Принцип стационарности действия Гамильтон

Этот вариационный принцип можно вывести из классического принципа стационарного действия Гамильтона. [c.74]

Основные понятия гамильтоновой механики (импульсы р, функция Гамильтона Н, форма р dq — Hdt, уравнение Гамильтона — Якоби, о котором будет идти речь ниже) возникли при перенесении на общие вариационные принципы (и, в частности, на принцип стационарного действия Гамильтона, dt 0) некоторых весьма простых и естественных понятий геометрической оптики, управляемой частным вариационным принципом — принципом Ферма. [c.218]

Исторически принцип Мопертюи (предложение 12) предшествовал более простому принципу стационарности действия Гамильтона. Фактическое содержание этого принципа не было совсем ясным Мопертюи. Юч-ная формулировка, приведенная в тексте, принадлежит Якоби и его предшественникам Эйлеру и Лагранжу ([42 ). [c.42]

Важнейшими интегральными принципами классической механики являются принцип Гамильтона — Остроградского и принцип стационарного действия Мопертюи — Лагранжа, рассматриваемые в этой главе курса. [c.390]

Принцип стационарного действия. Возьмем снова формулу (15), выражающую принцип Гамильтона, и подставим в нее вместо вариации 8Г выражение, которое получается для нее из формулы (21). Таким образом, мы получим уравнение [c.408]

Случай голономной системы со связями, не зависящими от ВРЕМЕНИ и с консервативными силами, в предположении консервативных сил принцип стационарного действия допускает следующую специальную формулировку, аналогичную той, которая была указана без доказательства в п. 10 для принципа Гамильтона для голономной системы со связями, не зависящими от времени, соответствующее действие для какого-нибудь естественного движения между двумя достаточно близкими конфигурациями будет не только стационарным, но и минимальным по сравнению с тем, которое имелось бы для всякого асинхронно-варьированного изоэнергетического движения. Здесь мы также, чтобы не слишком задерживаться, откажемся от доказательства этого утверждения ), [c.411]

Принципом стационарного действия Больцман называет принцип Гамильтона. [c.907]

Принцип стационарного действия в форме Гамильтона. [c.360]

Если система консервативна, то из (17.40) получаем частный случай, который, в отличие от общего принципа Гамильтона, будем называть вариационным принципом стационарности действия по Гамильтону. Происхождение этого названия станет ясным из приводимой ниже информации. [c.35]

При совместном использовании синхронных и асинхронных вариаций получен расширенный аналог (обобщение) центрального уравнения Лагранжа. На основе этого уравнения составлено интегральное равенство (называемое здесь центральным интегральным равенством), связывающее действие по Лагранжу и действие по Гамильтону. Полученное интегральное равенство позволяет находить синхронные и асинхронные вариации действия при различных вариантах задания условий варьирования концевых точек траектории. Из центрального интегрального равенства как частные случаи следуют классические принципы стационарного действия и другие интегральные выражения изменения действия при варьировании. [c.106]

Условие (20) необходимо и достаточно (A. . Сумбатов, см. [101]) для того, чтобы некоторое решение qi t) уравнений несвободой системы с множителями связей (при связях (1)) находилось среди решений уравнений, полученных из (18), (1). Соответственно интегральный принцип Гамильтона для неголономной системы имеет характер вариационного принципа стационарного действия (17) только для движений, удовлетворяющих равенству (20). [c.145]

Гамильтон в работах по динамике и оптике, относящихся к середине тридцатых годов девятнадцатого столетия, сформулировал принцип стационарного действия для свободной системы материальных точек и системы точек, подчиненных стационарным связям. Это ограничение в 1848 г, ) было снято Остроградским, который, не зная работ Гамильтона, опубликованных в мало распространенных тогда трудах Ирландской Академии наук, с полной ясностью изложил принцип в работе о дифференциальных уравнениях изопериметрической задачи, распространив его и на нестационарные связи. [c.646]

Удивительно, что у Лагранжа это предложение приведено лишь между строк этим объясняется тот странный факт, что это соотношение в Германии, — главным образом благодаря трудам Якоби — а затем и во Франции обычно называется принципом Гамильтона, тогда как в Англии никто не понимает этого обозначения там это равенство известно под правильным, хотя и мало наглядным наименованием принципа стационарного действия (Ф. Клейн Лекции о развитии математики в XIX столетии ). [c.56]

