Представление аналитических функций рядами

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ [c.529]

Полиномы Фабера [88, 111] играют важную роль в теории приближения функций комплексного переменного. Ряды по полиномам Фабера служат для представления аналитических функций в односвязных областях. Эти ряды являются естественным обобщением рядов Тейлора с круга на односвязную область. [c.226]

Работам отечественных ученых по теории крыла и решеток профилей в плоском потенциальном потоке свойственно систематическое применение методов теории функций комплексного переменного для выяснения общих свойств течения, его построения по особенностям непосредственно в физической плоскости и с использованием конформных отображений, представления аналитических функций, связанных с течением, в виде интегралов или рядов и, наконец, решения прямой и обратной задач обтекания решеток как основных краевых задач для этих функций в плоскости течения, в области годографа скорости или в канонических областях. [c.114]

К 1940 г. была создана теория решеток из тонких профилей, пОлучены общие представления аналитических функций в решетчатой области, численно решены вихревым методом различные задачи, построен ряд новых примеров струйных течений, применен метод ЭГДА. [c.125]

Для получения в явном виде асимметричной части масштабного уравнения состояния определим вид функции О г, 0), ис- одя из того, что все уравнения масштабной теории в параметрическом представлении являются аналитическими функциями переменной t. Поэтому О г, 0) можно представить в виде ряда четным степеням 0 [c.119]

Область поля, примыкающая к излучателю. Интеграл Рэлея (III.4.10) дает принципиальную возможность вычислить потенциал поля в любой точке полупространства. Однако выражения интеграла в виде аналитической функции не существует. Его представление в виде бесконечных рядов позволяет найти численные значения характеристик поля с какой угодно точностью. [c.270]

Этот ряд обобщает разложение по отрицательным степеням 2 аналитической функции вне одиночного профиля и совпадает с вырожденным случаем известного представления двоякопериодических функций через производные С-функции Вейерштрасса, что является преимуществом ряда (3.8) [c.119]

Представление функций рядами Лорана дает возможность классифицировать изолированные особые точки аналитической функции, т. е. те особые точки, которые являются центром некоторого, достаточно малого круга, в котором нет других особых точек функции. Вблизи такой точки аналитическая функция может быть разложена в ряд Лорана с кольцом сходимости, у которого внутренняя окружность вырождается в точку. Если разложение (13) 3 содержит конечное число членов с отрицательными степенями (г — Ьу), т. е. имеет вид [c.534]

Аналитическое выражение для функции U, вообще говоря, может быть получено только в виде бесконечного ряда того или иного вида, так как представление этой функции в конечном виде (а особенно в элементарных функциях) почти всегда невозможно. [c.306]

Особые точки аналитической функции (14.13) — простые полюсы, расположенные на мнимой оси р. Оригинал можно записать как сумму (ряд) вычетов. Это соответствует представлению решения в виде ряда по формам свободных колебаний. Анализ изображения [c.69]

Таким образом, Р(т)) представима в виде ряда Тейлора, схо-дяш,егося в некоторой окрестности точки т О. Разлагая в (3.5.2) t(Ti) и В(т)) в ряды Тейлора в окрестности точки т) = 0 и выполняя операцию перемножения рядов, получим представление P(ti) в виде ряда по целым степеням т). В силу теоремы единственности для аналитических функций [10] этот ряд и будет рядом Тейлора для Р(т)). Из теоремы 3.2 можно получить [c.132]

Итак, элементы матрицы [а] оказались представленными в виде рядов по степеням 0 четным для элементов главной диагонали и нечетным для остальных. Коэффициентами в этих рядах служат суммы специального вида — вложенные суммы. Таким образом, элементы отрезка НЛП полностью и однозначно определяются значениями производных функций р(г) и ф(г) в точке 2=0. Однозначность такого представления следует из единственности решения (3.40) в классе аналитических функций. Доказательства единственности представлений элементов матрицы [а] в виде рядов [c.101]

При анализе колебаний машинного агрегата с ДВС в резонансных зонах наиболее рациональным является спектральное представление характеристики Mj в виде соответствующего тригонометрического ряда Фурье. Амплитудные и фазовые параметры этого ряда можно получить, следуя зависимости (2.42), если известны ряды Фурье периодических функций (q, р , Ры) и Характеристика q,Q) в форме (2.47) представлена своим рядом Фурье. Компоненты амплитудного Су и фазового спектров ряда Фурье характеристики Mjl q, рс, Pio) можно определить в виде аналитических зависимостей, используя аппроксимации (2.45) для безразмерных функций Kiq) и Siq) [c.41]

