Принцип минимума потенциальной энергии системы

Из этого равенства можно получить три отличающихся друг от друга энергетических принципа в зависимости от того, через какие переменные выражена удельная потенциальная энергия Л. Задавая ее квадратичной формой А е) [см. (3.2.3) гл. III] компонент деформации, придем к принципу минимума потенциальной энергии системы исходя же из квадратичной формы Л (а) компонент тензора напряжений [(3.2.8) гл. III], получим принцип минимума дополнительной работы. В первом принципе варьируются перемещения, во втором — компоненты напряжения. Наконец, в смешанном принципе стационарности удельная [c.148]

Принцип минимума потенциальной энергии системы. [c.150]

Естественно, что получена именно эта форма уравнений, так как Ф — функционал над и. Выше уже отмечена несвязанность определения потенциальной энергии системы и формулировки принципа минимума ее с представлением о напряженном состоянии. О последнем нет речи в чисто энергетическом принципе, определяющем поведение линейно-упругого тела по заданию некоторого функционала над вектором перемещения. Подобно принципу Гамильтона в общей механике, принцип минимума потенциальной энергии системы синтезирует свойства физической модели упругого тела, включая экспериментальные данные о поведении его под нагрузкой. [c.153]

Принцип минимума дополнительной работы. Принцип минимума потенциальной энергии системы был получен путем сравнения полей перемещений упругого тела в состоянии равновесия и в бесконечно близком к нему допускаемом связями состоянии. В принципе минимума дополнительной работы сравнению подвергаются два статически возможных напряженных состояния — истинное, задаваемое тензором напряжения Т, и бесконечно близкое к нему, с тензором напряжения Т -f бГ. Оба состояния рассматриваются, конечно, при одном и том же задании внешних сил — объемных рК и поверхностных, распределенных на части О2, ограничивающей тело поверхности О. Итак, в объеме V [c.156]

Состоянию равновесия тела отвечает поле смещений и, при котором вьшолняются граничные условия (1.1), (1.2). Наряду с полем смещений U рассматриваются кинематически допустимые непрерывные в объеме тела поля смещений (и + ou), такие, для которых выполнено лишь граничное условие (1.2). Принцип минимума потенциальной энергии системы утверждает, что функционал W, рассматриваемый как функционал над кинематически допустимыми полями смещений (и +ou), достигает своего минимального значения на поле и, отвечающем состоянию равновесия упругого тела [c.95]

При формулировке принципа минимума потенциальной энергии системы исходят из выражения для удельной энергии деформации в терминах реформации и смещений (1.3). Если же пользоваться представлением и через напряжения (1.4), то придем к принципу минимума дополнительной работы. [c.95]

Поясним на примере первой краевой задачи [в условиях (1.1), (1.2) З" =5,5 = 0], как с помощью принципов минимума потенциальной энергии системы и дополнительной работы выводятся неравенства для энергии деформации I/ [192]. [c.96]

Оценку сверху для и получим исходя из принципа минимума потенциальной энергии системы. Пусть и, -решение краевой задачи. Рассмотрим кинематически допустимое поле и. Тогда в силу (1.7), (1.8) [c.96]

Доказательство проведем с помощью принципа минимума потенциальной энергии системы. Рассмотрим потенциальную энергию системы в состоянии равновесия И (и). Согласно (1.7), [c.100]

По принципу минимума потенциальной энергии системы функция кручения (/ — решение задачи — минимизирует функционал [c.199]

Вариационные уравнения термоупругости. Принцип минимума потенциальной энергии системы имеет вид [c.115]

Заканчивая обзор основных положений линейной статики стержней, обратимся к вариационным принципам. Лежащий в основе нелинейной теории принцип виртуальной работы остается справедливым и в линейном приближении. Он переходит в принцип минимума потенциальной энергии системы [c.154]

Принцип минимума потенциальной энергии. Один из наиболее распространенных приближенных методов решения задач статики упругих систем основан на принципе, утверждающем, что из всех возможных равновесных состояний, которые может принять упругая система под действием внешних статически приложенных сил, она принимает такое состояние равновесия, в котором ее потенциальная энергия имеет минимальное значение, т. е. [c.177]