Эти уравнения называются уравнениями Уиттекера. В общем случае система (6.8) будет уже неавтономной. Если координата ж циклическая (она не входит явно в выражение для гамильтониана), то канонические уравнения Уиттекера автономны и их число степеней свободы снова можно понизить на единицу. Уравнения (6.8) несложно получить прямыми вычислениями, однако мы применим принцип стационарности действия. [c.68]

Условие стационарности действия реализуется на функции м(х), удовлетворяющей уравнению (2.1). Таким образом, квантовая теория индуцирует эволюцию классического поля м(х), т.е. отсутствие его бифуркаций. Более того, она позволяет понять, почему существуют вариационные принципы классической механики и, в частности, принцип наименьшего действия Гамильтона. Сначала покажем, почему возникает этот вопрос. Дело в том, что принцип наименьшего действия (2.113), постулируемый в классической механике [40] приводит не к начальной задаче, в которой заданы координата и скорость в начальный момент времени а к [c.66]

Для установления принципа стационарного действия использованы уравнения Лагранжа второго рода. Если же исходить из принципа стационарного действия, то на его основе можно установить все основные теоремы механики консервативных систем и получить дифференциальные уравнения движения в форме уравненнй Лагранжа второго рода. Установим зависимость между действием по Гамильтону 5 и действием по Лагранжу [c.592]

Установленное выше утверждение о том, что прямой путь доставляет действию по Гамильтону стационарное значение, называется вариационным принципом (или началом) Гамильтона. Принцип Гамильтона замечателен тем, что он выделяет прямой путь среди всех окольных путей, которые могут быть проведены между двумя точками расширенного координатного пространства, устанавливает общее свойство прямого пути, его отличие от иных кинематически возможных, но не реализующихся в рассматриваемом потенциальном поле путей ). [c.279]

Принцип Гамильтона—Остроградского дает только необходимое условие стационарности, действия по Гамильтону на прямом пути. Для решения вопроса о характере экстремума следует определить знак второй вариации 6 5, Значите действия по Гамильтону на прямом пути по сравнению с окольными будет минимальным, если 6 S>0. Если промежуток времени ti—U выбрать достаточно малым, то условие б 5>0 будет выполнено н действие по Гамильтону на прямом пути будет минимальным по сравнению с окольными путями ), [c.220]

Введение. Принцип наименьшего действия и его обобщение, произведенное Гамильтоном, переводят задачу механики в область вариационного исчисления. Уравнения движения Лагранжа, вытекающие из стационарности некоторого определенного интеграла, являются основными дифференциальными уравнениями теоретической механики. И тем не менее мы еще не достигли конца пути. Функция Лагранжа квадратична по скоростям. Гамильтон обнаружил замечательное преобразование, делающее функцию Лагранжа линейной по скоростям при одновременном удвоении числа механических переменных. Это преобразование применимо не только к специальному виду функции Лагранжа, встречающемуся в механике. Преобразование Гамильтона сводит все лагранжевы задачи к особенно простой форме, названной Якоби канонической формой. Первоначальные п дифференциальных лагранжевых уравнений второго порядка заменяются при этом 2га дифференциальными уравнениями первого порядка, так называемыми каноническими уравнениями , которые замечательны своей простой и симметричной структурой. Открытие этих дифференциальных уравнений ознаменовало собой начало новой эры в развитии теоретической механики. [c.190]

В принципе Гамильтона можно требовать стационарности действия не по отношению ко всем х ( (0) а только по отношению [c.199]

Рассмотрим движение материальной системы с конечным числом степеней свободы относительно инерциальной системы отсчета. Предположим, что связи голономные, идеальные и стационарные, активные силы потенциальные, и что функция Лагранжа, построенная для системы, не зависит явно от времени. Следовательно, рассматриваемая система консервативная (может быть, обобщенно-консервативная). Требование консервативности системы свидетельствует о том, что область применимости принципа наименьшего действия значительно уже области, в пределах которой справедлив принцип Гамильтона. [c.252]

Вернемся теперь к принципу Гамильтона и выясним, какого типа стационарная точка — максимум, минимум или точка перегиба — достигается действием на прямом пути. Ответ на этот вопрос тесно связан с указанными в начале этого параграфа особенностями краевой задачи, которая возникает при проведении прямого пути. [c.283]

