Вывод и решение основных уравнений

ВЫВОД И РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ [c.7]

Длительность и точность пусковых, рабочих и тормозных процессов электрифицированных механизмов зависят от поведения электропривода. Характер протекания этих процессов определяется прежде всего законами изменения движущих моментов и моментов сопротивления рабочей машины. Необходимые для практических целей выводы получаются или путём решения основных уравнений движений, даваемых механикой, или же совместным решением их с уравнениями электрического равновесия в цепях электродвигателей. [c.25]

В гл. 2 развит математический аппарат, необходимый для теоретического понимания нелинейных явлений в волоконных световодах. Начинается теоретическое описание уравнениями Максвелла далее при обсуждении мод световода и получении основного уравнения для распространения амплитуды огибающей импульса используется волновое уравнение в нелинейной среде с дисперсией. При выводе уравнения отмечаются производимые приближения. Затем обсуждаются численные методы, используемые при решении основного уравнения распространения особенно выделяется фурье-метод с разделением по физическим факторам. [c.28]

В заключение отметим, что сделанные выводы о характере формообразования тающей сосульки остаются справедливыми только в рамках решения основного уравнения задачи (6.12), которое получено при вполне определенных начальных условиях. Принятие иных начальных и граничных условий приведет к получению других качественных результатов. [c.20]

В случае, если оператор og (xo, 0)/ox невырожден, хо является простым корнем амплитудного уравнения. По теореме о неявной функции система (17) имеет в этом случае единственное решение для достаточно малых значений /i, этот же вывод справедлив для основного уравнения (1). Построению данного решения и сопутствующим оценкам посвящен следующий раздел. [c.410]

Резюмируя, можно утверждать, 4jo введение понятия эйконала и вывод основных уравнений (для А —> О позволили строго обосновать взаимосвязь геометрической оптики и электромагнитной теории света. Выявилось также, что постулаты, часто используемые для обоснований построений и законов геометрической оптики (например, принцип Ферма), могут рассматриваться как прямые следствия общей теории распространения электромагнитных волн и целесообразность их применения определяется лишь удобством решения тех или иных задач. [c.277]

Изложены основы теории упругости после ознакомления с основополагающими понятиями приводятся анализ напряженного и деформированного состояния, вывод основных уравнений, плоская и температурная задачи, элементы теории пластин и оболочек. Особое внимание уделено численным методам решения прикладных задач теории упругости помимо достаточно распространенных вариационных и разностных методов подробно освещается сравнительно новый структурный метод, хорошо зарекомендовавший себя при исследовав НИИ объектов сложной формы. Для понимания затронутых вопросов достаточно знаний обычного курса математики технического вуза. [c.40]

Уравнение Бернулли широко применяется в различных разделах гидравлики для решения многих практических задач. Так, например, при помощи уравнения Бернулли выводятся формулы для определения расхода воды, проходящей через отверстия и водосливы, производится гидравлический расчет трубопроводов многих водомерных устройств, выводится основное уравнение неравно-, мерного движения жидкости и т. д. Короче говоря, в гидравлике почти нет разделов, где уравнение Бернулли не использовалось бы в той или иной степени. Поэтому ниже мы приведем несколько случаев применения уравнения Бернулли, ограничиваясь пока только теми задачами, где потерей напора при движении можно пренебречь. [c.90]

Вариационное исчисление и граничные условия. Задача об упругом стержне Во всех наших предыдущих рассуждениях мы интересовались в основном дифференциальными уравнениями, которые получались как решение задачи о стационарном значении заданного определенного интеграла. Вывод этих уравнений при помощи интегрирования по частям показывает, что вариация определенного интеграла состоит из двух частей из интеграла,распространенного на данный интервал, и граничного члена. Мы не рассматривали до сих пор этот член, так как задача решалась при граничных условиях, обращавших его в нуль. Однако имеются случаи, когда граничный член играет более активную роль. Ниже, при изучении работ Гамильтона по решению дифференциальных уравнений динамики при помощи уравнения в частных производных, мы увидим, что в математически более сложных вопросах механики этот ранее отброшенный член окажется существенным. Здесь, однако, мы хотим обсудить другой аспект вопроса о граничном члене, имеющий более непосредственный физический смысл. [c.92]

