Вариационный принцип геометрический

При рассмотрении интегральных вариационных принципов речь будет идти исключительно о системах с геометрическими или голономными связями. [c.194]

Воспользуемся для примера вариационным принципом Лагранжа, который заключается в том, что вариация работы внутренних и внешних сил на возможных перемещениях, согласующихся с геометрическими граничными условиями, равна нулю. При этом предполагается, что во всех точках тела не возникает разгрузка (другими словами, рассматривается вариационный принцип Лагранжа для нелинейно-упругого тела). Вариация работы внутренних сил 6J7 определяется выражением [c.306]

Таким образом, можно сформулировать вариационный принцип Лагранжа применительно к вязкоупругим телам среди всех возможных полей перемещений вязкоупругого тела, согласованных с геометрическими граничными условиями, истинными являются те, при которых функционал Э принимает минимальное значение. [c.356]

Поскольку мы наложили геометрические ограничения на характер деформации балки и предопределили заранее ноле деформаций, заданное формулой (12.1.2), содержащей две неизвестные функции одной только переменной z, для получения уравнений изгиба естественно применить вариационный принцип Лагранжа. Построим функционал Лагранжа но формуле (8.7.5) [c.388]

Интеграл I содержит геометрическую информацию, не имеющуюся ни в формуле (67), ни в формуле (68). Применяя аналогичным образом другой вариационный принцип, находим нижнюю границу для е и в результате получаем [c.269]

Вариационные принципы 81, 247 Геометрическая дисперсия 356, 357 [c.553]

Вариационные принципы механики неразрывно связаны с теорией групп преобразований, синтезом аналитического и геометрического аспектов механики, оптико-механической аналогией и единой волново-корпускулярной картиной движений, классической и квантовой теорией физических полей, вариационными методами решения задач движения, равновесия, устойчивости и структуры физических систем и другими фундаментальными проблемами. [c.780]

Итак, принцип кратчайшего времени был сформулирован и продемонстрирован в геометрической оптике. Немедленно и закономерно возникла проблема отыскания аналогичных задач с минимальным значением времени в механике. Рассмотрение одной из них связано с возникновением вариационного исчисления привело в дальнейшем к формулированию вариационного принципа в механике. Более широкая постановка таких задач связана с проблемой определения кривой при условии, что некоторая величина, связанная с ее формой, имеет максимум или минимум, т. е. отысканием кривой, обладающей некоторым свойством максимума или минимума. Первой задачей такого рода была задача, приведенная Ньютоном в его Началах (книга II, секция VII, предложение 34) какую форму надо придать твердому телу вращения, движущемуся вокруг оси, для того, чтобы испытываемое им сопротивление было наименьшим Решение задачи он привел без указания способа, которым оно было найдено. [c.781]

Следующим этапом в истории вариационных принципов, подготовленным как развитием механики, так и развитием геометрической оптики в интересующем нас аспекте, явились исследования ирландского математика У. Гамильтона ). [c.804]

В соответствии с вариационным принципом Лагранжа эта величина должна равняться нулю при т О и при произвольной, удовлетворяющей геометрическим граничным условиям функции Wi %, у). Отсюда следует [c.67]

Изложенные вьпне вариационные принципы могут быть применены для решения геометрически нелинейных задач теории упругости. Для этого необходимо внести некоторые изменения в их математические формулировки. С>чь этих изменений состоит в следующем [c.53]

Наличие аналогии между геометрическими и статическими уравнениями теории оболочек наводит на мысль о существовании аналогии между статическим вариационным принципом Лагранжа, в формулировке которого участвуют геометрические переменные и, е, (г, и геометрическим принципом Кастильяно со статическими переменными t ), М, Т. И действительно, такая аналогия имеет место между функционалами Лагранжа и Кастильяно, записанными в форме табл. 4.1 и [c.133]

Третье издание книги разбито на две части, часть А и часть В. Содержание части А, озаглавленной Формулировка вариационных принципов в теории упругости и пластичности , практически не отличается от первого издания, за исключением некоторых новых тем в гл. 5 и 7. Содержание части В, озаглавленной Вариационные принципы как основа методов конечных элементов , мыслится как улучшенное изложение приложения I второго издания. В этой части систематически излагаются классические вариационные принципы и модифицированные вариационные принципы со смягченными (ослабленными) требованиями непрерывности применительно к задачам статической теории упругости (теория малых перемещений и теория конечных перемещений) и динамической теории упругости, а также к теориям геометрической и физической нелинейности и теории изгиба упругих пластин. Последняя глава посвящается методам дискретизации и содержит вновь добавленное введение в метод граничных элементов. [c.8]

