Способ Галеркина

Часто под уравнениями способа Галеркина понимают систему уравнений [c.156]

Итак, вариационная задача (3.13.5) при назначении функций сравнения Ф, удовлетворяющих условиям (3.3.1), эквивалентна ранее сформулированной краевой задаче для уравнения Пуассона (3.1.8) при этом на каждом из контуров решение вариационной задачи удовлетворяет условию теоремы о циркуляции, чем обеспечена однозначность депланации w x,y). Уравнение (3.13.6)—вариационное уравнение способа Галеркина (п. 2.4 гл. IV). [c.414]

Далее предполагается, что линия действия силы проходит через центр жесткости, так что Ь — т], а постоянная а = 0. Тогда вариационное уравнение (4.5.8) способа Галеркина запишется в виде [c.440]

Эта задача была исследована несколько иным способом Галеркиным СССР 1 95з сочинений, т. II, стр. 410, Л.— М., Изд. [c.262]

Способ Бубнова — Галеркина. Способ, разработанный Н. Г. Бубновым и Б. Г. Галеркиным, получил широкое распространение для приближенного решения различных задач статики н динамики упругих тел. Для большей наглядности рассмотрим применение этого способа на примере решения задачи о поперечных колебаниях стержня переменного сечения, описываемых дифференциальным уравнением [c.586]

Согласно способу Бубнова — Галеркина, действительную кривую прогиба X (х) заменяют некоторой приближенно выбранной функцией V (х), удовлетворяющей граничным условиям закрепления и ортогональной к исходному дифференциальному оператору. Для этого образовывают интеграл [c.586]

Для приближенного решения поставленной задачи по способу Бубнова — Галеркина примем [c.587]

Опишем кратко алгоритм решения задачи (5.1) —(5.2) с использованием метода конечных элементов. (Заметим, что этот способ был известен до изобретения метода конечных элементов под названием метода Бубнова — Галеркина метод конечных элементов дал лишь способ построения базисных функций, удобных для реализации метода на ЭВМ.) Итак, пусть xpi, фд —базис, построенный одним из описанных выше способов функции фь. ... .., Флг зависят только от пространственных координат. Будем искать приближенное решение задачи (5.1) —(5.2) в виде линейной комбинации функций pi,. .., фд. с коэффициентами, являющимися функциями времени [c.213]

Пример 91. Определим способом Бубнова — Галеркина низшую частоту [c.651]

Во втором случае (при решении задачи по способу В. 3. Власова) необходимо задаваться видом обеих функций 10 и ф, подставлять их в уравнения (6.19) и применять процедуру Бубнова — Галеркина к обоим уравнениям. Функции Ф и 10 должны обязательно удовлетворять всем геометрическим и статическим условиям задачи. Не останавливаясь па вопросе о сходимости процесса, отметим, что при определенных условиях ряды, которыми аппроксимируются функции 10 и ф, сходятся к истинному решению задачи при безграничном увеличении числа членов ряда. [c.201]

Метод Галеркина можно трактовать как способ приближенной замены задачи на собственные значения для дифференциальных [c.73]

Авторы справочника [124] отмечают, что к настоящему времени насчитывается свыше 50 приближенных методов решения уравнения (23.5), которые можно разделить на три группы аппроксимации, конечных разностей и интегральные. Методы аппроксимации основаны на замене непрерывной неоднородности участками с постоянными параметрами упругости или с законами г), для которых известны точные решения. Наиболее употребителен при таком подходе способ, основанный на идее метода начальных параметров. Метод конечных разностей может применяться, очевидно, в любой трактовке с использованием различных приемов уточнения решения. В ряде работ задача сводится к интегральному уравнению, которое решается методом последовательных приближений. При использовании ЭЦВМ эффективное решение можно получить методом Рунге—Кутта, сведя предварительно краевую задачу (23.3), (23.5) к задаче Коши, При граничных условиях (23.3) легко построить решение методом Бубнова—Галеркина, приняв функцию X в виде [c.115]

Второй путь заключается в решении задачи итерационным методом ( 5) с применением на каждом этапе уже имеющихся решений классической задачи термоупругости также по способу Бубнова—Галеркина. Такой подход позволяет эффективно использовать целый ряд уже имеющихся решений. Проиллюстрируем это на примере плоской задачи термоупругости для прямоугольной области (——Ь у<.Ь). [c.154]

