Преобразование изометрическое

Изометрические преобразования. Известно, что квадрат линейного элемента любой поверхности посредством надлежащего выбора криволинейных координат х, у может быть всегда представлен в виде rfs = ). dx + dy ), где I есть функция от х, у. [c.454]

Изометрическим называется всякое преобразование криволинейных координат поверхности, которое можно представить в виде [c.454]

Способ распространяется на торсовые поверхности, заданные уравнениями непрерывного каркаса прямолинейных образующих вида (1.16). В этих формулах параметры k, I, т м п будут непрерывными функциями одного параметра, например параметра и. Как и при использовании других методов, учитывается, что при изгибании торсовой поверхности как изометрическом преобразовании остаются неизменными длины дуг и кривизна ребра возврата. Образующая торса отображается на плоскость развертки в виде прямой, уравнение которой относительно некоторой прямоугольной системы координат хОу будет иметь вид [c.136]

Используя инварианты изометрического преобразования, получим математическую модель развертки торсовой поверхности в виде [14] [c.136]

Обратимся к трехмерной матрице, изображенной на рис. 21 в изометрической проекции, что позволит нам с большей наглядностью представить себе те исследования, которые потребуются для дальнейших разработок. Все годографы и преобразования для баллистических траекторий представлены плоской матрицей i — п координаты, ортогональные к плоскости этой матрицы, определяют размерность произвольных программ ускорений, действующих на объект, которые могут соответствовать любой данной модели динамической системы. Каждый столбец представляет векторное пространство определенного порядка в частности, орбита материальной точки в пространстве векторов положения обозначается отрезком прямой при п = 1, годограф скорости в пространстве скоростей — следующим отрезком прямой также при л = 1, и годограф ускорения — следующим отрезком. Преобразование годографа из пространства векторов положения в пространство скоростей обозначается через TV в пространство ускорений — через нижние индексы определяют порядок преобразований векторных пространств, а верхние индексы — количество притягивающих центров. Построенная таким образом матрица служит двум целям 1) выявлению свя- [c.75]

Дело в том, что наше предположение о значительных изменениях формы оболочки влечет за собой важное заключение о характере деформации. Именно форма срединной поверхности оболочки при такой деформации неизбежно близка к одной из форм ее изометрического преобразования. Действительно, для основных конструкционных материалов модули упругости имеют порядок 10 -н [c.6]

Так как форма оболочки при значительной деформации близка к изометрическому преобразованию исходной поверхности, то в поисках решения вариационной задачи для функционала W U—А естественно ограничиться рассмотрением форм, близких к изометрическим преобразованиям. Решение задачи облегчается еще благодаря некоторой специфике изометрических преобразований, вблизи которых находится искомая форма. [c.7]

Решение вариационной задачи для функционала и—А мы расчленяем на два этапа. На первом этапе изометрическое преобразование фиксируется и функционал рассматривается на формах, близких к этому изометрическому преобразованию. Решение задачи на этом этапе удается получить в замкнутом виде при самых общих предположениях о поверхности оболочки и ее изометрическом преобразовании. В результате решения этой задачи функционал оказывается теперь определенным на изометрических преобразованиях, и общий вариационный принцип принимает геометрическую форму (принцип А, 2). Найденное на втором этапе изометрическое преобразование, исправленное малой добавкой, полученной на первом этапе, и дает истинную форму оболочки при заданном нагружении. [c.7]

Основная трудность при решении задачи на втором этапе состоит в определении возможных изометрических преобразований срединной поверхности, совместимых с [c.7]

Очевидно, работу А можно вычислять просто по изометрическому преобразованию сегмента, полагая [c.9]

Переход оболочки в деформированное состояние связан со значительным изгибом в плоскости меридиана, о чем свидетельствует наличие геометрического ребра на соответствующем изометрическом преобразовании. Этот изгиб сопровождается появлением значительных напряжений растяжения-сжатия в срединной поверхности в направлении параллели. Из наглядных соображений мы заключаем, что деформация сильного изгиба на границе выпучивания и соответствующие деформации срединной поверхности для достаточно тонких оболочек должны иметь местный характер. [c.9]