В гл. 1 и 2 книги мы будем рассматривать теорию упругости при малых перемещениях (геометрически линейную теорию упругости) и выведем принцип виртуальной работы и связанные с ним вариационные принципы для задачи о статическом равновесии упругого тела, находящегося под действием массовых (объемных) сил, при заданных граничных условиях [1,2 ]. Для описания трехмерного пространства, в котором рассматривается тело, применяются ортогональные декартовы координаты (х, у, z). В геометрически линейной теории упругости компоненты перемещений и, V, W в точке тела считаются столь малыми, что уравнения задачи выполняются в линейном приближении. Запишем эти линеаризованные уравнения [c.23]

Книга состоит из 11 глав, Гл. 1 содержит сведения из геометрически нелинейной теории многослойных анизотропных оболочек типа Тимошенко построенной на основе независимых гипотез относительно характера распределения перемещений и поперечных касательных напряжений по толщине пакета. Путем использования смешанного вариационного принципа получены уравнения равновесия, граничные условия и интегральные соотношения упругости для поперечных касательных напряжений. В случае осесимметричной деформации многослойных анизотропных оболочек вращения выведена нормальная система десяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которая в дальнейшем решается численно на ЭВМ. [c.4]

Варианты основных уравнений, относящиеся к данному направлению теории слоистых пластин и оболочек и установленные разными авторами, можно разделить на три группы. Первую составляют уравнения, выведенные преимущественно в ранних исследованиях по неклассической теории слоистых оболочек [8, 215, 253 и др. ]. Здесь уравнения равновесия пластин и оболочек устанавливаются без использования вариационных принципов по следующей схеме. При заданной кинематической гипотезе, позволяющей учесть поперечные сдвиговые деформации, удовлетворить кинематическим и силовым условиям межслоевого контакта и условиям на верхней и нижней граничных поверхностях оболочки, определяются традиционные усилия и моменты, которые и подставляются в уравнения равновесия либо классической теории [8, 215], либо теории, основанной на кинематической модели прямой линии [253 ]. Тем самым остается неустановленной система внутренних обобщенных усилий и моментов, соответствующая принятой геометрической модели. Математически это проявляется в заниженном порядке разрешающей системы дифференциальных уравнений, что не позволяет удовлетворить необходимому числу краевых условий и приводит к существенным погрешностям в определении напряженного состояния оболочки, особенно в зонах краевых закреплений. [c.9]

Этим требованиям удовлетворяет предложенный в работе [ 75 ] сингулярный элемент с аппроксимацией поля перемещений исходя из собственных функций для установившегося распространения трещины. В указанной работе выведен соответствующий вариационный принцип, позволяющий получить несимметричные конечно элементные уравнения движения, и предложена процедура перестроения сетки конечных элементов при распространении трещины. Достоинства введенного авторами элемента заключаются в том, что на берегах трещины точно удовлетворяются свободные граничные условия, в результате же решения системы уравнений движения определяются коэффициент интенсивности напряжений, а также его первая и вторая производные по времени (что представляет интерес при решении задач, в которых скорость распространения трещины непостоянна на каждом шаге по времени и определяется.из некоторого критерия). Кроме того, поскольку элемент основан на аппроксимации по достаточно большому числу собственных функций, он нечувствителен к изменению геометрических размеров. [c.77]

Монография Н. Е. Жуковского О прочности движения (1882) содержит теорию устойчивости траекторий динамических систем, которую сейчас называют теорией орбитальной устойчивости. Этот труд систематизирует и пополняет результаты В. Томсона и П. Тэта, изложенные в их известном Трактате натуральной философии Для Томсона и Тэта отправным пунктом была теория кинетических фокусов К. Якоби, намеченная в его Лекциях по динамике . Якоби, исходя из наглядных геометрических соображений, показал, что на истинной траектории динамической системы действие , которое Входит в интегральные вариационные принципы механики (П. Мопертюи, Л. Эйлер, Ж. Лагранж), не обязательно минимально. Томсон и Тэт связали эти результаты с теорией устойчивости, показав, что минимальность действия на траектории влечет за собою устойчивость последней, тогда как стационарность действия на траектории,— а только к этому должен сводиться вариационный принцип механики,— оставляет вопрос об устойчивости траектории открытым, Жуковский справедливо оценил те несколько страниц из Трактата натуральной философии Томсона и Тэта, которые уделены авторами исследованию прочности (Жуковский пользуется этим термином вместо устойчивости), как только легкий набросок, в котором указываются пути для более обстоятельного исследования . [c.122]

