Уравнения Лоренца

Это уравнение находится в полном соответствии с уравнением Лоренца для определения молекулярной световой рефракции [c.6]

Рис. 2. Конвективная петля — физическая модель, для которой выводятся уравнения Лоренца.

Обычно принималось, что электронный поток имеет либо микроскопический, либо, мегаскопический характер. Обычная теория электронного потока является микроскопической. Эта теория использует уравнение силы Лоренца. Уравнение Лоренца описывает движение отдельных электронов в электромагнитном поле. Применительно к большому числу электронов это уравнение представляет собой уравнение невязкого электронного потока. В действительности же взаимодействие электронов приводит к появлению вязкости. В прошлом была предпринята некоторая попытка распространения на этот случай обычных методов, однако она ве- [c.92]

Уравнения Лоренца. Сравнительно недавно широкую известность приобрели дифференциальные уравнения Лоренца [563] [c.18]

Уравнения Лоренца (1.24) после замены переменных х, у, г к времени i на [c.19]

Примерами хаотизации движений осциллятора внешними периодическими возмущениями могут быть хаотические движения в уравнении Дуффинга и осцилляторе Ван-дер-Поля. Пример хаотизации периодическим параметрическим воздействием был указан выше (уравнение (1.23)). Был приведен и пример хаотизации при инерционном изменении параметра (уравнения Лоренца). Более подробное рассмотрение этих примеров и многих других будет дано позднее — в гл. 7 и 9. [c.22]

Ситуация 4. Аттрактор Лоренца. Речь идет об отображении Пуанкаре Т на секущей поверхности z = r—i уравнения Лоренца в момент возникновения странного аттрактора и после того, как он возник. Соответствующие негативы изображены на рис. 6.16. О1 и Ог — седловые неподвижные точки, 5 , 8 и г, 82 —их инвариантные кривые, Я — линия разрыва отображения, по обе стороны от нее отображение Т гладко и не- [c.143]

Смейла, но с той существенной разницей, что области и Сз примыкают к границам области а О1 и О2 — устойчивые неподвижные точки вспомогательного отображения Т. Отсюда непосредственно следует состав инвариантного множества /. Осталось сказать, что в данном случае это седловое инвариантное множество / и есть сечение странного аттрактора уравнений Лоренца. Его особенностью является то, что его инвариантное множество 5 содержится в /. Вдоль своего инвариантного множества й " оно притягивает к себе соседние фазовые точки. [c.144]

Таким образом, гомоклиническая структура у уравнений Лоренца возникает при г = 13,92, Наличие гомоклинической структуры означает существование бесконечного множества / всевозможных седловых, в том числе и всевозможных периодических, движений. Однако при 13,92 г < 24,06 они не образуют аттрактора. Это следует хотя бы из того, что инвариантные кривые [c.190]

Уравнения Лоренца и другие системы третьего порядка [c.288]

Уравнения Лоренца относятся к классу автоколебательных систем с инерционным самовозбуждением [52, 53, 391]. В таких системах, структурная схема которых показана на рис. 9.28, возникновение генерации происходит за счет инерционности цепи обратной связи, приводящей к так называемому инерционному взаимодействию между динамическими переменными. В простейшем случае соответствующие уравнения колебаний имеют вид [c.288]

Систему уравнений Лоренца (4.1) можно свести к виду (4.2), если исключить переменную У и положить х = Х — МЪ г—1), [c.289]

О свойствах системы уравнений Лоренца говорилось уже очень много (см. 3 гл. 7). Она исследовалась также в большом числе работ. Кроме тех, которые уже были указаны, отметим следующие [10, И, 81, 98, 233, 302, 308, 321, 375, 384, 458, 460, 556, 567, 572, 578, 579, 625, 635, 648-650, 655, 662, 686]. Некоторые результаты этих работ, представляющие собой существенное добавление к сказанному ранее, будут изложены ниже. [c.290]

