Простейшие законы упругости

Простейшие законы упругости [c.71]

Малые упругопластические деформации. Наиболее простой и исторически первый путь построения физических соотношений для малых упругопластических деформаций состоит в следующем. Экспериментами установлено, что изменение объема и в области пластического деформирования строго следует закону упругости, т. е. соотношению (8.4). В то же время механизм пластического деформирования связан со скольжением одних частей материала по другим по так называемым плоскостям скольжения (линии Чернова— Людерса) и, следовательно, пластическая деформация представляет собой процесс необратимого изменения формы. [c.155]

Так, в основе расчетов деталей машин на прочность и деформацию лежит закон Гука. Однако его применение для расчета различных деталей и систем с разнообразными видами нагружений потребовало создания специальных методов, которые составляют содержание таких наук, как сопротивление материалов и теория упругости. Аналогичная картина имеет место и при расчетах на износ сопряженных поверхностей деталей машин с той разницей, что вместо простейшего закона Гука в качестве исходной физической закономерности должен быть принят закон изнашивания, который связывает износ с рядом параметров, включает фактор времени и относится к материалам двух сопряженных поверхностей. Теория изнашивания сопряженных деталей машин, которая в настоящее время находится на первом этапе своего развития, должна дать методы расчета и оценки износа всех основных типов сопряжений при различных условиях их работы. [c.272]

При расчетах деталей машины на прочность и жесткость в основе лежит простейший закон Гука о пропорциональности напряжения и деформации, причем характеристиками материала в этой закономерности являются только модуль упругости и коэффициент Пуассона. [c.54]

Принимая, как и прежде, площадь реактивных давлений со стороны упругого основания за нагрузку звена, а действующую силу Р за опорную реакцию, мы получим весьма простые законы деформации звена, установленные уравнением (127). Отложив [c.115]

Уравнение Максвелла. Уравнение упруго-вязкого тела было получено путем сложения напряжений, соответствующих простым средам — упругой и вязкой. Будем теперь складывать не усилия, а скорости деформации, отвечающие одному и тому же напряжению. Очевидно, что этой среде соответствует модель, состоящая из пружины (упругий элемент), последовательно соединенной с вязким элементом (фиг. 203). Закон деформации подобной среды, впервые полученный Максвеллом имеет вид [c.302]

Прямой центрально сжатый стержень постоянного сечения (рис. 1,а) представляет собой простейшую реальную конструкцию, способную при определенных условиях потерять устойчивость, видимым проявлением чего является выпучивание, т. е. возникновение бокового. смещения, не требующего приложения поперечных сил. Долгое время этот объект служил иллюстратором основных сторон явления неустойчивости в деформируемых системах, пока не возникла необходимость разобраться в явлении выпучивания деформируемых систем, материал которых является сложной средой и не подчиняется закону упругости. Оказалось, что уже для упруго-пластического материала, если не навязывать стержню определенный тип поведения, математическое описание явления становится столь сложным, что иллюстративные качества этого объекта утрачиваются полностью и приходится искать более простой объект. [c.7]

Законы упруго-пластических деформаций при простом нагружении определяются зависимостями (3.30), (3.31) и [c.169]

Другой простой закон, который мы теперь рассмотрим, в некотором отношении прямо противоположен первому. Он заключается в том, что при нагрузке, вызывающей переход за предел упругости, не напряженное, а деформированное состояние во всем теле получается таким, как если бы никакого перехода за предел упругости не было. В применении, например, к изгибу балки это значит, чю сечения ее остаются плоскими и после перехода за предел упругости, по крайней мере, при таких же условиях илн с такой же степенью точности, как это имело место и до перехода за предел упругости. [c.285]

Величина х называется модулем объемной упругости или просто объемной упругостью. Применимость закона Гука, т. е. линейность зависимости деформации от напряжения, является существенным допущением при выводе волнового уравнения. [c.12]

Газовая теория растворов исходит из предположения, что частицы растворенного вещества взаимодействуют друг с другом только по законам упругого соударения, т. е. ведут себя как частицы идеального газа. При этом растворитель рассматривается лишь как среда, не влияющая на распределенные в ней частицы растворенного вещества. Такое представление о физической природе растворов, будучи сильно упрощенным, дало возможность вывести для них некоторые простые количественные зависимости, в частности пропорциональность давления пара растворителя над раствором молярной доле растворителя (закон Рауля), а также [c.5]