Если основные уравнения теории упругости удовлетворены функциями, принятыми на первом этапе решения задачи, и выявлены условия, накладываемые на остальные не известные еще функции, то на этом второй этап решения задачи заканчивается. В таком случае приходим к выводу, что напряженно-деформированное состояние тела, соответствующее выбранным на первом этапе функциям, возможно с точки зрения теории упругости. В противном случае приходится либо отказываться совершенно от функций, принятых на первом этапе, и начинать поиск заново, либо вносить коррективы в функции, обеспечивая возможность удовлетворения ими основным уравнениям теории упругости. [c.636]

Теория подобия позволяет, не интегрируя дифференциальные уравнения, установить связь между критериями подобия и составить критериальное уравнение, которое будет справедливо для всех подобных между собой процессов. При этом для вывода критериальных уравнений она не нуждается в каких-либо упрощениях, обычно вводимых в случаях аналитического решения дифференциальных уравнений, описывающих сложное явление. Например, нет необходимости принимать физические величины, участвующие в протекании процесса, за постоянные. Поэтому критериальные уравнения обладают той же степенью достоверности, что и основные дифференциальные уравнения и условия однозначности. [c.611]

Механические характеристики двигателей и рабочих машин представляют собой большей частью сложные зависимости и изображаются в виде кривых линий. Динамическое исследование механизмов во многих случаях целесообразно производить аналитическими методами с тем, чтобы можно было установить закономерности изменения основных параметров машинного агрегата. Это возможно в тех случаях, когда удается решить дифференциальные уравнения движения механизма и представить их решения в конечном виде. Если механические характеристики двигателя и рабочей машины представляют собой сложные функции кинематических параметров, то сделать это оказывается невозможным, и тогда для решения дифференциальных уравнений приходится применять численные или графические методы. Путем их применения получаются результаты частного характера, по которым нельзя сделать обобщающих выводов. [c.24]

Из сопоставления основного и сопряженного уравнений для функций Грина (2.176) и (2.177) [см. также (2.139) и (2.144)1 следует, что они становятся идентичными при обращении потока жидкости вспять . Если ввести, например, в основное уравнение обратный вектор скорости потока v(r)=—u(r) и тем самым поменять местами входное и выходное сечения канала, то и граничные условия для функции и+(г) (2.147), (2.166) — (2.168) станут идентичными граничным условиям (2.141), (2.163) — (2.165) для функции u(r). Граничные условия на боковой поверхности канала (заторможенность потока) также не изменяются по виду [см. (2.142) и (2.162)1. В силу идентичности дифференциальных уравнений и граничных условий к ним на основании теоремы единственности следует вывод об идентичности решений этих уравнений при q = q и Го = п [c.74]

Как видно из самого вывода, конечные уравнения (11) получены с помощью целого ряда упрощений и отражают только основные, главные факторы, влияющие на данное явление. Поэтому применение их в том или ином конкретном случае, вообще говоря, требует всегда анализа того, насколько принятая упрощенная схема подходит к данным условиям. Если приходится за отсутствием другого более точного решения применять уравнения к явлениям, в которых играют достаточно существенную роль неучтенные или отброшенные при выводе факт оры, то это обстоятельство важно помнить для реальной оценки полученных решений. Например, в данных [c.20]

Теперь представим основные уравнения и сделаем краткие замечания по поводу их решения. Уравнения выводятся согласно трактовке Шапиро [40]. При изложении решения методом характеристик мы следуем не Шапиро, который опирался на оригинальную работу [59], а методике, предложенной в работе [42]. [c.338]