Принимая во внимание изложенные выше соображения, мы разобьем поверхность сегмента на три области Ощ (окрестность ребра) и оставшиеся две области и Ga, на которые эта окрестность разбивает всю поверхность. Для определенности будем считать область Ga внешней (прилегающей к краю сегмента). Вне окрестности ребра Gia, т. е. в областях Gi и G , энергию деформации оболочки можно вычислять обычным образом по изометрическому преобразованию. [c.9]

Напомним, что переменные и, V представляют собой соответственно нормированное радиальное смещение и угол поворота при переходе от изометрического преобразования сегмента к форме, которую он принимает при упругой деформации (рис. 2). Нормировка угла выполнена таким образом, что его значение в точке А (8=+0) равно -1. [c.17]

Так как срединная поверхность оболочки не допускает регулярных изометрических преобразований, то изометрическое приближение упруго деформируемой оболочки должно принадлежать более широкому классу кусочно-регулярных поверхностей. Соответствующие опыты дают основание для такого предположения. [c.24]

Мы предполагаем, что деформация и, V), спрямляющая ребро при переходе от изометрического преобразования Р к истинной форме Р, быстро затухает при удалении от ребра. При этом, если вблизи ребра нет сосредоточенных нагрузок или близких к ним, варьирование формы оболочки вблизи ребра практически не влияет на слагаемое А [c.30]

Значительная закритическая деформация упругой оболочки под действием данной нагрузки близка к той форме изометрического преобразования исходной поверхности, которая сообщает стационарное значение функционалу [c.33]

Этот функционал определен на изометрических преобразованиях срединной поверхности оболочки. Слагаемое И(Р) определяется следующей формулой [c.33]

Здесь и Д 2—главные изменения нормальных кривизн при переходе от исходной формы оболочки Р к изометрическому преобразованию Р, —угол между касательными плоскостями поверхности Р вдоль ребра (ребер) у, р—радиус кривизны кривой у, ку—нормальная кривизна поверхности Р в направлении, соответствующем ребру у, к и к1—нормальные кривизны поверхности Р в направлении, перпендикулярном ребру 7, к—нормальная кривизна поверхности Р в соответствующем направлении, б—толщина оболочки, Е — модуль упругости, V — коэффициент Пуассона. Постоянная [c.33]

Изометрические преобразования выпуклых [c.35]

В связи с применением вариационного принципа А к исследованию упругих состояний выпуклых оболочек нас будут интересовать изометрические преобразования выпуклых поверхностей с выпучиванием выпуклых областей и образованием ребер на их границе. Оказывается, такие изометрические преобразования допускают очень простое описание. Для полноты изложения напомним некоторые факты, относящиеся к изгибанию выпуклых поверхностей. [c.35]

Пусть Р — дважды дифференцируемая строго выпуклая поверхность с краем у. Нетрудно дополнить ее до некоторой замкнутой выпуклой поверхности Ф, например, взяв выпуклую оболочку поверхности Р. Если бы поверхность Р при указанном закреплении края -у допускала нетривиальное изометрическое преобразование в классе регулярных поверхностей, то замкнутая поверхность Ф, очевидно, допускала бы изометрическое преобразование в классе выпуклых поверхностей. Но это невозможно в силу теоремы об однозначной определенности для таких поверхностей. [c.37]

Пусть О — часть поверхности Р, расположенная вне области С и примыкающая к краю. Прежде всего, мы утверждаем, что при любом изометрическом преобразовании поверхности Р с нарушением регулярности только вдоль кривой 7 поверхность О не изменяется, т. е. точки ее остаются неподвижными. Это вытекает из единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения, к рас-Рис. 9 смотрению которого сводится за- [c.38]

