Метод последовательной верхней релаксации

Решение этой разностной схемы проведем методом последовательной верхней релаксации на ЭВМ. В соответствии с этим методом решение системы алгебраических уравнений следует искать в виде [c.241]

Метод, задаваемый формулой (1.22), называется методом последовательной верхней релаксации при а > 1 или методом последовательной нижней релаксации при а< 1. При а — 1 получаем как частный случай метод Гаусса—Зейделя. [c.14]

Метод последовательной верхней релаксации (SOR-метод) — один из наиболее эффективных и широко используемых методов решения систем уравнений с симметричными положительно определенными матрицами. Суть метода состоит в следующем. После вычисления очередной г-й [c.128]

Метод последовательной верхней релаксации [c.117]

Методы релаксации можно использовать для решения систем линейных уравнений. Основу этих методов составляет последовательное уменьшение невязок во всех узлах сетки. (Невязкой называется разность между значением переменной в узле и ее истинным значением.) Первым исследовал методы релаксации применительно к дифференциальным уравнениям в частных производных Саусвелл [14]. Он обнаружил, что нередко бывает полезно изменить значение переменной в узле на большую величину, чем это необходимо для обращения данной невязки в нуль. В методе верхней релаксации используется линейная экстраполяция по результатам двух последовательных смещений. С этой точки зрения метод последовательной верхней релаксации можно рассматривать как развитие метода последовательных смещений, о котором говорилось выше. Если текущее значение переменной в узле равно а метод последовательных смещений дает [c.117]

Результаты решения примера 5.1 методом последовательной верхней релаксации при (0 -1,2 [c.119]

Метод последовательной верхней релаксации (ПВР) является наиболее распространенным. Метод применяется в случае, когда матрица А симметричная и положительно определенная (это условие обычно выполняется при решении уравнений в частных производных). Итерационная формула релаксационного метода [c.36]

Среди прямых методов выделим метод разделения переменных с быстрым преобразованием Фурье, а среди итерационных—метод переменных направлений, попеременно-треугольный и метод последовательной верхней релаксации. [c.97]

Наиболее часто для расчета функции тока используется метод последовательной верхней релаксации. Предельно простой по конструкции и легко программируемый алгоритм, приемлемая скорость сходимости в сочетании с минимальным потреблением машинного времена на одну итерацию — факторы, которые определяют постоянный интерес к этому методу. [c.100]

Пространственные дифференциальные операторы аппроксимировались на равномерной сетке со 2-м порядком посредством консервативной монотонной схемы (3.30). Для вычисления завихренности на стенках цилиндров строились приближенные формулы типа Вудса. В случае нестационарной постановки задач разностное решение находилось методом установления с неявной схемой типа описанной в п. 4.2.2 для температуры и завихренности и с расчетом функции тока на временных слоях по методу последовательной верхней релаксации. При стационарной постановке решение разностных задач осуществлялось с помощью релаксационного метода, изложенного в п. 4.3.2 и 5.2. Сразу отметим, что в рассмотренном диапазоне магнитных чисел Рэлея релаксационный алгоритм решения стационарных конвективных уравнений приводил к тем же результатам, что и нестационарный метод установления, адекватно реагируя на кризис равновесного состояния при Ram Ra. [c.147]

Рис. 3.16а. Поведение итераций в методе последовательной верхней релаксации в зависимости от величины параметра релаксации ш. Размер сетки / = /= 21, Ал = Ду, оптимальное значение ш в этом случае Ио= 1.7295.

Рис. 3.166. Поведение итераций в методе последовательной верхней релаксации в зависимости от величины параметра релаксации ш при тех же данных, что на рис. 3.16а. По оси ординат отложено относительное число итераций, необходимых для выполнения условия ф а х Фтах

Легко добиться того, чтобы рассмотренный метод сходился примерно в 10 ч-100 раз (в зависимости от выбранного шага сетки и выбранного критерия сходимости) быстрее других итерационных методов. Но этот метод обладает тем недостатком, что требует существенно большего объема памяти и по простоте не может конкурировать с методом последовательной верхней релаксации. Еще важнее то обстоятельство, что из-за свойств распространения ошибки метод применим только в областях ограниченных размеров. [c.198]