В гл. 4 выводятся основные уравнения теории изгиба пластин. Это классические уравнения теории С. Жермен—Лагранжа—Кирхгофа, теории, учитывающей деформации поперечного сдвига и обжатия. С целью использования теории пластин в контактных задачах уравнения выведены для случая, когда к поверхности пластин приложены не только нормальные поверхностные усилия, но и касательные. Обсуждаются способы учета эффекта поперечного обжатия с целью построения корректных решений контактных задач. [c.184]

Для заданной характеристической поверхности можно, вообще говоря, построить бесчисленное множество течений в ее окрестности. Выясняется вопрос, как течения типа двойной волны вкладываются в класс произвольных достаточно гладких решений, соответствующих данной характеристической поверхности. Для этого выводится и решается уравнение переноса для скачков нормальных производных основных функций, справедливое вдоль любой бихарактеристики, лежащей на характеристической поверхности. Показано, что для достаточно больших моментов времени течение в окрестности произвольной характеристической поверхности (5) можно приближенно считать двойной волной. [c.113]

В этом параграфе исследование устойчивости равновесия радиально сжатой круговой слоистой трансверсально изотропной пластинки выполнено без привлечения кинематических гипотез. Его основу составили уравнения теории устойчивости трехмерных упругих тел. С развернутым изложением этой теории, включающим в себя постановку задачи, вывод соответствующих линеаризованных дифференциальных уравнений и граничных условий, обсуждение аналитических и численных методов исследования сформулированных краевых задач, решение конкретных задач устойчивости, заинтересованный читатель может ознакомиться по монографиям [125, 126]. Здесь ограничимся лишь формулировкой некоторых основных уравнений трехмерной теории устойчивости упругих трансверсально изотропных тел в системе координат, нормально связанной с плоскостью изотропии. [c.151]

Однако сперва мы пойдем по пути, использованному самим Сен-Вена-ном, который исходил из основных уравнений теории упругости, и сперва будем искать только точные решения. Конечно, мы должны тотчас же предостеречь читателя от переоценки точности этих решений. Хотя математическая задача о нахождении интеграла основных уравнений, удовлетворяющего требуемым граничным условиям, в некоторых случаях может быть решена совершенно строго, но из этого еще не следует, что такое решение безусловно надежно н с физической точки зрения. Это было бы действительно так, если бы предположения, на которых основан вывод основных уравнений, выполнялись строго. Однако обычно об этом не может быть и речи мы предполагаем, что материал изотропен, но материал, из которого изготовляют рассчитываемые стержни, обычно обнаруживает в разных направлениях разные упругие свойства, что как раз может быть довольно отчетливо замечено при испытании на кручение ). Это видно уже из того, что значение модуля сдвига G, найденное из опытов над кручением, не особенно точно согласуется со значением, выражаемым через упругие постоянные и /и по формуле (29) 2, как это должно было бы иметь место для изотропного тела. Точно так же и предположение об однородности материала или об одинаковости свойств его в разных точках оправдывается не всегда, например в двутавровых балках часто можно заметить довольно резко выраженную разницу между внутренней частью и наружным слоем. [c.51]

Прежде чем приступить к основной теме, остановимся кратко на обозначениях. Ранее одночастичная функция распределения Д(г,р, ) вводилась как функция радиуса-вектора г и импульса р частицы. Такое удобно при выводе цепочки уравнений для приведенных функций распределения из уравнения Лиувилля. Однако в кинетической теории чаще пользуются одночастичной функцией распределения / (г, v, ), которая зависит от скорости частицы. Для более наглядного сравнения излагаемого здесь подхода с традиционными методами построения нормальных решений кинетических уравнений мы будем исходить из уравнения Больцмана, записанного для функции /(r,v, ). Нетрудно установить связь между этой функцией и Д(г,р, ). Вводя условие нормировки [c.234]