Согласно принципу Гамильтона при движении точки но прямому пути между начальным и конечным положениями точки действие но Гамильтону имеет стационарное значение но сравнению с окольными путями при условии, что сравниваемые движения происходят за один и тот же промежуток времени — U- Следовательно, для действительного движения [c.223]

Даламбера принцип 37 Движение стационарное 286 Действие по Гамильтону 103 [c.298]

Действие этого постулата не ограничивается областью статики. Он приложим также и к динамике, где принцип виртуальных перемещений соответствующим образом обобщается принципом Даламбера. Так как все основные вариационные принципы механики — принципы Эйлера, Лагранжа, Якоби, Гамильтона — являются всего лишь другими математическими формулировками принципа Даламбера, постулат А есть в сущности единственный постулат аналитической механики и поэтому играет фундаментальную роль Принцип виртуальных перемещений приобретает особое значение в важном частном случае, когда приложенная сила Fi моногенная, т. е. когда она получается из одной скалярной функции — силовой. В этом случае виртуальная работа равна вариации силовой функции LJ qi,. .., ( ). Так как силовая функция равна потенциальной энергии, взятой с обратным знаком, то можно сказать, что состояние равновесия механической системы характеризуется стационарностью потенциальной энергии, т. е. условием [c.100]

На основании равенства (II. 141) можно сказать, что на отрезке траектории действительного движения М М2 действие согласно Гамильтону — Остроградскому стационарно. Пoэтoмv принцип Гамильтона — Остроградского называется гакуке принципом стационарного действия. [c.198]

Исследование роли интегрального принципа стационарного действия в развитии физики имеется в работе [87]. Гамильтон (W. R. Hamilton), занимаясь задачей объединения оптики и механики в единой математической схеме, задачу динамики свёл к задаче отыс- [c.10]

Показано, что интегральное равенство обобщённого принципа Гёльдера справедливо также для кривых сравнения, полученных варьированием по Гельмгольцу. Принцип Гамильтона-Остроградского и принцип стационарного действия Лагранжа выводятся как частные случаи. Предложено новое обобщение принципа Гёльдера [17. [c.118]

Принцип Гамильтона, рассматриваемый как вариационный принцип стационарного действия, справедлив только для голономных систем. Невозможность непосредственного распространения интегральных принципов, установленных для голономных систем, на неголоном-ные системы была отмечена ещё Герцем [27]. Он обратил внимание на то, что не всякие две точки конфигурационного пространства могут быть соединены траекторией системы с неинтегрируемой дифференциальной связью. Первым, кто предложил интегральный принцип, пригодный для неголономных систем, по-видимому, был Гёльдер его принцип имеет форму интегрального равенства, не являющегося условием стационарности функционала он был получен при предположении перестановочности операций d w 5 (см. заметку 16). При этом, во-первых, варьированные траектории не удовлетворяют уравнениям неголономных связей, и во-вторых, уравнения движения неголономной системы не совпадают с уравнениями Эйлера вариационной задачи Лагранжа. Обсуждению этих двух вопросов посвящена обширная литература с начала двадцатого века и до настоящего времени. Приведём некоторые результаты [101. [c.142]

Рассмотрим случай свободной материальной точки в начальном положении ей сообщается произвольно направленная скорость, квадрат модуля которой фиксируется значением постоянной энергии h. Можно говорить не об одной точке, а о бесчисленном множестве тождественных экземпляров, разбрасываемых во всевозможных направлениях. Все эти экземпляры попадут (но не одновременно) на поверхность Л = onst, причем скорость каждого будет нормальна к этой поверхности и задается координатой х, у, z) той точки ее, где этот экземпляр оказался. В оптической аналогии, которой руководствовался Гамильтон в своих динамических исследованиях, поверхности Л = onst — волновые поверхности (на них t — = onst), а траектории точек — нормальные к ним траектории лучей света. Принципу стационарного действия сопоставляется оптический принцип Ферма, выражающий требование стационарности интеграла [c.742]

Это утверждение составляет принцип стационарности действия в фазовом пространстве, предложенный Гельмгольцем и Пуанкаре. Укажем любопь1тную связь этого принципа с принципом Гамильтона. На кривых в Р, параметризованных временем 1 е [ 1, 2], действие I представляется интегралом [c.66]

