Теория марковских процессов

Феноменологическая трактовка усталостного пронесся как постепенного накопления повреждений в свете кинетики деформационных явлений рассматривалась выше (см. 5). Для описания этого процесса как случайного В. В. Болотиным, В. П. Когаевым и X. Б. Кор-донским привлекается теория марковских процессов. Эта теория позволяет моделировать переход нагруженного элемента от состояния к состоянию по мере накопления повреждения с использованием представлений об интенсивностях вероятности перехода, приводящих к системе дифференциальных уравнений А. Н. Колмогорова. Решение этой системы (с введением в нее экспериментально обоснованных функций интенсивностей перехода) осуществляется вычислениями на ЭВМ и позволяет получить функции распределения разрушающих чисел циклов при стационарных (с постоянной амплитудой напряжений) и нестационарных (с меняющейся амплитудой) условиях циклического нагружения. [c.111]

В любой момент времени t какие-то тт п элементов линии находятся в исправном состоянии, остальные (п — т) — в неисправном. Такое положение можно рассматривать как возможное состояние случайного процесса. Переход от одного состояния к другому происходит тогда, когда хотя бы один из исправных элементов отказывает либо один из неисправных восстанавливается. Такой процесс является марковским процессом с непрерывным временем и конечным числом возможных состояний. Число возможных состояний равно числу физически осуществимых комбинаций исправных и неисправных элементов. Согласно теории марковских процессов при tоо вероятность того, что процесс находится в состоянии /, т. е. Р1 (t), стремится к постоянному числу Р1, не зависящему от первоначального распределения. Следовательно, для любой реализации процесса и при достаточно большом t значение вероятности Р1 tUt, где U — суммарное время, при котором процесс находился в состоянии /. [c.132]

При этом в случае допущений о пуассоновском характере поступления заявок и о показательном распределении времени обслуживания исследуемые процессы описываются как случайные марковские процессы и для решения задачи применяется аппарат, разработанный в теории марковских процессов. [c.570]

МЕТОДЫ ТЕОРИИ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ [c.294]

Вводные замечания. Методы, основанные на теории марковских процессов, позволяют в некоторых случаях найти распределения выходных процессов. При использовании теории непрерывных марковских процессов (см. гл. ХУП) необходимо наложить некоторые ограничения на вид оператора L и внешнее воздействие f (/) в уравнении (2). [c.294]

Остановимся кратко на основных методах, которые используются в настоящее время при вероятностном исследовании нелинейных систем. Точное решение нелинейных уравнений статистической динамики принципиально возможно методами теории Марковских процессов. Многомерные распределения, переходные вероятности, моментные функции процессов получают на основании уравнений типа Фоккер — Планка — Колмогорова. Однако применение методов теории Марковских процессов в конкретных инженерных задачах до сих пор ограничено из-за вычислительных [c.78]

Применение теории Марковских процессов при исследовании нелинейных случайных колебаний [c.85]

В предыдущих параграфах при исследовании случайных колебаний использовались только два первых момента случайных функций (математические ожидания и корреляционные функции). Однако не все задачи могут быть решены методами корреляционной теории. В прикладных задачах, когда требуется решать нелинейные уравнения, определить все вероятностные характеристики методами корреляционной теории нельзя. Кроме того, решение ряда конкретных задач требует знания не только вероятностных характеристик, но и законов распределения выхода. Такие задачи решаются методами теории Марковских процессов [7, 42]. [c.85]

Множитель, входящий в формулу (3.37), представляет собой дисперсию решения при j, = О, т. е. дисперсию решения линейного уравнения. На рис. 3.2 приведены кривые изменения безразмерных коэффициентов и в Зависимости от безразмерного параметра jaj. Из рисунка следует, что в интервале изменения безразмерного параметра (О— 0,15) безразмерные коэффициенты hi и /i2 мало отличаются друг от друга, т. е. значения дисперсий о1, подсчитанные по методу статистической линеаризации и с использованием теории Марковских процессов, практически совпадают. При значениях Xi >0,15 погрешность при определении по методу статистической линеаризации может быть весьма большой. Так, например, при iJ,i = 0,4 ошибка в определении достигает приблизительно 25%. [c.88]

