Метод канонических разложений

В наиболее общем виде случайную функцию можно представить используя метод канонического разложения, разработанный В. С. Пугачевым [c.116]

Существенно иное, статистическое направление теории оптимальных систем возникло примерно одновременно с теорией детерминированных систем. Статистическое направление, во всяком случае на начальной стадии, базировалось на математической теории Колмогорова — Винера. Кроме того, был создан другой метод — метод канонических разложений, часто оказывающийся более удобным для приближенного решения сравнительно сложных задач. Вначале работа в области статистических методов в автоматике велась главным образом в направлении развития статистических методов исследования стационарных линейных систем в установившемся режиме при стационарных случайных возмущениях, применения этих методов к задачам практики и их распространения на линейные импульсные системы. [c.250]

Для решения задач были разработаны на базе метода канонических разложений случайных функций общие методы определения оптимальных линейных систем для нестационарных входных сигналов, применяемые к системам с любым числом входов и выходов, а также решен ряд частных задач по определению оптимальных систем различного назначения. Кроме того, нри помощи теории канонических разложений был разработан общий метод нахождения оптимальных систем и оптимальных алгоритмов обработки информации но любым статистическим критериям качества. Этот метод, применимый к линейным и нелинейным системам с любым числом входов и выходов, позволил объединить одной общей теорией все задачи обнаружения сигналов в шумах и их оптимальной обработки, возникающие в теории информации, теории связи, радиотехнике, автоматике и других областях науки и техники. Было показано, как этот общий метод может быть применен для построения алгоритма обучающихся машин. [c.274]

Метод канонических разложений. Одним из эффективных методов решения стохастических краевых задач является метод канонических разложений. Рассмотрим случай, когда L в (2) является линейным скалярным оператором. Скалярное поле / (х, t) можно представить в виде разложения [c.312]

Метод канонических разложений 312 [c.345]

Корреляционные методы основаны на использовании связи между корреляционными (или моментными) функциями входных параметров (например, нагрузок) и выходных параметров (прогибов, внутренних усилий, напряжений). Эти связи могут выражаться как при помощи дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, так и — в простейших случаях — при помощи конечных соотношений. Спектральный метод и метод канонических разложений занимают промежуточное место между корреляционными и квазистатическими методами. Область применения корреляционных методов — задачи, в которых [c.516]

При разработке инженерной методики прогнозирования в зависимости от сложности ремонтируемых агрегатов и автомобилей необходимо использовать либо метод канонического разложения, либо метод математического моделирования. [c.130]

Аналитические методы статистического анализа нелинейных динамических систем условно можно подразделить на следующие 1) исследование на основе уравнений Фоккера—Планка—Колмогорова (ФПК) [42 и др. 1 2) характеристические функции на основе уравнений В. С. Пугачева [25, 68, 69] 3) статистическая линеаризация многомерных нелинейных функций И. Е. Казакова [33, 34, 54] 4) метод моментов [33, 74, 69] 5) семиинварианты (кумулянты) [251 6) метод малого параметра, усреднения и асимптотический метод [27, 50] 7) канонические разложения [85] 8) метод Винера [85 ] с использованием рядов Вольтерра и ортогональных спектров [85] и др. [c.144]

Решение практических задач, связанных с применением преобразований случайных функций, встречает ряд математических трудностей. Поэтому во многих случаях удобно оперировать со случайными функциями, представленными в виде разложения с некоррелированными слагаемыми. Одним из таких представле- ний является метод канонического представления случайной функции, разработанный В. С. Пугачевым [51]. [c.208]

Одним из важных достоинств схематизации на основе спектрального анализа является возможность восстановления исходного процесса после обработки, а также его компактного хранения (в виде корреляционной функции или спектральной плотности) практически без потери информации в статистическом смысле. Генерация исходного нагрузочного режима может быть осуществлена путем применения методов, основанных на каноническом разложении случайных функций, или с помощью формирующих фильтров. Восстановленный процесс может быть вновь схематизирован каким-либо способом. Это позволяет реализовать автоматизированный машинный способ формирования различным образом схематизированных нагрузочных режимов из исходного процесса, что особенно важно при расчете агрегатов, в которых нагрузочные режимы отдельных элементов требуют отличной друг от друга схематизации. [c.191]