Дальнейшее детальное исследование контактных задач соприкосновения круговых тел без трения (при невыполнимости гипотезы Герца с малости участка контакта) было проведено в работах А. И. Каланди [178—180, 182]. После вывода и решения основных уравнений, совпадаю щих внешне с уравнениями теории крыла конечного размаха с неизве стным параметром, рассматривается жесткий штамп с плоским симмет ричным основанием, вдавливаемый силой, действующей вдоль оси штам па, в упругую среду, представляющую собой бесконечную плоскость круговым отверстием. Предполагается, что штамп может совершат [c.18]

Выше мы показали возможность вывода основных уравнени й теории пластин исходя из вариационного принципа Лагранжа. Однако главное значение вариационных принципов в расчете пластин состоит в том, что с их помощью можно получить приближенные решения сложных задач, не прибегая к составлению и решению дифференциальных уравнений в частных производных. Некоторые примеры расчетов с использованием прямых методов вариационного исчисления рассмотрены в 8. Точное аналитическое решение общих уравнений изгиба пластины может быть выполнено лишь в частных случаях — для прямоугольных и круглых пластин постоянной толщины, а также для пластин, [c.67]

В настоящем курсе мы можем лишь вкратце объяснить постановку задач динамики ракет и осветить некоторые выводы из решений этих задач, иолноетью оиуекая вопросы численного интегрирования основных дифференциальных уравнений движения ракет. [c.123]

В последнее время все более широкое распространение в теории упругости получает метод граничных интегральных уравнений (МГИУ). Эффективность метода позволяет применить его и для решения задач механики разрушения. Сущность этого метода заключается в сведении соответствующей задачи теории упругости к решению интегрального уравнения, а основное его преимущество по сравнению с другими численными методами состоит в том, что он понижает размерность задачи. Остановимся вкратце на выводе интегральных уравнений основных пространственных задач теории упругости и методах их решения [231]. Пусть S — некоторая достаточно гладкая замкнутая поверхность, а и D — области, расположенные внутри и вне ее ( ) = )+ + ) ). Если однородное изотропное упругое тело занимает конечный объем D , то задача называется внутренней. Если же тело занимает бесконечный объем D , то задача называется внешней. Требуется найти регулярное решение уравнения статики упругого тела (2.2) [c.100]

Описанный подход является типичным для ручного счета. Для вывода равенств (1) и (2) применяется простейшее правило Крамера, позволяюгцее выразить решение алгебраической системы уравнений через определители (см., например, [91]). Равенства, аналогичные (1) и (2), могут быть записаны для системы с любой степенью статической неопределимости и иллюстрируют основные соотношения матричной формулировки задачи, которая описана ниже. [c.118]

Относительно природы самой основной задачи здесь нужно сделать одно существенное замечание. Вспомним, что если мы исключим частные законы сопротивления, плохо соответствующие действительности, то не сможем найти интегралы основной задачи точно, а определим их только приближенно, выводя из баллистических таблиц. Если некоторая функция определена посредством графика, вычерченного непрерывно механическими средствами или полученного путем графической интерполяции из какого-нибудь разрывного ряда точек, заданного в виде числовых таблиц, то интегрирование можно будет выполнить при помощи подходящих способов суммирования, с приближением, сравнимым с тем, которое имело место при построении графика. Наоборот, операция дифференцирования, поскольку требуется, чтобы от точки к точке оценивалось направление касательной, порождает неуверенность в том, что мы не придем таким путем к значительно ббльшим ошибкам. Поэтому в баллистическом случав нельзя прийти к приемлемым результатам, выводя общий интеграл уравнений (41) и (42) из интеграла основной задачи через интегралы соответствующих однородных уравнений (в вариациях). В этом случае лучше прямо получить последний интеграл, применяя к однородным уравнениям те же сгмые способы табличных и графических приближений, которые служат для решения основной задачи. [c.115]