Построим модель не вполне упругого тела, подчиняющегося при деформации простейшему закону (2.12.1). Представим себе (рис. 99, а) пружину жесткости 6, соединенную последовательно с комбинацией пружины жесткости с и поршня, движущегося в цилиндрическом сосуде с вязкой жидкостью. Если к свободному концу первой пружины [c.347]

Простейшие законы деформирования не вполне упругих и пластических тел выражают кусочно линейные соотношения между напряжением, деформацией и их производными по времени [160]. Характер этих соотношений может быть для одного же материала различным и в зависимости от других параметров. [c.387]

Вместе с тем неоднородность микроструктуры материалов и большой диапазон изменения некоторых величин, характерных для деформации данного материала (например, предела упругости), позволяют надеяться, что можно описывать в достаточной мере точно деформирование реальных тел также и с количественной стороны. Для этой цели следует представить реальное тело в виде совокупности большого числа элементов, обладающих простейшими законами деформирования, но с разными константами, входящими в выражение этих законов, подбирая соответствующим образом распределение таких элементов. Автором приведено ниже несколько примеров, иллюстрирующих это положение применительно к деформации простого растяжения-сжатия. При этом деформирующееся тело представляется состоящим из большого числа геометрически одинаковых волокон, ориентированных по направлению растягивающей или сжимающей силы Р. Относительное удлинение-сжатие всех волокон оказывается одинаковым, а усилия, приходящиеся на отдельные волокна, будут различаться вследствие разницы констант, которые входят в закон деформирования отдельных волокон. Ограничимся разбросом в значениях одной из констант, причем будем считать ее существенно положительной величиной. Пусть на долю волокон, у которых значение этой константы заключено в пределах а, а + с/а, приходится площадь поперечного сечения, равная [c.388]

Все мы привыкли к тому, что основные разделы физики построены на принципах динамики. Все начинается с механики материальной точки и с законов Ньютона, которые вводят основные динамические понятия массу, скорость, импульс и силу. Теоретическая механика всего лишь оформляет элементарные законы механики в более пышные одежды дифференциальных уравнений и вариационных принципов. На базе простейших законов движения материальной точки строятся более сложные уравнения движения сплошных сред газов, жидкостей и упругих тел. Здесь впервые появляются непрерывные функции координат и времени, играющие роль полей, хотя собственно полями принято считать поля в вакууме, например электромагнитное поле. Уравнения для полей — это тоже уравнения динамики. Термодинамика только на первый взгляд кажется феноменологической наукой, а в действительности она может быть построена на базе статистической физики, представляющей собой лишь специфическую разновидность динамики. Тот факт, что физика строится на принципах динамики, проявляется и в основных физических единицах измерения (например, сантиметр, грамм, секунда), которые изначально вводятся в механике материальной точки, а затем переносятся в другие, более сложные разделы физики. [c.15]

Из уравнения (16.9) следуют законы деформирования простейших моделей упругого тела и вязкой жидкости. [c.444]

Опыты при сложном напряжённом состоянии, как и при простом /растяжении или кручении, показывают, что процесс разгрузки тела подчиняется закону упругости, причём, если процесс нагружения является простым и сопровождается несколькими простыми разгру-жениями и нагружениями одного и того же характера (так что отношение между собой напряжений всё время остаётся одним и тем же), то зависимость т, от является одной и той же, характерной для данного материала. Для построения этой зависимости достаточно произвести только один опыт, например, на растяжение образца или на кручение трубы. Если материал считать несжимаемым и пренебрегать изменением его плотности при деформации, то зависимость между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций е . [c.80]

Простейший пример упругих колебаний. Рассмотрим систему, изображенную на рис. 64 груз, висящий на цилиндрической пружине. Пусть I— естественная длина пружины (т. е. ее длина в недеформированном состоянии), г—длина пружины в данный момент. Нас будут интересовать только вертикальные смещения груза. На него действует, во-первых, упругая сила со стороны пружины, равная где А —постоянная, так как сила пропорциональна деформации пружины, и, во-вторых, его вес mg (трением мы здесь пренебрегаем, как и в п. 1). Тогда по второму закону Ньютона [c.61]