Аналитическое выражение значений расхода представляет полный спектр колебаний потока на выходе гидромашины. Однако оценка пиковых значений расхода по этим выражениям затруднена тем, что возможны разрывные функции. В частности, для процесса, описывающего поток в идеализированной машине, такие разрывы функции расхода появляются от синусных составляющих нечетных s и косинусных составляющих четных s потоков qm- Сходимость рядов к среднему значению в точках разрыва, усугубленная явлениями Гиббса, затрудняет точное определение пиковых значений Q, совпадающих с точками разрыва. Верной оценке неравномерности способствует геометрическое представление процесса образования потока в объемных гидромашинах. Формирующие потоки могут быть представлены звездой векторов (рис. 23, а, 24, й). Для первой гармоники кинематические фазы в звезде совпадают с углом геометрического расположения векторов. Золотниковый распределитель отсекает и суммирует в поток векторы, расположенные по одну [c.211]

Предположим, что нелинейные функции в уравнениях случайных колебаний являются аналитическими и допускают разложение в степенные ряды с ограниченным числом членов. Тогда для вывода моментных соотношений и приближенного исследования стационарных процессов может быть применен метод спектральных представлений в виде стохастических интегралов Фурье. [c.91]

Как правило, под такими методами подразумевают прежде всего какие-либо способы представления решений некоторого класса дифференциальных задач с начальными условиями или краевыми условиями в виде математических объектов с простой структурой в виде аналитической формулы, в виде некоторого интеграла от известной функции — квадра,туры, достаточно быстро сходящегося или носящего асимптотический характер ряда с последовательно вычисляемыми коэффициентами. В первых двух случаях, пользуясь стандартными методами численного анализа, можно при любом фиксированном наборе входных параметров получить решение с заданной степенью точности за очень малое время ЭВМ, иногда это удается сделать и в третьем случае. Часто в первых двух случаях или в случае сходящегося ряда говорят о построенных точных решениях. В последнее время под термином получено точное решение понимают и ситуацию, когда задача сведена к интегрированию системы небольшого количества обыкновенных дифференциальных уравнений при условии отсутствия особенностей (конечный промежуток интегрирования, достаточно гладкие коэффициенты и т. п.). Такого типа задачи можно практически с произвольной точностью (снова при фиксированном наборе входных параметров) решить на ЭВМ с помощью стандартных численных методов за сравнительно короткое время. [c.14]

Получено представление решений смешанных задач Коши для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными и аналитическими коэффициентами в виде рядов по некоторым специальным системам функций, зависящих от характеристической переменной. Исследована сходимость рядов для конкретных систем функций. Приведены результаты численных расчетов. [c.332]

Представления (2.6) (2.8) позволяют установить приближенный вид аналитических разложений для функции А Х) в окрестности особых точек, получить наклоны сепаратрис и осуществлять интегрирование (1.10) при помощи этих разложений как от Л = О, так и от Л = Ag. Оказалось, что задача численного интегрирования встречается с рядом трудностей неустойчивостью расчета, связанной с направлением интегрирования, большой чувствительностью к выбору величины шагов. Тем не менее использовав четыре различные численные методики, удалось расчетным путем, используя очень мелкий шаг интегрирования 10 ), установить существование интегральных кривых, соединяющих две особые точки для о се симметричного случая, и особую точку типа седла с точкой Л = О, Л(0) = а в плоском случае. [c.442]

В [1 10] использовался специальный критерий близости регулярных сеток к равномерным при п = 1,2,3, где п — размерность пространства. В этих работах для односвязных и многосвязных областей сложной формы (п. = 2, 3) было проведено ис-следование корректности постановок задач, разработаны эффективные итерационные численные процедуры и программы построения оптимальных сеток. Такие сетки бы-ли широко использованы для решения внутренних задач газовой динамики [И, 12] и ряда других задач [13]. В отличие от одномерного случая, для которого в [1] было получено явное аналитическое представление функции, определяющей оптимальные сетки, близкие к равномерным, в дву- и трехмерном случаях известны лишь численные итерационные процедуры, позволяющие приближенно строить отображения сложной одно связной области на прямоугольник (параллелепипед) вспомогательной плоскости (пространства) параметров. [c.506]