Методы второго направления базируются на приближении случайного возмущения отрезком его так называемого канонического разложения, т. е. на представлении в виде линейной комбинации конечного числа детерминированных функций времени с коэффициентами, являющимися независимыми случайными величинами. При таком подходе проблема сводится к построению решений детерминированных задач, зависящих от набора случайных параметров. При этом открываются возможности использования современных вычислительных машин. [c.113]

О решении динамических задач. Как видно из результатов этой главы, оба метода приближенного решения (метод канонических уравнений и метод разложения в ряды) применимы к динамическим задачам (установившиеся колебания). Все рассуждения, использованные при исследовании смешанных задач, также остаются в силе в динамическом случае, если частота колебаний ш отлична от собственных частот области В . Такое условие, в частности, выполняется, если ш есть комплексное число. Это соответствует наличию затухания колебаний и обеспечивает единственность решения. [c.466]

При использовании численных методов исследования систем управления КА случайные возмущения представляются в виде случайных величин или детерминированных функций времени ог случайных величин. В каноническом разложении сл>чайная функция является суммой произведений случайных величин н координатных функций, т е [c.177]

Представление случайной функции в виде (4.29) принято называть каноническим разложением. Для нахождения канонических разложений случайных функций существуют различные методы [36]. [c.167]

Итак, расчет течения через двухрядную решетку по сравнению с расчетом течения через однорядную решетку является новой, более общей задачей. Мы рассмотрели решение этой задачи по методу конформного отображения на двухсвязную область (кольцо). Известны и другие подходы к решению этой задачи, обобщающие иные методы расчета течения через однорядную решетку. По методу интегральных уравнений расчет сводится к вычислению интегралов типа (7.1) или (7.11) по двум контурам и 2- Возможно также применение конформного отображения на двухрядные канонические решетки, например на двойные решетки кругов, путем соответствующего обобщения разложения (5.3). [c.111]

Применение метода спектральных представлений. Стационарный и стационарно связанный векторный процесс f (О допускает каноническое спектральное разложение в форме [c.290]

Задача о существовании дополнительного интеграла уравнений вращения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, аналитического по каноническим переменным и параметру (л, впервые поставлена А. Пуанкаре в п. 86 его Новых методов небесной механики . Анализируя разложение возмущающей функции, А. Пуанкаре показал, что (в нашей терминологии) вековое множество не является всюду плотным, и, следовательно, его общая теорема об отсутствии новых аналитических интегралов не применима ...ничто не препятствует существованию третьего однозначного интеграла, если только якобиан трех интегралов обращается в нуль, как только п [у нас и , В. К.) становится кратным п [у нас и)1, В. К.)] отсюда следует, что этот третий интеграл не может в общем случае быть алгебраическим. [c.72]

Метод подгруппы основан на рассмотрении определенной звезды к", возникающей в результате разложения, и, более того, на рассмотрении отдельного волнового вектора звезды к". Пусть звезда к" задана каноническим вектором к". Спрашивается какое значение т" возникает при выполнении приведения для данного к", если заданы соответствующие части двух представлений и являющихся сомножителями [c.161]

Выполнение расчета методом полной группы включает построение по формулам (37.3) или (49.3) набора таблиц характеров полной группы. Это предполагает, что выполнено приведение в каждой группе к) канонического вектора к каждой звезды. После того как построены таблицы и выполнено разложение, мы получим все неприводимые представления, содержащиеся в прямом произведении 0 < > В общем случае конечный результат содержит полные представления, относящиеся к нескольким разным звездам. [c.168]

Существует несколько различных эквивалентных формулировок теории возмущений. В рамках канонического формализма явные выражения для гейзенберговских операторов определяются известной формулой Швингера (2.44). В ряде случаев более удобным оказывается метод Янга — Фельдмана, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих соответствующую квантовую систему, путем переформулировки их в интегральном виде с автоматическим учетом граничных условий и последующего разложения искомых решений в ряд по степеням Я. [c.230]

