Уравнения дифференциальные малых колебаний

Заметим, наконец, что формальный способ составления уравнений в вариациях можно также приложить к системам уравнений (16), правые части которых зависят от t, и по отношению к какому угодно решению о (будет ли оно статическим или нет, будет оно устойчивым или неустойчивым). Мы придем, таким образом, к системе дифференциальных уравнений (18),- которые все еще линейны относительно ко, вообще говоря, содержат в коэффициентах янно переменную t. Даже и в этих случаях можно сказать, что эти уравнения определяют малые колебания около рассматриваемого решения а, но при этом подразумевается та оговорка, что если [c.402]

При линейных колебаниях вблизи состояний равновесия перемещения считаются столь малыми, что сохраняется линейная зависимость их от действующих на систему и (или) возникающих в ней сил. Вследствие линейности дифференциальных уравнений, описывающих малые колебания, сами системы, пребывающие в состоянии таких колебаний, называют линейными. [c.84]

Используя эти условия и уравнения (6.5) в системе дифференциальных уравнений (6.3), можно после проведения обычной линеаризации второго и третьего уравнений получить систему линейных дифференциальных уравнений, описывающих малые колебания пяты обобщенной плавающей гидростатической опоры в вариациях [c.176]

Рассмотрим вынужденные колебания системы, когда возбуждающая сила Р os pt действует на массу m2. Верхний упругий элемент (амортизатор) имеет жесткость сг и коэффициент неупругого сопротивления (демпфирования) Ym2) а нижний— соответственно i, Ymi-Для направления Z можно составить два связанных между собой дифференциальных уравнения, описывающих малые колебания системы [c.60]

В 1892 г. была опубликована его работа [52], в которой рассматривались различные дифференциальные уравнения движения возмущенной системы с конечным числом степеней свободы. Были выделены также класс дифференциальных уравнений так называемых правильных систем и подкласс приводимых систем , строго обоснованы те случаи, когда решение дифференциальных уравнений методом малых колебаний дает правильное представление об устойчивости системы. Разработаны случаи, когда указанный метод не может дать такого ответа. [c.11]

Составить дифференциальное уравнение малых колебаний тяжелой точки А, находящейся на конце стержня, закрепленного шарнирно в точке О, считая силу сопротивления среды пропорциональной первой степени скорости с коэффициентом пропорциональности а, и определить частоту затухающих колебаний, Еес точки А равен Р, коэффициент жесткости пружины с, длина стержня , расстояние ОВ = Ь. Массой стержня пренебречь. В положении равновесия стержень горизонтален. При каком значении коэффициента а движение будет апериодическим [c.251]

Составить дифференциальное уравнение малых колебаний точки А и определить частоту затухающих колебаний. Вес точки А равен Р, коэффициент жесткости пружины с, расстояние ОА = Ь, ОВ — I. Сила сопротивления среды пропорциональна первой степени скорости, коэффициент пропорциональности равен [c.251]

Материальная точка А массы mi движется в вертикальной плоскости по внутренней гладкой поверхности неподвижного цилиндра радиуса /. Материальная точка В массы m2, присоединенная к точке А посредством стержня АВ длины /, может колебаться вокруг оси А, перпендикулярной плоскости рисунка. Положения точек А п В определены с помощью углов а и ф, отсчитываемых от вертикали. Составить дифференциальные уравнения движения системы. Написать дифференциальные уравнения малых колебаний системы. Массой стержня АВ пренебречь. [c.365]

Пользуясь принципом Гамильтона — Остроградского и результатами решения предыдущей задачи, составить дифференциальное уравнение малых колебаний подвешенной за один конец нити. [c.377]

Как видим, для малых колебаний период от угла начального отклонения фо не зависит. Этот результат является приближенным. Если проинтегрировать составленное вначале дифференциальное уравнение колебаний маятника, не считая в нем угол ф малым (т. е. не полагая sin ф ф), то можно убедиться, что Гф зависит от фо- Приближенно эта зависимость имеет вид [c.327]

Отсюда, вычисляя производные, найдем окончательно следующие дифференциальные уравнения малых колебаний рассматриваемой системы [c.385]