Решение вариационной задачи для функционала и—А мы расчленяем на два этапа. На первом этапе изометрическое преобразование фиксируется и функционал рассматривается на формах, близких к этому изометрическому преобразованию. Решение задачи на этом этапе удается получить в замкнутом виде при самых общих предположениях о поверхности оболочки и ее изометрическом преобразовании. В результате решения этой задачи функционал оказывается теперь определенным на изометрических преобразованиях, и общий вариационный принцип принимает геометрическую форму (принцип А, 2). Найденное на втором этапе изометрическое преобразование, исправленное малой добавкой, полученной на первом этапе, и дает истинную форму оболочки при заданном нагружении. [c.7]

Как уже отмечалось, в ряде случаев для определения напряженно-деформированного состояния целесообразно пользоваться вариационным принципом одновременных возможных изменений напряженного и деформированного состояний (3.31). Приближенный метод решения в этом случае мало отличается от рассмотренных выше случаев. Поле скоростей принимается в форме (3.42), поле напряжений — в форме (3.45) и (3.46). Первое поле удовлетворяет всем геометрическим условиям, а второе — статическим. Подставив (3.42), (3.45) и (3.46) в (3.31), получим систему [c.101]

Функции N и Ni н ываются функциями темпа (хода) и сдвига соответственно. Они по сути дела являются лагранжевыми множителями в вариационном принципе. С геометрической точки зрения эти [c.140]

Первая научная формулировка вариационного принципа принадлежит П. Ферма. Он в 1662 г. предложил принцип кратчайшего времени прохождения луча света, что позволило установить законы преломления света в геометрической оптике. Описание истории возникновения основных вариационных принципов в физике и механике и их формулировки можно найти в монографии [87]. [c.439]

Основные понятия гамильтоновой механики (импульсы р, функция Гамильтона Н, форма р dq — Hdt, уравнение Гамильтона — Якоби, о котором будет идти речь ниже) возникли при перенесении на общие вариационные принципы (и, в частности, на принцип стационарного действия Гамильтона, dt 0) некоторых весьма простых и естественных понятий геометрической оптики, управляемой частным вариационным принципом — принципом Ферма. [c.218]

Рассмотренные подходы обладают одним недостатком. Поперечные сдвиги и, вследствие использования закона Гука, поперечные касательные напряжения распределены равномерно по толщине А -го слоя. В этой главе, следуя работам [2.9, 8.2, 8.3], строится непротиворечивый с точки зрения смешанного вариационного принципа геометрически нелинейный вариант теории многослойных анизотропных оболочек, в котором поперечные компоненты тензора напряжений являются неп-рерьшными функциями поперечной координаты всюду в теле оболочки, в том числе и на поверхностях раздела слоев. При этом на граничных поверхностях они принимают заданные значения. [c.164]

Как инструмент для изучения произвольных голономных систем материальных точек получены уравнения Лагранжа второго рода и канонические уравнения Гамильтона [66]. Дается понятие о лагран-жевом формализме [1, 36]. Изучается поведение полной энергии системы в зависимости от структуры обобщенных сил и кинетической энергии. Дается метод циклических координат [5, 58]. Устанавливается, что для голономных систем интегргипы количества движения, кинетического момента и обобщенный интегргия энергии Якоби [70] всегда могут быть представлены как следствие существования соответствующих циклических координат. Указывается на возможность использования аппарата теории групп для поиска интегралов движения [5]. Изложение вариационных принципов Гамильтона и Мопертюи-Лагранжа-Якоби [17, 38, 70] выполнено в соответствии с современной теорией оптимальных процессов [2, 5, 13]. Геометрически наглядная трактовка придана теории малых колеба- [c.12]

Вариационные принципы чаще всего используются для получения приближенного решения задач вязкоупругости. В частности, из вариационного принципа Лагранжа следует метод Ритца. Суть его поясним на примере тела с однородными кинематическими (геометрическими) граничными условиями. [c.358]

Здесь варьируются независимо напряжения о и перемещепи>1 щ. Функционал Лагранжа, записываемый через и деформации ij, выраженные через Ut по формулам (12.2.1), послужил отправной точкой для всех выводов. Прямое распространение на геометрически нелинейные задачи вариационного принципа типа Кастильяно невозможно. Действительно, в линейной теории было использовано то обстоятельство, что беу выражается через Ьщ по тем же формулам, по которым б ,- выражаются через Uu Поэтому преобразование объемного интеграла можно было произвести до варьирования функционала. В нелинейной теории этого сделать нельзя. [c.392]