По своему содержанию разработанные формы основного уравнения восстановления носят характер уравнений прогнозирования поведения восстанавливаемого элемента в серии последовательных нагружений. Решению задачи обеспечить возможность прогнозирования ПО элемента в будущем были подчинены математические методы описания СП нагружения и СП старения сопротивляемости. Преобразование СП нагружения й (t) по ПНМ обеспечивает вероятностное описание этого процесса по данным одной имеющей ограниченную длину реализации. Для СП старения использована информация о вероятностных свойствах элементов в начальные моменты эксплуатации. При известном законе старения (параметрах а, Ь, а) этой информации достаточно для определения свойств элемента в любой момет времени эксплуатации. Кроме того, вывод выражений (9.2) или (9.9) основан на прогнозировании поведения восстанавливаемого элемента в серии последовательных нагружений (метод мысленного эксперимента). [c.143]

Выводы и предложения. В данной работе поясняется метод моделирования трехмерного механизма с помощью линий-векторов, а также метод, посредством которого могут быть имитированы (моделированы) характеристики движения для различных типов пар путем фиксирования соответствующих параметров в операторах кватернионов. На основании уравнения замкнутости записана программа, при помощи которой представляется возможным численное решение задачи перемещений для любого трехмерного четырехзвенного механизма вынужденного движения с любой произвольной геометрией и любой комбинацией пяти основных пар. Пятью основными парами являются вращательная, вращательнопоступательная (цилиндрическая), поступательная, шаровая и винтовая. [c.290]

Полнота описания явления, корректность исходной теоретической модели должны сочетаться с правильностью математической формулировки задачи. При этом следует иметь в виду, что физическое решение может существовать и найдено на основе эксперимента, в то время как исходное математическое описание не позволяет получить решения. Если существует решение задачи в первичных переменных, то обобщенное решение может быть получено. В связи с возможностью описания системы в обобщенных безразмерных переменных, базируясь на методе подобия и анализе размерностей, можно получить критериальное уравнение, состоящее из обобщенных характеристик рассматриваемой системы. При описании системы критериальными уравнениями как бы уменьшается число параметров, независимых координат, решение обладает большой общностью. Получение критериев подобия, основанных на методе подобия, предполагает использование математического описания объекта. Исходные дифференщ -альные уравнения, характеризующие процесс, содержат более глубокую информацию по сравнению с той, которую получаем из анализа размерностей ответственных величин. Исследование процесса методом подобия включает получение безразмерных характеристик (критериев подобия) и вывод критериального уравнения. Аналитический вывод критериального уравнения возможен, когда исходное уравнение имеет точное решение. Во всех других случаях формирование критериальных уравнений осуществляется на базе специальных экспериментальных исследований (или дрз -ой дополнительной информации). Критериальная зависимость должна учитьшать критерии, полученные из анализа как основных уравнений, так и граничных условий. [c.165]

В разработанных к настоящему времени методах комбинированного анализа рассматриваются лишь термодинамические, газодинамические и теплообменные вопросы нестационарного течения рабочего тела при его движении в системе двигателя. Вопросы, связанные с динамикой машины и сопротивлением материалов, не включаются в рассмотрение, и это может иметь в дальнейшем нежелательные последствия. Например, методы комбинированного или раздельного анализа, использованные при проектировании или оптимизации двигателя, могут дать результаты, не совместимые с требованиями, которые следуют из рассмотрения динамики машин или сопротивления материалов. Следовательно, методы комбинированного анализа (или анализа 3-го порядка) должны применяться только на последней стадии предварительной проработки или проектирования, как показано на рис. 3.1, когда все основные требования выполнены. В открытой литературе опубликовано несколько методов комбинированного анализа, которые имеют практически одинаковый аналитический подход и различаются лишь методами решения получаюигейся системы уравнений. В опубликованных работах, на наш взгляд, уделяется чрезмерное внимание выводу основных уравнений, и, хотя само по себе это и полезно, в зависимости от типа публикации зачастую может создаваться впечатление, что эти уравнения получены впервые и применимы исключительно для двигателя Стирлинга. И то и другое почти полностью неверно. Рабочий процесс в двигателе Стирлинга представляет собой нестационарное течение рабочего тела в каналах переменного сечения ири наличии трения и теплообмена. Подобные течения были подробно рассмотрены, например, в [c.335]