Уильям Роуан Гамильтон, видный ирландский математик, в статьях Об общем методе динамики , написанных в 1834—1835 гг., для определения движения вводит новые переменные и новые функции, формулируя общий принцип наименьшего действия. "При этом главная функция, зависящая от начальных и конечных координат и времени, равна сумме живых сил (Г) и сил напряжения (Я). Последние, называемые силовой функцией, для стационарных, то есть не изменяющихся во времени, консервативных систем (механических систем, при движении которых сумма Т- П постоянна), выражают полную энергию системы. [c.117]

Рассуждения, которые привели нас к принципу Гамильтона, могут быть проведены и в обратном порядке. Мы можем сначала постулировать, что бЛ обращается в нуль для произвольных вариаций положения системы, а затем преобразовать бЛ в левую часть (5.1.10) и прийти к обращению в нуль величины бш , т. е. к принципу Даламбера. Отсюда видно, что принцип Гамильтона и принцип Даламбера математически эквивалентны и их возможности одинаковы до тех пор, пока приложенные силы, действующие на механическую систему, являются моногенными. В случае полиген-ных сил преобразование принципа Даламбера в минимальный принцип, или, точнее говоря, в принцип стационарного значения, становится невозможным. Так как голономные кинематические связи механически эквивалентны моно-генным силам, а неголономные связи — полигенным силам, то мы можем сказать, что принцип Гамильтона применим к произвольной механической системе, характеризу- [c.139]

Продолжая исследования М. В. Остроградского, Ф. А. Слудский ) и затем М. И. Талызин ) показали, что принцип наименьшего действия в форме Эйлера—Лагранжа и принцип Гамильтона—Остроградского существенно различны. Дело в том, что в принципе Гамильтона вариации координат 6 , изохронны и время не варьируется, так как каждой точке действительной траектории ставится в соответствие точка на другой бесконечно близкой кривой, причем обе точки проходятся в один и тот же момент времени. В случае же принципа Эйлера— Лагранжа связи стационарны и имеет место закон живых сил Т = U + h. При этом допущении время должно варьироваться. [c.834]

Действие. Принцип Гамильтона. Уравнения Лагранжа были получены ранее из уравнений Ньютона для системы связанных материальных точек с помощью принципа виртуальных перемещений и принципа Даламбера — Лагранжа. Однако уравнения Лагранжа можно получить из общего теоретического принципа, носящего название вариационного принципа экстремального (иногда стационарного) действия. (Он же называется принципом Остроград-ского — Гамильтона.) Принцип экстремального действия распространяется не только на механические, но и на квантово-механические системы, поля, поэтому он имеет важнейшее теоретическое значение. [c.207]

Принцип Остроградского — Гамильтона часто называют принципом наименьшего действия. Такое наименование может быть присвоено этому принципу только с некоторыми существенными оговорками. Дело в том, что наименьшее значение действие. 8 имеет не между двумя любыми положениями, а только тогда, когда начальное положение (А) и конечное (Б) достаточно близки друг к другу1>. Па перемещениях, превышаю1цих некоторую границу, действие 5, оставаясь стационарным, может не иметь минимума и даже оказаться максимумом. Впрочем, для приложений принципа Остроградского — Гамильтона в теории колебаний достаточно установленного факта — обращения в нуль первой вариации 8 на действительном перемещении. Поэтому другие свойства действия 5 здесь не рассматриваются [Ф. Р. Гантмахер, 12]. [c.37]

Это равенство выражает принцип Гамильтона—Остро-градского для г о л о н о м н о й системы в случае существования II о т е Г) н и а л а си л среди всех сравниваемых) путей прямой путь выделяется тем. что для него действие по Гамильтону имеет стационарное значенае (т. в. первая вариация bS па прямом пути равна, нулю). [c.334]

С математической точки зрения (65.3) и (65.4) являются различными способами выражения одного и того же утверждения. Мы видим здесь пример многозначности словоупотребления однако, как было указано в 2, слова важны. Дифференциальны уравнения (65.3) не могут быть выражены в словах, которые бы более ясно осветили суть дела, чем голые формулы. Наоборот, принцип Гамильтона может быть выражен таким образом лагран-жево действие имеет стационарное значение для действительной траектории. Эти слова легче связать с физическими понятиями, чем математические формулы. [c.215]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...