Уравнения равновесия для для пластин

Сравнение уравнений равновесия для элемента пластины (6.8) и для балки (6.7) показывает их аналогию, но в то же время позволяет обнаружить и существенное различие. В два уравнения (6.7) входят две неизвестные функции Q и М, что при заданной внешней нагрузке (включая опорные реакции) позволяет проинтегрировать эти уравнения и найти внутренние усилия в сечениях стержня Q и М только из уравнений статики (задача статически определима). [c.155]

УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ДЛЯ ГИБКОЙ ПЛАСТИНЫ [c.276]

Запишите уравнения равновесия для гибких пластин в усилиях. [c.145]

При отсутствии объемных сил дифференциальное уравнение равновесия для пластины примет вид [c.64]

Для решения задач устойчивости, как мы уже выяснили, уравнения равновесия должны составляться для деформированного состояния упругого тела. Соответственно, применяя вариационное уравнение, в нем необходимо удерживать квадратичные члены в формулах для деформаций, как это было сделано для общей теории в 12.2 и для задачи об устойчивости стержня в 12.3. В задачах изгиба пластин достаточно удерживать те квадратичные члены, которые зависят от прогиба w, производные от перемещений мы сохраним лишь в первой степени. Повторяя вывод 12.4, мы найдем, что формулы (12.4.3) сохранят силу и в этом случае, но компоненты деформации срединной поверхности нужно будет вычислять по формулам [c.411]

Первое из условий (150) следует из уравнений равновесия, записанных для верхней и нижней поверхностей пластины. Вывод [c.47]

В линейной теории поперечного изгиба пластин уравнения равновесия формулируются для недеформированного состояния. Условия равновесия элемента пластины в недеформированном состоянии — уравнения моментов относительно его граней — приводят к двум зависимостям [c.139]

Покажем, как составить уравнения равновесия для узлов при разбиении пластины на два конечных элемента. [c.495]

Ниже рассмотрены уравнения гибких пластин большого прогиба (уравнения Кармана), из которых, в частности, получены соотношения для других видов пластин. При выводе уравнений принято, что справедливы гипотезы Кирхгофа, а составляющие тензора деформаций учитывают величины, пропорциональные квадратам производных от нормальных перемещений. В уравнениях равновесия, составленных для деформированного состояния, учтены наиболее существенные члены, содержащие силы в срединной плоскости на вторые производные от перемещений по нормали. [c.120]

Задачу изгиба пластины рассмотрим в линейной постановке, т. е. прогибы пластины будем считать малыми по сравнению с ее толщиной, уравнения равновесия составим для недеформированного элемента пластины, а в выражениях для относительных удлинений ограничимся линейными слагаемыми. При такой постановке задачи можно считать, что точки срединной плоскости пластины получают только перемещения W = W г) в направлении оси. 2, а срединную плоскость принять нерастяжимой. [c.53]

После подстановки полученных выражений для обобщенных внутренних усилий и моментов в (6.8) получаем в перемещениях следующую систему дифференциальных уравнений равновесия для круговой трехслойной пластины [c.311]

В силу линейности связи деформаций с перемещениями в слоях пластины (6.7), уравнений равновесия (6.59) и граничных условий (6.9) подобные соотношения будут справедливы и для всех величин, отмеченных звездочками (б.61). В этом случае краевая задача (6.61) (6.63) совпадает с краевой задачей для некоторой фиктивной трехслойной упругопластической пластины, которая испытывает изотермическое нагружение из естествен- [c.339]

Уравнений равновесия рассматриваемой упругой пластины останется три [308]. Для вязкоупругопластической трехслойной прямоугольной пластины в итерационном виде они будут следующими [c.355]

Уравнения равновесия элемента изотропной пластины (6.13) — (6.15) справедливы также и для ортотропной пластины. Внеся в них выражения моментов (6.80) — (6.82) и выполнив несложные преобразования, придем к дифференциальному уравнению упругой поверхности [c.247]

Для центральной части пластины радиуса г (рис. 349), независимо от способа закрепления на внешнем контуре, уравнение равновесия дает [c.307]

Для сил. Vo, Yn,. 3 = — V3, — th 12, приложенных к треугольной пластине, уравнения равновесия имеют вид [c.12]

Разрешающее уравнение изгиба пластины, представляющее условие равновесия элемента (рис. 6.47) по сумме проекций на ось 2, выражается, как и для прямоугольных пластин, через бигармонический оператор == q/D, или [c.194]

