Системы — Динамика дифференциальных уравнений

Второй способ — приме некие общих теорем динамики после выбора обобщенных координат системы непосредственно составляются дифференциальные уравнения движения, исходя из избранных теорем динамики. Дальнейший ход решения тот же, что и при первом способе. [c.603]

Каждой циклической координате соответствует первый интеграл (11.50) дифференциальных уравнений движения. Покажем, что наличие г циклических координат позволяет привести вопрос об определении движения системы с голономными связями к интегрированию системы N — г дифференциальных уравнений второго порядка, где N — число степеней свободы системы. Эта система дифференциальных уравнений называется уравнениями Раута. Если число циклических координат r = N, то интегрирование уравнений динамики сводится к квадратурам. [c.348]

Подведем итоги. Для одной частицы в заданном поле силы, как в ньютоновой, так и в релятивистской динамике, необходимо решить систему из трех дифференциальных уравнений. Но для системы взаимодействующих частиц дифференциальные уравнения ньютоновой механики заменяются в теории относительности дифференциально-разностными уравнениями эти уравнения представляют столь значительные математические трудности, что только некоторые предельные случаи могут быть разрешены приближенными методами ). [c.32]

На примере системы управления, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка, видно, что ошибки на контуре выражаются трансцендентными уравнениями относительно параметров системы. Более того, при повышении порядка дифференциального уравнения, описывающего динамику системы, уравнения ошибок, выраженные в явном виде через параметры системы, можно получить лишь для нескольких частных случаев. Поэтому для расчета реальных систем [c.115]

Методы исследования каждой из перечисленных моделей существенно различны. Рассмотрим возможные виды математических моделей и конкретные примеры их механических аналогов. Систематическое исследование задач статистической динамики конструкций начнем с простейшего вида математической модели линейной с постоянной структурой, которая описывается системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными действительными или комплексными коэффициентами. [c.6]

Таким образом, анализ динамики системы, описываемой линейными дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами, требует определения фундаментальной матрицы ф за время одного периода (от / = О до Т) путем интегрирования уравнения ф = Лф с начальными условиями ф(0) = = /. Затем определяются собственные значения и собственные векторы матрицы а = ф(Г) и корни системы у = (1/Г)1п0. Формы составляющих движения определяются зависимостями PS = ф5е или U, = е- / фУ/ (где v, — собственные векторы а). Система неустойчива, если 9/ >1 или Re(X,/)>0 для какой-либо из мод. Часто анализ сводится лишь к нахождению собственных значений, поскольку переменные во времени собственные векторы периодической системы содержат много информации о ней. Для системы второго порядка с одной степенью свободы можно получить характеристическое уравнение непо- [c.346]

Итак, система нелинейных неклассических дифференциальных уравнений динамики слоистых композитных анизотропных оболочек сформулирована в системе координат, связанной с линиями кривизн отсчетной поверхности. [c.72]

На рис. 41 и 110 6, показаны осциллограммы, на которых пунктирными линиями показаны расчетные кривые, полученные в результате численного решения системы из трех дифференциальных уравнений, описывающих динамику привода (92), (96) и (148) на всех интервалах его рабочего цикла, включая и период торможе-276 [c.276]

В механике систем с конечным числом степеней свободы, равным N, метод Гамильтона состоит в замене уравнений Лагранжа второго рода, которые являются системой N обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с неизвестными обобщенными координатами, системой 2Л обыкновенных уравнений первого порядка с неизвестными обобщенными координатами и обобщенными импульсами [40]. Метод составления этих уравнений позволяет разрешить их относительно производных искомых функций, в связи с чем они получили название канонических уравнений динамики. [c.90]

Для решения многих задач динамики, особенно в динамике системы, вместо непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений движения оказывается более эффективным пользоваться так называемыми общими теоремами, являющимися следствиями основного закона динамики. [c.201]