В методе расчета распространения вектора ошибки возникают на границе в конце обхода расчетных точек, в то время как во внутренних точках ошибки сушественно меньше. Невязки в итерационных методах имеют наибольшую величину во внутренних точках области, в то время как заданные граничные значения остаются неизменными. Таким образом, разрешаемую ошибку порядка 10 в величине ф на последней границе в рассматриваемом методе нельзя непосредственно сопоставлять с невязкой порядка для г в неявной схеме метода чередующихся направлений и в методе последовательной верхней релаксации. [c.202]

Отметим, что рещение задачи методом последовательной верхней релаксации с экстраполяционными условиями как на В 3, так и на В б могло бы сходиться в пределах некоторой заданной точности значит, дискретизация могла бы, вероятно, привести к единственному решению, т. е. к решению, не зависящему от начального приближения. Но полученное таким образом единственное решение зависит от Ах и Аг/, и при Ах- 0 и Аг/—>-0 задача становится неопределенной. [c.241]

Уравнение для давления представляет собой уравнение Пуассона и аналогично уравнению для функции тока. Однако при его решении методом последовательной верхней релаксации возникают значительные трудности из-за иного типа граничных условий, которые ставятся в этом случае. [c.275]

Программа составлена на алгоритмическом языке ФОРТРАН-IV и предназначена для расчета стационарного двумерного температурного поля в стенках длинной трубы (см. пример 23.5) методом конечных разностей. Решенне системы линейных алгебраических уравнений выполняется численно методом последовательной верхней релаксации. [c.465]

Расчеты осуществлялись с помощью метода конечных разностей. Использовалась равномерная прямоугольная сетка. Все пространственные производные аппроксимировались центральными разностями, производные по времени — односторонними разностями (явная схема). Уравнения Пуассона для функций тока решались методом последовательной верхней релаксации. В [17] для вычисления плотности р на новом временном слое по найденному полю средней скорости определялись координаты точки, из которой переместилась жидкая частица, и из которой, следовательно, должна быть перенесена информация о плотности с предыдущего временного слоя. При использовании метода Level Set решалось уравнение переноса для маркерной функции, а истинные значения плотности восстанавливались по маркерной функции (детальное описание алгоритма см. в [21]). [c.128]

В табл. 5.4 представлены результаты решения примера 5.1 методом последовательной верхней релаксации при (о=1,2. Сравнивая их с результатами, представленными в табл. 5.2 и 5.3, нетрудно убедиться, что этот метод имеет существенные преимущества по сравнению с предыдущими. Хотя в данном разделе в качестве примера рассмотрена двумерная задача, итерационные методы люгут быть с неменьшим успехом применены для решения задач с большим числом измерений. Теми же методами можно решать и трехмерные задачи, пользуясь при этом трехмерным вычислительным шаблоном. [c.120]

Попутно оценивались более слабые, чем (5.4), условия сходимости, которые иногда применяются на практике установление трех и четырех значащих цифр в числе Нуссельта. В результате стало возможным провести некоторое сравнение. Так, установление трех знаков в числе Нуссельта при рещении задачи (5.1) на квадратной сетке 21X21 при Ка = 5-10 достигается за 25—30 шагов по времени при временном шаге т = 0,002 (которое близко к максимально допустимому), если применять неявную схему метода установления, предложенную в [43]. Отметим, что по устойчивости и экономичности она является одной из лучших эволюционных схем, применяемых для решения задач ЕК- При этом на каждом временном слое уравнения переноса тепла и завихренности, аппроксимированные с помощью схемы Самарского С, считаются по схеме переменных направлений, а разностное уравнение Пуассона для функции тока — методом последовательной верхней релаксации. [c.141]

Метод факторизации. В последние годы большой интерес проявляется к исследованию трансзвуковых течений газа на основе уравнений для потенциала скорости. Разработаны эффективные методы решения таких уравнений, получившие название релаксационных методов [71, 215, 219, 222, 224]. К ним относятся метод последовательной верхней релаксации (метод ПВРЛ), которому посвящена значительная часть книги [219], и различные варианты метода приближенной факторизации (метод ПФ). В большинстве опубликованных работ релаксационные методы применялись для задач внешней аэродинамики. Они оказались более эффективными, чем обычные методы устаповления. В работах [71, 224] объектом исследований являются сверхзвуковые сопла. В работе [71] делается вывод, что методы ПФ более эффективны, чем методы ПВРЛ. Этой работе мы будем следовать при изложении метода приближенной факторизации. [c.110]