Как видим, дельта-коррелированная функция является весьма сильной абстракцией тем не менее понятие белого шума и его свойства (1.30), (1.31) относятся к основным в современной теории случайных функций, в частности к теории марковских процессов. При помощи этой теории получены классические результаты статистической динамики нелинейных систем. [c.17]

Вывод уравнений теории марковских процессов подробно изложен как в математической литературе [9, 20], так и в работах прикладного характера [24]. Поэтому мы не будем останавливаться на теоретических вопросах, сосредоточив основное внимание на методике расчета статистических характеристик нелинейных механических систем. [c.17]

Методы теории марковских процессов допускают обобщение на широкий класс воздействий в виде стационарных случайных [c.20]

Совокупность совместных плотностей вероятности обобщенных координат и скоростей исчерпывающе характеризует поведение механической системы при случайных воздействиях. Наряду с этим важную информацию несут моментные функции переменных, характеризующих эволюцию системы во времени. Для составления уравнений относительно моментных функций можно использовать записанные в предыдущем параграфе соотношения теории марковских процессов. [c.22]

После усреднения за период получаются укороченные дифференциальные уравнения относительно Л ( и г ) (О, на основании которых составляются соотношения теории марковских процессов. Благодаря введенным упрощениям уравнения типа Колмогорова можно проанализировать при помощи приближенных аналитических или численных методов. Подробное изложение этой методики приводится в ряде работ [18, 29], посвященных решению этого специального класса задач. В отличие от указанных работ в данной монографии развиваются подходы к исследованию нелинейных случайных колебаний без ограничений на интенсивности, масштабы и скорости изменения флуктуаций входных и выходных функций. [c.38]

Рассмотрим далее пример, который не допускает точного решения в рамках теории марковских процессов. Предположим, [c.58]

Трудности реализации метода редукции хорошо известны. Поэтому, за исключением простейших примеров типа (4.5), для инженерных приложений более целесообразно применение вариационных подходов, основанных на явной аппроксимации распределений. В этом случае отпадает необходимость использования теории марковских процессов. Кроме того, при проведении практических расчетов достаточно ограничиться моментными соотношениями первого и второго порядков, т. е. дополнительными условиями, которые соответствуют выполнению исходных уравнений движения в среднем и в среднем квадратическом. [c.90]

Таким образом, спектральный метод анализа нелинейных стохастических систем существенно отличается от метода момент-ных соотношений, основанных на теории марковских процессов. Разрешающие уравнения спектрального метода (4.31), (4.41), (4.47) выведены для произвольно го вида спектральной плотности воздействия. Это позволяет не вводить предположение о дробно-рациональном характере функции 5,(<о). Далее, метод спектральных представлений наряду с моментами фазовых переменных позволяет исследовать двухточечные характеристики случайных процессов, т. е. спектральные плотности и корреляционные функции. [c.98]

Флуктуации коэффициента постели будем по-прежнему полагать случайной стационарной функцией гауссовского типа с дробно-рациональной спектральной плотностью. Будем искать решение уравнения (6.44), удовлетворяющее некоторым условиям закрепления балки при л = 0. Воспользуемся для решения поставленной задачи методом моментных уравнений, вывод которых в одномерном случае можно осуществить на основе соотношений теории марковских процессов с непрерывным временем t = х. [c.183]

Первые четыре главы настоящего учебника посвящены изложению основных положений теории вероятности и случайных процессов. Рассматриваются случайные величины и случайные функции и их вероятностные характеристики функции распределения плотности вероятности, математические ожидания и дисперсии. Приводятся различные виды законов распределения, встречающихся в практических задачах. Рассмотрены нестационарные и стационарные случайные процессы, имеющие большое прикладное значение при анализе колебаний механических систем. Приведены основные результаты спектральной теории стационарных случайных функций и использования спектрального представления стационарных случайных функций при анализе установившихся колебаний. Изложена теория марковских процессов. [c.4]

Глава 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ [c.123]

В теории марковских процессов принимается, что закон распределения ординаты процесса в любой будущий момент времени зависит только от значения ординаты в данный момент времени и не зависит от того, какие ординаты функция имела в прошлом, т.е. дополнительное знание значений случайной функции при / < не изменяет характера [c.123]

Обычно в теории марковских процессов принимают, что момент третьего порядка M[ z-Xf стремится к нулю быстрее, чем Д t, поэтому [c.128]