Расчет изотропных пластин на изгиб сводится к решению краевой задачи для дифференциального уравнения равновесия (6.12) относительно функции прогибов и> х, у) [c.241]

Аналогичное выражение будет и для Sk+i- Оно показывает, что в уравнения равновесия типа (8.69) войдут обобщенные упругие силы только от примыкающих к узлу конечных элементов. Это следует из механической модели обобщенных упругих сил, изображенной на рис. 8.33, б. Формально это можно доказать тем, что энергия деформации пластины равна сумме энергий отдельных элементов [c.262]

Уравнения равновесия, представляющие собой сумму моментов сил относительно осей х у, записываются так же, как для жесткой пластины [c.277]

Если имеет место симметрия в условиях задачи, то уравнения равновесия (17.17) и краевые условия (17.18) следует составить лишь для части пластин, а вдоль границы сопряжения симметрично деформируемых частей следует составить условия симметрии [c.408]

Эти векторы показаны на рис. 18.9. Для изотропных линейно , упругих оболочек, приняв гипотезы а з Оц, а.22 и повторив дословно приведенные в 16.5 построения для пластин, связь между усилиями Nj, N2, N- , моментами Л ,, М2, Мц и характеристиками деформации е,, 62, 1 12, усц, 22. И12 получим в форме (16.26). Так как значения усилий и моментов при переходе от сечения к сечению изменяются, то с учетом этих изменений изображенную на рис. 18.9 картину следует уточнить, что сделано на рис. 18.10, где указан и вектор поверхностной нагрузки Составляя уравнения равновесия мембранных усилий и моментов аналогично тому, как это сделано для пластинки, получим [c.430]

Решение задачи начинаем с определения поперечной силы Q. Для центральной части пластины радиусом г (см. рис. 10.21), независимо от способа закрепления на внешнем контуре, уравнение равновесия дает [c.413]

Таким образом, как видим, из системы уравнений (6.25) — (6.27) легко получить уравнения равновесия в перемещениях для всех рассмотренных выше частных случаев теории тонких пластин. [c.136]

Если вырезать круглую пластинку с радиусом г и центром О из пластины, показанной на рис. 6.5, то уравнение равновесия сил на ось г можно записать для такой жесткой пластины в следующем виде [c.142]

Уравнения (9.59) имеют такой же вид, как и уравнения равновесия плоской задачи теории упругости в декартовых координатах. Для преобразования третьего уравнения равновесия вспомним зависимости между поперечными силами и изгибающими и крутящими моментами, полученные нами ранее для пластин (6.14). Эти зависимости сохраняют такой же вид и для пологих оболочек [c.256]

Рассмотрим внутренний слой, представляющий собой трубу, находящуюся под внутренним и наружным д давлениями (рпс. 10.13, в). Внутренний радиус этой трубы а, а внешний г . Эта труба полностью находится в пластине- ском состоянии. Таким образом, для нее помимо дифференциального уравнения равновесия да. [c.303]

После дифференцирования правой п левоГ частей уравнения (6.54) по г получим следующее окончательное уравнение равновесия для круглой пластины, подвергающейся осесимметричному и.згибу поперечным давлением д, зависящим только от координаты г [c.143]

Графическое представление этого уравнения для моментов не отличается от соответствующего представления для напряжений (рис. 15.15.1). Уравнение равновесия для моментов в декартовых координатах будет, очевидно, иметь вид (12.5.8) для получения этого уравнения в полярной системе координат для полярносимметричного распределения моментов мы сделаем независимый вывод, отправляясь от начала возможных перемещений. При полярно-симметричном изибе прогиб (или скорость прогиба) пластины есть w(r), кривизна радиального сечения равна (Fw/dr , кривизна сечения в плоскости, [c.527]

Для абсолютно гибких пластин характерно пренебрежение изгибпой жесткостью. Полагая 0 = 0, из системы уравнений (6.25) —(6.27) получим уравнения равновесия абсолютно гибких пластин (мембран) в перемещениях. Эти уравнения будут эквивалентны уравнениям (6.23) А. Фёппля. [c.136]

Уравнения равновесия для пластин получены им из вариационного уравнения Латранжа — начала возможных перемещений. [c.202]