Полное вириальное разложение трудно получить методом, описанным в этой задаче. Оно получено в гл. 14 иа основе большого канонического ансамбля [см. (14.27) и (14.30)]. [c.202]

Первые четыре главы книги посвящены общим уравнениям движения тел, представляющих изолированную систему, известным интегралам, основным формулам эллиптического движения и разложению различных функций в гипергеометрические ряды и по функциям Бесселя. В гл. 5 достаточно подробно излагаются уравнения Лагранжа для оскулирующих элементов, чтобы читатель мог ознакомиться с основными процессами перехода от эллиптической орбиты к возмущениям планет. В гл. 6 рассматриваются различные классы неравенств —вековые, короткопериодические и долгопериодические. Гл. 7 посвящена разложению в ряд возмущающей функции, сначала в теории Луны, а затем в теории движения планет. В гл. 8 —о канонических уравнениях — шаг за шагом излагаются различные теоретические положения и приводятся простые примеры. В гл. 9 подробно рассматривается решение уравнений эллиптического движения при помощи метода Гамильтона — Якоби. В следующих двух главах излагаются элементы теории контактных преобразований. Гл. 12 посвящена теории Луны Делонэ в ней подробно описывается основная операция и дается практический метод получения решения п желаемой форме. В следующих двух главах рассматриваются вековые [c.7]

В книгу включен ряд новых результатов по применению метода разложения по собственным функциям, метода годографа и канонических преобразований для анализа локализации пластических деформаций, оценке влияния удаленных локализованных пластических зон на равновесие трещин, исследованию влияния новрежденности на развитие трещин с учетом зон локализации пластических деформаций перед вершиной и в условиях ползучести в связках пластичность—поврежденность, ползучесть—поврежденность. [c.2]

В ряде работ, посвященных изучению пульсаций температур [7, 10,11, 35, 50], успешно использовался метод канонических разложений [33]. Метод основан на достаточно удобном аналитическом представлении случайных функций, что дает возможность применять традиционные способы решения линейных уравнений, описывающих процесс, а также проводипьисследования и нели- [c.16]

Метод пространственных преобразований Фурье. Рассмотрим применение этого метода с использованием канонических разложений. Предположим, что нагрузка / (х, I) образует цен грированное однородное случайное поле, т. е. допускает разложение [c.314]

В данном конкретном случае использованный метод не слишком подходящ, по двум причинам прежде всего мы обнаруживаем, что решения дифференциальных уравнений для q - и допускают еще одно слагаемое, пропорциональное решению невозмущенного уравнения (7.112). Но мы не добавили этот член к выражению q - а добавили к решению Сделано это было для того, чтобы получить правильный ответ, т. е. ответ, получаемый либо вторым способом, либо с помощью канонической теории возмущений— для и Если положить к тому же а равной 11/8, цель будет достигнута [ср. (7.133)]. Вторая трудность состоит в том, что у нас появился член, пропорциональный / osсо/, в выражении для Если разложение в ряд по степеням X имеет хоть какой-нибудь смысл, то должна быть возможность выбрать X столь малым, чтобы члены, содержащие (п Ф 0), оказались бы меньше невозмущенных членов. Но совершенно очевидно, что это невозможно, когда появляется неограниченно возрастающий член такого вида, как t os со/. В следующем параграфе мы увидим, что в выражении для [c.187]

В общем случае определение термофизических свойств такой плазмы является задачей многих тел (причем без малого параметра разложения), аналитическое решение которой пока не получено. Существующие к настоящему времени приемы и методы расчета состава и термодинамических функций плотной низкотемпературной неидеальной плазмы (Г=1) по погрешностям оценки параметров плазмы существенно уступают соответствующим методам расчета идеального газа. Наиболее слабым звеном в этих методах является отсутствие теоретических предпосылок для оценки погрешностей расчета. Эксперименты на ударных трубах, с пробоем диэлектриков и другие в силу значительных погрешностей не могут к настоящему времени однозначно базироваться на той или иной методике расчета. В такой ситуации следует стремиться к наиболее простым формам уравнения состояния плазмы, а оценку коэффициентов, входящих в него, с погрешностью 3-4% считать удовлетворительной. При этом следует иметь в виду, что традиционная химическая модель (модель смеси) даже для плазмы с Г s 7 может дать удовлетворительные результаты по большинству параметров плазмы при обоснованном учете связанных, состояний и кулоновского взаимодействия. Достаточно надежные результаты могут быть получены также для некоторых параметров с использованием методов разложения термодинамических величин в канонические ансамбли, дать приемлемые результаты для не слишком широкого диапазона давлений в канале. [c.51]

