Матрица касательное

В главных осях тензора напряжении Р недиагональные компоненты его матрицы — касательные наиряжения — равны нулю, а диагональные — нормальные напряжения — главным напряжениям, которые обозначим через [c.130]

В случае композита с упругой матрицей касательное напряжение на поверхности раздела быстро возрастает до максимального значения у конца волокна и резко падает при удалении от него. [c.45]

Л — схема деформации модели композита б — распределение напряжений на поверхности раздела в упругой матрице в — распределение напряжений на поверхности раздела в пластичной матрице — касательное напряжение на межфазной границе а — напряже- [c.47]

Разрушению композита во многих случаях предшествует растрескивание матрицы или поверхности раздела волокно — матрица. Касательные напряжения в плоскости слоя способствуют распространению трещины в направлении армирования (трещина П рода или поперечного симметричного сдвига в соответствии с терминологией механики разрушения). Наличие растягивающих напряжений, перпендикулярных направлению армирования, ведет к раскрытию трещины (трещина I рода, или нормальный разрыв) и, наиболее вероятно, к снижению предельных напряжений Ху. С другой стороны, наличие малых или умеренных сжимающих напряжений, перпендикулярных направлению армирования, будет способствовать смыканию трещины I рода и обеспечивать фрикционное [c.47]

Иллюстрация рассмотренного итерационного процесса для одномерного случая приведена на рис. 3.11, а. Если на каждом шаге приближения не проводить корректировку матрицы IG ] (значит оставлять прежней матрицу жесткости конструкции), а лишь уточнять невязки )с т. то итерационный процесс будет соответствовать модифицированному методу Ньютона (рис. 3.11, б). На практике для решения нелинейных задач деформирования многослойных конструкций из композиционных материалов часто применяют пошаговое нагружение. В пределах шага по нагрузке уточнение выполняют модифицированным методом Ньютона. Матрица касательных модулей корректируется при изменении нагрузки. [c.108]

Здесь первый номер означает номер строки, второй — номер столбца. Нормальные напряжения имеют два одинаковых индекса (диагональ матрицы), касательные напряжения имеют разные индексы. Такой тензор называют тензо-ром второго ранга (по числу индексов Лг у компонент). [c.8]

Относительно физических соотношений (1.131), связывающих приращения напряжений и деформаций, будем считать, что матрица касательных модулей i, вычисленная для равновесной конфигурации т, сохраняет неизменными свои компоненты при итерациях в пределах этапа нагружения. Кроме того, будем считать деформации достаточно малыми, чтобы в соотношениях J1.131) не делать различия в матрицах для двух указанных выше вариантов интегрирования. [c.37]

Анализ динамических эффектов основывается на развитии модельных представлений, изложенных в предыдущей главе. Рассматривается некого-рый объем композиционного материала, в котором происходит разрушение волокна (см, рис. 19). Концевые участки разрушившегося волокна стремительно разгружаются и приходят в движение, стараясь разойтись. Этому движению препятствуют касательные силы, возникающие на границе разрушившегося волокна и матрицы. Касательные силы, действуя в матрице, вовлекают в движение соседние волокна. Таким образом, учтя инерционные свойства волокон, мы приходим от уравнений равновесия (1) разд. 2 гл. 2) к уравнениям движения. [c.97]

Если на стадии упругого деформирования матрицы на сдвиг или при последующих пластических деформациях матрицы касательные напряжения на границе раздела волокна и матрицы Г/ превысят значение сдвиговой прочности связи Туь, то начнется отслоение разрушившегося волокна от матрицы. Касательные напряжения связаны со сдвиговыми деформациями, которые, в свою очередь, выражаются через перемещения волокон (7о1 В силу этого за критерий начала отслоения удоб- [c.118]

Параметры эффективной жесткости слоев используем при формировании по формулам (8.126) их матриц касательных жесткостей [0°] ветствующих т-му этапу нагружения. [c.265]

Рассмотрим деформирование заготовки при вытяжке коробчатой детали. На рис. 73 показана часть заготовки, граничащая с угловой частью контура отверстия матрицы. Как видно из схемы, при вытяжке коробчатых деталей контур отверстия матрицы состоит из прямых линий и дуг окружности. Таким образом, в угловых участках радиус кривизны контура отверстия постоянен (г = Гу), а в прямолинейных равен бесконечности. Из проведенного ранее анализа можно сделать вывод, что на участке заготовки, противостоящем угловой части матрицы, так же как и на участках заготовки, противостоящих прямолинейным частям контура отверстия матрицы, касательные напряжения в радиальных направлениях равны нулю, и лишь вдоль радиуса, проходящего через точку сопряжения угловой части контура, с прямолинейной действуют в радиальном направлении касательные напряжения, равные X = oJ2. [c.195]

