Приближенное решение задач релаксации

Приближенное решение задач релаксации [c.457]

Релаксация изгибающего момента, равного Мх (0) в начальный момент времени (1 = 0), при /2 = 4 согласно приближенному решению задачи (17.50) происходит по закону [c.464]

Расчеты релаксации температурных напряжений связаны с математическими трудностями. Обычно достаточно приближенного решения задачи, поэтому удобно использовать вариационный метод. [c.130]

Решение задач неустановившейся ползучести с помощью определяющего уравнения (18.12.5) достаточно сложно, оно может быть выполнено лишь численно шагами по времени, притом на каждом шаге необходимо решать задачу о неустановившейся ползучести при постоянном q, зависящем от координат. Однако для определения перемещений отдельных точек и нахождения закона релаксации связей можно применять излагаемый ниже приближенный метод. [c.644]

По аналогии с решением задачи о динамической устойчивости системы с двумя степенями свободы рассмотрим динамическую устойчивость двойного физического маятника в первом приближении асимптотическим методом. Так как в основе этого метода лежит предположение, что время корреляции возмущений /i (О и /з (О значительно меньше времени релаксации амплитуд и фаз обобщенных координат Ф1 и фа, а время наблюдения за системой значительно превышает (l/ j, 2 i, 2), то уравнения динамической устойчивости, по первому приближению системы (6.103) получаем путем приравнивания к нулю аддитивных не- [c.269]

Взаимодействие хромофора с одной ДУС. Приближенное решение. При строгом учете взаимодействия хромофора со всеми ДУС полимера нам придется решать практически бесконечномерную систему балансных уравнений. Решение этой задачи можно упростить, если использовать большую разницу в скорости электронной и туннельной релаксации, которая позволяет рассматривать их раздельно. Проведем разделение этих двух типов релаксаций сначала на примере хромофора, взаимодействующего с одной ДУС. [c.264]

В этом случае первое приближение и / является решением обычной задачи линейной термовязкоупругости, учитывающей дополнительную объемную деформацию и повышенную скорость релаксации в нейтронном потоке. В дальнейшем для к-го приближения имеем задачу линейной термовязкоупругости с другими дополнительными внешними нагрузками t, п [c.64]

Другие методы. Для решения задач струйных течений применяются и другие численные методы, которые большей частью представляют собой методы приближенного решения уравнения Лапласа = О в произвольной области либо методом электрогидродинамической аналогии в электролитической ванне или на сетках сопротивлений, либо путем графического построения конформной сетки, либо численным методом релаксации. [c.283]

Отметим, что решение задачи методом последовательной верхней релаксации с экстраполяционными условиями как на В 3, так и на В 6 могло бы сходиться в пределах некоторой заданной точности значит, дискретизация могла бы, вероятно, привести к единственному решению, т. е. к решению, не зависящему от начального приближения. Но полученное таким образом единственное решение зависит от Ах и Ау, и при Лл - 0 и Аг/—>-0 задача становится неопределенной. [c.241]

Опишем алгоритм решения задачи. Выполняется итерационный процесс Ньютона до получения некоторого решения. Начальное приближение определяется из (3.4). При этом на каждом шаге итераций с использованием метода верхней релаксации решается система линейных алгебраических уравнений относительно Ат " (х,), А/ (х,) (i = 2,..., N + 1) и Aq " sp (j = 1,...,M). Последнее слагаемое из (3.5) в ходе выполнения итераций опускается. Уточнение полученного решения осуществляется с использованием второго итерационного процесса. Для [c.130]

Поток через такие решетки может быть рассчитан приближенно методами расчета течения в каналах. Если относительный шаг решетки не превышает 0,7, то можно успешно использовать метод конечных разностей или метод релаксации. Первые решения задачи были опубликованы в работах [6.1] (приближенное решение с быстрой сходимостью), [6.2] (метод расчета по трубкам тока с линиями тока линейно изменяющейся кривизны) и [5.21]. [c.166]