Остановимся далее на поведении системы уравнений Лоренца при больших значениях параметра г. Известно, что при достаточно больших значениях г (г 313) решение уравнений Лоренца всегда является периодическим. Форму и размеры предельного цикла при этих значениях г удается приближенно рассчитать аналитически [52, 53, 308, 375, 391, 648 . Для этого удобно произвести замену переменных, использованную в [375, 648, 649]. [c.291]

Зависимость поведения решений уравнений Лоренца от параметров о и 6 исследована мало. В работе [655] показано, что при [c.294]

К уравнениям Лоренца сводятся уравнения для медленных амплитуд напряженности поля, поляризации и разности населенностей в лазерах и мазерах в одномодовом приближении при нулевой расстройке частоты генерации от центра линии усиления [134, 296, 308, 356, 592, 692]. Однако реальные параметры этих приборов, как правило, таковы, что стационарное решение всегда являемся устойчивым, т. е. стохастические режимы не возникают ). При ненулевой расстройке получается система уравнений пятого порядка, которая легко может быть сведена к комплексным уравнениям Лоренца, изученным в [457] и имеющим вид [c.295]

В работе [533] исследуется другая форма комплексных уравнений Лоренца, эквивалентная шести уравнениям первого порядка и имеющая вид [c.295]

Проведенное исследование показывает, что система уравнений Лоренца (1.1)-( 1.3) позволяет представить основные особенности фазового перехода. Термодинамическое описание достигается использованием зависимости V ri) синергетического потенциала от величины параметра порядка. В случае фазового перехода второго рода эта зависимость имеет вид (1.8), и ее характер определяется параметром внешнего воздействия [c.41]

Следует отметить, что полученные уравнения (В.7), (В.5), (В.2) и уравнения Лоренца (1.212)-(1.214) совпадают только по своей структуре. Так, уравнение баланса энтропии (В.2) подобно уравнению (1.214) [c.322]

Левая часть уравнения представляет собой молекулярную рефракцию Ям (уравнение Лоренц — Лоренца), которая с известным приближением может быть заменена рефракцией, определяемой для линий О атрия (Яв). [c.24]

Произведя подстановку левой части уравнения Лоренц— Лоренца в уравнение Дебая (вместо члена 4яЛ Аа/3, характеризующего поляризацию Р ) и сделав 24 [c.24]

Примечание. Система Лоренца была получена при составлении математической модели конвективного движения в подогреваемом слое жидкости. Вопрос адекватности такой модели конвективного движения не является предметом нашего обсуждения, но также может быть рассмотрен с позиций предлагаемого подхода. Большой объём исследований, посвящённых системе (1), сделал её по сути классическим математическим объектом (см., например, [59, 73]) среди решений этой системы есть отвечающие устойчивым и неустойчивым положениям равновесия, регулярные колебания и хаотические движения с широким сплошным спектром, стохастические колебания. К уравнениям Лоренца при некоторых предположениях исследователи сводят (см., например, [73]) уравнения для медленных амплитуд напряжённости поля, поляризации и разности населённостей в лазерах и мазерах, уравнения генераторов с нелинейностью. Исследуются различные комплексные формы уравнений Лоренца и т. д. [c.199]

Решение. Из уравнения Лоренца имеем [c.67]

Спроектируем уравнение Лоренца (5.6) на оси естественной системы координат [c.67]

Рассмотрим теперь уравнения Лоренца (2.114). Дивергенция фазового потока у них отрицательна Л = —(а -Ь -Ь 1), так что все траектории стремятся в некоторое множество нулевого объема. Величина W = [Х -i- (Z — г — [c.151]