Рассмотрим малые колебания амортизированного объекта (рис. 10.7, а), имеющего массу т. Для вывода уравнения движения амортизированных систем можно использовать принцип Даламбера. В произвольный момент времени t при значении текущей координаты 2 на массу т действует реакция Z(z,z) амортизатора. Приравнивая нулю сумму сил, приложенных к массе т, и силы инерции mz в соответствии с (10.8), получаем дифференциальное уравнение движения массы т [c.277]

Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах были получены Лагранжем. Уравнения Лагранжа определяют движение механической системы в наиболее общей форме. Эти уравнения Лагранж применил к исследованию малых колебаний системы, имеющих большое практическое значение. [c.6]

Из формулы (24.11) следует, что модуль реакции нити в любом положении маятника зависит от начальной скорости Vo и начального отклонения маятника фо. Формула (24.11) справедлива не только при малых колебаниях, так как получена не из приближенного, а точного дифференциального уравнения (24.1). [c.71]

Решение дифференциального уравнения (81.6), т. е. уравнение малых колебаний маятника имеет вид [c.216]

Рассмотрим малые колебания маятника, предположив, что sin ср ai f. Тогда дифференциальное уравнение качаний маятника принимает [c.222]

Удобным способом составления дифференциальных уравнений малых колебаний системы является использование уравнений Лагранжа. Эти уравнения для системы с одной степенью свободы имеют вид [c.586]

Переходим ко второму способу составления дифференциального уравнения малых колебаний при помощи уравнений Лагранжа. Выбираем угол ср за обобщенную координату системы. Тогда кинетическая энергия системы может быть представлена формулой [c.593]

Наряду с уравнениями Лагранжа, для составления дифференциальных уравнений малых колебаний системы с двумя степенями свободы могут быть применены общие теоремы динамики. [c.597]

Применим уравнения Лагранжа для составления дифференциальных уравнений малых колебаний системы. Находим выражение кинетической энергии системы [c.599]

Показана возможность значительного упрощения решения на электронных моделирующих установках систем дифференциальных уравнений, описывающих малые колебания, с учетом демпфирующих и возмущающих сил, применительно к многомассовым упругим системам, включающим зубчатые передачи. Указанное упрощение становится возможшш ив-аа вначительного отличия (на 2—3 порядка) в величинах податливостей упругих элементов, включающих зубчатые зацепления. [c.219]

Выражение (VIII. 3) тоже является нелинейным дифференциальным уравнением, описывающим малые колебания [c.143]

Обозначая момент инерции ротора через Уд и считая ротор вращающимся проти. часовой стрелки (если смотреть иа него сверху), устанавливаем, с учетом свойств гироскопа, что при повороте корабля вокруг продольной оси вправо (при виде с кормы) с угловой скоростью ф кожух гироскопа начнет отклоняться к корме с угловой скоростью ф[. (фг — угол поворота кожуха) в резуЛ ьтате действия момента сил, равного УоПф. При этом реактивный момент, противодействующий бортовой качке, будет равным —Уо Фг- Обозначая У — момент инерции судна относительно продольной оси У — момент инерции кожуха относительно поперечной оси 3 Р — вес кожуха, запишем систему дифференциальных уравнений для малых колебаний в виде [c.341]

Лагранж в 60-е годы отправлялся от этих работ в своих исследованиях колебаний системы конечного числа материальных точек. Ему было нетрудно придать утверждению Д. Бернулли форму математической теоремы, так как в 40-е годы XVIII в. Эйлер показал, как проинтегрировать линейное дифференциальное уравнение произвольного порядка с достоянными коэффициентами, а Даламбер — как интегрируются системы таких уравнений. Это позволяло просто сослаться на то, что общий интеграл дифференциальных уравнений описывающих малые колебания, является суммой слагаемых, каждое из которых соответствует малым изохронным колебаниям простого маятника. При этом, однако, надо было допустить, что корни алгебраического уравнения (уравнения частот, или векового уравнения ), которое попутно приходится решать, вещественны, положительны и не равны между собой. Однако Лагранж этим не ограничился и провел все исследование в общем виде, используя открытую им форму уравнений движения — уравнения Лагранжа второго, рода. В первом издании Аналитической механики Лагранжа (1788 г.) эти результаты даны в улучшенной редакции, в окончательном виде они вошли во. второе издание Аналитической механики (т. I., 1813 г.). [c.265]