Пути, основанные на других вариационных принципах, недавно привели к пониманию этих особенностей поведения н к элементам пластин Тимошенко— Миндлина, которые свободны от указанных недостатков. Спилкер и Мунир [13—15] использовали гибридную модель в напряжениях, основанную на модифицированном принципе минимума дополнительной энергии для того, чтобы построить элемент пластины Тимошенко — Минд-лина, в котором континуальные уравнения равновесия используются для определения поперечных сдвиговых н межслойных напряжений (Т,г, (fz по полям напряжений а , (Ту, а д. [c.417]

Перемещения входят в уравнения равновесия только как плечи сил, действующих на противоположных сторонах малого элемента. На рис.-6,13, а показано поперечное сечение элемента и соответствующие силы. Можно видеть, что любое плечо для силы Fa и любая разность между величиной Ada та. плечом силы Ра.1 будет содержать более одного приращения da, поэтому этими членами можно пренебречь. Таким образом, выражения для перемещений совпадают с такими же для плоских пластин (см. рис. 4.8, а), если в последние вместо dx и dy подставляются соответственно Ada и В dp, а в индексах вместЬ х ш у — соответственно а и р. На время в выражениях для перемещений в направлениях аир удерживаются члены (1 + е т) и (1 + ерт), потому что позже при составлении Зфавнения равновесия Ягоментов относительно оси Z большая часть слагаемых взаимно уничтожается и остаются члены, содержащие деформации. [c.432]

Другой метод решения задачи о тонкой оболочке был показан на примерах уравнения (4.1 3) для плоской пластины и уравнения Сб.17) для круговой цилиндрической оболочки. Согласно этому методу решение для мембранных напряжений (или сил) выражается через, функцию напряжений ф(а, которая удовлетворяет первым двум уравнениям (6.24) и после подстановки в третье уравнение (жодит число неизвестных функций к двум Ф и U . Подобное удовлетворение уравнений равновесия должно быть дополнено удовлетворением условия непрерывности в направлениях а и которое может быть сведено к приравниванию выражений для трех мембранных деформаций, выраженных через функцию ф, их выражениям че]рез непрерывные функции перемещений и, v, w. Получающиеся в результате три зфавнения сводятся к одному путем исключения и я V, таким путем получается второе из двух уравнений, содержащих только две неизвестные функции ф и W, которые находятся из решения этих уравнений. Подобно уравнениям (4.13) и (4.18) для плоских пластин эти два зфавнения будут иметь четвертый порядок и теоретически будут содержать такое же число функций для удовлетворения краевых условий, как и обсуждавшиеся выше три уравнения относительно функций и, v и w. [c.443]

Пусть, например, бесконечная пластина постоянной толщины растягивается одноосно некоторым предельным напряжением q. Спрашивается, каково оптимальное расположение и длина стрингеров (при минимальной массе), которыми нужно подкрепить пластину, чтобы она вьщержала большее напряжение 0>0q, Нетрудно видеть, что оптимальная структура стрингеров образует на плоскости пластины шахматную решетку, причем стрингеры длины 21 располагаются лишь по полям одного цвета (вдоль направления растяжения в середине полей) каждое поле представляет собой прямоугольник размерами 21 Х26. Величины / и 5 определяются по формулам (4,68) и (4.76). При этом величина а , фигурирующая в формуле (4.68) и в других соотношениях, в данном случае неизвестна она представляет собой напряжение Oi 1 в пустых полях. Для ее определения служит уравнение равновесия, записьшаемое для одного периода шахматной решетки. [c.176]

Определение условий прогрессирующего разру-щения сплошного тела (как и родственная проблема предельного равновесия) требует решения неклассической вариационной задачи, включающей дифференциальные уравнения равновесия или совместности, ограничения на величины переменных (напряжений или приращений деформации), входящих в соответствующие уравнения, и подлежащий максимизации или минимизации критерий оптимальности (целевая функция), которым обычно является один из-параметров, определяющих внешние воздействия. Аппарат для строгого решения задач такого типа на основе любой из теорем теории приспособляемости дает математическая теория оптимальных процессов [43]. Решение одномерных задач предельного равновесия и приспособляемости пластин и оболочек с помощью принципа максимума Л. С. Понтрягина рассматривалось в работах [10, [c.37]

После подстановки полученных выражений для обобпденных внутренних усилий и моментов в (6.55) получаем в перемеш,ени-ях следуюш ую систему дифферепциальпых уравнений равновесия для круглой трехслойной пластины [c.146]