Чтобы представить характер поведения регпения в целом, очень важно иметь приближенное аналитическое выражение для функций фр1. Построение таких выражений проводят с помогцью асимптотических рядов, которые переходят в точное решение при стремлении того или иного параметра к некоторому пределу. Асимптотические представления функций фр1 хорошо разработаны, как при больших, так и малых значениях параметра с, аргумента t, индексов pul. Особо важное значение имеют асимптотические представления функции фр1 при фиксированных индексах р и /, и больших значениях параметра с. Т. е. такие аналитические выражения, которые стремятся к точному значению решения уравнения (2.61) при с оо. Важность данной области обусловлена тем, что практическую ценность имеют резонаторы с малыми дифракционными потерями и, следовательно, с достаточно большой апертурой зеркал и большим значением параметра с. [c.145]

Эффективное решение всех задач теории решеток можно получить с помощью второго общего представления периодической аналитической ограниченной в бесконечности функции Р (г) в виде ряда по производным сШ Х2, которое следует из ее интегрального представления (3.1) (Г. С. Самойлович, 1950) [c.119]

Если функция (О(5), отображающая окружность единичного радиуса на контур Г границы упругого тела, рациональна, ме-тод остается по существу тем же самым и регаение задачи всегда может быть доведено до конца и представлено в замкнутом виде. Выражения, фигурирующие в равенствах (10.5.3) и (10.5.4), при этом всегда могут быть представлены как контурные значения рациональных аналитических функций переменной и интегралы типа Коши вычисляются как интегралы Коши. Метод комплексной переменной применительно к плоским задачам очень хороша представлен в ряде монографий и учебной литературе (Мусхели-швили, Савин, Новожилов, Амен-Заде и др.), поэтому здесь он не будет развиваться более подробно и иллюстрироваться другими примерами. [c.342]

При аналитическом представлении искомой функции в виде ряда (2.68) или выражения (2.73) метод Рэлея — Ритца всегда приводит к завышенному значению критической нагрузки. Это происходит вследствие того, что ограничивая выражением (2.73) или рядом (2.68) класс функций, среди которых ищем решение задачи, как бы накладываем на исследуемую систему дополнительные связи. В результате таких дополнительных связей жесткость системы может возрасти, что и приведет к завышенному значению критической нагрузки. Значение критической нагрузки, получен- [c.70]

В ряде работ, посвященных изучению пульсаций температур [7, 10,11, 35, 50], успешно использовался метод канонических разложений [33]. Метод основан на достаточно удобном аналитическом представлении случайных функций, что дает возможность применять традиционные способы решения линейных уравнений, описывающих процесс, а также проводипьисследования и нели- [c.16]

Пахождепие вектор-функции u z,t) из (44) в аналитическом ииде представляется в общем случае невозможным, но если y< z,t) является аналитической функцией относительно z в области Оп, то с помощью асимптотических рядов возможно построить ф( ])мальпое представление для u(z, t). [c.27]

Установление этих связей в аналитической форме позволяет (А. Я. Александров см. ниже) выразить напряжения и смещения осесимметричного состояния через аналитические функции комплексного переменного, а это дает в свою очередь возможность свести осесимметричные задачи упругого равновесия к граничным задачам теории аналитических функций. К этим последним задачам в ряде случаев можно применить метод степенных рядов. При помощи этих же комплексных представлений осесимметричного напряженного состояния удается в частных случаях, например для шара и пространства с шаровой полостью, получить решение основных задач в замкнутой форме (в квадратурах). С этими и некоторыми другими результатами применения теории аналитических функций к пространственным задачам теории упругости можно познакомиться по работам А. Я. Александрова- [1—6], А. Я. Александрова и В. С. Вольперта [1], А. Я. Александрова и Ю. И. Соловьева [1 ], [c.631]

Следует отметить, что представление (7.53) для функции Кошмарова Кг (г) является аналитическим продолжением ряда (7.51) и при г=1 дает правильный результат (7.49). На самом деле имеем [c.384]

Одним из методов решения частных задач является представление обобщенных аналитических функций в виде рядов или определенных интегралов. Таким путем найдено решение внешней и внутренней задач для тора, параболоида, однополостного и двуполостного гиперболоидов вращения. [c.290]

