Столкновительный член

Для того чтобы получить выражения для правых частей (1.2.2) и (1.2.3), которые называют столкновительными членами, необходимо знать механизм столкновения молекул. [c.11]

Столкновительные члены в уравнении Больцмана [c.16]

Следует отметить, что при выводе этого уравнения первые два члена в фигурной скобке, расположенной в левой части уравнения Энскога (1.7.6), обратились в нуль, поскольку У , г, t — независимые переменные, а столкновительные члены обратились в нуль вследствие того, что должны быть выполнены законы сохранения энергии для упругих и пе-упругих столкновений. [c.28]

Подчеркнём, что У. э. со скоростями, значительно большими тепловых, составляют здесь лишь малую долю по сравнению с осн. электронами и ионами. Поэтому для расчёта их ф-ции распределения по скоростям/(и) можно пользоваться линеаризованным кинетич. ур-нием Ландау со столкновительным членом, учитывающим их столкновения лишь с основными электронами и ионами. [c.200]

Следует, однако, подчеркнуть, особенно в случае плазмы, что это уравнение не является полным и не дает адекватной картины процесса эволюции. Причина заложена главным образом в дально-действующем характере кулоновских взаимодействий. В обычном неоднородном газе частица большую часть времени движется с постоянной скоростью по прямой линии до тех пор, пока не встретится с другой частицей. После непродолжительного столкновения частица возобновляет свое равномерное движение в каком-либо ином направлении. Такой картине соответствует суперпозиция потокового и столкновительного членов, как в уравнении [c.43]

Заметим далее, что наиболее общая функция, обращающая в нуль столкновительный член в уравнении (12.2.17), имеет следующий вид [c.61]

В этом месте важно сделать следующее замечание. Наличие столкновений в системе является необходимым, но недостаточным условием возникновения необратимости. В самом деле, если выключить столкновения, то столкновительный член пропадает и необратимость исчезает. С другой стороны, самосогласованный член Власова, хотя и обусловлен наличием взаимодействий, но описывает чисто обратимый процесс. [c.62]

Теперь покажем, что функции г г (q, v), называемые инвариантами -столкновений, легко могут быть найдены путем систематического исследования. Рассматривая столкновительный член Ландау в (12.2.17), найдем столкновительный источник [c.64]

В этом случае эффекты неоднородностей и столкновений учитываются двумя разными членами кинетического уравнения. Более того, оба множителя /, фигурирующие в столкновительном члене, вычисляются в одной и той же точке пространства. Это обстоятельство уже обсуждалось в разд. 11.5. [c.91]

Из фиг. 19.3.2 мы сразу видим, что в общем выражении для столкновительного оператора зтому критерию удовлетворяют лишь те диаграммы, которые содержат только один неприводимый блок, т. е. один множитель VSV. Действительно, появление еще одного блока приведет к дополнительному множителю п, соответствующему крайней слева вершине. Таким образом, мы приходим к столкновительному члену вида [c.271]

Ясно, что смежные пары а и Р должны быть различны, но несмежные могут быть тождественны. Уравнение (20.4.3) представляет собой разложение по парным столкновениям, откуда нетрудно выделить все интересующие нас члены. Например, для уравнения Чо — Уленбека необходимо отобрать все члены, содержащие по три (и только по три) частицы. Такого рода члены содержатся во всех слагаемых ряда (20.4.3), соответствующих всевозможным перестановкам пар (12), (13), (23). Довольно сложный анализ приводит к следующему виду трехчастичного столкновительного члена (для однородных систем) [c.282]

Основная трудность здесь носит тот же характер, что и в равновесной теории. Вследствие дальнодействия кулоновского взаимодействия оно слабое поэтому для описания кинетики плазмы можно попытаться использовать уравнение Ландау. Однако при зтом возникает ряд трудностей, обусловленных расходимостью столкновительного члена. Действительно, при вычислении по формуле (11.6.24) характеристической константы В для кулоновского потенциала с фурье- компонентой (6.5.3) получаем 00 00 [c.286]

Последний интеграл равен нулю по тем же причинам, что и интегралы (ЗЛО), Как мы увидим ниже, первый интеграл при выполнении условия хаоса переходит в больцмановский столкновительный член. Второй интеграл в общем случае отличен от нуля, и, следовательно, уравнение не сводится к уравнению Больцмана. [c.52]

Индексом r обозначены величины, соответствующие молекулам, скорости которых лежат в телесном угле Q , под которым из данной точки видно тело (молекулам, идущим от тела). Индексом i обозначены величины, соответствуюш,ие всем другим направлениям скоростей молекул. Такая форма столкновительного члена позволяет более полно учесть взаимодействие отдельных групп молекул (отраженных с набегающими ri. набегающих с набегающими гг и отраженных с отраженными гг). [c.416]

Интеграл в правой части уравнения (3.6), который называется столкновительным членом, берется по всем значениям [c.70]

Структура столкновительного члена [c.81]

СТРУКТУРА СТОЛКНОВИТЕЛЬНОГО ЧЛЕНА 83 [c.83]