Другой способ решения задачи Коши заключается в использовании метода Галеркина взвешивания невязки в пределах каждого интервала по времени Д f. Полагая в этом случае линейное изменение температуры и вектора узловых тепловых нагрузок F на временном интервале Дг, легко получить следующее рекуррентное соотношение [c.173]

Рассмотрим приближенные аналитические методы расчета критических угловых скоростей двухопорных реальных роторов, которые, не требуя геометрических построений, дают результаты, мало отличающиеся от результатов наиболее точных способов расчета. Критическую угловую скорость вала будем искать по Галеркину. Для этого в качестве приближенного значения ординаты изогнутого вала примем последовательность [c.287]

Успех метода Галеркина и его вариантов связан с удачным выбором полной систе мы функций ifk и применением достаточно точного (при больших N) способа решения уравнений (11). Широкое применение метода Бубнова — Галеркина еще в начале нашего века без использования каких-либо счетных машин при небольших N 2 3 для решения задач в относительно простых областях, в частности на основе уравнения Пуассона, было обусловлено как раз хорошим выбором базисных функций (fi и явным аналитическим способом решения (11). Дальнейшее развитие этих методов сдерживалось как трудностя ми построения полных систем базисных функций для сложных областей, так и большими трудностями решения систем (11) уже при N Б из-за очень плохой обусловленности матриц этих систем, которые усугубляются при приближенном расчете интегралов в (11), являющихся элементами этих матриц. Если первую трудность можно снять, используя, например, аппарат 1 функций [17], с помощью которого достаточно легко можно строить полные системы базисных функций (хотя и достаточно сложных) для многомерных обла стей с кусочно-гладкими аналитическими границами, то преодолеть вторую трудность значительно сложнее. Ряд рекомендаций по этому поводу дан в [18]. [c.21]

Элементарные решения для простых осесимметричных задач были получены еще в XIX в. Для решения более сложных задач о пластинках, прямоугольных в плане, получили дальнейшее развитие методы А. Навье и М. Леви. С их помощью были решены многие практически важные задачи. Особого внимания заслуживает книга Б. Г. Галеркина в которой рассмотрены различные условия опирания и различные способы нагружения тонких плит. Большой интерес представляет также книга А. Надаи Однако эти методы приводят к решениям лишь для сравнительно узкого класса областей. [c.253]

Таким образом, задача сводится к решению проблемы собственных значений для матрицы, соответствующей системе (3.2). В расчетах, связанных с высокими приближениями метода Галеркина,предпочтительными являются итерационные способы нахождения собственных значений, удобные для реализации на ЭВМ. [c.21]

Способ записи (44) уравнений Галеркина легко запоминаем и прост в рассматриваемом дифференциальном уравнении [c.696]

Ниже мы дадим другой, более наглядный способ получения функций и уравнений Галеркина. [c.190]

Способ введения функции % указывает на то, что она является частным случаем вектора Галеркина. А именно, принимая вектор Галеркина Р в виде (О, О,/ з) и переходя к цилиндрической системе координат, получаем соотношения (6) и уравнение (7). Функция % называется функцией Лява. [c.193]

Из приближенных методов расчета наиболее простым и дающим результат, практически не отличающийся от результатов точных способов расчета, можно рекомендовать предложенный Л. А. Шу-бенко [43] и основанный на использовании способа Галеркина для приближенного решения дифференциального уравнения (135). Способ Галеркина основан на представлении формы упругой линии изогнутого вала в виде суммы [c.88]

Способ Галеркина (1915). Для краевых задач, допускающих вариационную формулировку, в частности для задач теории упругости, этот приближенный способ интегрирования дифференциальных уравнений представляет упрощающее вычисление видоизменение метода Ритца. Приближение (2.3.1) [c.154]

ИЗ которых определяются неизвестные параметры. В этой формулировке способ Галеркина применяется к самым разнообразным задачам, тогда как возможность применения метода Ритца ограничивается [c.697]