Теперь обратимся к представлению распределения и(ср, 1) теплового поля в виде ряда Фурье (4.4). Согласно формуле (4.4) тепловое поле представляется в виде бесконечного числа стоячих синусоидальных и косинусоидальных волн с амплитудами a, t) и fe,(i) (5 = 1, 2, 3,. ..). Напомним, что со временем Если решения уравнений (4.6) при 5 = 1 (т. е. уравнений Лоренца) приближаются к состоянию равновесия, то и все остальные амплитуды а, и Ь, стремятся к постоянным значениям, и тепловое поле выходит па некоторое стационарное распределение. Если зависимость от времени переменных 6, и ю стремится к периодической, то к периодическим изменениям с тем же периодом стремятся и все остальные переменные а, и Ь,. Это соответствует, согласно (4.4), переходу с ростом времени к периодическому по времени тепловому полю. Наконец, если изменения а,, Ь, и (О носят стохастический характер, то такой же характер имеют и временные изменения теплового поля. При этом стохастический характер изменения распределенного теплового поля порожден стохастичпостью решений только системы трех дифференциальных уравнений, а само тепловое поле определяется не только решением этой системы третьего порядка, но и решениями бесконечной системы уравнений, описывающей бесконечную последовательность стохастически возбуждаемых осцилляторов. Это обстоятельство влечет пе только временную, но и про-страиственпую хаотичность. Чем медленнее с ростом 5 спад амплитуд изменения переменных а, и 6,, тем ярче выражена эта пространственная хаотизация. [c.36]

Нечто аналогичное приведенному абстрактному примеру может происходить и в конкретных системах. Так, в фазовом пространстве уравнений Лоренца (1.24) при 6 = 8/3, 0 = 10, г =24,4 последовательные точки пересечения фазовых траекторий с секущей плоскостью z=r l приходят в очень малую окрестность некоторой кривой / и остаются в ной, порождая тем самым отображепие кривой 7 в себя. Если вдоль этой кривой ввести переменную и, то это отображение имеет такой вид, как показано на рис. 2.8. Оно всюду растягиваюп1ее, причем типичные последовательные Рис. 2.8 значения и являются хаотическими. [c.48]

С помощью преобразования прямой в прямую (3.11) пове,до-ние фазовых траекторий уравнения Лоренца можно отобразить в виде серии точечных отображений прямой в прямую, показанных па рис. 7.28. Первый рис. 7.28, а отвечает устойчивости состояния равновесия О (0<г<1), второй рис. 7.28,6 — появлению двух устойчивых состояний равновесия О, и О2, третий рис. 7.28, в — рождению неустойчивых периодических движений Г1 и Гг и появлению разрыва непрерывности, четвертый рис. 7.28, г — возникновению стохастического аттрактора, пятый рис. 7.28, д — влинанию периодических движений Г1 и Гг в состояпия равновесия О1 и Ог и последний 7.28, е — появлению у графика точечного отображения горизонтальных касательных и в связи с этим устойчивых неподвижных многократных точек. Мы видим, что в этой интерпретации возникновение стохастичности и системе Лоренца похоже на то, как возникает стохастичность в неустойчивом осцилляторе с отрицательным трением и ударами, рассмотренном в гл. 3. [c.194]

По существу, первой динамической системой, в которой численно были обнаружены и исследованы стохастические автоколебания, как уже говорилось, является система уравнений Лоренца [563], описывающая в трехмсдовом приближении конвективное движение в слое жидкости. [c.288]

Уравнения Лоренца допускают чисто механическую модель, предложенную С. И. Злочевским и состоящую из двух твердых [c.289]

Синхронизация колебаний в системе Лоренца при силовом внешнем воздействии исследовалась Г. Г. Шаталовой. Для этого уравнения Лоренца были затгасаны в форме (4.2) и в первое уравнение была введена гармоническая внешняя сила. Таким образом, моделировалась (численно)- следующая система уравнений [c.324]