Отметим, наконец, что простые законы распространения упругих волн справедливы только при условии достаточной малости отклонений частиц среды в волне от положения равновесия. Понятие об изменении этих законов при нарушении условия малости колебаний дадим в гл. ХП1. [c.14]

Как мы видели, упругая деформация кристаллов является результатом изменения междуатомных расстояний. Чтобы получить законы упругости, необходимо рассмотреть действительное расположение атомов в кристаллической решетке и учесть, что все атомы взаимодействуют между собой. Простая модель двух атомов, приведенная в 63, конечно, недостаточна. Такого рода расчеты производились и хорошо подтверждены экспериментами. Существенно заметить, что строение кристаллической решетки сразу указывает, что упругие свойства будут различными для разных направлений кристаллы не являются изотропными. [c.139]

Как следует из схемы, представленной на рис. В.1, информация о НДС является ключевой для анализа прочности и долговечности элементов конструкций. Поэтому правильность оценки работоспособности той или иной конструкции в первую очередь зависит от полноты информации о ее НДС. Аналитические методы позволяют определить НДС в основном только для тел простой формы и с несложным характером нагружения. При этом реологические уравнения деформирования материала используются в упрощенном виде [124, 195, 229]. Анализ НДС реальных конструкций со сложной геометрической формой, механической разнородностью, нагружаемых по сложному термо-силовому закону, возможен только при использовании численных методов, ориентированных на современные ЭВМ. Наибольшее распространение по решению задач о НДС элементов конструкций получили следующие численные методы метод конечных разностей (МКР) [136, 138], метод граничных элементов (МГЭ) [14, 297, 406, 407] и МКЭ [32, 34, 39, 55, 142, 154, 159, 160, 186, 187, 245]. МКР позволяет анализировать НДС конструкции при сложных нагружениях. Трудности применения МКР возникают при составлении конечно-разностных соотношений в многосвязных областях при произвольном расположении аппроксимирующих узлов. Поэтому для расчета НДС в конструкциях со сложной геометрией МКР малоприменим. В отличие от МКР МГЭ позволяет проводить анализ НДС в телах сложной формы, но, к сожалению, возможности МГЭ ограничиваются простой реологией деформирования материала (в основном упругостью) [14]. При решении МГЭ упругопластических задач вычисления становятся очень громоздкими и преимущество метода — снижение мерности задачи на единицу, — практически полностью нивелируется [14]. МКЭ лишен недостатков, присущих МКР и МГЭ он универсален по отношению к геометрии исследуемой области и реологии деформирования материала. Поэтому при создании универсальных методов расчета НДС, не ориентированных на конкретный класс конструкций или вид нагружения, МКЭ обладает несомненным преимуществом по отношению как к аналитическим, так и к альтернативным численным методам. [c.11]

При решении простейших задач на растяжение и сжатие мы уже встретились с необходимостью иметь некоторые исходные экспериментальные данные, на основе которых можно было бы построить теорию и внести тем самым некоторые обобщения в анализ конкретных конструкций. К числу таких исходных экспериментальных данных относится в первую очередь уже знакомый нам закон Гука. Основными характеристиками материалов при этом являются модуль упругости Е и коэффициент Пуассона р.. Понятно, что в зависимости от свойств материала эти величины меняются. В первую очередь Е и р зависят от типа материала и в некоторой степени от условий термической и механической обработки. [c.48]

Рассмотрим работу силы тяжести и линейной силы упругости, изменяющейся по закону Гука, н вычисление работы силы, приложенной к какой-либо точке твердого тела в различных случаях его движения. В качестве простейших примеров движения укажем случаи, когда работа равна нулю. Так, работа любой силы равна нулю, если она приложена все время в неподвижной точке или в точках, скорость которых равна нулю, как, например, в случае, когда сила все время приложена в мгновенном центре скоростей при плоском движении тела или все время в точках, лежащих на мгновенной оси вращения, в случае вращения тела вокруг неподвижной точки. Эти случаи возможны в задачах, когда рассматривают работу силы трения в точке соприкосновения двух тел при отсутствии скольжения одного тела по другому. При этом работа силы трения равна нулю. [c.315]