В квазиупругом методе вязкоупругое решение (т. е. переходная проводимость) получается из упругого решения заменой всех упругих характеристик материала соответствующими функциями релаксаций и функциями ползучести [86]. Хотя этот метод основан на приближенном обращении (120) и, следовательно, применим только к квазистатическим задачам, его преимущество состоит в том, что для получения различных переходных проводимостей он не нуждается в теории обращений. В самом общем виде этот метод дает аппроксимации определяющих уравнений (10) и (11) соотношениями [c.150]

В процессе численного решения как прямой, так и обратной задач возникает вопрос сходимости приближений. Опыт выполненных расчетов и анализ сходимости предложенных методов позволили дать рекомендации [7, 11, 27] по выбору расчетных сеток и коэффициентов релаксации, введение которых ускоряет расчетный процесс, а во многих случаях оказывается необходимым для достижения сходимости. [c.204]

Константы туннельной и электронной релаксации, входящие в эти формулы, показывают, что в точном решении электронная и туннельная релаксации смешаны. Не разделив приближенно эти два типа релаксации в последних формулах, мы не можем надеяться на успешное решение поставленной задачи. [c.264]

Как уже отмечалось в параграфе 5, использование теорий ползучести деформационного типа (старения) при решении контактных задач может привести к большим погрешностям, особенно в определении контактных давлений. Даже в тех случаях, когда зона контакта не изменяется во времени, обычно определяющим является процесс релаксации контактных напряжений, который теории ползучести деформационного типа описывают весьма приближенно. В случае изменения границ зон контакта в конструкции реализуется сложное нагружение, что требует учета истории нагружения. Однако во многих случаях при решении контактных задач теории ползучести деформационного типа могут дать вполне приемлемые результаты и их использование оказывается целесообразным. [c.146]

В рамках одномерной модели удается исследовать и процессы перераспределения напряжений во времени. Такая задача была решена, например Лифшицем [92, 257], который, опираясь на модель Б. Розена [1631, исследовал перераспределение напряжений в разрушившемся волокне в предположении, что матрица представляет собой вязкоупругий материал. Путем применения преобразования Лапласа решение вязкоупругой задачи в изображениях получается в такой же форме, что и решение исходной упругой задачи. Используя приближенный метод для обратного перехода от изображений к оригиналам, Лифшиц получил решение, по форме аналогичное упругому, в котором модуль упругости матрицы на сдвиг заменен модулем релаксации т.е, функцией, отражающей изме- [c.54]

Поскольку инкремент нарастания плазменных колебаний 7 определяется распределениями частиц, то уравнение (58.30) и кинетические уравнения с интегралом столкновений (58.31) для всех сортов частиц плазмы составляют замкнутую систему уравнений, описывающую релаксацию плазменных колебаний и релаксацию частиц. Уравнение (58.30) называют кинетическим уравнением для волн. Систему уравнений (58.30) — (58.31) часто называют уравнениями квазилинейного приближения. В работах (16—22] были развиты основы квазилинейного приближения, а также решен ряд конкретных задач. [c.260]

Ввиду того что свободные границы криволинейны, приближенное удовлетворение условия = О вблизи границ с помощью электрических сеток сопротивлений также нецелесообразно. Эту же задачу при решении ее методом релаксации в связи с применением так называемых нерегулярных звезд трудно запрограммировать для быстродействующей вычислительной машины, хотя она не представляет серьезных затруднений для опытного вычислителя 2°). [c.283]

Поскольку t — монотонно возрастающая функция /, то с течением времени множитель релаксации р 1) уменьшается, стремясь к нулю при / -> оо. Кривые релаксации при фиксированном значении п вычисляют один раз навсегда для тела любой формы. Для каждой конкретной задачи изменяется лишь отсчет по оси времени. Коэффи- Циент к определяют численным интегрированием уравнения (17.51), Для простейших задач решение (17.50) является точным, а для более сложных задач его необходимо рассматривать как первое приближение. Дальнейшее уточнение решения базируется на дан->ном первом приближении. [c.458]

