Фридрихса преобразование

Преобразование Фридрихса. Преобразование [c.40]

Фридрихса преобразование 59 Функции напряжений см. Напряжений функции Функция энергии деформации 18, 19, [c.535]

Напомним преобразование Фридрихса на примере более простой задачи — минимизации функционала [c.202]

Применим теперь преобразование Фридрихса для случая общей трехмерной задачи теории упругости [c.203]

Присоединяя к задаче II в качестве добавочных условий (4.428) вернемся к задаче I если же в качестве добавочных к задаче II присоединить условия (4.247), то тем самым будет произведено преобразование Фридрихса и мы получим задачу III. [c.205]

Методы, основанные на идее двойственности. При применении к задачам минимизации преобразования двойственности (см. предыдущий параграф), а также в процессе выполнения преобразования Фридрихса (см. 4.7) возникают задачи отыскания седловой точки функционала (возникающие здесь же задачи максимизации решаются методами, изложенными в предыдущих параграфах), для решения которых были изобретены специальные алгоритмы, оказавшиеся весьма эффективными и в задачах механики. [c.343]

Эта теория создана уже около половины века тому назад, но в литературе известны лишь немногие примеры применения ее к задачам механики деформируемых тел. Первые работы принадлежат Р. Куранту [0.9] и Э. Рейсснеру [0.13]. Р. Курант впервые применил преобразование Фридрихса для установления связи между принципами Лагранжа и Кастильяно. Э. Рейсснер [0.13], оценивая результаты своих четырех работ, посвященных вариационным принципам теории упругости, характеризует новизну использования теории [0.9] и полученную в итоге полную формулировку вариационной теоремы как вклад в теорию упругости. В отечественной литературе теория [0.9] впервые применена в работах [0.4], а впоследствии в (0.15, 0.6, 0.1] и др. Однако все эти исследования, как правило, не имеют общего характера и относятся к вариационным формулировкам в терминах стационарности функционалов. К анализу экстремальных свойств функционалов эта теория не применялась. [c.8]

Во многих задачах, например для выпуклых функционалов, использование этих двух положений позволяет проследить и за изменением экстремальных свойств функционалов (см. 3). В ряде задач без ограничений можно искусственно ввести дополнительные условия, чтобы затем внести их в функционал с множителями Лагранжа и производить дальнейшие преобразования. Эта идея оказалась очень плодотворной. Она позволяет получить множество различных формулировок одной и той же вариационной задачи с различными переменными и, в частности, осуществлять важное преобразование Фридрихса (см. 2.4). [c.34]

Примеры преобразования Фридрихса и дополнительные разъяснения приведены в гл. 3, 2.2 и 3.2в, г гл. 4 2.2 и 3.2в, г гл. 5, 7.4в и 7.5а. [c.41]

При преобразовании Фридрихса (12) дополнительные условия (геометрические уравнения) и условия стационарности (статические уравнения) функционала Лагранжа переходят соответственно в условия стационарности и дополнительные условия функционала Кастильяно. См. также 3.2г, в котором схема (12) дополнена обратным преобразованием Фридрихса, и 3.2в, где дана аналогичная схема для функционалов Лагранжа в деформациях и Кастильяно в функциях напряжений. [c.59]

Другие разновидности функционала Кастильяно могут быть получены из Зкз(я) с помощью общего решения (1.7) уравнения равновесия (1.6) и замены переменных е а) = е либо преобразованием Фридрихса из функционалов Лагранжа (табл. 3.1). Как видно из табл. 3.2, условия стационарности различных вариантов функционала Кастильяно — уравнения неразрывности в объеме и деформационные граничные условия на поверхности. В табл. 3.2 приведены условия стационарности лишь для простого случая, когда компоненты перемещений заданы на связной части поверхности 5. В гл. 5 показано, как из этих функционалов извлечь условия стационарности в некоторых более сложных случаях. [c.59]

Функционал Экг(ф, о) связан преобразованием Фридрихса с функционалом Лагранжа Элз(е). [c.60]

Функционал 5 2 (ф, е) является промежуточным звеном преобразования Фридрихса (см. гл. 2, 2.4) Эк2(ф,о) в Элз е). Обратное преобразование 5лз в Эк2 производится через полный функционал Эпз(е, fp) (табл. 3.3), так что эти четыре функционала связаны между собой по схеме, изображенной на рис. 3.2. [c.68]

Рис. 3.2. Взаимосвязь функционалов Кастильяно и Лагранжа Эл с полными функционалами прямое и обратное преобразование Фридрихса.

