Формулировка дифференциальной задачи

Система дифференциальных уравнений в совокупности с условиями однозначности представляет собой математическую формулировку краевой задачи. [c.137]

Из этого свойства решения системы дифференциальных уравнений можно сделать вывод, что для решения какой-либо задачи с помощью анализа размерностей строгой математической формулировки этой задачи не нужно. Достаточно только утверждения, что система уравнений удовлетворяет принципу размерностей однородности. [c.157]

Применение этого метода при расчете оболочек вращения требует формулировки краевой задачи на основе дифференциальных уравнений первого порядка. Ниже рассмотрен одномерный случай, когда оболочка нагружена осесимметричными поверхностными ре и [c.248]

Методами взвешенных невязок удается решать и нелинейные задачи нестационарной теплопроводности, но при этом для определения Вп (t) в (4.48) получается система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которую в общем случае приходится интегрировать численно. Таким образом, температурное поле в теле в фиксированный момент времени описывается аналитической зависимостью, но переход от одного момента времени к другому связан с определением значений (t) численным интегрированием. Переход к конечным интервалам времени позволяет использовать вариационную формулировку нелинейных задач [13], представляя анализ процесса нестационарной теплопроводности как последовательность решений ряда задач стационарной теплопроводности. [c.166]

Система дифференциальных уравнений вместе с начальными и граничными условиями дает полную математическую формулировку поставленной задачи как для натурного объекта, так и для его модели. [c.62]

К решению задачи о собственных напряжениях, так же как и в термоупругости, ведут два пути формулировка дифференциальных уравнений в перемещениях или в напряжениях. [c.533]

Естественное стремление к расширению арсенала методов исследования и расчета привело к формулировке краевых задач теории оболочек в форме интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Работы [c.240]

Дифференциальное уравнение теплопроводности (3-1) совместно с условиями однозначности (3-2) дают законченную математическую формулировку рассматриваемой задачи. Решение ее заключается в отыскании функции [c.76]

ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛИРОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [c.9]

В книге изложены алгоритмы численного решения задач прочности, устойчивости и колебаний симметрично нагруженных тонкостенных оболочечных конструкций, состоящих из набора произвольных оболочек вращения, соединенных непосредственно или с помощью упругих шпангоутов. В этом случае исходная система уравнений, описывающих поведение конструкции, может быть сведена к краевой задаче для систем линейных или нелинейных, однородных или неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка. Такая формулировка краевых задач позволяет выбрать единый подход к их численному решению. [c.3]

Дело может обстоять, например, так. В формулировку математической задачи (например, в правую часть дифференциального уравнения) входит функция, записанная не в виде тригонометрического ряда но, приступая к решению математической задачи, мы изменяем запись этой функции, представляя ее в виде тригонометрического ряда. Такое изменение записи функции есть математическое преобразование, возможность которого основана на определенных математических теоремах оно ничего не меняет в физических условиях задачи. Именно это преобразование мы имеем в виду, когда говорим о спектральном разложении как математической операции. [c.495]

В общем случае под /у можно понимать аппроксимацию в узле х -некоторого дифференциального оператора, содержащего операторы производных по X первого и второго порядков и входящего в формулировку исходной задачи. [c.12]

Другой подход к построению центрированных компактных схем четвертого порядка связан с определением коэффициентов в равенстве (0.20), понимаемом как связь между искомой сеточной функцией Му и аппроксимацией в узлах дифференциального оператора / = Lu)p входящего в формулировку исходной задачи [30, 35, 36]. Достоинство такого метода состоит в том, что для оператора Lu, содержащего первые и вторые производные, решение разностных уравнений осуществляется трехточечной скалярной прогонкой (в других компактных методах четвертого порядка в таких случаях требуется векторная трехточечная прогонка с матрицами размерности 2X2). Вместе с тем он является в значительной мере ориентированным на решение скалярных конвективно-диффузионных уравнений. Обобщение его для систем уравнений оказьшается весьма громоздким, в то время как для компактных методов, использующих раздельную аппроксимацию первых и вторых производных, оно является элементарным. [c.13]