Полное решение основной задачи динамики для системы будет состоять в том, чтобы, зная заданные силы и наложенные связи, проинтегрировать соответствующие дифференциальные уравнения и определить в результате закон движения каждой из точек системы и реакции связей. Сделать это аналитически удается лишь в отдельных случаях, когда число точек системы невелико, или же интегрируя уравнения численно с помощью ЭВМ. [c.273]

Математически принцип Даламбера для системы выражается п векторными равенствами вида (85 ), которые, очевидно, эквивалентны дифференциальным уравнениям движения системы (13), полученным в 106. Следовательно, из принципа Даламбера, как и из уравнений (13), можно получить все общие теоремы динамики. [c.345]

Основная задача динамики в обобщенных координатах состоит в том, чтобы, зная обобщенные силы Qi, Qa, . и начальные условия, найти закон движения системы в виде (107), т. е. определить обобщенные координаты qu q ,. . как функции времени. Так как кинетическая энергия Т зависит от обобщенных скоростей qi, то при дифференцировании первых членов уравнений, (127) по t в левых частях этих уравнений появятся вторые производные по времени qi от искомых координат. Следовательно, уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат q [c.378]

Для магнитной динамики совершенного газа с конечной проводимостью исходная система дифференциальных уравнений в прежних обозначениях имеет вид [c.41]

Для выполнения заданий по статике и кинематике необходимо решать системы линейных алгебраических уравнений, а при выполнении задания по динамике — численно интегрировать дифференциальное уравнение. В биб- [c.3]

Наконец, — и, по-видимому, этот прием является наиболее важным и чаще всего употребляемым — вводятся специально выбранные функции от координат точек и их скоростей и изучается зависимость этих функций от времени. В качестве таких функций используются, в частности, введенные выше меры движения — кинетическая энергия Т и количество движения Q системы. Во многих случаях оказывается, что для описания изменения этих функций во времени можно составить дифференциальные уравнения значительно более простые, чем основные дифференциальные уравнения динамики, так что изменение этих функций во времени исследуется гораздо проще. Так, например, можно установить условия, когда количество движения системы Q заведомо не меняется во время движения. В этом случае можно сразу выписать гри равенства типа заданная функция от координат и скоростей точек равна постоянной . Каждый раз, когда удается найти функции от координат точек и их скоростей, кото- [c.64]

Из общего уравнения динамики вытекают дифференциальные уравнения движения системы материальных точек, в которые не входят силы реакций идеальных связей. Возможно решение как прямых (определение сил по заданному движению), так и обратных задач (определение движения по заданным силам) динамики. При решении обратных задач приходится интегрировать составленную систему дифференциальных уравнений движения. Заметим, что использование общего уравнения динамики является формальным методом составления дифференциальных уравнений движения системы. Этот метод является менее удобным и менее эффективным по сравнению с применением уравнений Лагранжа второго рода (читатель сможет в этом убедиться, ознакомившись с содержанием следующего параграфа). [c.414]

Наиболее общим приемом составления дифференциальных уравнений движения системы материальных точек является применение уравнений Лагранжа либо общего уравнения динамики. [c.539]

Если по условию задачи требуется определить силы реакций связей, то задачу следует решать в два этапа 1) с помощью уравнений Лагранжа или общего уравнения динамики определить ускорения точек системы, 2) применив принцип освобождаемости от связей, использовать дифференциальные уравнения движения соответствующей материальной точки, либо применить метод кинетостатики. [c.539]

Удобство применения общих теорем динамики заключается в возможности упростить интегрирование дифференциальных уравнений движения системы. Однако эти общие теоремы могут (как показано выше) применяться только в некоторых случаях. Удобно и то, что в формулировки общих теорем динамики не входят внутренние силы, определение которых обычно связано со значительными трудностями (это замечание о внутренних силах в равной мере относится к дифференциальному уравнению вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, дифференциальным уравнениям плоского движения твердого тела и динамическим уравнениям Эйлера). Лишь в формулировку теоремы об изменении кинетической энергии системы материальных точек входят не только внешние, но и внутренние силы (в частном случае неизменяемой материальной системы, например абсолютно твердого тела, и в этой теореме фигурируют только внешние силы). [c.544]