В основе теории упругости — статики и динамики упругих тел — лежит обобщенный закон Гука, устанавливающий связь между компонентами тензора напряжений и компонентами тензора деформаций. Закон Гука был установлен непосредственными опытами для простейших случаев деформирования. [c.511]

В качестве примера рассмотрим модель дискретной среды, предложенную в работе 116], и приведем некоторые конкретные результаты расчетов. Модель предназначается для описания механического взаимодействия элементов зернистой среды, которые схематизируются плоскими упругими дисками. В точечных контактах между дисками передаются нормальная и касательная силы и момент. Принимается простейший закон упругой деформируемости дисков считается, что действие радиальной силы N в контакте приводит к сокращению материального отрезка между точкой контакта и центром диска, пропорциональному величине силы. Аналогично действие в контакте касательной силы Т и момента М приводит к тангенциальному смещению контакта и повороту радиального волокна, пропорциональным величинам силы и момента. Подобного рода зависимость между контактными смещениями и усилиями можно рассматривать как линеаризацию нелинейных связей. [c.33]

Осесимметричное распределение температур возникает при контактной точечной сварке, при дуговой сварке электрозакле-почных соединений, при термической правке. При этом возникает осесимметричное поле напряжений, характеризуемое компонентами Or и Оо плоского напряженного состояния в полярных координатах. Наиболее просто выполняется упругое решение. Для осесимметричного нагрева пластины с произвольным законом изменения температуры в радиальном направлении известно следующее упругое решение [c.430]

Анализируя рассмотренные выше построения, следует указать, что метод весовой линии имеет несомненные преимущества по сравнению с другими графическими методами. В первую очередь это простота и точность, так как отпадает двойственность построения, присущая другим методам. Операции с параллельными и пересекающимися векторами (силами) следует простому закону сложения краевых и параллельных составляющих. Вычисление центров масс стержневых систем и механизмов, по методу весовой линии значительно проще, чем по существующим способам. Упрощается также исследование давлений в кинематических парах механизмов и определение реакций опор в стержневых системах. Методом весовой линии весьма просто производится бесполюсное интегрирование и дифференцирование, так как закон распределения сил соответствует закону изменения функции q = f (х). При этом первообразная функция (вес фигуры, заключенной между кривой q = f [х) и координатными осями) представляет собою интеграл. В дискретном анализе понятие бесконечно малая величина" заменяется понятием конечно малая величина со всеми вытекающими отсюда представлениями о производной в конечных разностях и численным интегрированием (вычислением квадратур). Полигоны равновесия узлов в стержневых системах, построенные по методу весовой линии, проще диаграмм Л. Кремоны, так как позволяют вычислять усилие в заданном стержне не прибегая к определению усилий в других стержнях, необходимых для построения диаграмм Кремоны. Графическое решение многочленных линейных уравнений (многоопорные валы и балки, звенья, имеющие форму пластин, и т. д.) производится по опорным весам или коэффициентам при неизвестных. Такой путь наиболее прост и надежен для проверки правильности решения. Впервые в технической литературе. дано графическое решение дифференциальных уравнений для балки переменного сечения на упругом основании и для круглых пластин с отверстиями, аналитическое решение которых требует сложного математического аппарата. В заключение отметим предельно простое решение дифференциальных уравнений теории упругости (в частных производных) указанным методом. [c.150]

Для построения расчетных схем, основанных на МКЭ, могут быть пспользованы различные функционалы для разрывных полей перемещений, напряжений и т. д. (см. гл. 3 б и гл. 4 6), а в более сложных случаях — комплекс полных и частных функционалов для многоконтактных задач [4.1]. Особый интерес представляют функционалы граничных условий, которые могут быть использованы как в варианте МКЭ, основанном на методе Ритца, так и в варианте, основанном на аппроксимации функционала. Первый представляет интерес для энергетических оценок погрешности он может быть реализован при достаточно простых законах распределения упругих констант и нагрузок в области, таких, что все уравнения (геометрические, физические, статические) внутри конечного элемента могут быть выполнены за счет выбора аппроксимирующих функций это возможно, например, для однородного анизотропного тела при отсутствии объемных сил. Задача о стационарном значении функционала граничных условий служит для приближенного выполнения граничных условий и условий контакта между элементами. [c.172]