Как уже говорилось, система уравнений Лоренца является простейшей (трехмодовой) моделью конвективной турбулентности. В классической задаче о плоском слое жидкости, подогреваемом снизу, эта система выделяется из более полной системы уравнений, если ограничиться первыми прос гранственными гармониками компонент скорости, нулевыми, первыми и вторыми пространственными гармониками температуры [217]. Очевидно, что вследствие этих ограничений система Лоренца справедлива лишь вблизи порога возникновения конвективных валов, т. е. при значениях г, близких к единице. При больших г надо учитывать более высокие пространственные гармоники, и уравнения типа Лорепца становятся неадекватными. Такой учет произведен в работе [574], где показано, что характер решения существенно зависит от числа учитываемых мод. [c.334]

В 3 главы 1 синергетический подход используется для описания термодинамических (п. 3.1) и кинетических (п. 3.2) переходов. При описании первых в качестве параметра превращения используется плотность сохраняющейся величины, а во втором случае — сопряженный ей поток. Наше рассмотрение основывается на уравнении непрерывности и соотношении Онзагера, обобщение которых на нестационарный случай приводит к системе Лоренца. В этой связи можно предполагать, что развитый формализм представляет синергетическое обобщение физической кинетики. В п. 3.3 показано, каким образом уравнения Лоренца следуют из полевого подхода. Важная особенность сильно неравновесных систем состоит в том, что их поведение определяется как одиночными возбуждениями фермиевского типа, так и коллективными — бозевско-го. Поэтому последовательная микроскопическая теория таких систем должна носить суперсимметричный характер. Соответствующая техника изложена в 4 главы 1, где сначала (п.4.1) проведена микроскопическая интерпретация модели Лоренца. Показано, что она отвечает простейшему выбору гамильтониана бозон-фермионной системы. В п. 4.2 представлен суперсиммефичный лафанжев формализм, позволяющий воспроизвести уравнения Лоренца, в которых роль управляющего параметра ифает энтропия (см. также Приложение В). Использование корреляционной техники в п. 4.3 позволяет самосогласованным образом описать эффекты памяти и потери эргодичности в процессе самоорганизации. Получены [c.8]

Кинетические особенности фазового перехода, найденные на основе модельных соображений [13], легко объясняются в рамках синергетического подхода, если ослабить стандартный принцип соподчинения [1], принимая, что наибольшим временем релаксации обладает не одна, а две гидродинамические степени свободы. В результате фазовый переход представляется системой двух дифференциальных уравнений, и задача сводится к исследованию возможных сценариев превращений второго (п. 1.1) и первого (п. 1.2) родов. Существенным преимуществом синергетического подхода является то обстоятельство, что он позволяет, не обращ1аясь к узким модельным соображениям, учесть действие обобщенного принципа Ле-Шателье. В этом смысле полученные ниже результаты носят достаточно общий характер. Что касается использования системы Лоренца, то известно, что она выделена в синергетике как одна из простейших схем, позволяющих учесть эффект самоорганизации. В частности, гамильтони-. ан, воспроизводящий недиссипативные слагаемые уравнений Лоренца, имеет простейший вид фрелиховского типа (см. 4). Что касается диссипативных вкладов, то они представляются в рамках полевой схемы ( 3) удлинением производных по времени, определяющих диссипативную функцию. [c.20]

Для решения задачи рассмотрим временнью Зависимости скорости фронта кристаллизации u(t), удельной теплоты превращения f t) и эффективной температуры T t), определяемой как разность температур Tq T на фронте кристаллизации и в термостате. В рамках синергетического подхода, изложенного в 1 главы 1, уравнения эволюции содержат диссипативные вклады и слагаемые, представляющие положительную обратную связь скорости и и термодинамического фактора / с эффективной температурой Т, с одной стороны, и отрицательную обратную связь и и Г с / — с другой. В результате поведение системы представляется уравнениями Лоренца (1.1)-(1.3), где параметр порядка г) сводится к скорости и, сопряженное поле h к эффективной температуре Г, а управляющий параметр 5 к теплоте превращения /. [c.210]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...