Если поверхность С обращена выпуклостью в ту же сторону, что я О, то Р будет выпуклой поверхностью. Нетрудно заключить, что в этом случае она должна совпадать с Р. Для этого достаточно воспользоваться рассуждением, с помощью которого установлена однозначная определенность Р в классе регулярных поверхностей. Итак, если поверхность Р допускает нетривиальное изометрическое преобразование, то надо считать, что С обращена выпуклостью в другую сторону. При этом поверхности О и Ъ, имея общий край, составляют замкнутую выпуклую поверхность (рис. 9). Обозначим ее Ф. Поверхность Ф допускает изометрическое отображение на себя. Это отображение состоит в сопоставлении каждой точке Р области О соответствующей по изометрии точки области О и каждой [c.38]

Изометрическое преобразование строго выпуклой регулярной поверхности, закрепленной по краю, в классе кусочно-регулярных поверхностей с нарушением регулярности только вдоль кривой 7, ограничивающей выпуклую область О, возможно только тогда, когда кривая 7 плоская, и в этом случае оно сводится к зеркальному отражению области О в плоскости кривой 7. [c.39]

Применение принципа А при изучении закритических упругих состояний оболочки предполагает определение ряда величин изометрического преобразования срединной поверхности. Имея в виду ближайшие приложения, мы определим такие величины в случае зеркального выпучивания малых областей. [c.39]

Здесь и —главные изменения нормальных кривизн при переходе от исходной формы к изометрическому преобразованию, [c.41]

Некоторые общие свойства развертывающихся поверхностей с нарушением регулярности (двукратной дифференцируемости) вдоль отдельных линий рассматриваются в работе [274J. Отмечается, что каждая гладкая точка развертывающейся поверхности является внутренней точкой прямолинейного отрезка, лежащего целиком на поверхности (прямолинейная образующая). Показано, -что если через точку развертывающейся поверхности проходят две прямолинейные образующие, то эта точка имеет плоскую окрестность, т. е. окрестность, являющуюся куском плоскости. Если какая-нибудь точка образующей имеет плоскую окрестность, то каждая внутренняя точка образующей тоже имеет такую окрестность (вдоль образующей имеет место уплощение поверхности). Если вдоль прямолинейной образующей развертывающейся поверхности нет уплощения, то она упирается своими концами либо в ребро, либо в край поверхности. Ребро 7 не может иметь плоской полуокрестности, если геодезическая кривизна ребра у на развертывающейся поверхности отлична от нуля. В указанной работе [274] проводится качественное исследование изометрического преобразования цилиндрической поверхности. [c.262]

Дело в том, что срединная поверхность оболочки ввиду закрепления ее края обычно не допускает регулярных геометрических изгибаний. Как говорят, оболочка геометрически неизгибаема. Геометрически изгибаемая оболочка воспринимала бы действующую на нее нагрузку только за счет изгиба, а при малой толщине оболочки жесткость ее на изгиб ничтожна. Поэтому каждая грамотно сконструированная оболочка должна быть геометрически неизгибаемой. Поскольку срединная поверхность не допускает регулярных изгибаний, то изометрические преобразования, о которых шла речь выше, должны находиться в более широком классе поверхностей с нарушением регулярности вдоль линий. Наличие этих особенностей на изометрическом преобразовании и дает ключ к решению основной задачи. [c.7]

Обратимся теперь к энергии деформации в переходной зоне Оц. Рассмотрим сначала внешнюю полуокрестность ребра. Пусть и я V — радиальное и осевое смещения точки при варьировании изометрического преобразования в ис-тинну1б форму оболочки. Относительная деформация растяжения-сжатия срединной поверхности вдоль параллели радиуса р будет [c.10]

Как указано выше, истинная форма деформированной оболочки хорошо приближается изометрическим преобразованием вне окрестности ребра Gi . Переход от изометрического преобразования к истинной форме варьированием в области Gi2 не влияет на производимую внешней нагрузкой / работу А. Поэтому форма деформированной оболочки в области Gia естественно должна быть определена из условия минимума энергии деформации в этой области. Рассмотрим эту задачу сначала для внешней полуокрестности. [c.13]