Точно так же уравнения равновесия могут быть выведены из соотношения между энергией упругой деформации и совершаемой Нагрузками работой, задаваемого принципом виртуальных работ, путем применения вариационного исчисления. Это нетрудно сделать, когда можно воспользоваться простыми выражениями для энергии деформации, но это нелегко сделать с более сложными выражениями для энергии деформации, подобными тем, что выводятся из более точных общих соотношений между деформациями и перемещениями (см. главу 6) и которые включают в себя множество различных соотношений и л1ногочисленные промежуточные параметры. В любом случае представляется более естественным выводить уравнения равновесия так же, как будем делать и мы, непосредственно из физического смысла задачи в соответствии с простым законом равновесия. [c.25]

Обсуждаемые в данной книге приложения будут относиться к случаю упругого материала, для которого зависимости напряжения от деформаций выражаются хорошо известным и относительно. простым законом Гука, который будет формально выписан в 3.1 при обсуждении задач, теории упругости. Реальные материалы не следуют этому закону в точности. Некоторые, подобно чугуну, обладают слабо, нелинейной зависимостью напряжения от деформаций. Но даже те, у которых на первый взгляд эта зависимость линейна вплоть до предела упругости, демонстрируют едва заметное различие в поведении при нагружении и разгрузке (упругий гистерезис, который имеет, по-видимому, существенное значение в связи с усталостью материалов) при этом обнаруживаются и температурные эффекты, проявляющиеся в различии температурных постоянных при изотермическом (при очень медленном изменении деформаций) и адиабатическом (при очень быстром изменении деформаций) нагружении, они до некоторой степени аналогичны электростатическим эффектам. Подобные отклйнения от закона Гука, как правило, не важны для практических задач и не будут рассматриваться здесь. [c.28]

Различают два простейших вида упругой деформации— линейное растяжение и простой сдвиг. При линейном растяжении (рис. 6, о) на брусок, имеющий первоначальную длину I и поперечное сечение 5, действует сила Р, вызывающая напряжение а=Р18. Под действием этой силы брусок упруго удлиняется на величину Д/. Закон Гука для этого случая выражается равенством о= =ЕА111=Ее. Здесь е—относительная упругая деформация, Е — коэффициент пропорциональности. Таким образом, для случая линейного растяжения напряжения растяжения в металле прямо пропорциональны упругому удлинению. При простом сдвиге (рис. 6,6) в образце возникают касательные напряжения т, которые так- [c.38]

Наиболее интересный результат, который мы получим в этом пункте, заключается в том, что закон дисперсии, выведенный для непрерывной струны со равно постоянной, умноженной на к,— обычно не выполняется. Этот закон, связывающий частоту и длину волны, показывает, что частота удваивается, когда длина волны уменьшается в два раза. Он является приближением, справедливым в предельном случае непрерывной упругой струны, и перестает быть верным для реальной струны. Это приводит к интересному физическому явлению, называемому дисперсией. Среда, которая удовлетворяет простому закону дисперсии, выведенному выше (со=соп51-й), называется средой без дисперсии (или недиспергирующей средой) для соответствующих волн. Если закон дисперсии имеет другой вид, среда называется средой, обладающей дисперсией (или диспергирующей средой). Рассмотрим пример. [c.79]

Следует замв1ить, что хотя проведенные выше рассуждения и отражают существо дела, однако на практике они почти всегда нуждаются в дополнении. Так, в общем случае большинство применяемых упругих материалов не подчиняе1ся принятым адесь простым законам кроме того, и сам фундамент часто нельзя рассматривать как твердое тело. В особенности требуется дополнить рассуждения в том случае, когда вместо непрерывных возмущающих сил действуют разрывные ударные силы. Этой проблеме посвящена обширная специальная литература (см., например, [13]). [c.223]

Изучение поведения упругих тел произвольной формы под действием произвольных сил служит задачей специальной дисциплины, называемой теорией упругости. Иногда употребляют терыян математическая теория упругости, подчеркивая этим та, что, поскольку закон упругости предполагается известным, опредмение напряжений и деформаций является строго поставленной математической задачей интегрирования некоторых систем дифференциальных уравнений. Методы теории упругости, при всей их общности и точности, еще недостаточны для суждения о прочности реальных конструкций. С другой стороны, строгая постановка вопроса об определении напряжений и деформаций методами теории упругости часто приводит к непреодолимым математическим трудностям. Сопротивление материалов тесно связано с теорией упругости и широко использует ее результаты, но нельзя считать, что это упрощенная теория упругости. Пользуясь более простыми математическими методами, сопротивление материалов ставит более широкую задачу, а именно суждение о прочности элементов конструкций с возможно более полным учетом реальных свойств материалов. [c.26]