Величины, входящие в каждую строчку матрицы — проекции напряжений по взаимно перпендикулярным площадкам, у которых нормальные напряжения обозначены индексом, совпадающим с направлением координатной оси, перпендикулярным плоскости действия напряжений, а касательные напряжения — двумя индексами первый показывает плоскость, в которой действуют напряжения, второй — направление напряжений. [c.7]

Если координатные оси направить по главным осям тензора (а ), то его нормальные компоненты будут главными напряжениями bj, Oj, а а, а касательные компоненты (i Ф /) равны нулю, т. е. матрица (2.17) компонент тензора напряжений будет диагональной [c.40]

Другими словами, касательные напряжения на взаимно перпендикулярных площадках равны друг другу. Компоненты напряженного состояния принято записывать в виде квадратной таблицы (матрицы) [c.109]

Вследствие закона парности касательных напряжений (4.1) эта матрица является симметричной относительно главной диагонали, на которой расположены величины [c.109]

Из пропорциональности деформаций сдвига и касательных напряжений следует совпадение главных осей тензоров напряжений Та и деформаций Т . Поскольку при преобразовании осей координат как для тензора напряжений, так и для тензора деформаций матрица перехода одна и та же, то уравнения (3.30) оказываются инвариантными относительно выбора направления осей. [c.224]

После этого раздела следуют гл. 8—11, относящиеся к классической теории упругости. После некоторых колебаний автор решил все же включить сюда раздел, относящийся к теории конечных деформаций, область применения этой теории слишком ограничена и имеющиеся решения крайне немногочисленны. Подобранный материал в основном соответствует университетской программе. Преподаватель всегда сможет выбрать отсюда те разделы, которые покажутся ему более интересными. В практике преподавания теории упругости на механико-математическом факультете МГУ автор отказался от изложения теории изгиба Сен-Венана, считая, что вопрос о распределении касательных напряжений при изгибе ие очень важен. Однако появление композитных материалов с полимерной матрицей, которые слабо сопротивляются сдвигу, заставило ввести опять теорию касательных напряжений при изгибе для балок прямоугольного сечения — что нужно для практики. Вообще, применение в технике композитных материалов заставило включить в курс элементы теории упругости анизотропных тел. [c.13]

Полимерная матрица следует закону Гука почти до момента разрушения, незначительные отклонения от закона упругости могут не приниматься во внимание. Как правило, удлинение матрицы при разрыве в несколько раз больше, чем удлинение волокна, поэтому качественная картина поведения такого композита в известной мере напоминает поведение композита с металлической матрицей при малом объемном содержании волокна возможно его дробление. Однако малая прочность матрицы по отношению к касательным напряжениям и довольно слабая связь между волокном и матрицей вносят свою специфику. В композите органическое волокно — эпоксидная смола, наоборот, разрывное удлинение смолы меньше, чем удлинение волокна. Ввиду малой прочности матрицы происходит ее дробление на мелкие частички, которые легко отваливаются, обнажая пучки волокон, которые уже относительно легко обрываются. [c.703]

Что касается условия прочности монослоя, здесь возможны два вида разрушения скалывание матрицы и разрыв волокон. Если обозначить напряжение вдоль волокон а , напряжение в перпендикулярном направлении (Т и касательное напряжение т , то разрушение произойдет при нарушении одного из следующих двух условий [c.709]

Вследствие симметричности матрицы сдвиговые деформации в поперечном к плоскости 2 3 направлении зависят от нормальных напряжений в этой плоскости. Взаимное влияние касательных напряжений и сдвиговых деформаций происходит также при возникновении их в плоскости основания тетраэдра и одной из ортогональных к ней плоскостей. Взаимовлияния сдвиговых характеристик, относящихся к двум поперечным к основанию тетраэдра плоскостям, не происходит, так как = О. Таким образом, плоскость 2 3, ортогональная одному из направлений волокон, не обладает свойством упругой симметрии. Известно, что при наличии плоскости упругой симметрии поворот осей в ней не обнаруживает влияния поперечных касательных напряжений на деформации в этой плоскости, хотя имеется взаимное влияние сдвиговых характеристик в двух поперечных к к ней плоскостях. [c.193]

