО толщине ПЛЗ" СТИНЫ и получив из уравнений равновесия квадратичный закон для поперечных касательных напряжений, он интегрирует соотношения закона Гука для поперечных касательных напряжений при условии, что прогиб W не меняется по толщине пластины. При этом получается кубический закон изменения перемещений ы, оно толщине лластины. Подставляя эти перемещения в соотношения закона Гука для напряжений а, Оу, Хху, он получает следующее приближение для этих напряжений квадратичный закон изменения по толщине. При этом соотношения обобщенного закона Гука для моментов, полученные.интегрированием закона Гука для напряжений, имеют такой же вид, как и в работе [25]. [c.192]

Э. Рейсснера, будем исходить из линейного закона изменения напряжений (4.10). Закон изменения напряжений Xxz,tyt,az полученный интегрироВ Знием уравнений равновесия (4.1), с учетом (4.10) будет иметь вид (4.16). Закон из менения перемещений по толщине пластины, полученный интегрированием соотношений (4.17), будет иметь вид (4.18), (4.19), где и, о, w — перемещения срединной плоскости. В рамках данного раздела и в дальнейшем при использовании уточненной теории через и, и, w будем обозначать обобщенные перемещения, смысл которых будет ясен ниже. [c.192]

Пусть линейно-упругое тело под действием объемных и поверхностных сил находится в состоянии равновесия. Тогда скалярное умножение уравнений равновесия на перемегцения щ и носледуюгцее интегрирование по объему V тела (с поверхностью 3) дают [c.60]

Замечание. Как в аксиоме баланса сил, так и в формулировке принципа виртуальной работы требования гладкости, налагаемые на поле Г Q" S , весьма умеренные достаточно, чтобы все интегралы имели смысл. Напротив, необходимы существенные дополнительные предположения о гладкости, чтобы написать уравнения равновесия и придать смысл величине div" Г". Эти уравнения используются только как средство перехода от аксиомы баланса сил к принципу виртуальной работы, и потому естественно возникает вопрос, нельзя ли при этом переходе вовсе обойтись без уравнений равновесия и соответствующим образом понизить требования гладкости. Исследования в этом направлении проведены в работе Antman Osborn [1979], где показано, что принцип виртуальной работы может быть выведен непосредственно из аксиомы баланса сил. Подход Антмана и Осборна основан на выявлении своего рода эквивалентности между справедливостью аксиомы баланса сил для всех подобластей Л" и выполнением принципа виртуальной работы для всех отображений O-" . Такая эквивалентность устанавливается с помощью соответствия между специальными классами подобластей (кубами и их образами при изоморфизмах, липшицевых в обе стороны) и специальными классами вариаций (по существу, кусочно-линейными функциями). Метод доказательства в общем тот же, что и при выводе формул Грина в теории интегрирования. В [c.104]

Первое уравнение описывает матрицу цлотности при термодинамическом равновесии. Линейный отклик системы оцределяется вторым уравнением р( > зависит от тех же частот, что и Ж ког- Во втором приближении стационарный отклик р<2) содержит члены с суммарной, разностной и двойной частотами, а также не зависящие от времени члены. Последние описывают начальную стадию процесса насыщения и обусловлены биениями между компонентами Ж ког и с положительными и отрицательными частотами. Подстановка р<2) в уравнение для р(3) дает фурье-комноненты следующего приближения и т. д. Отметим, что в стационарном случае дифференцирование в левых частях уравнений сводится к умножению на — 2( ПгЫг), где г—целое число, ( + а г)-компонента зависит от времени как ехр(—Шг1), а (—Шг)-компонента— как ехр(4-1(0г ). Таким образом, каждый последующий шаг соответствует очень простой алгебраической операции, связывающей фурье-компоненты данного приближения с компонентами предыдущего приближения. Прайс [27] (см. также [28]) использовал временной подход и рассматривал общий нелинейный отклик как 1результат интегрирования функции отклика на единичное ступенчатое возмущение, однако стационарный отклик на периодические силы легче определить с помощью спектрального подхода. [c.388]

Анализируя рассмотренные выше построения, следует указать, что метод весовой линии имеет несомненные преимущества по сравнению с другими графическими методами. В первую очередь это простота и точность, так как отпадает двойственность построения, присущая другим методам. Операции с параллельными и пересекающимися векторами (силами) следует простому закону сложения краевых и параллельных составляющих. Вычисление центров масс стержневых систем и механизмов, по методу весовой линии значительно проще, чем по существующим способам. Упрощается также исследование давлений в кинематических парах механизмов и определение реакций опор в стержневых системах. Методом весовой линии весьма просто производится бесполюсное интегрирование и дифференцирование, так как закон распределения сил соответствует закону изменения функции q = f (х). При этом первообразная функция (вес фигуры, заключенной между кривой q = f [х) и координатными осями) представляет собою интеграл. В дискретном анализе понятие бесконечно малая величина" заменяется понятием конечно малая величина со всеми вытекающими отсюда представлениями о производной в конечных разностях и численным интегрированием (вычислением квадратур). Полигоны равновесия узлов в стержневых системах, построенные по методу весовой линии, проще диаграмм Л. Кремоны, так как позволяют вычислять усилие в заданном стержне не прибегая к определению усилий в других стержнях, необходимых для построения диаграмм Кремоны. Графическое решение многочленных линейных уравнений (многоопорные валы и балки, звенья, имеющие форму пластин, и т. д.) производится по опорным весам или коэффициентам при неизвестных. Такой путь наиболее прост и надежен для проверки правильности решения. Впервые в технической литературе. дано графическое решение дифференциальных уравнений для балки переменного сечения на упругом основании и для круглых пластин с отверстиями, аналитическое решение которых требует сложного математического аппарата. В заключение отметим предельно простое решение дифференциальных уравнений теории упругости (в частных производных) указанным методом. [c.150]

Применение упрощенной системы уравнений типа Кармана в рассмотренных на практике случаях достаточно удовлетворительно обосновано и целесообразно. Однако интегрирование даже этой системы представляет большие трудности. В настоящее время естественной предпосылкой для решения задач нелинейной теории оболочек является использование вычислительной техники, инициаторами чего у нас были А. Ю. Биркган и А. С. Вольмир (1959). Вместе с тем прогресс в этом направлении не столь велик, как можно было ожидать. В качестве примера можно указать на задачу об осесимметричных формах равновесия сферического купола, привлекающую до сих пор внимание многих видных исследователей (В. И. Феодосьев, 1963 М. С. Корнишин, 1966 И. И. Ворович и В. Ф. Зипалова, 1966). Если общее математическое обеспечение вычислительной техники в ближайшее время значительно улучшится, на что можно надеяться, то многие трудности решения нелинейных задач теории оболочек будут устранены с помощью создания универсальных программ (как это имеет место в настоящее время в линейной алгебре). Однако на исключено, что в некоторых случаях будет целесообразно разработать специфические для задач теории оболочек расчетные алгоритмы. Одна из таких процедур предложена М. С. Корнишиным и X. М. Муштари (1959). Небольшой обзор применения вычислительных методов в теории оболочек дан И. В. Свирским (1966). [c.234]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...