Нелинейная теория плоских волн

Нелинейная теория плоских волн 173 [c.173]

Нелинейная теория плоских волн 175 [c.175]

Нелинейная теория плоских волн 177 [c.177]

Блестящ ее математическое открытие, сделанное Риманом — одним из крупнейших математиков середины XIX столетия — заложило основу всей последующей работы по нелинейной теории плоских звуковых волн. Это открытие, равносильное преобразованию уравнений движения к форме, замечательно легко поддающейся изучению для волн любой амплитуды, привело в свое время к прекрасному уровню понимания предмета. [c.173]

Отметим, что рассуждения, приводящие к этим важным результатам в нелинейной теории плоских звуковых волн, столь же справедливы для других видов продольных волн произвольной амплитуды, а именно для волн в трубах или каналах с постоянным поперечным сечением и однородными физическими характеристиками жидкости, потому что в соответствии с уравнением (12) эти волны определяются такими же локальными соотношениями между выражениями для избыточного давления и скоростью жидкости, как соотношения (146) и (147), и можно аналогично определить интеграл, в точности подобный (150). С другой стороны, приведенные рассуждения требуют однородности жидкости, и в частности постоянства энтропии S в противном случае подинтегральное выражение (150) не является просто функцией р, а зависит также и от S, которая, вообще говоря, не постоянна вдоль кривых С+ или С , а скорее имеет свойство сохранять постоянство вдоль траектории жидкой частицы dx = udt. Если свойства поперечного сечения меняют- [c.176]

Графический анализ полученных решений ничем не отличается от аналогичного анализа в теории плоских волн. Поэтому мы остановимся только на отличительных особенностях в темпах накопления нелинейных искажений в расходящихся и сходящихся сферических и цилиндрических волнах по сравнению с плоскими волнами конечной амплитуды. [c.68]

В частности, теория волн Римана непосредственно применима в нелинейной теории упругости для движений с плоскими волнами, перпендикулярными к оси х, когда перемещения параллельны оси X. В этих приложениях нет необходимости использовать плотность как основную неизвестную величину, вместо плотности можно взять в качестве искомой величины любой другой параметр, связанный известным способом с плотностью. Соответствующие видоизменения решения Римана очевидны. [c.227]

Поставленные задачи в некотором смысле аналогичны основным краевым задачам для плоских установившихся потенциальных течений в криволинейных каналах ([9]). Если для установившегося течения скорость звука можно найти из уравнения Бернулли, то в данном случае вместо уравнения Бернулли приходится рассматривать нелинейное уравнение второго порядка для скорости звука ui U2) в плоскости годографа, известное из теории двойных волн (см. [3, 4]), и для этого уравнения необходимо решать граничные задачи типа задачи Гурса или смешанной задачи. [c.64]

Поскольку в некоторых задачах нелинейного распространения упругих волн необходимы абсолютные измерения и сравнение с теорией, геометрия звукового поля имеет существенное значение. Большинство измерений обычно проводится в ближнем поле излучателя, где волну еще можно считать плоской. Поскольку ближнее поле чрезвычайно неоднородно, такие измерения возможны только тогда, когда размеры приемника существенно больше неоднородностей поля и, следовательно, приемник усредняет эти неоднородности. С приемниками, размеры которых меньше или порядка длины волны, измерения обычно проводятся в дальнем поле [24], где уже начинает сказываться расходимость, что обычно учитывается при сравнении теории с экспериментом. [c.154]

Предлагаемый вниманию читателей краткий курс теории упругости составлен на основе лекций, читанных мною в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова. Эти лекции имеют своею целью сообщить студентам только основные сведения по теории упругости, так как более глубокое изучение отдельных вопросов является задачей специальных курсов, читаемых на последующих семестрах. Поэтому такие вопросы, как теория оболочек, теория пластинок и тонких стержней, теория пластичности и нелинейная теория упругости не затронуты в настоящем курсе совсем, а о плоской задаче и об упругих волнах даны только общие представления. Желающих подробнее ознакомиться с этими вопросами-мы отсылаем к капитальному курсу А. Лява, Математическая теория упругости (перевод с английского, ОНТИ, Москва, 1935), а также к работам Г. В. Колосова, Комплексная переменная и её приложение к плоской задаче теории упругости (ОНТИ, Ленинград, 1936) и академика Н. И. Мусхелишвили, Некоторые основные задачи теории упругости (изд. Ак. Наук СССР, Москва, 1938). [c.9]