Лагранж (1736—1813). Достижения Лагранжа, этого величайшего математика XVIII века, во многих отношениях параллельны работам Эйлера. Лагранж вполне независимо от Эйлера получил решение изопериметрических задач, сделав это совершенно новыми методами. Он разработал для этой цели новое, вариационное исчисление. Он также понял преимущество вариационных принципов в связи с той свободой, которую мы получаем, описывая положение механической системы при помощи выбираемой по нашему усмотре-ншо совокупности параметров ( обобщенные координаты ). Если принцип виртуальных перемещений и принцип Далам-бера позволили рассматривать механическую систему как нечто целое, не разбивая ее на изолированные частицы, то уравнения Лагранжа добавили еще одно, чрезвычайно важное свойство — инвариантность относительно произвольных преобразований координат Это позволило выбирать системы координат, удобные для данной конкретной задачи. В своей Аналитической механике (1788) Лагранж создал новое, необычайно мощное оружие для решения любых механических задач при помощи чистых вычислений, без каких бы то ни было физических или геометрических соображений, при условии, что кинетическая и потенциальная энергии заданы в абстрактной аналитической форме. Относясь к этому выдающемуся результату со своей обычной скромностью. Лагранж писал в предисловии к своей книге Читатель не найдет в этой книге рисунков. Развитые мною методы не требуют ни каких бы то ни было построений, ни геометрических или механических аргументов — одни только алгебраические операции в соответствии с последовательными едиными правилами . Лагранж таким образом создал программу и основания аналитической механики. [c.390]

Вариационный принцип для физической проблемы впервые был отчетливо сформулирован в геометрической оптике в XVII в. и применен к решению задач отражения и преломления света. Это был принцип кратчайшего времени или принцип Ферма. Естественно, возникает вопрос о том, почему экстремальный принцип возник первоначально в оптике, а не в механике, хотя и в последней уже в то время имелось достаточно отдельных высказываний о простоте законов движения или, в телеологическом варианте, о том, что природа достигает своих целей простейшими средствами. [c.780]

К началу советского периода работа в области аналитической механики оживилась в Казани. Здесь под влиянием традиционных геометрических интересов обратились к общим методам механики, которые можно рассматривать и в геометрической трактовке. Работы А. П. Котельникова были важным вкладом в общую теорию векторов и неевклидову механику. Д. Н. Зеилигер разрабатывал теорию движения подобно изменяемого тела. Е. А. Болотов (1872—1921) занимался вариационным принципом Гаусса. Его исследования были продолжены Н. Г. Четаевым (1902-1959). [c.280]

В общем случае оба основных вариационных принципа носят статико-геометрический характер, т.е. справедливы при любых свойствах материала тела. Каждый вариадаонный принцип утверждает, что для некоторого класса задач, если заданы условия задачи, из всех мыслимых состояний (процессов), совместимых с этими ушювиями, в действительности реализуется такое состояние (процесс), которое придает опреде-.тенному, характерному для этого принципа и класса задач, функционалу стационарное значение. [c.41]

В соответствии с вариационным принципом Лагранжа среди всех геометрически воз-можньк положений равновесия в действительности осуществляется только то, для которого фун-юхионал [c.213]

В настоящей главе дается описание известных искривленных конечных элементов тонких оболочек, поотроенных в предположении справедливости гипотез Кирхгофа-Лява. Исходным вариационным принципом для всех злементов из зтой главы является принцип Лагранжа, и вое они объединяются единым методом построения матрицы жесткости - классическим методом перемещений ( I.I). Большое внимание уделено качественным аспектам используемых аппроксимаций с точки зрения даваемой ими точности при изменении геометрических параметров злемента - толщины и степени непологости ( 1.2,4,7). Рассмотрены вопросы построения аппроксимаций, удовлетворяющих необходимым условиям глад- кости, как для треугольных ( 1.3,4), так и четырвхугольннх злементов ( 1.2,5). Описаны способы ослабления требований гладкости первых производных от прогиба с помощью методов штрафа и множителей Лагранжа и даются примеры их использования для оболочек ( 1.9,10). Много места уделено особенностям расчета оболочек сложной геометрии в отличив от оболочек канонических форм ( 1.4, 5,7). Затронуты вопросы параметризации поверхности оболочки в случае дискретного задания ее геометрии и приведены требования к аппроксимации радиуса-вектора средин-нйй поверхности ( 1.5,6). Дается сравнительный анализ точности, даваемой различными КЭ, на примере некоторых общепринятых задач ( 1.8). [c.16]