Необходимо здесь отметить, что формулировка законов механики в форме принципа Гамильтона имеет и то значение, что он позволяет установить, как нужно описывать немеханические системы с той же математической строгостью, которая характерна для классической механики. Принцип Гамильтона нельзя рассматривать как чисто механический принцип. Здесь интересно отметить, что есть закон, который во многом аналогичен принципу Гамильтона и который имеет очень общий характер. Этот закон часто служит физику трамплином для перепрыгивания провалов в экспериментальных данных. Он гласит, что всякая система стремится к состоянию с минимумом потенциальной энергии. Такое состояние, вообще говоря, будет равновесным, хотя и не обязательно. Это — важный эвристический метод физики. Например, в теории Бора мы говорим, что электрон спонтанно переходит из возбужденного в нормальное состояние, так как он стремится к состоянию с минимумом энергии. Впрочем, аналогичную формулировку можно дать и второму началу термодинамики, особенно в его вероятностной трактовке. Важен следующий факт если задано исходное состояние физической системы и ее энергетический баланс, то можно указать, в общем, направление, в котором будет происходить изменение состояния системы. Таким образом, этот, по сути дела, вариационный принцип минимума потенциальной энергии лежит в основе исследования задач устойчивого равно- [c.865]

Известны три вариационные принципа теории упругости. Принцип минимума потенциальной энергии (принцип возможных перемещений) потенциальная энергия упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы перемещений, удовлетворяющей кинематическим граничным условиям, принимает минимальное значение для системы перемещений, фактически реализуемой в упругом теле. Принцип минимума дополнительной работы Кастильяно (понятие о дополнительной работе дано в конце этого параграфа) дополнительная работа упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы напряжений, удовлетворяющей уравнениям равновесия внутри тела и на его поверхности, принимает минимальное значение для системы напряжений, фактически реализуемой в упругом теле. Наконец, в вариационном принципе Рейсснера варьируются независимо друг от друга и перемещения, и тензор напряжений. [c.308]

Заметим еще, что для статической задачи <5 — О и принцип Гамильтона сводится к принципу минимума потенциальной энергии упругой системы [c.595]

Так как по закону Гука напряжения можно выразить через деформации (а следовательно, через перемещения и, V, а/) и, обратно, деформации можно выразить через напряжения, то в теории упругости одну и ту же задачу можно решать либо в перемещениях, либо в напряжениях, рассматривая соответствующую систему дифференциальных уравнений. Этим двум подходам отвечают и различные вариационные принципы (принцип минимума потенциальной энергии и принцип Кастильяно). Заметим, что можно исходить из смешанной системы уравнений, но это не всегда удобно. [c.26]

Принцип Лагранжа о минимуме потенциальной энергии системы для антиплоской деформации формулируется так [c.87]

Пусть равновесие материальной точки, тела или системы тел обусловлено действием только потенциальных сил (1.5.2.Г) — сил тяготения, упругости или электростатических сил (111.1.2.2°). Тогда положению устойчивого равновесия соответствует минимальное значение потенциальной энергии (1.5.3.5°) по сравнению с ее значениями в ближайших соседних положениях, допускаемых связями (принцип минимума потенциальной энергии). При любых малых отклонениях точки, тела или системы тел от положения устойчивого равновесия потенциальная энергия возрастает. [c.79]

Если, как в рассматриваемом примере, силы потенциальные, т. е. каждой из них соответствует потенциальная энергия, то этот принцип эквивалентен условию минимума потенциальной энергии равновесной системы. Под виртуальными перемещениями понимаются произвольные изменения координат, не меняющие, однако, заданных условиями связей в системе (ср. 6). Возможно, например, вращать коромысло, меняя угол 0, но невозможно растягивать его (21 фиксировано). Итак, па систему, показанную на рис. 3, действуют три силы тяжести и ее потенциальная энергия [c.105]

Из принципа возможных работ следует, что в состоянии равновесия полная потенциальная энергия системы минимальна. Соответственно, чтобы найти действительное поле перемещений w, выражение (1.1) нужно минимизировать на множестве всех функций v, удовлетворяющих граничным условиям, и та функция, которая доставляет минимум, является искомым полем перемещений w. [c.22]

В качестве исходного положения принимают вариационный принцип Лагранжа (принцип потенциальной энергии), в соответствии с которым равновесное состояние, в которое может прийти система, характеризуется минимумом потенциальной энергии. [c.117]

Условие минимума потенциальной энергии при статическом равновесии упругой системы привело к установлению двух родственных принципов. [c.143]

Выделение энергии при химических реакциях — это и есть уменьшение потенциальной энергии участников реакции. По существу, этот принцип отражает в применении к химическим системам общий физический принцип стремления к минимуму потенциальной энергии. [c.300]

Существует также теорема [3], которую часто называют принципом минимума полной потенциальной энергии или теоремой Лагранжа в состоянии равновесия консервативной системы ее полная потенциальная энергия принимает стационарное значение, причем в устойчивом состоянии равновесия это стационарное значение — минимум. Подчеркнем, что принцип минимума полной потенциальной энергии охватывает все консервативные системы — как линейные, так и нелинейные. Нелинейность консервативной системы может быть обусловлена двумя причинами геометрическими и физическими. Геометрические нелинейности обычно связаны с большими перемещениями гибких тонкостенных систем типа стержней, мембран или оболочек. Физическая нелинейность — это нелинейность зависимости между напряжениями и деформациями в упругом твердом теле. [c.77]