Все вычисления в методе Хилла производят над матрицами блочной структуры, что упрощает алгоритмы и программы для вычислений на ЭВМ. Точность вычислений может быть оценена сопоставлением результагов, относящихся к двум или нескольким приближениям последовательно возрастающего порядка. В этом методе не используется ни малость глубины модуляции, ни малость демпфирования, ни близость системы к канонической. Необходимое для удержания число членов в рядах (54) и (55) зависит от области частот, в которой ищется решение. Для расчета области неустойчивости вблизи побочного резонанса порядка р нужно сохранить в разложениях (54) и (55) по крайней мере гармоники до порядка р включительно. [c.130]

Сущность метода. Пусть входной процесс f (t) допускает каноническое интегральное разложение типа (26) [см. гл. XVII] [c.289]

При решении методом возмущений неканоническая область должна быть близка к канонической (прямоугольник, круг и тл.). Тогда решение строится в виде разложения в ряды Тейлора по степеням параметра, харак-теризующего отклонение неканонической области от канонической. Как правило, удается построить такие ряды только до второй степени параметра. Попытки использовать более высокие приближения приводят обычно к громоздким выкладкам. В 5.5 такие трудности удалось преодолеть, но построенное там решение оказалось практически нереализуемым из-за плохой сходимости рядов. [c.147]

По происхождению и смыслу название метод граничных интегральных уравнений , конечно, шире, чем метод граничных элементов , поскольку предусматривает возможность решения уравнения любым из множества известных способов, а не только с помощью деления границы на элементы с аппроксимацией функций на них постоянными, полиномами или другими приближенными выражениями. Можно, например, использовать последовательные приближения, замену ядра уравнения иа близкое вырожденное ядро, разложения искомых функций в ряды и другие способы [1, 2]. Однако практически любой способ решения требует численного иитегрироваиия, которое, как правило, выполняется с делением границы иа элементы. Это, в частности, очень сближает два главных способа, используемых для решения ГИУ, — метод последовательных приближений и МГЭ в каноническом виде , т. е. решение ГИУ, сведением к алгебраиче- [c.265]

Интеграл Jq, определяющий среднее значение 1I ие может быть выражен через элементарные функщ1И или канонические формы эллиптических интегралов. Однако в подынтегральном выражении,Д1меющем форму /( ) = V(i os m) - 6(м), можно вьщелить основную часть, дающую при интегрировании полный эллиптический интеграл второго рода Е(кх), а оставшуюся часть аппроксимировать, используя методы разложения функций по полиномам Чебышева. В результате получим приближенное выражение [c.112]

Большое внимание в монографии уделено разработке новых и развитию известных аналитических и численно-аналитических методов перечисленных выше задач. Основными из них являются 1) метод сведения парных интегральных уравнений (ИУ) и парных рядов-урав-нений к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) первого рода с сингулярной матрицей специальный способ решения этих систем 2) метод однородных решений применительно к телам конечных размеров канонической и неканонической формы 3) метод сведения парных интегральных уравнений к ИУ 1-го и 2-го рода с разностным ядром 4) метод больших Л, построение всех членов разложения с помощью алгебраических рекуррентных соотношений [c.13]

Разработаны и развиты аналитические методы решения парных рядов-уравнений, связанных с разложениями, порождаемыми соответствующими задачами Штурма-Лиувилля, путем сведения их к ИУ с разностным ядром или к БСЛАУ с сингулярной матрицей. Развиты некоторые методы решения полученных ИУ и бесконечных систем первого и второго рода. Получено точное решения одного важного класса ИУ, к которым сводятся некоторые плоские контактные задачи для канонических тел конечных размеров. [c.263]