Пространственные дифференциальные операторы аппроксимировались на равномерной сетке со 2-м порядком посредством консервативной монотонной схемы (3.30). Для вычисления завихренности на стенках цилиндров строились приближенные формулы типа Вудса. В случае нестационарной постановки задач разностное решение находилось методом установления с неявной схемой типа описанной в п. 4.2.2 для температуры и завихренности и с расчетом функции тока на временных слоях по методу последовательной верхней релаксации. При стационарной постановке решение разностных задач осуществлялось с помощью релаксационного метода, изложенного в п. 4.3.2 и 5.2. Сразу отметим, что в рассмотренном диапазоне магнитных чисел Рэлея релаксационный алгоритм решения стационарных конвективных уравнений приводил к тем же результатам, что и нестационарный метод установления, адекватно реагируя на кризис равновесного состояния при Ram Ra. [c.147]

Что же касается приближения времени релаксации, то даже во времена Друде существовали методы кинетической теории, позволяющие отказаться от подобного чрезмерного упрощения. Они намного усложняют рассмотрение и обычно применяются лишь в тех случах, когда необходимо более точное количественное описание металлического состояния. Если обратиться к перечисленным выше проблемам, то оказывается, что отказ от приближения времени релаксации необходим даже для качественного анализа справедливости закона Видемана — Франца в промежуточной области температур (1.г) ). В гл. 16 показано, какую форму должна иметь теория, если мы выходим за рамки приближения времени релаксации там же приведены другие примеры задач, для решения которых необходима подобная теория. [c.73]

Возвратимся теперь к общей формуле (15.17). Как уже отмечалось в начале этого параграфа, фигурирующие в ней функции и Ге относятся к равновесной системе, и в кинетических задачах их формально можно считать известными. Фактически функцию Грина надлежит определять из уравнений 9, 10 с другой стороны, замкнутое уравнение для вершинной части, как мы сейчас покажем, можно сформулировать только приближенно. Будем рассматривать систему заряженных частиц, взаимодействующих с медленно меняющимся классическим электромагнитным внешним полем и, кроме того, с неким квантовым бозевским полем, характеризуемым потенциалом Ф (х) и константой связи g (именно это последнее взаимодействие и обусловливает процессы релаксации, приводящие к конечной электропроводности). Причинную функцию Грина для этого поля, как и раньше, обозначим через массовый оператор, описывающий взаимодействие электронов с ним, — через М, вершинную часть — через Г (в отличие от электромагнитной вершинной части Г ). Задача о движении электронов в поле Ф считается решенной, т. е. функции и Г известны. Уравнение движения для Ос(х, х ) в данном случае имеет вид (ср. (9.7)) [c.151]

Известно небольшое число приближенно решенных задач о нагружении резиновых амортизаторов с учетом температурных полей, возникающих за счет внутренних источников тепла. Помимо рассмотренного решения для полых цилиндрических амортизаторов [418] в линейном приближении для стационарного гармонического процесса получено распределение температур для сжатия резинового амортизатора с квадратным основанием [419], причем в качестве ядра релаксации используется оператор сдвига дробноэкспоненциальной функции Ю. Н. Работнова с тем же ядром — многослойной полой торообразной оболочки с переменной толщиной [c.176]

Появление точечного дефекта в кристалле приводит к геометрическим искажениям кристаллической решетки в результате смещений окружающих дефект ионов металла. Возникновепие этих смещений связано с тем, что дефект вызывает изменение состояния как ионной, так и электронной подсистем металла. Новое состояние соответствует новому условию равновесия всей системы — минимуму энергии кристалла с дефектом. Этому условию должно удовлетворять узко новое размещение ионов и измененное распределение электронов проводимости. Таким образом, смещение ионов происходит в результате релаксации системы к новому равновесному состоянию. При строгом решении задача определения этих смещений оказывается чрезвычайно слоншой. Поэтому для ее решения был предложен ряд приближенных методов. [c.70]