Теперь рассмотрим, как связаны между собой решения исходной и обобщенной задач. Пусть сначала и е (П) ) — решение исходной дифференциальной задачи (1.47), (1.48). Тогда непосредственно из выкладок (1.51)—(1.54) вытекает, что и будет удовлетворять обобщенной формулировке. Ввиду единственности обобщенного решения оно, таким образом, совпадает с и. [c.30]

Рассмотрим корректно сформулированную дифференциальную задачу в символической записи Zu—f. Здесь Z — дифференциальный оператор, и — искомое решение, / — произвольная функция. Будем полагать, что эта форма записи включает формулировку начальных и граничных условий, которые обеспечивают единственность поставленной задачи. [c.126]

Наряду с основными дифференциальными уравнениями механики деформируемого твердого тела в учебнике изложена вариационная формулировка задач, которая имеет особенно важное значение при построении приближенных методов, используемых как в теории упругости и пластичности, так и в строительной механике. [c.3]

Рассмотренные в предыдущей главе уравнения механики деформируемого тела вместе с условиями на поверхности образуют законченную формулировку задачи теории упругости в дифференциальной форме. Однако это не единственная возможная формулировка задачи об отыскании напряженно-деформированного состояния тела. [c.49]

СВЯЗЬ МЕЖДУ ВАРИАЦИОННОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМУЛИРОВКАМИ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [c.55]

Уравнениям (8.37) данного метода можно дать вариационную трактовку, если задача, описываемая исходным дифференциальным уравнением (8.33), допускает вариационную формулировку. Пусть это будет задача изгиба пластины. Тогда L (w) в (8.34) можно написать в виде двух слагаемых [c.250]

Математическая формулировка задачи теплопроводности включает дифференциальное уравнение энергии для неподвижного тела (w = = 0). В этом случае геометрические условия одно- [c.265]

Математическая формулировка задачи для явления теплоотдачи была рассмотрена в 5 главы II. Система дифференциальных уравнений, описывающая процесс теплоотдачи, при современном состоянии математического аппарата даже при введении упрощающих предпосылок решается только для некоторых простейших случаев. Например, путем интегрирования системы дифференциальных уравнений получена формула для определения коэффициента теплоотдачи при ламинарном течении несжимаемой жидкости в круглой абсолютно гладкой трубе, но из-за большого числа упрощающих предпосылок эта формула плохо согласуется с опытными данными. [c.309]

Для МНОГИХ физических явлений математическая формулировка задачи является основой ее научного исследования. Она включает в себя уравнение или систему уравнений (дифференциальных, интегральных, интегродифференциальных), описывающих изучаемое явление, и краевые условия, отражающие его частные особенности. Краевые условия называют также условиями однозначности. [c.9]

Формулировка дифференциальной задачи. Пусть О, — двумерная ограниченная область с границей Г. Рассмотрим эадачу определения функции р и вектор-функции и= ( ь Мг) по известной /= (Л./г) [c.274]

Система дифференциальных уравнений (14.3) — (14.6) совместно с условиями однозначности (14.7) — (14.9) представляет собой формулировку краевой задачи конвективного теплообмена. Следует отметить, что вследствие больщих математических трудностей общее решение системы дифференциальных уравнений конвективного теплообмена получить не удается. Поэтому с целью поиска возможных путей решения поставленной задачи проанализируем структуру предполагаемой функциональной зависимости для температурного поля. На основе постановки краевой задачи можно утверждать, что поле скорости и поле давления есть результат решения уравнений гидродинамики — уравнений (14.4) — (14.6), ибо рассматривается несжимаемая жидкость, физические свойства которой не зависят от температуры. Например, значение вектора скорости в какой-либо точке рассматриваемой области определяется координатами этой точки, коэффициентами дифференциальных уравнений и параметрами, входящими в граничные условия [c.319]