Отметим основные вехи развития механики. Длительный период ее развития характеризовался накоплением экспериментальных фактов, их обобщением, формированием простых законов статики. Переломным моментом следует считать 1687 г., когда появился знаменитый трактат И. Ньютона Математические начала натуральной философии , где были сформулированы основные законы механики, предложена динамическая модель движения тел. Появлению этого трактата предшествовали труды великих ученых, математиков и механиков, таких как И. Кеплер, Т. Браге, Г. Галилей, Р. Декарт, X. Гюйгенс. Каждый из них внес свою крупицу знаний в общечеловеческую копилку. На фундаменте, заложенном И. Ньютоном, быстро начало строиться здание механики в XVHI в. оформляется ряд научных центров в Англии, Франции, Италии, Германии и России. Значительный вклад в развитие механики в XVHI в. внесли Д. Бернулли, И. Бернулли, Л. Эйлер, П. Лаплас, Ж. Д Аламбер. Девятнадцатый век охарактеризовался созданием Ж. Лагранжем аналитической механики. В это время происходит формирование таких разделов механики, как теория упругости, аэро- и гидромеханика. В аналитической механике осуществляется переход к гамильтоновой механике, углубляются и развиваются методы небесной механики. Ярчайший след в механике оставили труды В. Гамильтона, Г. Кирхгофа, С.В. Ковалевской, А.М. Ляпунова, М.В. Остроградского, А. Пуанкаре, Л. Пуансо, С. Пуассона, В. Томсона (Кельвина), П.Л. Чебышева, К. Якоби. Двадцатый век начался с создания А. Пуанкаре и А. Эйнштейном теории относительности. Однако очень скоро выяснилось, что ньютонова модель по-прежнему прекрасно описывает подавляющее большинство наблюдаемых движений, а разработанные математические методы с успехом могут быть применены в новых научных направлениях. Вместе с открытием теории относительности XX в. привел к революционному взрыву в развитии техники (авиастроение, воздухоплавание, кораблестроение, ракетостроение, робототехника и т.д.). Все эти новые направления потребовали создания новых механических теорий, описывающих [c.15]

Наибольшее распространение получили механические методы, которые в основном различаются характером расположения измеряемых баз и последовательностью выполнения операций разрезки и измерения деформаций металла. Напряжения в пластинах в простейшем случае определяют, считая их однородными по толщине, что справедливо только в случае однопроходной сварки. Так как разгрузка металла от напряжений происходит упруго, то по измеренным деформациям вырезанной элементарной пластинки на основании закона Гука можно вычислить ОН [214]. В случае ОСН при многопроходной сварке, применяемой при изготовлении толстолистовых конструкций, распределение напряжений по толщине соединения крайне неоднородно [86—88], поэтому достоверную картину распределения напряжений можно получить либо только по поверхности соединения [201], либо по определенному сечению посредством поэтапной полной разрезки образца по этому сечению с восстановлением поля напряжений с помощью численного решения краевой задачи упругости [104]. Последний экспериментальночисленный метод [104] будет рассмотрен подробно далее. [c.270]

Эти уравнения являются определяющими законами гости в одномерном случае. Однако простые модели и Фойхта не дают полного качественного описания вязкоупругой среды. Рассмотрим трехпараметр механическую модель среды, введенную (рис. 13.1, д). На рисунке 1, 2 — упругие элементы, 3 Для данной модели имеем [c.291]

Как видно из только что приведенных простейших примеров при решении второй, основной задачи динамики материальной точки приходится пользоваться как статическими законами сил (постоянная сила тяжести, упругая сила, сила тяготения), так и динамическими законами (сила сопротивления, лоренцева сила). Эти законы сил устанавливаются в результате решения частных задач и последующего обобщения этих решений на широкие классы явлений, моделирующих движения материальньк точек. [c.38]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...