Г амильтониан первого приближения выберем так, чтобы он включал члены, дающие наибольший вклад в рассматриваемой области параметров и аргументов. Следующие члены разложения можно найти, используя каноническую теорию возмущений или метод усреднения. [c.355]

Рассмотрение теории возмущений мы начнем с краткого описания некоторых ее методов, используя простые примеры динамических систем и исследуя движение непосредственно по определяющим его дифференциальным уравнениям. Даже для нелинейного осциллятора с одной степенью свободы (интегрируемая система) разложение только амплитуды колебаний в степенной ряд приводит к появлению неограниченно растущих во времени секулярных членов и расходимости. Решая совместные уравнения для амплитуды и частоты колебаний, Линдштедт [278 J и Пуанкаре [337 ] преодолели секулярность и получили сходящиеся ряды. Их техника описана в п. 2.1а и представлена в общей канонической форме в п. 2.2а. Этот материал составляет основу дальнейшего изложения теории возмущений. [c.82]

Дополнительная свобода, возникающая вследствие разложения ю, позволяет исключать секулярность в каждом порядке по е, чем и достигается равномерная сходимость решения. Каноническая форма метода Линдштедта, представленная в п. 2.2а, была разработана Пуанкаре [337] и Цейпелем [419]. [c.87]

Окончательный гамильтониан можно опять выразить через операторы электронного поля и диагонализовать с помощью канонического преобразования к полевым операторам, представляющим собой линейную комбинацию операторов 1 ) (г) и 1 ) (г), что приводит к так называемым уравнениям Боголюбова. Эти уравнения применительно к случаю основного состояния приводят к результатам, эквивалентным полученным нами выше с помощью метода БКШ. Их можно решить в принципе и в случае неоднородной системы, однако сделать это трудно. Задача существенно упрощается для температур, близких к температуре сверхпроводящего перехода, где среднее <В) мало и его можно использовать в качестве параметра разложения. Именно это приближение и используется в теории Гинзбурга — Ландау, которая в действительности предшествовала микроскопической теории. К этому приближению мы вернемся в п. 3 10. [c.581]

Все теории можно разделить на три класса аналитические, численно-аналитические и численные. Теория Делоне представляет собой пример аналитического подхода в чистом виде. Для возмущающей функции получено разложение по малому параметру до седьмого порядка. В процессе приведения этой функции к нормальному виду было сделано свыше 500 канонических преобразований, в результате чего в конце концов были получены выражения для широты, долготы и синуса параллакса Луны. Делоне на эту работу потребовалось около двадцати лет. Благодаря тому что метод является чисто аналитическим, его можно применять в любой задаче трех тел. [c.298]

По традиции теорию возмущений развивают в рамках канонической теории поля, которая возникла как простое обобщение правил нерелятивистской квантовой механики на системы с бесконечным числом степеней свободы ). В ней постулируются гамильтониан или лагранжиан как определенная функция полей, и соответствующие уравнения движения решаются путем разложения всех входящих в них величин в степенные ряды по константе связи. К сожалению, многие коэффициенты разложения оказываются расходящимися. Их можно сделать конечными с помощью так называемой процедуры перенормировки ценой включения в уравнения движения и гамильтониан компенсирующих членов с бесконечными коэффициентами. Короче говоря, исходные уравнения не имеют решений, а уравнения, имеющие решения, на первый взгляд кажутся бессмысленными. Обычный метод придания им хоть какого-то смысла состоит в том, что бесконечные коэффициенты определяют как пределы конечных величин, предварительно вводя то или иное обрезание, устраняемое на заключительном этапе. В последние годы Брандт, Вильсон и Циммерман (см. [3, 4] и цитированные там оригинальные работы) разработали более сложный метод, предложенный впервые Вала-тином [2]. Авторы этого метода подчеркивают, что расходимости в уравнениях движения обусловлены наличием пресловутых неопределенностей в произведениях полей в одной точке, и предлагают определить эти произведения как пределы произведений операторов в различных точках. Оба метода имеют тот недостаток, что они лишают канонический формализм его простоты и интуитивной привлекательности. [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...