Изложенное решение задачи о5 упругом состоянии сферического сегмента является, конечно, приближенным. По ходу этого решения мы сделали ряд упрощающих предположений, что и позволило нам. получить окончательный результат в замкнутом виде. Наиболее сущест- венным среди сделанных предположений является предположение о локальном характере деформации, которая спрямляет ребро при переходе от изометрического преобразования к истинной форме оболочки. Это предположение выполняется тем точнее, чем тоньше оболочка. В связи с этим можно утверждать, что полученное решение задачи будет сколь угодно близко к точному в отношении основных величин (максимальный прогиб, максимальные напряжения от изгиба и растяжения-сжатия в срединной поверхности), если оболочка достаточно тонкая, а рассматриваемые деформации значительны. [c.16]

Предметом нашего исследования будут упругие состояния оболочек, при которых форма деформированной поверхности оболочки суш ествснно отличается от первоначальной. Такие упругие состояния возникают обычно в результате потери устойчивости оболочки, поэтому мы будем называть их закритическими. Мы будем предполагать, что характер закрепления оболочки по краю гарантирует ее геометрическую неизгибаемость, т. е. исключает изометрические преобразования ее срединной поверхности в классе регулярных (дважды дифференцируемых) поверхностей. Это условие обычно всегда выполнено. [c.24]

Исследуя закритические упругие состояния оболочек, мы будем исходить из предположения о том, что упругая деформация оболочки, сопровождаюп аяся значительным изменением ее формы, близка к некоторому изометрическому преобразованию. Основанием для этой гипотезы является то, что основные конструкционные материалы, каковыми являются металлы и их сплавы, допускают незначительные упругие деформации. Поэтому оболочка из такого материала даже при значительном изменении ее формы при деформации испытывает незначительные изменения метрики срединной поверхности. Естественно, такая деформация близка к изометрическому преобразо-5 ванию, при котором происходит изменение формы поверхности, но не меняется ее внутренняя метрика. [c.24]

Пусть упругая оболочка Р с регулярной поверхностью под действием некоторой нагрузки, которую уточнять не будем, испытывает закритическую деформацию, принимая форму Р. Если срединная поверхность оболочки геометрически неизгибаема в классе регулярных поверхностей, то деформированная оболочка Р близка к соответствующей форме Р изометрического преобразования Р с нарушением регулярности вдоль некоторых линий у и образованием ребер вдоль этих линий. Наличие особенностей в виде ребер на изометрическом прео азовании поверхности Р и близость поверхности Р к Р дают основание говорить о ребрах (сглаженных ребрах) на деформированной поверхности оболочки Р. Разумеется, их форма и положение определены только в известном приближении, зависящем от близости деформированной оболочки Р к поверхности Р. Для того чтобы условным ребрам 7 на поверхности деформированной оболочки приписать определенную форму и положение, мы поступим следующим образом. Ребру у на поверхности Р по изометрии соответствует некоторая кривая у на исходной поверхности р. При рассматриваемой деформации этой кривой на деформированной оболочке соответствует кривая у. Эту кривую естественно принять за условное ребро. [c.25]

Производимая внешней нагрузкой работа А, ввиду близости упругой , деформации к изометрическому преобразованию, определяется с помощьк) последнего обцчньщ [c.32]

Как указано выше, поверхность Р, будучи неизгибаемой в одном классе поверхностей, может быть изгибаема в более широком классе. В частности, регулярная, закрепленная по краю, строго выпуклая поверхность неизгибаема в классе регулярных Стоверхностей, но изгибаема в классе кусочно-регулярных поверхностей. В этом нас убеждает пример зеркального выпучивания. Здесь изометрическое преобразование связано с нарушением регулярности (образованием ребра) вдоль некоторой кривой, ограничивающей выпуклую область на поверхности. В свя- [c.37]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...