Преобразование Фридрихса (см. гл. 2, 2.4) переводит Элз(е, ц) в функционал Кастильяно Эк 1(я )) (табл. 4.2) в функциях напряжений (см. 2.2в). [c.115]

Другие разновидности функционала Кастильяно (табл. 4.2) могут быть получены из Экз М,Т) с помощью общего решения (1.29) уравнений равновесия (1.24) и замены переменных е(М,Т) — е, ц(Л1,7 ) = = ц либо преобразованием Фридрихса из функционалов Лагранжа (таб 4.1). [c.117]

Функционал Эк2(г 5. М, Т) связан преобразованием Фридрихса (см. гл. 2, 2.4) с функционалом Лагранжа 5лз(е, ц). [c.117]

Учет сложных граничных условий в теории оболочек при использовании различных вариантов функционала Кастильяно. Разберем три примера граничных условий, аналогичных приведенным в 2.2, и еще несколько интересных примеров, встречавшихся авторам в расчетной практике. При этом будем использовать статико-геометрическую аналогию и теорию преобразования вариационных проблем, в частности преобразование Фридрихса. [c.156]

Функционал Кастильяно при рассматриваемых граничных условиях имеет дополнительные условия вида (28). Этот факт можно обнаружить непосредственно либо при преобразовании Фридрихса функционала Лагранжа Элз. С помощью формул (7) эти условия можно записать в функциях напряжений. [c.166]

Преобразование Фридрихса позволяет определить, что при данных граничных условиях уравнения вида (3) являются условиями стационарности функционала Кастильяно, несмотря на то, чю вся поверхность Sf представляет собой единственный связный участок с заданными напряжениями (в отличие от соответствующей задачи теории оболочек, в которой есть два различных участка со статическими граничными условиями). [c.168]

Преобразование Фридрихса показывает также, каким образом из функционала Кастильяно следуют уравнения неразрывности контура (3). Построим из Элз(е) полный функционал Эа-](е, 4, ki, li,), внеся в него все дополнительные условия, в том числе и (3), с множителями Лагранжа получим [c.168]

Для плоской задачи теории упругости (анизотропное однородное тело) при нулевых статических граничных условиях функционал, имеющий минимум, может быть получен с помощью преобразования Фридрихса из функционала Кастильяно 5к1(ф) в функциях напряжений, который для этой задачи можно преобразовать к виду [c.197]

Для задачи изгиба однородной изотропной пластинки при однородных геометрических граничных условиях с помощью преобразования Фридрихса из функционала Лагранжа в перемещениях может быть выведен еще один функционал, имеющий максимум и аналогичный (13) [c.198]

Функционал (20) легко получить из (18) с помощью преобразования Фридрихса (так же, как функционал Кастильяно из Лагранжа, гл. 3 и 4), если, согласно общей методике преобразований (гл. 2), искусственно ввести новый переменный век-гор V и дополнительное условие [c.199]

Точно так же легко свести к преобразованию Фридрихса приведенную в [0.11] общую формулировку метода ортогональных проекций. В свете этого преобразования можно естественным образом сформулировать указанные в [0.11] условия применимости метода ортогональных проекций, которые заключаются в выполнении дополнительных условий функционала (20). [c.200]

Переход от 0 г) к П (о) можно трактовать как так называемое преобразование Лежандра, Иногда его называют также преобразованием Фридрихса. [c.82]

Как известно, постановка задачи в перемещениях не является единственно возможной. В ряде случаев более целесообразным является использование постановки задачи в напряжениях. Краевая задача для соответствующей системы дифференциальных уравнений здесь использована не будет, а будет произведен переход сразу к вариационной постановке — минимизации (максимизации) соответствующего функционала с помощью применения преобразования Фридрихса [17] к получепным ранее проблемам минимизации функционалов вида [c.202]

Оказывается, вместо задачи (Р) можно рассмотреть целый класс новых задач, решив которые можно получить и решение этой задачи. Один из возможных методов преобразования задачи (Р) был определен и использован в 4.7 (преобразование Фрндрихса). Обобщением преобразования Фридрихса на случай задач минимизации с ограничениями является преобразование Юнга (Юнга —Фенхеля —Моро), которое сейчас и рассмотрим. [c.338]

Дополнительные условия к 2( ) представляют собой уравнения 5(Х) = 0, полученные из v4(u, Х) = 0 после исключения и. Условия стационарности р2 У ) — уравнения (2), выраженные через X. Таким образом, дополнительные условия функционала Fi(%) являются уравнениями, эквивалентными условиям стационарности функционала F u), которые получаются из А и,Х)=0 исключением X (см. 2.26) условия стационарности р2 к) являются преобразованными дополнительными условиями к F u). Преобразование функционала (1) в р2 к) называют преобразованием Фридрихса. Оно инволютивно применив к р2(Х) преобразование Фридрихса, получим вариационную задачу (1), (2). [c.41]

Функционал Рейсснера Э з(о, и) является промежуточным звеном преобразования Фридрихса (см. гл. 2, 2.4) Экз(о) в 5л>(и, е). Промежуточным звеном обратного преобразования Эл> в 5кз служит функционал Ху — Вашицу 5п2(и,е,о) (табл. 3.3), так что эти четыре функционала связаны между собой по схеме, аналогичной рис. 3.2. [c.68]

Замечание. Уравнения неразрывности контура отверстия были выведены авторами [5.3] в качестве условий стационарности функционала Кастильяно. Преобразование Фридрихса Зкз(1 ), М, Т) Элз г, ц) показало, что эти условия являются доТюлнительными для функционала Лагранжа Эдз (е, после чего они были получены путем рассуждений, приведенных в 2.2в. При этом получение уравнений (15), а также [c.157]

С помощью преобразования Фридрихса функционала Элз е) для данной задачи можно выяснить, что уравнения (26) являются условиями стационарности функционала Кастильяно и что для правильного решения ее с помощью функционала Кастильяно следует рассматривать не только непрерывные функции напряжений, но и имеющие разрывы на лпннях, соединяющих различные участки Su (сравните с 2.4г). [c.164]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...