Наиболее общим приемом составления дифференциальных уравнений движения системы материальных точек является применение уравнений Лагранжа или общего уравнения динамики. (Применение общего уравнения динамики является менее удобным и притом формальным методом в связи с использованием сил инерции.) [c.544]

Наряду с уравнениями Лагранжа, для составления дифференциальных уравнений малых колебаний системы с двумя степенями свободы могут быть применены общие теоремы динамики. [c.597]

Дифференциальные уравнения движения системы могут быть также составлены с помощью общих теорем динамики. [c.603]

По сравнению с предыдущим изданием (2-е изд. в 1967 г.) расширены следующие разделы Плоскопараллельное движение , Сложное движение , Дифференциальные уравнения движения , Общие теоремы динамики , Колебания точки и системы , Уравнения Лагранжа увеличено число решаемых типовых задач. [c.2]

Решение второй задачи динамики сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений движения точки в координатной форме [c.296]

Уравнение (2.3) представляет собою оператор, который по заданным в момент времени t величинам q, q позволяет найти эти же величины в момент времени t + At. Следовательно, состояние системы с одной степенью свободы определяется двумя величинами обобщенной координатой II обобщенной скоростью. Рассмотрим три логически возможных случая, когда динамика системы, описываемой уравнением (2.3), сводится к изучению решений некоторого дифференциального уравнения первого порядка. [c.23]

Решение основной задачи динамики можно еще свести к отысканию первых интегралов системы дифференциальных уравнений (7), т. е. соотношений вида [c.323]

Во всем нашем курсе (если это специально не оговорено) рассмотрены только свободные механические системы и механические системы с идеальными связями. Понятие идеальных связей нам уже встречалось в статике (см. 21) и будет уточнено в динамике ( 40, 41). В дальнейшем из дифференциальных уравнений (144) и (145) мы выведем общие теоремы динамики таких материальных систем. [c.120]

Но для нахождения обобщенных координат с ,- системы необходимо иметь дифференциальные уравнения движения относительно о.. В аналитической динамике выводятся правила составления таких дифференциальных уравнений, если известны силы, действующие на точки системы. Следует учитывать, что каищой совокупности зиа- [c.323]

Из приведенных выше работ следует, что динамика систем со случайно иаменяющимйся параметрами изучена в значительно меньшей степени. Большинство работ в этой области связано с исследованием устойчивости (в том или ином смысле) автономных систем при случайном параметрическом возбуждении. Такие системы описываются однородными дифференциальными уравнениями со случайно изменяющимися коэффициентами и здесь мы не будем их приводить. [c.15]

Штриховыми линиями на осциллограмме показны расчетные кривые, полученные в результате численного решения системы из трех дифференциальных уравнений, описывающих динамику пневмопривода [4 ] на всех интервалах его рабочего цикла, включая и период торможения. В этих уравнениях значения коэффициентов расхода взяты на основании опытных данных, полученных путем специальных экспериментальных исследований пропускной способности системы (для линии питания (х = 0,21, для линии выхлопа jXg = 0,18). [c.226]

В ряде статей и выступлений мы указывали, что в области динамики полета летательных аппаратов имеется мощный и плодотворный математический аппарат для исследования нелинейных задач нестационарных движений это вариационное исчисление или, более широко, функциональный анализ. Исследование процессов почти всегда связано с изучением экстремальных свойств функций или функционалов. Методы вариационного исчисления и функционального анализа не только позволяют выделять из бесконечного разнообразия движений, определяемых системами алгебраических и дифференциальных уравнений, более узкие классы движений, для которых заданные интегральные характеристики будут оптимальными, но в ряде случаев дают возможность детального аналитического исследования, так как для экстремальных режимов нелинейные дифференциальные уравнения довольно часто интегрируются в конечном виде. Опорные аналитические решения нелинейных уравнений в конечном виде, по-видимому, тесно связаны с условиями оптималь ности и играют в задачах динамики полета роль невозмущенных [c.224]