Общая теория малых колебаний материальной точки приводится во всех курсах теоретической механики. Задача обычно сводится к отысканию решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Наибольшие затруднения, по-видимому, представляют вопросы, связанные с определением сил,, создающих колебательное движение, а также составление дифференциальных уравнений, определяющих малые колебания. В простейших задачах линейные дифференциальные уравнения в точности описывают механический процесс. В общем же случае эти уравнения являются лишь приближенными и остаются справедливыми только для достаточно малых колебаний. Методы линеаризации уравнений движения остаются и в настоящее время наиболее простым и эффективным средством решения бТ)льшей части технических задач. [c.48]

Ограничимся рассмотрением малых колебаний, при которых отклонение маятника от положения равновесия настолько мало, что приближенно можно считать з1пф ж ф. Дифференциальное уравнение для малых колебаний маятника представляется тогда простейщим линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами [c.158]

Важной особенностью дифференциальных уравнений, описывающих малые колебания, является их линейность. По этой причине малые колебания получили название линейных. Линейные колебания системы сравнительно просты, подчиняются принципу суперпозиции, но они не до конца исчерпывают реальные колебания, так как линейность дифференциальных уравнений является результатом пренебрежения членами высщих порядков малости в разложении потенциальной энергии по степеням отклонений системы от положения равновесия. Учет высщих членов приводит к нелинейным дифференциальным уравнениям. За последние десятилетия интерес к нелинейным колебаниям значительно усилился в связи с научно-техническим прогрессом. [c.224]

В машине для статического уравновешивания роторов иодшииннки наклонены под углом а к вертикали. Ротор, помещенный в подшипник, имеет момент инерции J (относительно своей осп) и несет неуравновешенную массу т на расстоянии г от оси. Написать дифференциальное уравнение движения ротора и определить частоту малых колебаний около положения равновесия. [c.357]

Пользуясь результатами, полученными при peuie-нии предыдущей задачи, составить для канонических переменных Гамильтона дифференциальные уравнения малых колебаний волчка около верхнего вертикального положения. [c.375]

Дифференциальное уравнение собс1венных линейных колебаний системы. Для вывода из уравнения Лагранжа (1) линейного уравнения малых собственных колебаний следуез кинетическую и потенциальную энергии разложить в ряды в окрестности положения равновесия системы, где = 0. [c.426]

Дифференциальные уравнения малых колебаний сисземы с двумя С1епенями свободы получим из уравнений Лагранжа [c.469]

Полученное дифференциальное уравнение в обычных функциях не интегрируется. Ограничимся рассмотрением малых колебаний маятника, считая угол ф малым и полагая приближенно sin фЯйф. Тогда предыдущее уравнение примет вид [c.326]

Чтобы составить дифференциальные уравнения малых колебаний системы, надо в уравнениях (б) сохранить только члены порядка е, а малые более высокого порядка отбросить. Для этого в слагаемом р/ф os ф, которое входит в первое из уравнений, надо положить со5ф=1, а во втором уравнении принять sin ф=ф, OS ф= 1 и член лф sin ф отбросить целиком как имеющий порядок е. В результате уравнения (б) примут вид [c.385]

При малых колебаниях можно положить 5 пфжф. Тогда получим дифференциальное уравнение малых колебаний маятника [c.344]

В задачах этого типа рассматриваются малые колебания системы с одной (первая группа) или двумя (вторая группа) степенями свободы около положения устойчивого равновесия. В этих задачах положение усгойчивого равновесия следует принять за начало отсчета обобщенных координат и, далее, пользуясь уравнениями Лагранжа, составлять дифференциальные уравнения движения системы. [c.405]

Пример 188. Составить дифференциальное уравнение малых колебаний системы, показанной на рис. 226, около ее равновесного положения и найти период этих колебаний, если известны массы т, и грузов А и D, жесткость с пружины BE и длины стержней 0/4 = / , ОВ = 0С D = 1 . Массами пружины и стержней, а также размерами груза А можно пренебречь. При горизонтальном положении стержня А В вес груза А уравновеши-ваегся силой упругости пружины. При малых отклонениях систег ы от равновесного положения можно считать, что пружина остается вертикальной. [c.405]

В данном параграфе рассматривается простейшая задача о линейных колебаниях материальной точки (крутильные колебания рассмотрены ниже в главе IX, малые колебания систем материальных точек — в главе XIII). Линейными называются колебания, описываемые линейными дифференциальными уравнениями. [c.74]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...