Топологические инварианты

Пара комплексно сопряженных мультипликаторов. Деформации ростков диффеоморфизмов с парой комплексно сопряженных мультипликаторов имеют топологический инвариант, пробегающий единичную окружность (аргумент мультипликатора, по модулю равного-единице), и даже в классе ростков с парой мультипликаторов е (a> фиксировано) конечно параметрические версальные деформации не построены и, видимо, не существуют. [c.46]

М 1°. Заменой времени добиваемся равенства Я,= 1 докажем, что а — топологический инвариант. Рассмотрим преобразование монодромии Д гомоклинической траектории седла у. Для этого выберем произвольную точку Рву Q y) достаточно близко к седлу на его устойчивом двумерном многообразии (неустойчивом одномерном многообразии W "). Требования близости формулируются ниже. Многообразие W делит окрестность седла на две части. Ту часть, в которую траектория у входит при t- —оо, обозначим U. Возьмем две трансверсаль-ные гладкие двумерные площадки ГЭР и T 9Q (рис. 48а). Обозначим через Г+ пересечение [/+ПГ. Если площадка Г+. достаточно мала, то определено отображение соответствия Ai точка РбГ+ переходит в конец дуги фазовой кривой рассматри [c.133]

Очевидно, разбиение на классы внутренне эквивалентных траекторий является топологическим инвариантом динамической системы. Бифуркации могут происходить без рождения или исчезновения неблуждающих траекторий, а быть связанными с изменением классов внутренней эквивалентности. [c.139]

Два пространства X, Y наз. топологически эквивалентными, если определены два непрерывных взаимно обратных отображения (гомеоморфизма) f-.X Y и g Y- X, g f x )) = x, f g(y)) y. По определению. все топологич. свойства топологически эквивалентных пространств должны совпадать. Числовые (или более сложные, алгебраические) характеристики топологич. свойств, называемые топологическими инвариантами, также должны быть одинаковыми для топологически эквивалентных пространств. Важным (напр., в качественной теории динамических систем) примером такого топологич. инварианта, определённого для широкого класса пространств, является размерность (разл. варианты её определения см. [5]). [c.143]

Строгое количественное описание связанности частиц второй фазы (выделений, включений) в матричной структуре а+р, не зависимое от формы и размеров этих частиц, получают с помощью топологических инвариант [3,41] — числа связанных наборов час- [c.92]

Примечательно, что эта величина, являющаяся топологическим инвариантом, линейна по заряду ММ [c.238]

Как видно из всего сказанного, в основе сравнительно широкой применимости борновских формул п. 8 для потерь энергии ММ лежат следующие факты квантовая малость заряда ММ, пропорциональность ему топологического инварианта струны (25), логарифмический характер потерь с большим (пропорциональным скорости света) аргументом логарифма. [c.244]

Доказательство теоремы 1 основано на методе работы [81] (см. п. 1 2). Оно использует тот факт, что в каждом классе свободно гомотопных путей на М имеется неустойчивая замкнутая геодезическая. Существование замкнутых геодезических (без анализа устойчивости) на многообразиях с выпуклой границей было отмечено в классических работах Уиттекера [163] и Биркгофа [18]. Вместо группы гомологий, примененной для доказательства неинтегрируемости в случае пустого дМ, здесь используются Другие топологические инварианты [25]. [c.142]

Используя введенное понятие отождествляющего отображения (т. е. отображения, переводящего траектории в траектории), дадим также определение топологического свойства и топологического инварианта разбиения на траектории (или множества траекторий). [c.128]

Вместо того, чтобы говорить топологическое свойство траектории или множества траекторий, или разбиения иа траектории , мы будем говорить короче топологическое свойство динамической системы , а также топологический инвариант динамической системы. Очевидно, свойство траектории, являющейся состоянием равновесия, быть состоянием равно- [c.128]

Если совокупность некоторых свойств разбиения на траектории, заданного динамической системой, такова, что две динамические системы, каждая из которых обладает этими свойствами, имеют одинаковую топологическую структуру, то такую совокупность будем называть совокупностью определяющих свойств или полной системой топологических инвариантов. [c.129]