Таким образом, применение ЭВМ дало основание к дальнейшему развитию методов типа метода Либмана с использованием преимуществ идеи верхней релаксации Саусвелла. В 1950 г. Франкел (и в 1954 г. независимо от него Янг) разработал метод, который он назвал экстраполированным методом Либмана и который впоследствии стал называться методом последовательной верхней релаксации (Янг [1954]) или методом оптимальной верхней релаксации. Франкел подметил также аналогию между итеративным решением эллиптических уравнений и решением шагами по времени параболических уравнений, что имело важные последствия. [c.19]

При комбинированном итерировании уравнения Пуассона и уравнения переноса вихря можно пользоваться простым критерием сходимости для уравнения Пуассона. (Эту процедуру действительно можно рекомендовать для расчетов см. разд. 3.4). Преимущество, присущее итерационному методу Либмана (методу Гаусса — Зейделя) или итерационному методу последовательной верхней релаксации (будут рассмотрены в разд. 3.2), которые аналогичны нестационарным явным схемам метода чередующихся направлений (разд. 3.1.17), можно обеспечить простым добавлением в программу оператора EQUIVALEN E для массивов и На практике использование меньших значений параметра нижней релаксации вблизи границ (Фридман [1970] для расчетов в граничных точках брал параметр г приблизительно равным одной трети от его значения, принятого для внутренних точек) может быть реализовано введением переменного в пространстве ) шага S.t. [c.164]

Метод Саусвелла не применяется на современных электронных вычислительных машинах, так как время, нужное для нахождения наибольшей величины п,, и для пересчета невязок г в соседних точках, не отличается существенно от времени, необходимого для непосредственного применения схемы (3.375). Таким образом, на современных ЭВМ целесообразнее по очереди устранять невязку в каждой точке, используя уже найденные новые значения, т. е. применять метод Либмана. Исторически метод Саусвелла интересен потому, что его усовершенствование привело к экстраполяционному методу Либмана, более известного под названием метода последовательной верхней релаксации. [c.182]

Франкел [1950] и независимо от него Янг [1954] разработали способ применения схемы верхней релаксации для метода Либмана, удобный для электронных вычислительных машин. Франкел назвал его экстраполированным методом Либмана -(см. задачу 3.21), а Янг— методом последовательной верхней релаксации . [c.182]

Описанный здесь метод последовательной верхней релаксации является исходным методом поточечной последовательной верхней релаксации Франкела и Янга. В нем берутся значения с ( +1)-й итерации в двух соседних с (г,/) точках (г—1,/) и (г,/—1). Можно несколько увеличить скорость сходимости при помощи полинейной последовательной верхней релаксации, когда используются продвинутые значения с (A+ 1) й итерации в трех соседних точках. Пусть обход расчетных точек ведется в направлении возрастания /. Когда рассчитывается строка /1, значения в предшествующей строке /1 — 1 уже найдены на (fe+ 1)-й итерации. Значения в строке /1 находятся по этим значениям из строки /1 — 1 (А+1)-й итерации при помощи неявного решения для узловых точек строки /1 с разными значениями г, что требует применения метода прогонки (см. приложение А). [c.186]

Одной ИЗ простейших легко программируемых модификаций метода последовательной верхней релаксации является использование на первой итерации метода Либмана при со = 1, а затем расчет при и = соо (Шелдон [1959], Карре [1961], Янг и Кинкейд [1969]). Предложение Чу [1970] чередовать направление обхода расчетных точек оказалось полезным при решении более общих задач, чем решение простого уравнения Пуассона. [c.187]