Простая система уравнений (6.1) — (6.2) представляет собой модель, содержащую основные качественные особенности нелинейного взаимодействия ударных волн. Вместе с тем эта теория дает удовлетворительные количественные результаты и поэтому может служить основой для практических расчетов. Система уравнений (6.1) — (6.2) аналогична уравнениям одномерного движения сжимаемого газа. Важным классом решений этой системы являются простые волны. Простая волна, например, описывает изменение амплитуды первоначально плоской ударной волны, распространяющейся вдоль искривляющейся стенки. Решение типа простой волны, зависящее от одной произвольной функции, имеет вид [c.309]

В соответствии с нелинейной теорией в бегущих непрерывных волнах при их распространении могут возникнуть разрывы с меняющейся во времени интенсивностью. По линейной теории разрывы могут образоваться лишь вследствие их наличия в начально-краевых условиях, причем в случае плоских волн их интенсивность в процессе распространения не изменяется. [c.239]

Теория распространения плоских звуковых волн в газах без учета затухания, но с учетом нелинейности уравнений движения и уравнения состояния была еще дана Пуассоном и в более законченном виде — знаменитым немецким математиком Риманом. В этой теории, в отличие от обычной в акустике постановке вопроса, когда считается, что амплитуда давления мала (или лучше сказать — бесконечно мала) по сравнению со средним давлением в среде и акустическая скорость мала по сравнению со скоростью звука, не делалось такого ограничения. Другими словами, учитывалась конечность амплитуды звуковых волн и тем самым нелинейность процесса их распространения. По этой причине те звуковые (или ультразвуковые) волны, которые достаточно интенсивны и для которых начинают проявляться нелинейные эффекты, называют волнами конечной амплитуды. Волны конечной амплитуды — это все же не сильные [c.375]

При действии на поверхность тела импульса давления или энергии возникает волна сжимающих напряжений, распространяющаяся в глубь материала. Волна сжатия чаще всего приводит к разрушению при выходе на свободную поверхность или границы слоев, где она может трансформироваться в волну растяжения. Если нагрузка достаточно кратковременна, то вслед за волной сжатия возникает волна растяжения, которая представляет существенную опасность и может привести к так называемому наружному отколу [130]. В данном параграфе излагаются результаты исследований разрушения материалов в плоских волнах напряжений, вызванных тепловой нагрузкой, недостаточной для начала фазовых переходов первого рода. Рассматриваются случаи весьма кратковременных (10 —10 с) и более длительных процессов. В первом случае временем нагрева тела излучением не пренебрегаем, но используем линейный подход к расчету прочности, во втором случае поглощение излучения полагаем мгновенным процессом и используем развитую выше нелинейную теорию расчета прочности. [c.184]

Тот факт, что уравнения гидродинамики являются нелинейными, несколько усложняет картину. Действительно, если решать уравнения гидродинамики методом последовательных приближений, то из суперпозиции плоских волн, имеющихся в первом приближении, во втором приближении мы получим члены, содержащие произведения фононных амплитуд. Поэтому уже в первом приближении теории возмущений первый член в (7.28) сможет давать нужные переходы. Более подробный анализ этого вопроса, однако, показывает, что скорость г> во втором приближении содержит произведение амплитуде множителем р — р, где р р — начальный и конечный импульсы фонона. Поскольку импульс фонона много меньше импульса ротона ра, то рассеяние, как это следует из законов сохранения, происходит упругим образом, так что р р. И следовательно, указанным эффектом можно пренебречь. [c.47]