Качественное исследование динамической системы состоит в установлении ее топологических свойств и топологических инвариантов (например, числа и характера состояний равновесия, числа и взаимного расположения предельных циклов и т. д.). [c.129]

Использование методов топологического анализа к интегрированию задач динамики твердого тела, а именно изучение перестроек торов Лиувилля при прохождении через критические значения, впервые предложено М. П. Харламовым [170] и получило свое развитие в теории топологических инвариантов, созданной для классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Почти все известные результаты, полученные с помощью этой техники, представлены в недавно вышедшей книге [25]. Комплексные методы, в основном приводящие к тем же результатам, пропагандируются в книге М. Оден [134]. [c.16]

Основная тема второй части книги — взаимосвязь между локальным анализом вблизи отдельной (например периодической) орбиты и сложностью структуры орбит в целом. Эта взаимосвязь изучается с помощью таких понятий, как гиперболичность, трансверсальность, глобальные топологические инварианты, а также с помощью вариационных методов. Набор методов включает анализ устойчивых и неустойчивых множеств, бифуркаций, исследование индекса и степени и построение орбит как минимумов и мини-максов функционалов действия. [c.12]

ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ИНВАРИАНТОВ [c.117]

Большинство свойств, обсуждаемых в настоящей главе, представляют собой топологические инварианты и могут быть определены для широкого класса топологических динамических систем, включая символические. Преобладание топологических инвариантов хорошо укладывается в картину, возникающую из рассмотрений 2.1, 2.3, 2.4 и 2.6. Кажется весьма правдоподобным, принимая во внимание результаты предыдущей главы, что гладкие динамические системы, если их рассматривать с точностью до гладкой сопряженности, практически никогда не являются устойчивыми и очень редко могут быть локально расклассифицированы. Напротив, структурная и связанная с ней топологическая устойчивость кажутся довольно широко распространенными явлениями. [c.117]

Ясно, ЧТО h,(f) является топологическим инвариантом /. В п. 8.1 б мы покажем, что h,(f) для любого непрерывного отображения / [ ]. [c.128]

Покажите, что строгая эргодичность является топологическим инвариантом. [c.155]

Свойство топологических пространств, которое одновременно выполняется либо не выполняется для любых двух гомеоморфных пространств, называется топологическим инвариантом. [c.694]

Оказывается, что число % не зависит от выбора триангуляции данного многообразия М и, таким образом, задает топологический инвариант хЩ), называемый эйлеровой характеристикой М. [c.717]

Книга [3] посвящена геометрической теории дифференциальных уравнений иа плоскости и сфере. В ией фактически содержится полный набор топологических инвариантов аналитических векторных полей с изолированными особыми точками иа двумерной сфере. [c.141]

Таким образом, индекс Франка не является топологическим инвариантом. Топологически инвариантен лишь факт его цело- или полуцелочисленности. [c.206]

Теорема (В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, 1985 г.). Пусть гладкое векторное поле в R имеет гомоклиническую траекторию гиперболического седла с собственными значениями a ip, К а-Х<0. Тогда отношение а/Я является топологическим инвариантом. [c.133]

Рис. 50. Диффеоморфизм плоскости, топологическим инвариантом которого является отношение logy/log

Для анизотропного ферро.магнетика типа лёгкая плоскость вектор п лежит в нек-рой плоскости, и пространством вырождения в этом случае будет D = S (окружность), В таких образцах могут возникать устойчивые линейные дефекты — вихри , т.к. ni(5 )=Z. В полярных координатах (г, <р) на плоскости вне области дефекта параметр 1юрядка можно представить в виде я = /4(г, ф)ехр (0((г, ф) , где o (r, p) — непрерывно меняющаяся фа.эа (угол между направлением и нек-рым фик иpoв направлением в лёгкой плоскости ). Вихрем будет такая особая линия, при обходе к-рой фаза меняется на а(г. 2 ) —а(г, 0) = 2яЛ , где N—топологический инвариант вихря — целое число, показывающее, сколько полных оборотов при этом делает вектор я. На рис. 6, изображён вихрь с iV= 1, на рис. 6.6—с Л = — 1, [c.137]