На основ.а йи подробно изученного примера кручения тел видим, что прн аппроксимирующих функциях, заранее удовлетворяющих условию минимума потенциальной энергии тела или граничным условиям на поверхности его, можно получить не только уточненные решения, но даже точные в строгом смысле или в смысле Сен-Венана. Таким образом, подчиняя заранее аппроксимирующие функции условию равновесия внутри выбранного элемента, например на основании вариационного принципа Кастилиано, или граничным условиям на части поверхности тела согласно уравнениям равновесия на поверхности, мы можем резко уменьшить число аппроксимирующих функций, достигая при этом результатов с высокой степенью точности. Выбор аппроксимирующих функций из условия равновесия на поверхности, т. е. по способу Галеркина, можно рекомендовать для тел простой формы, особенно с постоянным поперечным сечением, что достигается с помощью криволинейных координат. Нахождение аппроксимирующих функций из условия минимума потенциальной энергии (В сечении тела, т. е. по способу Треффца, эффективно как для простых, так и для сложных по конфигурации тел. [c.58]

Интегрирование системы конечно-элементных уравнений (1.35) можно осуществить различными способами [55, 177, 178], наибольшее применение среди которых получили методы центральных разностей, Вилсона, Галеркина, Ньюмарка. Нельзя формально подходить к использованию того или иного метода,, так как каждый из них имеет свои сильные и слабые стороны, которыми и определяется область их рационального применения. Так, применение центральных разностей имеет несомненное преимущество при использовании сосредоточенной (диагональной) матрицы масс, однако устойчивость его зависит от выбора шага интегрирования во времени Ат. Выбирая безусловно устойчивые и более точные двухпараметрические методы интегрирования Ньюмарка и Галеркина, мы значительно увеличиваем время счета. Оптимально и достаточно просто реализуемое интегрирование уравнения (1.35) можно провести с помощью модифицированной одношаговой процедуры Вилсона по двум схемам, отличающимся числом членов разложения в ряд Тейлора функций (т) , (й т) , ы(т) в момент времени т [7]. [c.25]

Настоящая глава посвящена изложению одного из наиболее перспективных способов дискретизации непрерывных задач — методу конечных элементов. Метод будет сформулирован как обобщение матричных методов сил н перемещений строительной механики на случай континуальных систем. Преимущества такой формулировки — в очевидных возможностях обобщения на случай нелинейных и неконсервативных систем, недостаток —в завуали-рованности связи с традиционными вариационными методами — Ритца и Бубнова — Галеркина, а также в трудностях перенесения на краевые задачи немеханического происхождения. [c.130]

Методы Ритца (1908 г.)—Тимошенко (1910 г.), Бубнова <1913 г.) — Галеркина (1915 г.), и Треффца (1933 г.) предлагают различные способы приближения к действительному значению на основе приведенных выше вариационных принципов. По методу Власова (1Й6 г.) — Конторовича (1942 г.) решение задается з форме [c.12]

Методы Рэлея (1877), см. уравнения (4.57)—(4.61), Ритца (1908) — Тимошенко (1910), Бубнова (1913) — Галеркина (1915) и Треффца (1933) предлагают различные способы приближения w к действительному значению на оснтзе приведенных выше вариационных принципов. По методу В. 3. Власова (1946) —Л. В. Канторовича (1942) решение задается в форме ряда [c.11]

В случае изгиба гибких пластин их поведение описывается двз мя уравнениями — совместности деформаций и равновесия (6.19). При этом возможно применение метода Бубнова — Галеркина либо по способу П. Ф. Паиковича, либо по способу В. 3. Власова. [c.201]

Так как поведение гибких пластин описывается системой пелинейных дифференциальных уравнений (6.19), то в результате применения метода Бубнова — Галеркина к интегрированию такой системы (как по способу П. Ф. Папкови-ча, так и по способу В. 3. Власова) получается система пели- [c.201]

При втором способе линеаризации нелинейная система заменяется линейной на некотором специально выделяемом движении Или группе движений, например, на периодических. Обоснованием замены в этом случае считаются всевозможные интегральные методы усреднения на выделенных движениях (гармоническая линеаризация и гармбаланс, методы Ритца и Галеркина и т. д.). Физическим основанием для замены здесь является энергетическая близость линейной и нелинейной систем. Если линеаризуемая этими методами система все же существенно нелинейная, то линейная система получается амплитудно-частотно-зависимой от возбуждения. [c.78]

Для нахождения собственных частот может использоваться и метод Галеркина [105] однако в этом случае метод Галеркина эквивалентен методу Ритца и отличается от него только способом вывода формул (11.76) для коэффициентов а , Ьцу поэтому на нем мы не останавливаемся. [c.81]