Геометрически линейная теория однородных оболочек типа Тимошенко построена в работах [ 1.24, 1.30, 1.33-1.35]. Линейные теории многослойных оболочек в рамках гипотез Тимошен-ко развиты в работах [ 1.4, 1.18,1.19, 1.31 и др.]. Геометрически нелинейная теория является менее исследованной. Общим вопросам нелинейной теории однородных оболочек с учетом поперечных сдвигов посвящены фундаментальные работы [ 1,1, L7, 1.29]. Л.Я. Айнола [ 1,1] построил теорию упругих анизотропных оболочек типа Тимошенко на основе обобщенного вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. К.З. Галимо-вым выведены уравнения движения при конечных перемеще- [c.7]

МЕТОД СКЛЕЙКИ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ. В теории конформных отображений установлен ряд вариационных принципов, позволяющих рценить влияние вариации некоторого участка границы на геометрические параметры отображения. Используя гидродинамическую трактовку соответствующих результатов, можно сформулировать принцип локального влияния формы границы изменение формы отдельного участка границы вызывает возмущение потока лишь в некоторой окрестности этого [c.312]

В.Ф. Снигиревым [282], И.И. Соколовской [284] и др. Этими авторами составлены непротиворечивые с точки зрения вариационных принципов варианты систем дифференциальных уравнений слоистых пластин и оболочек, различающиеся между собой по структуре, широте охвата учитываемых факторов и границам применимости, установлены системы внутренних усилий, соответствующие принятым ими геометрическим моделям деформирования, сформулированы коррект- [c.9]

Задачи о нелинейных собственных колебаниях трехслойных пластин рассматриваются в работг1х [375, 376, 477]. Так авторами статьи [129] рассматривается прямоугольная трехслойная пластина. Уравнения движения получены из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. Используется гипотеза ломаной нормали. Для несущих слоев принимается гипотеза Кирхгофа, а заполнитель считается трехмерным телом, работающим на поперечный сдвиг. При этом исходная нормаль в заполнителе поворачивается на некоторый угол. Используется кармановская модель геометрической нелинейности. Для свободно-опертой прямоугольной пластины применяются двойные ряды Фурье. Интегрирование по времени производится методом Рунге-Кутта. Автором статьи [427] был рассмотрен вопрос о применимости гибридного метода Галеркина к нелинейным свободным колебаниям слоистых тонких пластин. [c.20]

Впервые вариационный принцип для физической проблемы был отчетливо сформулирован в геометрической оптике в XVII в. французским математиком Пьером Ферма (1601—1665), автором знаменитой теоремы о том, что уравнение х + у = г , где п — целое число, больше двух, не имеет решения в целых положительных числах. Принцип Ферма является обобщением известного принципа Герона об отражении света и основан на положении, что природа действует наиболее легкими и доступными путями. Этот принцип заключается в том, что действительный путь распространения света есть тот, для прохождения которого свету требуется минимальное время по сравнению с другими путями между теми же точками. Математическое выражение принципа следует из [c.501]

Гамильтон (Hamilton) Уильям Роуан (1805-1865) — ирландский математик и физнк. Окончил Тринити Колледж (1827 г.), профессор Дублинского университета и директор астрономической обсерватории. Исследования в области оптики и механики. Разработал математический аппарат для решения задач геометрической оптики развил аналогию между корпускулярной и волновой оптикой, использованную через сто лет Э. Шре-дингером при разработке волновой механики. Распространил теорию оптических явлений на механику (1834-1835 гг.), разработав общие принципы, в частности вариационный принцип получил канонические уравнения механики. Построил своеобразную систему чисел кватернионов. Идеи Гамильтона в настоящее время получают развитие в теории нелинейных волн, теории динамических систем и др. [c.359]

Ферма (Fermat) Яьрр (1601-1665) — французский математик. Юрист, математикой занимался в свободное время, при жизни почти не печатался. Работал в области теории чисел, математического анализа и аналитической геометрии. В теории чисел известен знаменитой теоремой Ферма в области анализа установил закон интегрирования и дифференцирования степени, вывел формулу и1гтегрир0вания по частям, сформулировал правило нахождения экстремума. В геометрии ввел уравнение прямой и кривой второго порядка. В геометрической оптике впервые научно сформулировал вариационный принцип. [c.439]

Для получения приближенных решений на практике часто используется вариационный принцип Лагранжа. Согласно этому принципу истинное деформированное состояние отличается от всех геометрически возможных, т, е. соответствующих заданным условиям закрепления, тем, что Д.ЧЯ него реализуется минимальное значение полной энергии, т. е. выполняется услогше [c.314]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...