Выше были рассмотрены некоторые из аналитических методов решения дифференциальных уравнений, описывающих движение жидкости. Решение более широкого круга задач гидроаэродинамики может быть проведено путем интегрирования системы указанных выше дифференциальных уравнений методом конечных разностей или графическими методами. Однако при этом выкладки оказываются настолько громоздкими, а вычисления или построепия настолько трудоемкими, что до сих пор эти методы часто являлись практически неприемлемыми. Новые перспективы в исследовании задач гидроаэродинамики и газовой динамики появляются в связи с развитием техники электронных вычислительных машин. При помощи электронных вычислительных машин могут решаться уравнения, описывающие различные процессы в гидравлических и аэродинамических системах, в том числе нелинейные уравнения в частных производных и уравнения с частными производными, содержащие более чем две независимые переменные, [c.465]

В предлагаемой статье исследуется устойчивость асинхронного двигателя на основе его полной математической модели в виде системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений шестого порядка, которая описывает динамику асинхронного двигателя в обгцепринятых идеализируюгцих представлениях, подробно изложенных, например, в [1, с. 128-131 2, с. 142-156 3, с. 28-36. Основными из таких представлений являются, во-первых, предположение об идентичности характера электромагнитного поля в любом поперечном сечении идеализированной физической модели асинхронного двигателя при принебрежении торцевыми эффектами (гипотеза плоской модели), и во-вторых, предположение о возможности описания взаимодействия электромагнитных процессов в обмотках статора и ротора машины с номогцью двух симметричных линейных электрических цепей. [c.257]

Уравнения Лоренца Система трех автономных дифференциальных уравнений, обладающая хаотическими решениями. Выведена и исследована Э. Н. Лоренцем в 1963 г. как модель конвекции в атмосф зе. Эта система уравнений — одна из основных моделей хаотической динамики. [c.274]

Если в правой части дифференциального уравнения динамики содержатся производные [уравнение вида (2.24) при коэффициентах отличных от нуля], то указанный здесь случай будет иметь место при входных воздействиях (О с разрывом при / =- 0. Решение уравнения можно получить после сведения его путем замены переменных к системе уравнений, не содержащих в правой части производных от разрывных функций. Обычно к уравнению вида (2.24) приводит преобразование системы более простых дифференциальных уравнений первого и второго порядка, описывающих процессы в отдельных элементах системы автоматического регулирования. При наличии такой исходной системы дифференциальных уравнений по физической сущности исследуемых процессов и исходя из состояния системы автоматического регулирования до приложения входного воздействия могут быть сформу- [c.41]

В задачах на несвободное движение тела неизвестными могут бьггь ускорения тел, натяжения нитей, реакции осей блоков, подшипников и т.п. (например, в задачах о двух грузах, соединенных нитью, перекинутой через блок). Комбинируя приемы и используя различные теоремы и законы динамики, можно определить вообще все неизвестные величины. Однако это более сложный путь. Даламбер указал более эффективный метод, применимый для решения всех задач на несвободное движение. Зная движение системы, по принципу Даламбера легко определить реакции внешних связей (при этом неизвестные внутренние силы исключаются) можно находить также и реакции внутренних связей, если вьщелять и рассматривать отдельные части системы можно составлять дифференциальные уравнения движения (например в гидродинамике) и т.д. [c.214]

Законы сохранения (дивергентные формы уравнений) широко применяются в методе интегральных соотношений, при построении консервативных разностных схем и при постановке вариационных задач газовой динамики. Примерами являются публикации [1-4]. Теорема Нетер и ее обобшение [5] позволяют находить законы сохранения для систем дифференциальных уравнений второго порядка. Для применения этих теорем необходимо изучить групповые свойства исходных уравнений [6] и использовать вариационный принцип, из которого эти уравнения следуют. Для вырожденных функционалов, порождающих уравнения первого порядка, теряется взаимно однозначное соответствие между группами, допускаемыми уравнениями, и законами сохранения некоторым группам могут соответствовать дивергентные уравнения, состоящие из нулей [5]. Теорема Нётер использована, например, Ибрагимовым [7] для получения полной системы законов сохранения безвихревых течений газа, описываемых уравнением второго порядка для потенциала скоростей. [c.17]