Теория марковских процессов позволяет исследовать задачи, связанные с анализом переходных процессов в механических системах, решение которых методами корреляционной теории получить невозможно. К таким задачам, которые решают методами марковских процессов, относятся задачи определе- [c.149]

Для того чтобы ответить на вопрос, каков истинный закон распределения решения уравнения типа (5.180) при стационарной правой части, надо воспользоваться теорией марковских процессов. [c.226]

Изложенный в предьщущем пункте метод статистической линеаризации позволяет нелинейное уравнение свести к линейному. Но ответить на вопрос, с какой точностью получено решение, нельзя. Для этого надо знать точное решение, которое, например, в ряде случаев можно получить, воспользовавшись теорией марковских процессов. [c.226]

I.e. в этом случае I. Следовательно,по абсолютному значению вероятности Q (т) можно судить о степени последействия ординат изучаемой случайной функции и выбрать то значение г, при котором можно приближенно пренебречь степенью аоследейстЕия и тем самым использовать аппарат теории марковских процессов для оценки надежности обеспечения реального параметра. [c.16]

Рассмотрены элементарные акты процессов разрушения и пластической деформации, обосновано кинетическое уравнение процесса разрушения твердых тел. Для аналитического описания процесса разрушения использована теория марковских процессов, дискретных в пространстве и непрерывных во времени. Получено аналитическое выражение для определения среднего времени до разрушения. Проанализирована формула для определения средней долговечности при нагружении постоянным растягиваю[цим напряжением. Еиблиогр. 6. [c.131]

Пределы допускаемой погрешности измерения влияющих величин определяются по установленному выше критерию г) для отклонений от нормального значения. Методы экстраполяции данных по Ду во времени при непрерывном, стационарном, нормальном и дифференцируемом процессе изменения погрешности Ау подобны принятым для ускоренных испытаний. В частности, эффективно применение теории выбросов случайных функций. С этой целью для ускоренных оценок устанавливаются совмещенные границы бин = 0, что соответствует возможности экстраполяции во времени на порядок по сравнению с продолжительностью проведения эксперимента. При недифференцируемом случайном процессе возможно применение теории марковских процессов, метода Монте-Карло и др. [c.38]

Предположим для определенности, что спектральная плотность стационарного случайного воздействия q t) является дробно-радиональной функцией. Тогда на основании уравнения движения типа (1.88) можно вывести моментные соотношения любого порядка. Для этого можно использовать уравнения теории марковских процессов (см. 1,5] или другие классические методы. В третьей главе данной книги показано применение корреляционного и спектрального методов вывода моментных соотношений в задачах с произвольными нелинейными функциями, в том числе неаналитическими. [c.35]

Для проверки справедливости принципа максимума энтропии воспользуемся вариационным методом для выводаТнекоторых известных распределений, которые получаются на основе теории марковских процессов. Простейшим является распределение Боль- [c.42]

Второй способ состоит в применении прямых методов решения стохастической задачи, сформулированной как задача вариационного исчисления. В этом случае приближенные выражения совместных плотностей вероятности задаются в явном виде, что позволяет для вывода моментных соотношений использоватй корреляционный и спектральный методы без привлечения теории марковских процессов. [c.88]

Важной особенностью спектральногоХметода я вляется возможность его обобщения на двумерные и трехмерные случайные поля, не поддающиеся описанию при помощи соотношений теории марковских процессов. Кроме того, гипотеза о гауссовском характере спектров исследуемых процессов снимается при вариационном методе решения нелинейных задач. Сочетание вариационного подхода со спектральным методом вывода моментных уравнений будет продемонстрировано ниже на конкретном примере. [c.98]

Для составления моментных соотношений в задачах стохастической устойчивости выше были использованы уравнения теории марковских процессов, справедливые при дробно-рациональных спектральных плотностях. Спектры реальных воздействий во многих случаях имеют более сложную структуру. Это относится, например, к пространственно-временным случайным функциям, описывающим атмосферную турбулентность, волнение морской поверхности [19] и т. д. При произвольном виде спектральных плотностей анализ моментных соотношений может быть выполнен при помощи метода интегральных спектральных представлений. Эффективность этого метода обусловлена стохастической орто-гональностью стационарных случайных процессов и однородных полей. Спектры стационарных процессов удовлетворяют соотно- [c.151]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...