Другая вариационная постановка задачи кручения бруса базируется на принципе минимума потенциальной энергия системы (см. гл. V, 5). В этом случае приходим к функционалу /7, уравнением Эйлера—Остроградского которого является уравнение Лапласа (7.54) для функции кручения ф (оно получено из уравнений равновесия Ламе), естественными граничными условиями — граничные условия (7.55) для функции ф. Читателю, желаю1Цему ознакомиться с такой постановкой вариационной задачи кручения, можно рекомендовать книгу [35]. [c.179]

Для краевой задачи связанной теории термоупругости в [115] предложены вариационные формулировки, соответствующие принципам минимума потенциальной энергии системы, Кастильяно, Хеллингера-Рейсснера и Ху-Вашицу, причем в функционалы с помощью свертки явно включены начальные условия. Наиболее удобно для решения краевых задач использовать принцип минимума потенциальной энергии системы или принцип Лагранжа для полей перемещений и температуры, который состоит в следующем [21]. [c.193]

Метод Ритца. Вариационная формулировка задачи о равновесии, заключающаяся в принципе минимума потенциальной энергии системы, подсказывает возможность применения для решения задач теории упругости прямых методов вариационного исчисления. [c.153]

Принцип минимума потенциальной энергии системы (принцип минимума для смещений). Из всех кинематически возможных систем перемещений, прини.чающих заданные значения на поверхности тела. [c.30]

В курсе теоретической механики доказывается теорема Лагранжа—Дирихле, на основании которой можно сформулировать следующий принцип минимума потенциальной энергии из всех мыслимых перемещений упругого тела перемещения, удовлетворяющие условиям устойчивого равновесия, сообщают потенциальной энергии системы минимальное значение. Таким образом, потенциальная энергия системы (8.2) [c.156]

Величины смещений ы, и и ш однозначно определяются принципом минимальной потенциальной энергии системы. Зная действующие на режущий инструмент силы и опре- делив его потенциальную энергию на основе вариационного анализа, определяют минимум этой потенциальной энергии и соответствующие ему смещения. Все расчеты могут быть 1> ьшолнены с помощью ЭЦВМ Минск-22 . [c.17]

Первый факт объясняется тем, что отброшенные формы колебаний представляют o6ofi остаточную податливость системы. Второе обусловлено тем, что при учете большего числа фор.м лучше аппроксимируются перемещения конструкции (принцип Релея-Ритца) и, как следствие, мы получаем лучшее приближение для минимума полной потенциальной энергии системы. [c.446]

Эти принципы приводят к заключению о том, что при воздействии на контур тела данных внешних сил, которые не влияют на условия на контуре и на уравнения равновесия, приращения напряжений действительного состояния системы обращают в нуль приращение потенциальной энергии. Это соответствует условию минимума потенциальной энергии упругодефор-мированного тела. [c.68]

Поэтому на уравнения (11.44) следует, что из всех возможных перемеш,ений и, V, гг , удовлетворяющ,их связям, наложенным па упругое тело, в действительности могут иметь место только те, при которых потенциальная энергия системы Э имеет стационарное значение. Взяв вторую вариацию Э, можно показать, что в рассматриваемом нами случае потенциальная энергия имеет минимальное значение. Это составляет принцип минимума для перемеш,ений. [c.317]

Аналогичный подход к вариационной формулировке проблемы термоупругости для несколько другого представления системы уравнений был проведен в работах [34а, Ь]. Были получены вариационные принципы, аналогичные принципам Ху—Вашизу, Хеллингера—Рейсснера, минимум потенциальной энергии и другие. В работе [34Ь] показано приложение одного частного вариационного принципа к приближенным вычислениям решения задачи о нагреве полупространства. [c.241]

Предположим, что, применяя статический принцип виртуальных перемещений (или какой-либо другой способ), мы нашли несколько положений равновесия. Выберем из них то, которое нас интересует, и перенесем в него начало координат, т. е. положим, что в положении равновесия все обобщенные координаты равны нулю. Предполо>4Сим, кроме того, что потенциальная энергия системы в положении равновесия имеет изолированный минимум, т. е. что избранное положение равновесия устойчиво. Это дает нам право на приближенное описание возмущенного движения, если, разумеется, начальные возмущения численно малы. [c.446]

Можно доказать и более общую теорему [28J, которую часто называют принципом минимума полной потенциальной энергии в положении равновесия полная потёнцильная энергия консервативной системы имеет стационарное значение, причем положение равновесия устойчиво, когда это стационарное значение-минимум. [c.24]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...