Дифференциальное уравнение (1-24) совместно с условиями однозначности дает полную математическую формулировку конкретной задачи теплопроводностиПоставленная таким образом задача разрешается аналитическим, численным или экспериментальным методом. В случае применения экспериментального метода для решения задач теплопроводности иапользуются методы физического модели ро а1ния или тепловых аналогий (см. гл. Зи5). [c.26]

В главе I даются различные вариационные формулировки краевых задач для линейных дифференциальных уравнений. Это связано прежде всего с вариационной основой метода конечных элементов. Далее автор проводит дискретизацию вариационных задач и излагает схему мetoдa конечных элементов. [c.6]

Хотя в этой главе рассматриваются лишь системы линейных уравнений вида (10,1), получающиеся в случае эллиптических дифференциальных уравнений, аналогичные процедуры существуют и для других типов задач. Например, конечиоэлементная формулировка линейной задачи иа собственные значения приводит к алгебраической задаче на собственные значения, которая может быть решена либо прямым, либо итерационным методом. Рекомендации относительно выбора метода аналогичны рекомендациям для стационарной задачи. Линейные динамические задачи, однако, приводят к уравнениям, зависящим от времени, для которых более подходящими являются итерационные методы. Для решения нелинейных систем уравнений не существует прямых методов, поэтому приходится использовать итерационные процедуры, В следующих разделах дан краткий обзор прямых и итерационных методов,, а также некоторых соответствующих приемов уменьшения времени и стоимости решения, [c.223]

В ряде случаев показано, как ослабление некоторых требований в обобщенной задаче приводит по-с)оцеству к новой формулировке исходной дифференциальной задачи. Например, разрывы первого рода коэффициентов главной части эллиптического оператора в обобщенной формулировке не вносят ничего нового, а в операторном виде приводят к задаче дифракции с условиями сопряжения на линиях разрывов. [c.14]

Теперь рассмотрим, как связаны между собой решения исходной и обобщенной задач. Непосредственно из соотношений (1.11)-(1.14) следует, что если ииа 1 (П) - решение исходной дифференциальной задачи, то оно будет удовлетворять равенству (1.15). Поэтому ввиду единственности обобщенного решения оно будет совпадать с ним. Обратное утверждение верно только при определенных условиж гладкости исходных данных и самого решения. В самом деле, для того чтобы в операторной формулировке (1.6) все выражения имели смысл, необходима дифференцируемость выражений ац Ъ Ы. Она достигается, например, при дифференцируемости а1 и достаточной гладкости и. В обобщенной же формулировке нет необходимости предполагать дифференцируемость коэффициентов ац и вьфаже-ний Эу и. Это весьма важно в задачах дифракции, в которых коэффициенты могут иметь разрьты первого рода. Они получаются из-за того, что среда состоит из двух или нескольких разнородных по своим физическим характеристикам материалов. [c.21]

Вторая обобщенная формулировка связана со смешанным методом [22,109] и дает гиперболическую формулировку дискретной задачи. На зтот раз базисные функции не подчинены никаким дифференциальным уравнениям, хотя должны быть выполнены некоторые геометрические условия, вообще говоря, необременительные, но довольно неожиданные. Метод Ритца, естественно, неприменим и использование конечных элементов базируется на методе Бубнова — Галёркина поиска стационарной точки функционалов. [c.265]

При решении дифференциальных уравнений с обыкновенн частными производными важно понимать, в каких функционал пространствах следует рассматривать их решения и доказывать ремы об их существовании. Ответ на этот вопрос связан с вар ной формулировкой соответствующей задачи, на основе которой ределяются обобщенные решения. Этот подход во многом сов с вариационными принципами механики и, в частности, с вар онньш принципом Гамильтона-Остроградского. Понимание этих стоятельств важно для построения вычислительных алгоритмов, 01 ки их сходимости и исследования устойчивости движений. [c.276]