Стереологические характеристики бывают по своему смыслу зависящими (метрические) и не зависящими (топологические инварианты) от размеров и формы частиц однако часто зависимость от формы возникает из-за введения допущений при измерении или расчете (таб.ч. [c.75]

Рис. 1. Топологические структуры с разной полной кривизной. Полная кривизна поверхности к, которую можно определить пу-тем чисто локальных измерений, есть топологический инвариант, т. е. вблйчина,- которая остается постоянной при любых локаль- ных деформациях данной структуры. Для сферы й = 4л , для тора к = О, для кренделя с двумя дырками =—4л, (Рисунки для статьи выполнены Л. Фульгони.)

Связь между топологией и дифференциальной геометрией устанавливается глобальной геометрией , цель которой получить информацию о топологии-(общей форме) пространства путем локальных измерений, проводимых всюду в этом пространстве. На-примеру мы пытаемся определить форму нашей Вселенной поданным разных измерений, не выходя за ее пределы. Наиболее впечатляющим результатом теории поверхностей является знаменитая теор-ема Гаусса—Боннэ, которая утверждает, что интеграл от гауссовой кривизны по всей поверхности (полная кривизна) есть топологический инвариант, равный целому кратному числа 2л . Для сферы независимо от того/ как она искажена, полная кривизна равна для [c.9]

В этой книге впервые предпринята попытка систематизировать результаты по проблеме интегрируемости гамильтоновых систем, полученные за последние 10-15 лег, а также дать современное изложение классических результатов по этой тематике. Структура книги такова. Во введении дан исторический обзор исследований по проблеме интегрируемости уравнений динамики. Основы гамильтоновой механики изложены в гл. I. Глава II посвящена методам точного интегрирования уравнений Гамильтона в ней обсуждаются различные аспекты понятия интегрируемой гамильтоновой системы. В гл. III указаны грубые препятствия к интегрируемости, выраженные через топологические инварианты конфигурационного пространства. Обсуждение резонансных явлений в связи с проблемой интегрируемости содержится в гл. IV-VIIL Изложенные методы позволяют дать строгие доказательства неинтегрируемости многих актуальных проблем динамики. Особое место занимает обсуждение механизма стохастизации гамильтоновых систем при малом изменении функции Гамильтона. [c.7]

Эти наблюдения обобщаются на случай произвольной системы дифференциальных уравнений в С" = z с полиномиальными правыми частями. Подставляя формальные ряды Лорана вида (9.18) в уравнения и приравнивая коэффициекты при одинаковых степенях t, можно, во-первых, найти ограничения на кратности полюсов kj, и во-вторых, получить бесконечную цепочку полиномиальных уравнений на коэффициенты рядов Лорана z в каждое из которых будет входить лишь конечное число неизвестных коэффициентов. Совокупность всех этих полиномиальных уравнений выделит в бесконечномерном пространстве коэффициентов формальных рядов Лорана некоторое алгебраическое множество. Ввиду автономности рассматриваемой системы дифференциальных уравнений, его размерность не превосходит п-1. Числом Ковалевской к полиномиальной системы дифференциальных уравнений назовем количество связных компонент этого алгебраического множества, каждая из которых имеет размерность п—1. Числа Ковалевской— простейшие топологические инварианты аналитических систем дифференциальных уравнений. Можно рассматривать и более тонкие инварианты построенного выше алгебраического множества (например, группы гомологий). Отметим, что некоторые его связные компоненты могут иметь комплексную коразмерность 2 или больше. [c.119]

А. Т. Фоменко [166, 166а] детально исследовал строение трехмерных многообразий уровней интеграла энергии в интегрируемых системах и нашел топологические инварианты интегрируемых систем, которые позволяют эффективно различать неизоморфные системы. [c.150]

Фоменко А, Т. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю // Функц, анализ и его прил, —1988, т, 22, 4, 38-51, [c.424]