Перейдем теперь к теоретической задаче вычисления спектральных плотностей /1(ш) для случая диффувии в кристаллической решетке. Приближенное решение этой задачи было дано в гл. VHI, 7, в [см. (VIIL114)], где предполагалось, что движение атомов описывается уравнением диффузии dp/dt — Dap,M вводилось расстояние наименьшего сближения li между атомами с целью избежать бесконечного значения спектральной плотности. Действительный процесс диффузии в кристаллической решетке может быть представлен как случайное движение, при котором атомы перескакивают жз одного узла кристаллической решетки в соседний со средней частотой 1/tr. Чтобы выяснить, почему уравнение диффузии приводит к правильным выражениям для спектральных плотностей, входящим в выражения для времен релаксации, следует вспомнить, что это уравнение может быть получено путем перехода к предельному случайному процессу, когда длины отдельных скачков очень малы. В этом случае коэффициент Диффузии D определяется из условия (г ) = где (г ) — среднеквадратичная длина скачка. Из интуитивных физических соображений ясно, что при вычислении J (ш) уравнение диффузии в хорошем приближении описывает случайный процесс для mtr С 1, но не для > 1. Основной вклад в J ( ) связан с локальными полями, которые флуктуируют со скоростью, сравнимой с м. Если < 1, то ближайшие соседи рассматриваемого спииа относительно менее эффективны (вследствие слишком быстрого движения), чем спины, более удаленные от него. Вклад в /( ) обусловлен большим числом спинов, поэтому дискретная природа случайного процесса относительно несущественна. С другой стороны, для шт,>1 преобладает влияние ближайших соседей и микроскопические детали процесса диффузии становятся существенными. [c.425]

Задача 23. Найти предельное при i -+ оо решение уравнения Блоха для вектора М = (и, V, w) в приближении двух аремен релаксации. [c.391]

Задача 45. В приближении одного времени релаксации т определить, как меняется Р -функция Больцмана в линеаризованном варианте теории, если в момент t = О в сиаеме появился небольшой избыток чааиц с импульсами (ро, ро + Дро), где АРо1 < Ро1/ и такой же их недостаток в симметричной облааи (-ро, -ро - Дро)-Решение. Введем функцию [c.420]

Разделы, касающиеся метода фотоупругости, двумерных задач в криволинейных координатах и температурных напряжений, расширены и выделены в отдельные новые главы, содержащие многие методы и решения, которых не было в прежнем издании. Добавлено приложение, относящееся к методу конечных разностей, в том числе к методу релаксации. Новые параграфы, включенные в другие главы, относятся к теории розетки датчиков деформаций, гравитационным напряжениям, принципу Сен-Венана, компонентам вращения, теореме взаимности, общим решениям, приближенному характеру решений при плоском напряженном состоянии, центру кручения и центру изгиба, концентрации напряжений при кручении вблизи закруглений, приближенному исследованию тонкостенных сечений (например, авиационных) при кручении и изгибе, а также к круговому цилиндру при действии пояскового давления. [c.14]

Задача сводится к решению системы двух независимых уравнений кинетики и процесс не мон1ет быть охарактеризован единым временем релаксации. Для описания процессов перераспределения атомов С по междоузлиям упорядоченного сплава А — В теперь уже нужно вводить две константы размерности времени. Время релаксации оказывается возмоншым ввести для неупорядоченного состояния сплава А — В, когда остаются лишь два типа энергетически неэквивалентных междоузлий (октаэдрические ц тетраэдрические) п в приближении средних энергий теория становится аналогичной теории, рассмотренной в 32 для случая чистого (на узлах) металла с ОЦК решеткой. [c.332]