Общее уравнение динамики (117.6) позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы. Если механическая система состоит из отдельных твердых тел, то силы и[]ерции точек каждого тела можно привести к силе, приложенной в некоторой точке тела, и паре сил. Сила равна главному вектору сил инерции точек этого тела, а момент пары равен главному моменту этих сил относительно центра приведения (см. 109). [c.320]

Вместо искусственного сочетания некоторых общих теорем и уравнений динамики, выбор которых представляет значительные трудности, указанные методы быстро и естественно приводят к составлению дифференциальных уравнений движения. Удачный выбор обобщенных координат обеспечивает простоту и изящество решения задачи. Удобно и то, что составленные дифференциальные уравнения движения не входят силы реакций идеальных св5Гзей, определение которых обычно связано с большими трудностями (силы реакций связей при движении системы являются функциями от времени, положения, скоростей и ускорений точек системы). [c.544]

Пример 1. Динамика химического реактора [4]. Рассмотрим модель химического реактора, который представляет собою открытую гомогенную систему полного перемешивания. В такой системе происходит непрерывный массо-и теплообмен с окружающей средой (открытая система), а химические реакции протекают в пределах одной фазы (гомогенность). Условие идеального перемешивания позволяет описывать все процессы при помощи дифференциальных уравнений в полных производных. Предположим, что рассматриваемый химический реактор — эго емкость, в которую непрерывно подается вещество А с концентрацией Хд и температурой г/ ). Пусть в результате химической реакции А В h Q образуется продукт В и выделяется тепло Q, а смесь продукта и реагента выводится из системы со скоростью, характеризуемой величиной X. Тепло, образующееся в результате реакции, отводится потоком вещества и посредством теплопередачи через стенку реактора. Условия теплопередачи характеризуются температурой стенки у и коэффициентом со. Для составления уравнений динамики химического реактора воспользуемся законами химической кинетики, выражающими зависимость скорости химического превращения от концентраций реагирующих веществ и от температуры, законом сслранения массы (условие материального баланса), а также законом сохранения энергии (условие теплового баланса реактора). [c.53]

Под сильно нелинейной с11стемой обычно понимают либо динамическую систему, не допускающую линеаризации в малом, либо систему, в которой проявляются нелинейные эффекты, не обнаруживаемые квазилинейной теорией. К таким системам относятся релейные системы автоматического регулирования, динамические системы с ударным взаимодействием, системы с люфтом и сухим трением и др. Одним из эффективных методов изучения динамики сильно нелинейных систем, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями (4.1) с кусочно-гладкими правыми частями, является метод точечных отображений. Этот метод, зарождение которого связано с именем А. Пуанкаре и Дж. Биркгофа, был введен в теорию нелинейных колебаний А. А. Андроновым. Установив связь между автоколебаниями и предельными циклами А. Пуанкаре и опираясь на математический аппарат качественной теории дифференциальных уравнений, А. А. Андронов сущест-Еенно расширил возможности метода припасовывания и сформулировал принципы, которые легли в основу метода точечных отображений и позволили эффективно использовать этот метод при исследовании конкретных систем автоматического регулирования и радиотехники. С помощью метода точечных отображений оказалось возможным полностью решить ряд основных задач теории автоматическою регулирования и, в первую очередь, классическую задачу И. А. Вышнеградского о регуляторе прямого действия с сухим трением в чувствительном элементе [1, 2J. Была рас- [c.68]

Далеко не всегда действующие силы бывают известны. Обычно остаются неизвестными внутренние силы системы, приложенные к ее точкам, т. е. силы взаимодействия между точками этой системы (см. с. 167). Для вывода некоторых общих теорем динамики и при решении некоторых частных задач бывает удобным выделить внутренние силы уже при написании дифференциальных уравнений движения. Внешние силы обозначают F (от латинского слова exterior — внешний), а внутренние F (от латинского interior — внутренний). [c.189]