Мы обсудили, как проявляется диссипация в экспериментах по искажению звуковых волн и по нелинейному поглощению. Рассмотрим теперь кратко теорию распространения волны конечной амплитуды в среде с диссипацией. В такой среде процессы зависят уже от двух безразмерных чисел — Маха и Рейнольдса. Нелинейные эффекты для плоской волны обычно проявляются при числе Рейнольдса, не слишком малом, таком, чтобы диссипация не могла помешать развитию нелинейности, определяемой числом Маха. Особенно существенны искажение формы плоских синусоидальных волн и генерация гармоник в маловязких жидкостях на ультразвуковых частотах при Re>l. При распространении плоской волны в жидкости, обладающей диссипативными свойствами, процесс укручения будет происходить иначе, чем в среде, где диссипация отсутствует. При искажении волны, благодаря квадратичной зависимости поглощения от частоты, более высокие гармоники затухают сильнее и процесс искажения тормозится потерями. Ясно, что поглощение в такой волне должно быть значительно больше, чем для волны малой амплитуды. [c.76]

Еще в 1968 г. было выяснено, что в нелинейной оптике модулированных волн существует пространственно-временная аналогия результаты, полученные в теории взаимодействия ограниченных пучков, могут быть перенесены на случай плоских волновых пакетов и наоборот [1]. [c.234]

Поэтому нелинейные эффекты заметно проявляются не только в очевидном случае столь больших амплитуд волны, когда число Л/ 1, но и в гораздо более часто встречающемся и потому более важном для акустики случае, когда М 1, но накапливающиеся эффекты велики (например для бегущей плоской волны, когда Мкг 1). Именно такие ситуации, когда число М по-прежнему есть малый параметр задачи, но следует принимать во внимание накапливающиеся нелинейные эффекты, и составляют основной предмет настоящей части. В этих случаях возможно существенное упрощение системы исходных гидродинамических уравнений и уравнения состояния, основанное на малости числа М и величины поглощения на единицу длины а//ь, позволяющее развить весьма эффективную приближенную нелинейную теорию распространения звука конечной амплитуды. [c.11]

При обсуждении волнового уравнения было выявлено большинство основных идей линейной теории гиперболических волн в пространствах двух и трех измерений, и теперь мы обратимся к нелинейным эффектам. Для плоских волн в однородной среде оказалось возможным разработать законченную нелинейную теорию. Однако в противоположность линейной теории, которая была почти тривиальной, здесь потребовались глубокие идеи и изощренные методы. Значительные трудности ожидаются в задачах с большим числом измерений или в случае неоднородной среды, где даже линейная теория становится сложной. Цилиндрические и сферические волны все еще описываются двумя независимыми переменными, но возникает некоторое усложнение, поскольку уравнения для них содержат переменные коэффициенты. Аналогичная ситуация имеет место для плоских волн в неоднородной среде. [c.254]

Основываясь на интуиции, можно сказать, что трудности в этих задачах обусловлены сочетанием двух эффектов ударная волна приспосабливается к изменению геометрии (или среды) и в то же время вовлекается в сложное нелинейное взаимодействие с течением позади нее. Нелинейные плоские волны свободны от первого, линейные неплоские волны свободны от второго. Если в более общем случае сравнительно просто учесть один из эффектов, так что можно сосредоточить внимание на втором эффекте, то можно надеяться, что удастся развить приближенную теорию. [c.255]

Теория характеристик дает характеристические скорости Сх,. . ., с для системы I и характеристические скорости. ... . ., т<,п) для системы II. В случае произвольной нелинейной задачи они будут функциями от зависимых переменных. Однако линеаризованная теория для малых возмущений около некоторого однородного состояния оказывается полезной для подготовки арены дальнейших действий и является источником информации об устойчивости. Если имеются только два порядка, то линеаризованная теория для плоских волн в однородной среде сводится к одному уравнению [c.341]

Эффекты, сходные с излучением Вавилова — Черенкова, хорошо известны в области волновых явлений. Если, например, судно движется по поверхности спокойной воды (озера) со скоростью, превышающей скорость распространения волн на поверхности воды, то возникающие под носом судна волны, отставая от него, образуют плоский конус волн, угол раскрытия которого зависит от соотношения скорости судна и скорости поверхностных волн. При движении снаряда или самолета со сверхзвуковой скоростью возникает звуковое излучение ( вой ), законы распространения которого также связаны с образованием так называемого конуса Маха . Явления эти осложняются нелинейностью аэродинамических уравнений. В 1904 г. Зоммерфельд рассчитал электродинамическое (оптическое) излучение подобного рода, которое должно возникать при движении заряда со скоростью, превышающей скорость света. Однако через несколько месяцев после появления работы Зоммерфельда создание теории относительности сделало бессмысленным рассмотрение движения заряда со скоростью, превышающей скорость света в пустоте, и расчеты Зоммерфельда казались лишенными интереса. Физическая возможность появления свечения Вавилова — Черенкова связана с движением электрона со скоростью, превышающей фазовую скорость световой волны в среде, что не стоит ни в каком противоречии с теорией относительности. [c.764]