Если этот метод рассматривать с точки зрения теории аппроксимации функций, нетрудно видеть, что исходным в нем является представление аппроксимируемых функций параметрическими интегралами типа (4.3). Действительно, в нашей задаче аналитическая структура функций р (Я) известна и, следовательно, отсутствует надобность строить и навязывать оптическим характеристикам какие-либо иные аналитические конструкции, подобные, скажем, многочленам, рядам Фурье и т. п. Поэтому метод обратной задачи является численным методом аппроксимации функций, который реализует их главное аналитическое свойство, а именно представимость параметрическими интегралами. Следует заметить, что этб представление может принимать как форму интеграла Римана, так и Стилтьеса. Для обоих вариантов выше изложены соответствующие алгоритмы. [c.230]

Благодаря, главным образом, работам отечественных механиков методы теории функций комплексного переменного теперь служат мощным средством исследования двумерных бигармонн-ческих задач. При построении решения в рядах нет смысла строить ряд для бигармонической функции напряжений, особенно если отверстия имеют не круговую форму достаточно найти представления входящих в нее двух аналитических функций. Аппарат теории функций комплексного переменного даже в методе рядов дает возможность глубже учитывать и второстепенные члены в решении и строить таким образом некоторые эффективные процессы, приводящие и при весьма неблагоприятных условиях сходимости к положительным результатам. Но главным, решающим преимуществом метода Колосова является возможность сведения бигармонической задачи к краевым задачам теории аналитических функций и, следовательно, приме- [c.240]

Пусть Г = /(0, Гд) - решение уравнения (П.3), принимающее значение Гц при 0 = (очевидно, что точка г = Гд, 0 = О лежит на положительной полуоси х). Поскольку функц /(0, Гд) - аналитическая функция 0 и Гд, то в некоторой малой о1фестности точки Гд = справедливо представление функции/сходящимся рядом [c.327]

Во всех методах для оценки динамических погрешностей приборов в общем случае необходимо знать характеристику системы и процесс, для регистрации которого предназначается прибор, т. е. возмущающую функцию. Последняя не всегда точно известна заранее и может быть вы )аже-на аналитически. Часто характер функции известен лишь приближенно в виде графика. В ряде случаев из-за конструктивных трудностей не удается создать прибор с оптимальным демпфированием (как, например, приборы для измерения натяжения нитей и др.). Это затрудняет исноль-зование чисто аналитических методов, например [14], а также методов, основанных на приближенном представлении переходных характеристик [11], и делает целесообразным применение приближенных методов. Особенно большие затруднения возникают при оценке процессов в виде одиночных импульсов сложной формы, в частности, выражаемых по закону кусочно-линейной функции [15. [c.156]

Задачи температурных режимов элементов конструкций. Этот класс задач объединяет стационарные и нестационарные, плоские и пространственные задачи распространения теплоты в твердых телах при наличии фильтрации при существовании фронтов реакций, источников и стоков теплоты и массы при произвольных граничных условиях на поверхности. Наиболее широко для решения задач данного класса используется метод конечных разностей в сочетании с методом прогонки и методом расщепления [44, 1051. Подробно эти методы рассмотрены выше. Существующие аналитические решения стационарных и нестационарных задач данного класса охватывают только канонические формы (пластина, цилиндр, шар). Нестационарные решения таких задач содержат ряды с использованием тригонометрических функций, функций Бесселя, Грина и др. Такая форма представления решений для определения численных значеннй температурного поля требует использова1н, я [c.188]

В связи с этим обобщенная характеристика будет также состоять из двух ветвей. Границей их раздела будет точка на кривой, соответствующая числу Fo = Foper- При Fo < Foper разрушение образца конструкции будет происходить в условиях иррегулярного режима, а при Fo Foper — в условиях регулярного теплового режима. В ряде случаев при расчете предельных нагрузок удобнее пользоваться ветвями обобщенных характеристик, полученными при регулярных тепловых режимах и представленными в аналитическом виде функциями температур и вн- Это упрощает проведение расчетов и позволяет приближенно оценить предельные нагрузки в тех случаях, когда из условий эксперимента известны только температуры 9 и [c.30]