В главе 4 будет дана другая формулировка метода конечных элементов, эквивалентная предыдущей, но использующая непосредственно идеологию методов Ритца и Бубнова — Галеркина. Преимущество этого подхода — в открыФнн возможностей для обоснования, усовершенствования и обобщения на широкие классы краевых задач математической физики, недостаток — в трудностях машинной реализации соответствующего алгоритма для проблем, содержащих в качестве неизвестных вектор-функции илн дифференциальные операторы порядка выше второго. [c.130]

Систематическое и последовательное применение методов анализа бесконечно малых к задачам механики было осуществлено впервые великим математиком и механиком Леонардом Эйлером (1707—1783), который большую часть своей творческой жизни провел в России, будучи членом открытой по указу Петра I в 1725 г. в Петербурге Российской Академии наук. В России механика начала развиваться со времен Эйлера. Творческая сила Эйлера и разносторонность его научной деятельности были поразительны. В работе Теория двилщния твердых тел Эйлер вывел в общем виде дифференциальные уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки. В гидродинамике ему принадлежит вывод дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости. Применяя метод анализа бесконечно малых, Эйлер развивает полную теорию свободного и несвободного движения точки и впервые дает дифференциальные уравнения движения точки в естественной форме. Им дана формулировка теоремы об изменении кинетической энергии, близкая к современной. Эйлером было положено начало понятию потенциальной энергии. Ему принадлелщт первые работы по основам теории корабля, по исследованию реактивного действия струи жидкости, что послужило основанием для развития теории турбин. [c.15]

В данной главе прежде всего позпакомимся с двумя основными принципами — Лагранжа и Кастильяно, а также с некоторыми другими принципами. Укажем на связь этих принципов и вариационной формулировки задачи теории упругости с дифференциальной формой этой задачи. [c.49]

Вариационная формулировка задачи теории упругости используется главным образом в двух с.пучаях. В первом на основе уравнения бЭ = О строятся численные методы решения этой задачи (метод Ритца, метод конечных элементов и т. п.). Все эти методы относят к классу прямых методов решения задач теории упругости, не требующих в явной форме использования дифференциальных уравнений. [c.57]

В гл. 3 было показано, что задачи теории упругости допускают как дифференциальную формулировку, так и вариационную об отыскании таких функций, которые сообщают некоторому функционалу Э стационарное значение, когда вариация ЬЭ = 0. В связи с применением ЭВМ в решении сложных задач прикладной теории упругости в последние два-три десятилетия было установлено, что конечно-разностные аппроксимации во многих случаях предпочтительнее сочетать именно с вариационной постановкой задачи. Это позволяет удобно алгоритмизировать все этапы расчета, избежать вывода дифференциальных уравнений в сложных случаях, упрощает формула ровку граничных условий [1,5]. [c.247]

Классический путь теоретического исследования физического явления состоит в том, что с помощью наблюдений и построенных на основе их гипотез устанавливаются основные законы, управляющие явлением. При этом привлекаются и известные к настоящему времени законы (например, закон сохранения энергии). Строится физическая модель явления, и на ее основе составляется система уравнений, описывающая изучаемое явление. Устанавливаются важные для изучаемого явления краевые условия (физические свойетва тел, форма системы, в которой протекает явление, особенности протекания процессов на границах, начальное состояние системы). Система дифференциальных уравнений вместе с краевыми условиями представляет собой математическую формулировку задачи или математическую модель, которая подвергается теоретическому исследованию. [c.6]

Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений после согласования его с краевыми условиями задачи приводит к расчетным соотношениям, отражающим зависимость основных параметров явления от определяющих его факторов. Однако трудности математического характера ограничивают возможность получения аналитического решения, поэтому многие физические задачи, имеющие математическую формулировку, не рещены пока аналитическим путем. [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...