Класс точных решений уравнений газовой динамики удалось получить, применяя методы теории размерностей и подобия. Основная заслуга в этом принадлежит Л. И. Седову. В 1944 г. он дал общий прием для нахождения решений линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Для одномерных неустановившихся течений (которые описы- 331 ваются нелинейными уравнениями) он рассмотрел случаи, когда искомые функции содержат постоянные, среди которых одна или две постоянные с независимыми размерностями. Седов доказал, что если среди размерных параметров, определяющих движение совершенного газа, кроме координаты г и времени t имеются лишь два постоянных физических параметра с независимыми размерностями, то уравнения в частных производных могут быть сведены к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Движения газа, определяемые этими условиями, были названы автомодельными. Такими решениями были течения Прандтля — Майера, сверхзвуковые течения около кругового конуса с присоединенным скачком. В 1945 г. Седов нашел точные решения уравнений одномерного неустановившегося движения в случае плоских, цилиндрических и сферических волн (движение поршня в цилиндрической трубе, задача детонации, движение газа от центра и к центру) . [c.331]

К решению плоских автомодельных задач нелинейной динамической теории упругости. — Материалы П-го Симпозиума по нелинейным волнам деформации. Таллинн. [c.400]

Однако подобное расширение области исследований с целью охвата дополнительных сложностей нелинейных явлений должно с самого начала сопровождаться жесткими ограничениями в других отношениях. В разделах 2.8—2.11 мы сосредоточим внимание на плоских звуковых волнах, хотя укажем в нескольких местах, что соответствуюш ие результаты применимы также к продольным волнам обш его вида в однородных трубах или каналах (если пренебречь трением), и в разд. 2.12 непосредственно возвратимся к случаю длинных волн в однородном открытом канале. Отбрасывая во всех этих пяти разделах любые усложнения, вызванные неоднородностью физических характеристик жидкости или поперечного сечения, ослаблением волны или влиянием эффектов трехмерности, мы сможем сфокусировать внимание непосредственно на характерных особенностях, привносимых нелинейными членами уравнений движения даже в те очень простые свойства плоских звуковых волн, которые уже полностью изучены с помош ью линейной теории в разд. 1.1. [c.173]

Дифференциальные уравнения неустановившихся движений в открытых руслах в рамках одномерной нелинейной теории длинных волн были даны еще в 1871 г. Сен-Венаном. Ж. Буссицеск предложил несколько более точные уравнения для плоского движения (приближенно учитывающие вертикальную составляющую ускорения движения). Однако в дальнейшем внимание исследователей было сосредоточено почти исключительно на анализе и решении уравнений Сен-Венана. [c.725]

Стационарная плоская волна возникает вследствие уравнивания диссипативных и нелинейных эффектов, когда нелинейное захлестывание компенсируется диссипативным рассасыванием фронтов. В сферических и цилиндрических волнах к этим факторам добавляется еще явление схождения и расхождения. И все же можно выделить некоторый интервал на пути следования волны, когда решения, которые, в отличие от точного стационарного решения в теории плоских волн, мы называем квазпста-ционарными, справедливы с достаточной степенью точности. [c.72]

О количественной стороне нелинейного искажения можно судить по такому примеру. Для того чтобы нелинейное искажение плоской волны частоты 1000 гц составило по амплитуде 1 % от амплитуды волны, рассчитанной по линейной теории, расстояние, которое должна пробежать волна, составит на псфоге слышимости 3000 км на уровне звука, соответствующем громкой речи с расстояния 1м, — 1 км на уровне звука, соответствующем болевому порогу, — 1 м (цифры даны без учета затухания). Для расходящихся волн расстояния получились бы во много раз ббльшими. При обычной интенсивности звуков речи или музыки нелинейные искажения еще очень малы нелинейные искажения восприятия, вносимые слуховым органом человека, значительна больше, чем искажения при распространении. Но при звуках [c.407]

