Уравнения Раута

Циклические координаты. Уравнения Раута [c.348]

Каждой циклической координате соответствует первый интеграл (11.50) дифференциальных уравнений движения. Покажем, что наличие г циклических координат позволяет привести вопрос об определении движения системы с голономными связями к интегрированию системы N — г дифференциальных уравнений второго порядка, где N — число степеней свободы системы. Эта система дифференциальных уравнений называется уравнениями Раута. Если число циклических координат r = N, то интегрирование уравнений динамики сводится к квадратурам. [c.348]

Для получения уравнений Раута обобщим составление канонических уравнений. Введем систему обобщенных импульсов [c.348]

ЦИКЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ. УРАВНЕНИЯ РАУТА [c.349]

Замечание. Изучение движения твердого тела в случае, рассмотренном Лагранжем, можно произвести, основываясь непосредственно на дифференциальных уравнениях Лагранжа второго рода. При этом оказывается, что координаты ф и ф — циклические. Поэтому далее можно применить преобразование Раута ( 122). [c.431]

А. Гурвиц нашел эти условия, выразив их в удобной для вычислении детерминантной форме, пригодной для уравнений любого порядка, после чего они получили название условий или критериев сходимости Гурвица [81]. Так как идея критериев сходимости Раута и Гурвица оказалась одной и той же и раскрытие детерминантов Гурвица приводит к неравенствам Раута, указанные критерии позже стали называть критериями сходимости Раута — Гурвица. [c.12]

МОЖНО просто отбросить, в результате получается характеристическое уравнение (2.16), к которому можно применить все известные критерии устойчивости, например критерий Раута — Гурвица, метод Д-разбиения И т. д. Найденные условия устойчивости позволяют выделить на поверхности От области устойчивости и выяснить поведение границ областей устойчивости в зависимости от изменения физических параметров. [c.273]

В соответствии с физическим смыслом величин, образующих коэффициенты Ау В, Су О и параметры т, V, величины Л, В у Су В и т могут принимать лишь положительные значения, а величина V может быть как положительной, так и отрицательной. Исследуем уравнение (5.15) по параметрам т, V. Используя критерий Раута — Гурвица, нетрудно видеть, что условие устойчивости состоит в выполнении неравенств [c.415]

Замечание 2. Значения Яо, при которых состояние равновеспя типа узел сливается с седлом (при к Яо, образуя при Я = Яо седло-узел), а также значения Яо, при которых устойчивый при Я < Яо фокус делается сложным, а затем неустойчивым (при Я>Яо), естественно рассматривать как граничные для области устойчивости, а условия А = О или о = О — как нарушение условий Раута — Гурвица (отрицательности действительных частей характеристического уравнения (см. 4 гл. 13)). [c.187]

Важно четко понимать, какой смысл для данного состояния имеют векторы и Раут- Мы ожидаем, что в экспериментах по рассеянию вектор Рин (О будет описывать так или иначе коллимированный пучок. Конечно, по математическим соображениям этот пучок не должен браться монохроматическим. В противном случае возникли бы трудности в вопросах сходимости. Весьма желательно, чтобы пучок представлял собой волновой пакет. Вместе с тем этот волновой пакет содержит всю информацию о том, каким образом был создан волновой пакет в далеком прошлом, т. е. о том, были ли частицы посланы в сторону мишени вдоль заданного направления, скажем с (приблизительно) заданным импульсом р и спином вдоль оси х, или же была создана схо-дяш,аяся сферическая волна с угловым моментом и т. п. Все эти характеристики должны содержаться в наборе квантовых чисел, или собственных значений динамических переменных, которые коммутируют с гамильтонианом //о и, таким образом, могут быть точно определены в состоянии системы свободных частиц о- Соответствующее состояние полной системы взаимодействующих частиц обозначают посредством 4 + (а, 1) и снабжают теми же квантовыми числами, что и ин- Другими словами (а, /) представляет собой состояние полной системы взаимодействующих частиц, которое в далеком прошлом совпадало с состоянием системы свободных частиц ин (а, t), причем а — полный набор собственных значений динамических переменных, которые коммутируют с Яо (но не обязательно с Я). Вектор состояния (а, 1) является решением уравнения [c.150]

В отдаленном будущем вектор (а, () опять будет вектором состояния системы по существу свободных частиц, а именно он будет равен вектору аут и таким образом будет удовлетворять уравнению (6.17). Однако состояние Раут не задано только поведением в прошлом. Помимо состояния в котором отражена вся предыстория рассеиваемого пучка, оно содержит неизвестную примесь состояния, соответствующего расходящейся рассеянной волне. Другими словами, то обстоятельство, что удовлетворяет уравнениям (6.17) и (6.20а), не дает непосредственно никакой практической пользы, так как в них аут является неконтролируемым неизвестным. Важными являются уравнения (6.15) и (6.20) или в явном виде (6.21). [c.150]

Применяя к уравнению (96) алгебраический критерий устойчивости Раута — Гурвица, находим [c.46]

Если все 5 корней характеристического уравнения (10.18) имеют отрицательные действительные части при любых х, у, удовлетворяющих уравнениям Р (л у) = О, то точки подпространства Р являются устойчивыми состояниями равновесия для приближенных уравнений быстрых движений (10.17) и все траектории быстрых движений вблизи подпространства Р входят при возрастании t в малую окрестность последнего. Следовательно, в этом (и только в этом) случае малые паразитные параметры, учтенные при составлении уравнений (10.15), не являются существенными, по крайней мере, для процессов, начинающихся из состояний, совместных с приближенными уравнениями <и.медленных движений (10.16) ). Таким образом, условия несущественности малых (паразитных) параметров могут быть сформулированы, например, в виде условий Раута — Гурвица [95, 99] для уравнения [c.750]

Если г = N, то, как уже было сказано выше, равенства (II. 344Ь) дают общее решение системы уравнений динамики. Это решение можно найти, и не обращаясь к уравнениям Раута. [c.350]

Содержание теорем А. М. Ляпунова, доказанных в эхом параграфе, заставляет вновь обратиться к вопросу о признаках наличия отрицательных действительных частей корней алгебраических уравнений с действительными коэффициентами. Эти признаки были найдены Э, Раутом, а затем, в более совершенной форме, Гурвицем. [c.339]

Следовательно, общий случай сводится к интегрированию N — г дифференциальных уравнений второго порядка, по внещ-нему виду напоминающих дифференциальные уравнения Лагранжа второго рода. Как видно из предыдущего, метод Раута позволяет исключить циклические скорости из уравнений Лагранжа второго рода. [c.350]

По его просьбе в период с 1873 по 1877 г. математиком Раузом (Раутом) были найдены необходимые и достаточные условия получения отрицательных значений действительной части корней характеристических уравнений п-й степени. Эти условия были даны Раузом в виде неравенств, составленных из коэффициентов уравнения, причем количество неравенств повышалось при повышении порядка дифференциального уравнения. [c.9]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...