Метод Бубнова—Галеркина обладает одной особенностью, которая относится к граничным условиям. Если функции /,(х) удовлетворяют только геометрическим граничным условиям (как говорилось, такие функции могут быть использованы при решении по способу Ритца), то это может привести к большим ошибкам при решении по способу Бубнова—Галеркина. Если при выборе функций fi (х) не считаться с силовыми граничными условиями (например, не обращать внимания на условия 1 = 0 и /, = 0 на свободном конце балки или на условие /Г = 0 на шарнирной опоре), то будет неявно признано существование на концах балки таких граничных усилий, которых в действительности нет. Из-за этого возникнет ошибка, так как в выражение (11.261) войдет работа несуществующих усилий. Для компенсации ошибки следует вычесть из левой части выражения (11.261) излишнюю работу этих граничных усилий (обобщенный метод Бубнова — Галеркина). [c.137]

При приближенном решении краевых задач проекционные исследовательностй можно выбирать различными способами. В частности, в методе Галеркина координатная система фг совпадает с проекционной, а система (IV.8) принимает вид , [c.156]

Широко известный метод конечных элементов (МКЭ) позволяет преодолеть вторую трудность за счет очень специфического способа выбора базисных функций (fi — конеч ных элементов, отличных от нуля лишь в малых подобластях области D, но приводит к необходимости брать достаточно большое число таких элементов. Фактически МКЭ уже не имеет ярко выраженной в классических методах Ритца и Бубнова-Галеркина аналити ческой природы и в некотором смысле более близок к проекционно-разностным подходам. [c.21]

В уже упомянутых численно аналитических методах (Ритца, Бубнова Галеркина и др.), а также в интенсивно развиваемых сейчас методах граничных элементов (гранич пых интегральных уравнений) использование аналитических конструкций, в частности, интегральных представлений решения или способов сведения дифференциальной зада чи к решению системы интегральных уравнений, может дать чрезвычайно экономичные приближенные численные алгоритмы. Иногда они позволяют при решении, например. [c.23]

Такой подход к решению был указан Надаи (N а d а 1 А., Elastis lie Flatten, стр. 178, 1925). Другой способ решения той же задачи был дан Б. Г. Галеркиным (Бюллетень Российской Академии наук, стр. 223, 1919, и Бюллетень Политехнического института, т. 28, стр. 1, СПб., 1919). [c.353]

Остроградского. Приводятся соответствующие примеры. Далее рассматриваются методы точного и приближенного (включая методы Ритца, Галеркина, Канторовича) определения частот и форм собственных колебаний, а также даются способы нахождения вынужденных колебаний с учетом внепгних и внутренних потерь в материале. В заключение излагаются вопросы устойчивости упругих систем, включая неконсервативные задачи упругой устойчивости. Изложение этой части проводится на примерах стержня, нагруженного следящей силой, трубопровода с движущейся жидкостью и вращающего вала. [c.12]

Приведенные в этом параграфе численные методы, разз еется, не ис-черпьшают всех способов приближенного решения амплитудной задачи. Тем не менее они являются наиболее употребительными. Каждый из этих методов обладает своими достоинствами и недостатками. Метод Галеркина позволяет получить общий обзор спектра характеристических возмущений или по крайней мере его нижних ветвей. Он, однако, громоздок в реализации и требует значительных затрат машинного времени. Методы пошагового интегрирования значительно более экономичны и дают весьма точные результаты, но более приспособлены для анализа [c.25]

Для отверстий, близко расположенных друг к другу, А. С. Космо-дамианский [2] применил способ, позволяющий использовать в задачах такого типа метод Бубнова — Галеркина. Вместе с тем как для конечного, так и бесконечного числа одинаковых криволинейных отверстий, как это показано в других работах А. С, Космодамианского (например, 13]), представляется в ряде случаев целесообразным применить к практическому расчету схему, основанную на методе ]У1усхелишвили. Указанные выше приближенные способы использовались А. С. Кос-модамианским [4, 5] при изучении напряженного состояния пластинки, ослабленной конечным числом отверстий различных очертаний. Б случае неодинаковых отверстий А. С. Космодамианский [6] использовал метод последовательных приближений. [c.583]

Очень интересное представление поля перемещений через три функции (которые при отсутствии массовых сил являются бигармоническими) дал Галеркин. При выводе этих уравнений мы будем пользоваться способом, указанным Моисилом ), в котором применяется простой формализм, пригодный для решения систем дифференциальных уравнений. [c.188]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...