Определение VI. Топологическим качественным) свойством разбиения области С, на траектории или множества траекторий или тчкжг топологическим инвариантом разбиения на траектории называется свойстзо или величина, остающиеся инвариантными при всевозможных отождествляющих отображениях. [c.128]

Таким образом, полная схема является топологическим инвариантом динамической системы. Выше, при рассмотрении конкретных примеров, мы неоднократно говорили о том, что для знания топологическо структуры разбиения на траектории нужно знать характер состояний равновесия, число и расположение замкнутых траекторий и ход сепаратрис . Введение понятия схемы динамической системы фактически является внесением точного смысла в указанные наглядные, но весьма расплывчатые определения. [c.453]

Сведения о числе и характере состояний равновесия, взаимном расположении предельных континуумов п ходе сепаратрис, с одной стороны, и сведения о взаимном расположении ячеек и поведении траектории внутри них — с другой (и то и другое люжет быть названо схемой разбиения на траектории), являются двумя различньши полными системами топологических инвариантов, которые могут быть выражены одна через другую. В связи с этим можно говорить о схеме первого рода, понимая под этим указанную в тексте схему, и схеме второго рода, понимая под этил описание ячеек и их расположение. [c.63]

Pnif) - Pi(f)) — количество периодических орбит с периодом, равным в точности п. Вообще говоря, взаимосвязь между числом точек п иода п и числом орбит периода п более сложна. Если обозначить через Р (/) количество точек, для которых п является минимальным периодом, то число орбит периода п, очевидно, равно P (f)/n. Числа Р (/) также являются топологическими инвариантами / они выражаются через Р (/), а Р (/), в свою очередь, через них с помощью некоторых теоретико-числовых функций. В большинстве случаев удобнее работать с числами P if), чем с Р (/). [c.118]

Замечание. Число 0(Х), очевидно, инвариантно относительно перехода к билипшицево эквивалентной метрике. Нетрудно видеть также, что О ([0,1]") = п и что для дифференцируемых многообразий энтропийная размерность равна топологической размерности. Наконец, ясно, что )(У) 0(Х), если У сХ. Однако энтропийная размерность не является топологическим инвариантом. [c.135]

Этот параграф посвящен классификации компактных поверхностей (двумерных многообразий) с различных точек зреиня. Каждая ориентируемая компактная поверхность гомеоморфна пространству, полученному из сферы вклейкой нескольких ручек. Вклейка ручки означает удаление двух непересекающихся дисков из сферы и отождествление пары возникающих в результате окружностей с граничными окружностями цилиндра. Число g вклеенных ручек называется родом поверхности и является топологическим инвариантом. Как дифференцируемые многообразия, поверхности определяются своим родом с точностью до диффеомтфизма. Род связан с эйлеровой характеристикой х поверхности соотношением х = 2 - 2j. Эйлерова характеристика может быть определена различными способами. Во-первых, можно рассмотреть триангуляцию поверхности (см. определение П 7.1), т. е. представление поверхности в виде полиэдра с треугольными гранями. Пусть / — число граней, е — число ребер и v — число вершин этого полиэдра. Тогда х=/-еЧ-и их не зависит от триангуляции. (На самом деле X = - А + А) — числа Бетти (определение П 7.4). Для поверхности рода g мы иые-ем Д, = / = 1 и так что х = 2-2д.) Во-вторых, можно рассмотреть векторное поле [c.713]

В книге [3] построен полный набор топологических инвариантов векторных полей с конечным числом особых точек на сфере, удовлетворяющих условиям теоремы 1. В частности, это цает топологическую классификацию аналитических векторных нолей с изолированными особыми точками на сфере. Проблема реализащш, то есть вопрос о то какие из перечисленных В (3 фазовых портретов фактически реализуются для аналитй-1еских векторных полей на сфере, остается открытой неизве-п-но, могут ли такие поля иметь счетное число предельных циклов (см. 4, гл. 6). [c.91]

Теорема Камачо и Сада ((С. ama ho, Р. Sad) [79]).. Числа р, q и k составляют полный набор топологических инвариантов ростка седлового резонансного векторного поля. [c.101]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...