Если связь между компонентами композиции недостаточно прочная, касательные напряжения, появляющиеся на границе раздела, могут вызвать расслоение материала — отделение матрицы от волокон. Прочность связи зависит от метода получения армированных композиций. [c.159]

Критическая длина волокна (наименьшая длина, при которой волокно может действовать в композите), а также касательное напряжение на поверхности раздела волокна и пластической матрицы, характеризующее прочность связи волокна и матрицы, могут быть оценены по методике выдергивания одиночного волокна из материала матрицы. На рис, 68 показан образец, состоящий из диска матричного материала, в торец которого запрессовано одиночное волокно. Подрезая торец образца, можно создавать зоны сцепления волокна и матрицы различной длины h. Принципиальная схема испытательной установки показана на рис. 69. [c.160]

Однако при использовании такого метода определение величин касательных напряжений, при которых нарушается прочность связи, не лишено погрешностей, так как указанные напряжения на поверхности контакта распределяются неравномерно. Обычно определяются средние напряжения, что отражает случай, соответствующий переходу матрицы в зоне контакта в пластическое состояние. [c.162]

На рис. 7 показаны изолинии октаэдрического касательного напряжения на шагах № 1, 2, 5 и 10 приращения нагрузки. Численные значения напряжений, соответствующие этим, а также всем другим представленным здесь изолиниям октаэдрического касательного напряжения, нормированы делением их на величину, равную пределу текучести материала (то(т) = = 6128 фунт/дюйм для алюминиевой матрицы см. рис. 1). Следовательно, области, для которых то/то(т) 1 (затененные на рис. 7 и ограниченные соответствующими изолиниями), находятся в состоянии пластичности. [c.230]

При сравнении результатов, показанных на рис. 7 и 8, следует помнить, что значения октаэдрического касательного напряжения нормированы делением на константу то(т), равную пределу текучести материала матрицы, в то время как наибольшее главное напряжение нормировано делением на величину дх — возрастающую внешнюю нагрузку. Метод конечных элементов позволяет таким же образом полностью исследовать поведение волокон и получить аналогичные картины изолиний. [c.233]

Специфические проблемы возникают при наличии особенностей, таких, как концы волокон и разрывы волокон. Простейшая изученная модель в этом случае представляет собой одиночное волокно, помещенное в цилиндр из матричного материала, при осевом нагружении. Распределение касательного напряжения на границе между волокном и матрицей в этой модели изучено в работах Кокса [12] и Дау [21]. Полученные результаты, однако, оказываются недостаточными вблизи конца волокна, поскольку они не учитывают влияния его формы и не позволяют вычислить максимальные возникающие здесь напряжения. Этот недостаток аналитического решения явился причиной проведения цикла фотоупругих исследований. [c.517]

Величина касательного напряжения на границе раздела существенна с точки зрения прочности сцепления между волокном и матрицей, а также неэффективной длины волокна. Это напряжение вычисляется по изохромам и изоклинам согласно формуле [c.519]

Будем считать, что в физических соотношениях (3.89), связывающих приращення напряжений и деформаций, матрица касательных модулей [Gtl, вычисленная для равновесной конфигурации т, сохраняет неизменными свои компоненты на итерациях в пределах этапа нагружения. Кроме того, будем считать деформации малыми, поэтому при использовании соотношений (3.89) не будем делать различия в матрицах [Gi] для двух указанных выше вариантов интегрирования. Эти варианты вычислений соответствуют записи принципа возможных перемещений в форме Лагранжа. Более подробно с вычислительными и теоретическими аспектами решения нелинейных задач можно ознакомиться в работе [59]. Такой метод решения нелинейных задач можно назвать шаговым с промежуточной итерационной коррекцией модифицированным методом Ньютона. На рис. 3.7 условно показан процесс вычиааений. Здесь р vi и обозначают нагрузку и перемещения. Как видно из рисунка, жесткость системы на интервале нагружения (т, т + Ат) сохраняется постоянной. [c.100]