Займемся дальнейшим развитием, нестационарной теории профиля с тем, чтобы приспособить ее к анализу обтекания вращающейся лопасти. Хотя основы теории уже излагались в предыдущих разделах, приложение ее к лопасти несущего винта требует учета целого ряда дополнительных факторов. Применение схемы несущей линии разделяет задачу расчета нестационарных аэродинамических нагрузок при пространственном обтекании на две части внутреннюю, в которой исследуются аэродинамические характеристики профиля, и внешнюю, состоящую из расчета индуктивных скоростей, создаваемых в сечении лопасти вихревым следом винта. Что касается внутренней задачи, то при стационарном обтекании плоского профиля аэродинамические нагрузки могут быть получены из эксперимента и представлены в виде табулированных зависимостей их от угла атаки и числа Маха. При нестационарном досрывном обтекании применимы результаты теории тонкого профиля. Решение внешней задачи затруднено тем, что система вихрей винта имеет весьма сложную конфигурацию. За каждой из вращающихся лопастей тянутся взаимодействующие винтовые вихревые поверхности, деформирующиеся в поле создаваемых ими индуктивных скоростей с возникновением областей сильной завихренности в виде концевых вихревых жгутов. Аналитическое определение индуктивной скорости на лопасти без весьма существенных упрощений модели вихревого следа (например, представления винта активным диском) оказывается невозможным. На практике неоднородное поле индуктивных скоростей определяют численными методами, подробно обсуждаемыми в гл. 13. Ввиду сказанного ниже не предполагается отыскивать зависимость между индуктивной скоростью и нагрузкой путем введения функции уменьшения подъемной силы. Напротив, сами индуктивные скорости являются фактором, учитываемым явно в нестационарной теории профиля. Для построения схемы несущей линии желательно, чтобы вычисление индуктивных скоростей производилось лишь в одной точке по хорде. Проведенное выше исследование обтекания профиля на основе схемы несущей линии указывает способ, который позволяет аппроксимировать нестационарные нагрузки с достаточно полным отображением влияния пелены вихрей. Применительно к лопасти достаточно рассмотреть лишь часть пелены, расположенную вблизи ее задней кромки. При построении нестационарной теории обтекания вращающейся лопасти надлежит учесть влияние обратного обтекания и радиального течения. Теоретические нагрузки должны быть скорректированы таким образом, чтобы они отражали влияние [c.480]

В данной главе описаны различные методы расчетов распределения напряжений вокруг острых концентраторов напряжений или трещин. Все аналитические решения включают использование в той или иной форме комплексных переменных. Функции напряжений Вестергаарда обычно позволяют получить основные параметры полей напряжений у вершины трещины, но в более сложных случаях, относящихся к реальным образцам, необходимо использовать функцию напряжений в виде полинома или конформные отображения. Для моделирования трещин могут быть использованы и ряды дислокаций. Метод конечных элементов применяется все шире, вытесняя постепенно метод уравнений в конечных разностях, тем самым широко привлекая вычислительную технику для решения большого числа совместных линейных уравнений, представленных матрицей жесткости. Для моделирования упруго-пластической деформации по типу I при плоском [c.88]

Здесь при рассмотрении тех же задач, что и в гл. 1, предлагается несколько иная аналитическая форма представления решений. А именно искомые функции ии утся в виде рядов по целым степеням малого параметра е. Рассматриваются варианты граничных условий, отличные от условий шарнирного опи-рания, и решается задача о расщеплении граничных условий, т. е. о выделении двух линейных комбинаций граничных условий, которым нужно удовлетворить при построении основного напряженного состояния. Обсуждается также вопрос о зависимости критической нагрузки от граничных условий. [c.149]

Интересно, сравнить это поведение с поведением соответствующих фервш-функций (j), (j). Они также могут быть представлены в виде рядов (5.4.22), (5.4.23), но теперь члены ряда знакопеременны. Радиус сходимости рядов также равен = 1, но эта точка не является критической. Функция, представленная рядом, может быть аналитически продолжена в область J > 1. Последнее ясно видно из того, что в интегралах типа (5.7.3), (5.7.4) теперь стоит знаменатель + 1), который не обращается в нуль для положительных значений j. Следовательно, функции существуют для всех J в области О < j < схз. [c.200]

Пусть Г1 и То — линейно независимые решепия этого уравпе-ння. Их можно выбрать так, чтобы в окрестности х = I, функция Т была аналитической, первые члены разложения в ряд которой имеют вид 1 = >- — г 2ЛУ8-Ь 0(1- ) г = 1—х, тогда функция Гг имеет представление [c.100]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...