Метод осреднения применяется к решению квазистатически Е задач линейной теории вязкоупругости для композитов. Особое внимание уделяется теории нулевого приближения. Для слоистых-вязкоупругих композитов тензоры эффективных ядер релаксации и ползучести находятся в явном виде. Выясняются особенности строения этих тензоров в случае структурной анизотропии. Вводится понятие канонических вязкоупругих операторов и описывается схема экспериментального определения их ядер. Дается описание метода численной реализации упругого решения и на" двух конкретных задачах показывается его применение. Даются постановки связанной задачи термовязкоупругости для физичес- ки линейных композитов и квазилинейной теории вязкоупругости, для композитов. [c.268]

NI)o° I и Л о° о равны своим равновесным значениям и Ti (время продольной релаксации) равно Т . В таких приближениях уравнения полуклассической модели (2.21) переходят в уравнения балансной модели (2.22). Для Ти < 10 но имеем d/dt <С 1/7 г. но d/dt > 1/Тот, 1Авл. При этих условиях существенны только процессы внутри-модовой и вращательной релаксации, в которой необходимо учитывать когерентные эфс кты. Для описания режима усиления нужна уже полуклассическая модель. Рассмотрим следующую задачу необходимо разработать МГУ наносекундных импульсов СО -лазера, обладаюш/гго больиюй энергетической эффек тивиостыо. Решение этой задачи будем осуществлять а помощью [c.78]

Более точное приближение к действительности при решении этой задачи получается при учете релаксации напряжений вокруг скоплений, состоящих из определенного числа вакансий п. О вычислениях такого рода уже сообщалось в печати, результаты их были табулированы Дамаском и Динсом [37], Пользуясь этими данными, в нашем случае скопления вакансий следует рассматривать в порядке увеличения их размера, а затем иссле- [c.81]

Своеобразной контактной задачей является задача о термонапряженном состоянии массивного бетонного блока, лежащего на основании из скалы или ранее уложенного бетона. Соответствующее решение плоской задачи выполнено И. X. Арутюняном и Б. Л. Абрамяном (1955) при этом считалось, что между основанием и блоком расположен упругий слой. В дальнейшем это решение было развито М. М. Манукяном (1956) и М. А. Задояном (1957) и применено ими к круглым и прямоугольным блокам с учетом ползучести бетона. И. Е. Прокопович (1962) предложил приближенный способ расчета бетонных блоков с учетом их упругих свойств и ползучести основания. Соответствующее решение позволило ему выявить особенности влияния соотношений геометрических размеров блоков на их термонапряженное состояние и послужило основой для последующей разработки им практического способа расчета (1964). Этот способ позволяет учесть изменение температурного и влажностного режима, геометрические размеры блоков, конструкцию основания, изменение модуля упруго-мгновенных деформаций и релаксацию напряжений вследствие ползучести бетона. В последующем было изучено термонапряженное состояние системы двух массивных блоков (В. В. Крисальный, 1966). [c.202]

Р. Я. Ивановой [23] была рассмотрена задача о качении вязкоупругого цилиндра по основанию из того же материала. Задача решалась в плоской постановке при исходных физических интегральных зависимостях наследственного типа. Предполагалось, что движение катка начинается в момент времени —оо и продолжается с постоянной скоростью объемное последер вие отсутствует. Путем привлечения принципа Вольтерра задача решалась в рамках теории упругости с помощью метода Н. И. Мусхелишвили [38]. Полученные при этом два сингулярных уравнения типа Фредгольма содержат реологический оператор, который выражается через резольвенту ядра наследственности при сдвиге. После введения подвижной системы координат и замены дуги окружности катка дугой параболы одно из этих интегральных уравнений, которое соответствует мнимой части соотношения Мусхелишвили, удалось привести к форме, даюшей возможность решить его по методу Карлемана. Для конкретности резольвента ядра наследственности была взята в внде совокупности простых экспоненциальных ядер. Даже в этом случае получение численного результата было связано со значительными вычислительными трудностями. Решение выписано в квадратурах вычисление их осуществлялось приближенно применительно к материалам, обладающим достаточно большим временем релаксации. [c.403]