Если скорость перемещения контейнеров V при обратном выдавливании больше, че.м скорость истечения металла, г в зазор между пуансоном и матрицей, касательные наиряжения на боковой поверхности деформируе.мон заготовки, вызванные взаимодействием с контейнером, способствуют течению металла, создавая условия, при которых распределение скоростей течении вблизи боковой поверх1Юсги более рав/юлгер1/о. Это [c.22]

Протягка клиновидных образцов. Для этого клиновадный образец Б виде элемента заготовки протягивается через специальное приспособление, которое позволяет осуществить одновременно предельное растяжение и поперечное одностороннее сжатие. В результате этого испытания имитируется только вытяжка, т.е. радиальные напряження и сжатия при наличии складкодержателя. Деформация на вытяжном ребре матрицы, загиб вокруг радиуса пуансона и касательные на ижения не имитируются. [c.28]

Наиболее оптимальным лвляется профиль матрицы, разработанный А. Н. Лемкиным и Н. Е. Мошниным [13] вьтолненныЧ в веде трансцендентной кривой, длина отрезка касательной к которой от точки касания до оси координат изменяется по закону изменения длины образующей боковой поверхности вытягиваемого днища. Построение профиля данной матрицы показало на рис. З.б. [c.33]

Решения теории упругости. Более строгая схема решения той же задачи состоит в том, что оборванное волокно рассматривается включенным в анизотропную упругую среду, упругие постоянные которой находятся в результате определения характеристик составляющих гетерогенной системы волокно — матрица. Мы не приводим здесь это довольно сложное решение, при построении которого волокно рассматривается как стержень и граничные условия на плоскости обрыва удовлетворяются интегрально. Оценки неэффективной длины оказываются близкими к тем, которые были получены выше, но распределение касательных 45 ю. н. Работноя [c.697]

В матрице в каждой строке составляющие (компоненты) тензора имеют одинаковое направление, а в каждом столбце — относятся к одной и той же плoщaдкeJ Нормальные напряжения располагаются по главной диагопалн матрицы. Из закона парности касательных напряжений следует, что матрица симметрична относительно главной диагонали. Такой тензор называется симметричным. [c.17]

Метод начальных напряжений (Мендельсон и Менсон [25]) был создан раньше и, видимо, используется чаще, нежели метод касательного модуля. При составлении систем матричных уравнений упругая и пластическая части приращений деформаций, представленных формулой (22), записываются раздельно для того, чтобы матрица жесткостей включала только упругие части приращений деформаций, т. е. содержала лишь упругие модули Е и V. Так как эти модули не меняются при переходе от одного шага нагружения к другому, матрицу жесткостей требуется обратить лишь однажды. Приращения же пластических частей деформаций, представленные последним слагаемым правой части уравнения (22), считаются неизвестными постоянными. [c.217]

Как будет указано в разд. IV, Г, для построения точных методов необходимо использовать обсуждаемые здесь численные, а не замкнутые аналитические формы решения. При этом обычно приходится решать некоторую систему линейных алгебраических уравнений, находя значения a,j или ijj в каждой точке материала иначе говоря, необходимо построить и обратить матрицу жесткости системы. В методе касательного модуля эту матрицу нужно строить и обращать на каждом шаге приращения нагрузки, так как в начале каждого очередного дикла необходимо вводить новые значения величин 8ц, То и Мт. [c.218]

Тайсон и Дэвис [66] испытывали модель, состоящую из алюминиевой полосы прямоугольного поперечного сечения, заделанной в паз пластины из фотоупругого материала той же толщины. При нагружении модели в направлении волокна вблизи прямоугольного конца наблюдались максимальные касательные напряжения, превосходящие номинальное растягивающее напряжение в матрице в 2,5 раза. Были получены распределения по длине волокна максимального касательного напряжения и касательного напряжения на границе между волокном и матрицей. На расстоянии от конца волокна, превосходящем два диаметра, экспериментальные результаты согласуются с аналитическими. [c.517]

Максимальное касательное напряжение в матрице существенно в тех случаях, когда материал матрицы при сдвиге проявляет вязкоупругое или пластическое поведение. Эта величина, которую можно получить непосредственно из картины изохром, имеет пик вблизи конца волокна и существенно зависит от формы конца волокна. Известны полученные рядом исследователей значения максимальных коэффициентов концентрации касательных напряжений, однако сравнивать их очень трудно, поскольку разные авторы использовали различные модели, условия нагружения и определения коэффициента концентрации. Аллисон и Холлевэй [6] приводят значения [c.518]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...