В разд. 1.2 описаны исходные допущения модели и дана постановка задачи. Б разд. 1.3 дан вывод основных уравнений, исходя из принципа возможных перемещений Лагранжа, а также сформулированы граничные условия задачи. Указан способ преобразования исходной системы уравнений к разрешающей системе, основанный на введении функций напряжений с помощью соотношения (1.21). Такой анализ несколько отличается, судя по литературе, от наиболее распространенных подходов и, в частности, от подхода, изложенного в статье [8]. В разд. 1.4 решается задача для пластины с двумя ребрами и различными граничными условиями. Даны численные расчеты. В разд. 1.5 содержится решение системы разрешающих уравнений для случая, когда число ребер произвольное. Использован известный способ решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, приспособленный к специфике данной системы. В разд. 1.6 рассмотрены частные случаи пластин с пятью и шестью ребрами. Приведены подробные численные расчеты и дан анализ влияния параметров пластины и ребер иа характер напряжений. В разд. 1.7 рассмотрена задача оптимального подкрепления пласти-пы произвольным числом ребер переменного сечения. Закон изменения сечения ребер по их длине определяется из условия, что напряжения в ребрах не меняются по длине каждого ребра. В разд. 1.8 и 1.9 описан метод конечных разностей Лля приближенного расчета напряжений в пластине с ребрами, сечение которых лроизвольно изменяется по длине. Точность метода иллюстрируется а примере. В последнем разделе излагается способ приближенного учета поперечной сжимаемости пластины между ребрами, который улучшает картину напряжений в окрестности угловых точек пластины. [c.7]

Ввиду большой сложности разрешающих уравнений программа их формирования составлена из отдельных подпрограмм, повторяющих основные звенья вывода уточненных уравнений теории нетонких оболочек переменной толщины. Все этапы решения, включая машинную обработку входной и выходной информации, формирование и решение уравнений, автоматизированы. [c.6]

Легко себе представить тот толчок, который был дан дальнейшему развитию науки о прочности материалов мемуарами Сен-Венана, содержавшими строгие решения для ряда практически важных случаев кручения и изгиба. С их появлением возникло стремление вводить в инженерные руководства по сопротивлению материалов основные уравнения теории упругости. Сам Сен-Венан в многочисленных примечаниях к своему изданию книги Навье действовал в том же направлении. Рэнкин уделяет теории упругости большое место в своем руководстве по прикладной механике. Грасхоф и Винклер, оба, пытались вывести формулы сопротивления материалов, не пользуясь гипотезой плоских сечений, а основывая свои выводы на уравнениях точной теории. Впоследствии такой метод изложения сопротивления материалов вышел из употребления ), и ныне принято вести преподавание этой науки на более элементарном уровне. Углубленная же постановка курса преподавания, основанная на теории упругости, сохраняется в настоящее время, как общее правило, лишь для инженеров, специализирующихся в этой области. [c.288]

Осветим бегло содержание книги Нейманна. В первых пяти главах он выводит основные уравнения теории упругости изотропного тела, вводя понятие компонент напряжения и деформации и устанавливая соотношения между ними через две упругие постоянные. Его обозначения для компонент напряжения были впоследствии приняты многими авторами в частности, их принял Ляв (А. Е. Н. Love). В следующих трех главах дается вывод основных уравнений с помощью гипотезы о молекулярном строении твердых тел. Излагаются работы Навье и Пуассона. Выводятся уравнения для неравномерного распределения температуры, исследуется теорема об единственности решений уравнений упругости. Следующая часть книги посвящена приложениям основных уравнений к частным задачам. Глава, в которой описывается [c.303]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...