Во-первых, общие уравнения нелинейной теории упругости используются для обоснованного вывода уравнений устойчивости для тонких и тонкостенных тел. Работы этого направления (В. В. Новожилов, 1940, 1948 В. В. Болотин, 1956, 1965 А. И. Лурье, 1966, и др.) уже обсуждались в 3. Во-вторых, решения задач, полученные на основе теории упругости, могут быть использованы для оценки точности и установления границ применения известных приближенных решений. К этому направлению относятся работы Л. С. Лейбензона (1917) и А. Ю. Ишлинского (1954). Заметим, что в этих работах в качестве уравнений для описания форм равновесия, смежных с невозмущенной формой, предлагалось использовать классические уравнения теории упругости внешние силы входили при этом только в возмущенные граничные условия. Этот подход обсуждался недавно А. Н. Гузем (1967). В-третьих, необходимость в привлечении уравнений теории упругости возникает в задачах об устойчивости пластин и оболочек, находящихся в контакте с упругим материалом пониженной жесткости. Применительно к слоистым пластинам с мягким наполнителем этот подход развивался А. П. Вороновичем (1948), В. Н. Москаленко (1964) и другими. Устойчивость цилиндрических оболочек с мягким упругим ядром рассматривалась А. П. Варваком (1966). Типичным для этих задач является применение теории пластин и оболочек к несущим слоям и трехмерной теории упругости — к заполнителю. [c.346]

Из результатов, полученных Кирхгофом в механике твердых деформируемых тел, отметим слёдующие обоснование теории пластин двумя гипотезами (ныне носящими имя автора), вывод формулы для потенциальной энергии деформации пластины, энергетический вывод уравнения изгиба пластины, приведение в соответствие числа граничных условий и порядка дифференциального уравнения в теории пластин, исследование колебаний пластин и стержней переменного сечения, построение геоме рически нелинейной теории изгиба пластин, вывод нелинейных уравненнй равновесия для пространственного гибкого стержня, формулирование динамической аналогии (сопоставление уравнения равновесия стержня и уравнения движения твердого тела относительно неподвижной точки), экспериментальное определение величины коэффициента Пуассона с целью выявления правильной точки зрения в дискуссии о числе независимых упругих постоянных в изотропном теле. [c.47]

Решение задачи о напряженно-деформированном состоянии тонких плит (пластин) в общем случае связано с интегрированием системы нелинейных дифференциальных уравнений равновесия (16.40), в которых усилия и моменты для линейно-упругих материалов с характеристиками деформации связаны соотношениями (16.26). Де- рмации, в свою очередь, выражаются через перемещения по формулам (16.14) в декартовых осях и по формулам (16.15) в полярных оординатах. Эта задача представляет большие математические трудности, и поэтому целесообразно классифицировать задачи, с тем чтобы выделить из них те случаи, которые дают возможность применительно к разным конкретным условиям получить более простые уравнения, поддающиеся решению относительно простыми средст-<вами. [c.389]

В случае осесимметричной деформации Л .<р = О, Q

осесимметричной деформации пластины уравнения равновесия имеют вид [c.391]

Вид левой части бпгар.монического уравнения соответствует виду левой части уравнения равновесия жестких пластин, а правая часть в отличие от уравнения С. Жермен — Лагранжа равна нулю. Для того чтобы представить основное уравнение плоской задачи в конечных разностях, можно воспользоваться выражением (8.40), заменив в левой части W на ф, а правую часть приравняв нулю. Тогда для некоторого узла О сетки будем иметь [c.213]

Система уравнений равновесия узловых усилий позволяет определить узловые перемещения, а зная узловые перемещения , мы получаем выражение для функции прогиба w (8.45) и далее можем определить изгибающие и крутящие моменты, а также нормальные и касательные напрялгения при изгибе пластины по уже известным формулам. [c.225]

Метод конечных элементов применяется не только при решении двумерных задач прикладной теории упругости (пластины, оболочки и конструкции, составленные из пластинчатых и оболочечных элементов), но и объемных (трехмерных) задач теории упругости. Для лучшей аппроксима-цпи сложной формы копструкцип применяются наряду с прямоугольными конечными элементами также конечные элементы других форм. Этот метод может применяться не только в форме метода перемещений, когда за неизвестные принимаются узловые перемещения и определяются они из уравнений равновесия, но и в форме метода сил, когда за неизвестные принимаются узловые внутренние усилия а определяются они из условия совместности перемещений в узловых точках. [c.228]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...