Рассмотренный лучевой подход нестрогий. Отождествление лучей с плоскими волнами в нелинейной оптике гораздо более проблематично, чем в теории обычных оптических приборов (приближение геометрической оптики). Например, один из основных вопросов связан с тем, что для нелинейных проздессов существенна толщина (объем) среды. Поэтому эффективность взаимодействия пересекающихся лучей явным образом зависит от их толщипы . Приведенный пример показывает, что полученные на основе интуитивного лучевого подхода результаты не являются априорно достоверными, даже в качестве оценочных. Эти результаты должны восприниматься как предварительные, помогающие скорее строгой постановке задачи, чем ее решению. Весьма заманчиво строить теорию нелинейно-оптических преобразователей в терминах обычных оптических систем понятия геометрической оптики — законы идеального кзображе-ния, геометрические аберрации, дифракционные эффекты, светосила и т. д. Не видно, однако, возможности обобщить эти понятия на нелинейную оптику с помощью интуитивных сообра- [c.53]

В [30, 36] было обнаружено, что при формировании обращающего зеркала возможна конкуренция каналов обратной связи в кристалле, сопровождающаяся биениями частот генерации и самопульсацией ее интенсивности. Все это показывает, что природа эффекта самосвипирова-ния спектра генерации является достаточно сложной и требует индивидуального подхода к типу обращающего зеркала, нелинейной среде и свойствам лазера накачки. Необходимо также развитие более детальной теории смешения волн, в частности отказ от приближения плоских волн. [c.210]

В монографии с привлечением теории двухточечных полей и метода конвективных координат изложены основы нелинейной теории упругости. Приведены решения задач устойчивости равновесия шара, сферической оболочки, параллелепипеда, цилиндра. Детально исследованы акустические волны различного рода, в том числе волны ускорения, плоские синусоидальные волны и др. Решены задачи о бесконечно малых и конечн1 1х колебаниях при заданных начальных деформациях. В приложении даны необходимые сведения по тензорному анализу, теории поверхностей. [c.4]

Изучив основные закономерности распространения плоских волн, можно приступить к рассмотрению волн с более сложной пространственной структурой. Прежде всего мы рассмотрим обширный класс волн, направление распространения которых меняется произвольным образом, но эти изменения происходят достаточно плавно - на масштабах, много больших характерной длины волны. В линейной теории это приближеше соответствует геометрической акустике, когда геометрия волны описьшается системой лучей, причем распространение происходит независимо вдоль каждой лучевой трубки. Волны конечной амплитуды могут обладать аналогичными геометрическими свойствами, и тогда говорят о нелинейной геометрической акустике (НГА). Здесь приходится анализировать подчас весьма сложную игру нелинейных эффектов, с одной стороны, и эффектов расходимости волн, фокусировки, рефракции и т.д. — с другой. Отметим еще следующее обстоятельство. Методы линейной геометрической акустики и линейной геометрической оптики (изучающей распространение коротких электромагнитных волн) в общем аналогичны — ош основаны чаще всего на рассмотрении гармонических или квазигармонических во времени процессов или, реже, коротких импульсов волновых пакетов. Нелинейная же геометрическая оптика и акустика развивались различными путями если первая по-прежнему оперирует в основном с квазигармоническими волнами, то вторая имеет дело с непрерывными искажениями профиля волны, которые и в одномерном случае, как видно из предыдущей главы, не всегда просто описать. [c.75]

В качестве простого примера рассмотрим плоскую волну, бегущую в направлении оси х. В линейной теории распространение такой волны описывается функциями вида f х — С( ), так что волна перемещается как целое на расстояние, пропорциональное времени не изменяя своей формы. Более точное исследование задачи о распространении плоской волны, основанное на нелинейной теории, приводит, однако, к качественна другим результатам. В той области движения, где происходит сжатие газа, возникает ударная волна, а область расширения газа постепенно растягивается, утрачивая с течением времени свою первоначальную форму. На достаточно большом расстоянии волна приобретает характерную форму треугольника, независимо от ее первоначальной формы, а амплитуда фарной волны убывает обратно пропорционально Y [c.281]