Может показаться, что выбор очень больших А/ (малых р) будет ускорять асимптотическую по времени скорость сходимости, но в действительности существуют некоторые оптимальные значения А/ или р. При оптимальном р сходимость достигается за несколько меньшее число итераций, чем при ис-. пользовании метода последовательной верхней релаксации с оптимальным параметром. Такая более быстрая сходимость представляется правдоподобной, ибо неявность схемы приводит к тому, что влияние эллиптических граничных условий сказывается в течение всего времени. Однако выполнение одной итерации в неявной схеме метода чередующихся направлений занимает больше времени, и поэтому метод последовательной верхней релаксации с оптимальным параметром фактически требует меньше машинного времени, чем такая однопараметрическая неявная схема метода чередующихся направлений (Биркгоф с соавторами [1962], Уэстлейк [1968]). [c.189]

В методах последовательной верхней релаксации число итераций, необходимое для сходимости, увеличивается с ростом N. Для неявных схем метода чередующихся направлений, применяемых в областях квадратной формы, kmax почти не зависит от N, так что для достаточно больших N неявные схемы метода чередующихся направлений предпочтительнее. В численных расчетах Биркгофа с соавторами [1962] на сетке 40X40 неявные схемы метода чередующихся направлений с параметрами Вахпресса оказались почти в четыре раза быстрее, чем метод последовательной верхней релаксации с оптимальным параметром релаксации. Однако неясно, будут ли неявные схемы метода чередующихся направлений быстрее в случае непрямо- [c.190]

Уэстлейк также опробовал метод двухлинейной блочной последовательной верхней релаксации с циклическим чебышев-ским ускорением. Этот метод превосходит неявную схему метода чередующихся направлений для квадратной сетки с размером шага больше некоторого зависящего от задачи значения, но для задач с мелкой сеткой неявная схема метода чередующихся направлений дает лучшие результаты. Мартин и Ти [1961] провели сравнение итерационных методов, включая градиентные методы. Пирсон и Каплан [1970] исследовали различные способы обхода расчетных точек сетки для метода последовательной верхней релаксации. Они обнаружили, что можно достичь сходимости за меньшее число итераций, но из-за дополнительного усложнения программы при этом может увеличиться машинное время. [c.192]

Янг и Кинкейд [1969] сравнили представленные выше методы с некоторыми другими методами. Они охватили метод последовательной верхней релаксации с переменным параметром релаксации со, как и в неявной схеме метода чередующихся направлений Дугласа — Ракфорда (см. также Мак-Доуэлл [1967]), еще один модифицированный метод последовательной верхней релаксации, параметры Шелдона для метода верхней [c.192]

В силу своей простоты и приемлемой скорости сходимости основной метод последовательной верхней релаксации (с параметром со = 1 на первой итерации), по-видимому, остается наиболее популярным итерационным методом в случае областей непрямоугольной формы, тогда как неявная схема метода чередующихся направлений Дугласа и Ракфорда (и, возможно, метод последовательной верхней релаксации) найдет, вероятно, более широкое применение для областей прямоугольной формы. [c.194]

В дальнейшем, применяя метод последовательной верхней релаксации для решения уравнения Пуассона, Кемпбелл и Мюллер [1968] и Роуч и Мюллер [1970] с успехом ставили условия Томана и Шевчика (3.4/8) в целом ряде задач, [c.239]

Граничные условия Неймана выдвигают два специальных требования при решении задачи. Первое требование заключается во введении градиентного условия в уравнения метода последовательной верхней релаксации. Очевидный способ решения здесь таков вычисляются новые значения на (й- -1) й итерации во всех внутренних точках сетки, а затем по известной величине бР/бл и вновь вычисленным значениям в точках, смежных с граиицей, рассчитываются значения функции на этой границе. Для точки (/,/с) границы В 2 (рис. 3.22), используя в соответствии с формулой (3.380) метод последовательной верхней релаксации, получаем следующие уравнения [c.279]

Метеоролог Миякода [1962] рекомендует подставлять градиентные граничные условия непосредственно в разностную схему метода последовательной верхней релаксации при расчете внутренних точек, смежных с границами ). Таким образом, уравнение в виде (3.528а) берется только во внутренних точках, отстоящих от границ более чем на одну ячейку. В точках, смежных с границей, уравнение (3.528а) заменяется следующим [c.280]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...