В настоящей книге представлены результаты исследований автомодельных решений уравнений газовой динамики, рассматриваемых только в однотемпературном приближении. В последние годы при участии авторов проведен анализ большого числа автомодельных задач с учетом в среде поглощения лазерного излучения, электронно-ионной релаксации, приводящей к неравенству электронной и ионной температуры, а также с учетом неравенства трех компонент температуры — электронной, ионной и фотонной. Использование автомодельных и численных решений системы уравнений двухтемпературной и трехтемпературной газодинамики позволило установить ряд новых свойств газодинамических и температурных волн (см. [11,12,17,32—35]). В работах [27, 57, 58] с помощью автомодельных решений исследовалось движение газа и перенос тепла с учетом релаксации теплового потока. В работах [14, 26, 30, 31] проведен анализ широкого класса автомодельных решений уравнений газовой динамики и магнитной гидродинамики с учетом влияния на движение нелинейных объемных источников и стоков массы, импульса и энергии. Исследовались автомодельные решения уравнений двухтемпературной газодинамики с учетом [c.227]

Метод факторизации. В последние годы большой интерес проявляется к исследованию трансзвуковых течений газа на основе уравнений для потенциала скорости. Разработаны эффективные методы решения таких уравнений, получившие название релаксационных методов [71, 215, 219, 222, 224]. К ним относятся метод последовательной верхней релаксации (метод ПВРЛ), которому посвящена значительная часть книги [219], и различные варианты метода приближенной факторизации (метод ПФ). В большинстве опубликованных работ релаксационные методы применялись для задач внешней аэродинамики. Они оказались более эффективными, чем обычные методы устаповления. В работах [71, 224] объектом исследований являются сверхзвуковые сопла. В работе [71] делается вывод, что методы ПФ более эффективны, чем методы ПВРЛ. Этой работе мы будем следовать при изложении метода приближенной факторизации. [c.110]

Если заменить столкновительный член в уравнении Больцмана выражением (16.9), т. е. воспользоваться приближением времени релаксации, то уравнение упрощается и становится линейным уравнением в частных производных. Можно показать, что функция распределения (13.17), полученная в приближении времени релаксации, является решением такого уравнения (как и должно быть, поскольку в основе обоих методов вывода лежат одинаковые допущения). Мы пэдчеркнваем эту эквивалентность, поскольку очень часто результаты, подобные найденным в гл. 13, получают не прямо из явного выражения (13.17) для функции распределения в приближении времени релаксации, а на первый взгляд совершенно иным способом — путем решения уравнения Больцмана (16.13) со столкновительныи членом (16.9), соответствующим приближению времени релаксации. Эквивалентность этих двух подходов продемонстрирована в задачах 2 и 3, где некоторые из типичных результатов гл. 13 заново выводятся из уравнения Больцмана в приближении времени релаксации. [c.320]

Температура тела изменяется неравномерно. Естественно, что в этом случае необходимо располагать решением температурной задачи, чтобы иметь возможность найти дополнительные деформации и напряжения, возникающие из-за неравномерности нагрева и охлаждения. И в этом случае целесообразно вначале получить серию кривых простой релаксации (рис.5.4.4,в), предполагая в первом приближении, что начальные е, остаются постоянными. Удобство такого подхода состоит в том, что для всего тела достаточно получить всего 5 1фивых цростой релаксации при 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 от е, и кривую о, при различных температурах. В рассма фиваемом варианте значения Де, оказываются функцией не только Ор но и достигнутой Т. Опыты, проведенные различнЕШи исследователями [25], показывают, что [c.126]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...