Рассмотрены автомодельные рещения уравнений теории упругости при малой нелинейности и анизотропии, зависящие от отношения декартовых координат х/у ъ случае, когда упругая среда движется относительно этой системы координат со сверхзвуковой скоростью. Доказано, что для квазипоперечных волн в силу того, что нелинейные члены в уравнениях, описывающих эти волны, имеют порядок (величина е характеризует отклонение от ненапряженного состояния), изменения величин в непрерывных волнах ( 6.1) и на разрывах ( 6.2) не отличаются с принятой в книге точностью рписания от изменений в плоских волнах с некоторой заранее выбранной ориентацией. [c.296]

Нелинейная теория распространения простой волны развита в предыдущих разделах2.8—2.12 для любой жидкости, имеющей нри отсутствии возмущений однородные физические характеристики, помещенной внутри трубы или канала с постоянным невозмущенным поперечным сечением. При этих условиях основные свойства простой волны, пока она остается непрерывной, легко устанавливаются для задач с начальными условиями с помощью уравнений (156)—(163), а для задач с граничными условиями — с помощью уравнений (168)—(171), в то время как соответствующий сдвиг волнового профиля развивается согласно уравнениям (184)—(191). Хотя образование разрыва проанализировано выше только в двух случаях (для плоских звуковых волн и длинных волн в открытых каналах), эти случаи наводят на мысль, что любое распространение простой волны, создающее лишь слабые разрывы, может быть описано с высокой точностью введением в полученный однородным сдвигом непрерывный волновой профиль (для обеспечения его однозначности) разрывов, сохраняющих площадь. [c.228]

Эти боковые полосы света были разрешены с помощью дифракционного спектрографа для озт/2я = 15 Ггц. Каминов [11, 12] и многие другие исследователи создали практические модуляторы света, работающие в диапазоне СВЧ. Можно осуществить много вариантов устройств, предназначенных для согласования фазовых скоростей световых волн и сверхвысокочастотных радиоволн, распространяющихся в волноводе. Для исследования процессов в таких системах теорию взаимодействия волн следует распространить на другие типы волн, отличающихся от плоских. Обратный процесс, когда в результате смешения двух световых волн возникает волна нелинейной поляризации с частотой, лежащей в диапазоне СВЧ, экспериментально наблюдался Нибуром [13]. Две аксиальные моды рубинового лазера, отличающиеся по частоте на 2,964 Ггц, были смешаны в кристалле кварца, который одновременно являлся частью резонатора лазера и частью СВЧ резонатора. [c.201]

Следуя Броеру [92], получим параметр Урселла формальным путем и обсудим проблему взаимодействия нелинейности (или амплитудной дисперсии) и дисперсии (т. е. фазовой дисперсии) при распространении волн. Уравнение Буссинеска (1.6) приблизительно описывает распространение плоских волн конечной амплитуды в слое жидкости постоянной глубины, когда отношение глубины к длине волны хотя и мало, но не пренебрежимо, как в теории приливов. Классическая форма этого уравнения такова [c.14]

Уравнения Эрнста возникают в обшей теории относительности как двумерные редукции уравнений Эйнштейна для гравитационных полей в вакууме. В случае стационарных полей с осевой симметрией эти уравнения могут быть записаны в весьма элегант1гой форме [49] в виде одного нелинейного (квазилинейного) уравнения эллиптического типа для одной неизвестной комплексной функции Е(р,г), называемой потенциалом Эрнста. В другом двумерном случае, когда искомое решение зависит от времени и одной из пространственных координат, как, например, в случае плоских цилиндрических волн, а также для решений космологического типа, возникает аналогичное уравнение, но уже волнового (гиперболического) типа, которое также принято называть уравнением Эрнста. [c.42]

Сферическая волна небольшой амплитуды должна непременно содержать фазу сжатия (р — > 0) и фазу разрежения р — ро < 0), так чтобы полный импульс равнялся нулю. Это требование (которое является следствием закона сохранения массы) вытекает, однако, из более точного рассмотрения и не содержится в теории геометрической акустики (как линейной, так и нелинейной), используюш,ей такие же соотношения между функциями, как и в плоской звуковой волне. [c.284]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...