СТРУКТУРА СТОЛКНОВИТЕЛЬНОГО ЧЛЕНА 85 [c.85]

Оператор Q действует на скоростные аргументы функции /. Он описывает эффекты взаимодействий и в связи с этим называется оператором столкновений. Величина Q , /), т. е. интеграл (6.1), называется интегралом столкновений или просто столкновительным членом. В этом разделе мы изучим некоторые свойства интеграла Q, которые, несмотря на его сложную форму, позволяют выполнять различные преобразования во многих принципиально важных задачах. Фактически мы исследуем здесь несколько более общее выражение, а именно билинейное выражение [c.86]

В случае смеси газов этот вывод можно обобщить и показать, что, если //) обозначает столкновительный член для взаимодействия между частицей /-го сорта и частицей /-го сорта, как представлено правой частью уравнения (4.17)(которая равна [c.92]

Верно, что, хотя оба интеграла расходятся, если не разделять их и записывать столкновительный член, как в (4.16), то результат конечен (для достаточно гладких /). Однако это еще не оправдывает предельного перехода о->оо такое оправдание должно быть основано на доказательстве, что скользящие столкновения, соответствующие очень большим значениям прицельного параметра, правильно описывают эффект большого числа одновременных скользящих взаимодействий. В этом случае интеграл столкновений должен содержать в себе эффекты, которые ранее были описаны с помощью члена Фоккера — Планка. Это МОЖНО показать и формально, замечая, что для малых отклонений (0->я/2), I близко к , а I к и пользуясь тем, что [c.108]

Поэтому не удивительно, что для столкновительного члена были предложены другие, более простые выражения. Они известны как модели интеграла столкновений, и любое уравнение больцмановского типа, в котором интеграл столкновений [c.111]

Идея, лежащая в основе такой замены, состоит в том, что многие детали двухчастичного взаимодействия (отраженные в столкновительном члене) вряд ли существенно влияют на значения многих экспериментально измеряемых величин. Иначе говоря, если речь идет не об очень тонких экспериментах, то следует ожидать, что тонкую структуру оператора Q f,f) можно заменить смазанным изображением, основанным на более простом операторе /(/), который сохраняет только качественные и средние свойства истинного оператора столкновений. [c.112]

Столкновительный член удовлетворяет неравенству (7.3). Значит, и для /(f) должно выполняться условие [c.112]

Видно, что нелинейность модели /(/) много хуже, чем нелинейность столкновительного члена Qif,f)] действительно, последний просто квадратичен по f, в то время как J (f) содержит f в числителе и знаменателе экспоненты (v и Г, входящие в Ф, являются функционалами от f, согласно (8.3), (8.12) и (8.16)). [c.113]

Основное преимущество БГК-модели столкновительного члена состоит в том, что для любой задачи можно получить интегральные уравнения для макроскопических переменных р, v, Т (см. гл. VII) эти уравнения существенно нелинейны, но упрощают некоторые итерационные процедуры и делают возможным решение интересных задач на ЭВМ. Другое преимущество БГК-модели проявляется при использовании ее в линеаризованной форме (см. гл. IV). [c.113]

Еще одна модель дается столкновительным членом типа Фоккера—Планка в форме (9.18), упрощаемой предположением. [c.114]

Идею кинетических моделей можно естественно распространить на смеси и многоатомные газы [27, 30, 31]. Типичный столкновительный член типа БГК имеет вид [c.115]

Из-за нелинейного характера столкновительного члена решение и анализ уравнения Больцмана связаны со значительными трудностями. В разд. 10 гл. III был исследован весьма частный класс решений, а именно максвелловские распределения. Смысл этих распределений ясен они описывают равновесные состояния (или несколько более общий класс состояний, характеризующихся отсутствием теплового потока и вязких напряжений). Для того чтобы описать более реальные неравновесные состояния, когда имеются вязкие напряжения и теплоперенос, приходится полагаться на приближенные методы. [c.181]

Выражение (1.2) показывает, что разложение в ряд по степеням е приводит к аналогичному разложению столкновительного члена, коэффициенты которого равны [c.182]

Число Кнудсена характеризует степень разреженности газа. При больших числах Кнудсена столкновения оказывают малое влияние на изменение функции распределения и при Кп- оо интегралом столкновений можно пренебречь. При малых же числах Кнудсена функция распределения, наоборот, определяется в основном столкновениями. Чтобы подчеркнуть это и придать большее влияние столкновительному члену в состояниях, близких- к локально равновесному, его умножают на большую вели-записывая кинетическое уравнение Больцмана в ви- [c.143]

Получим выражения для столкновительных членов в уравнении Больцмана при условии молекулярного хаоса, когда взаимные положения и скорости двух молекул до столкно) е-ния не связаны статистической зависимостью и такая зз1 и-симость возникает только после столкновения. [c.16]

В 3, д. изучаются усреднённые характеристики звёздных систем, определяемые функцией распределения звезд l(t, г, V), зависящей от времени (г), координат (г) и скоростей (w). Ф-ция / определяет кол-во звёзд, находящихся в момсит t в единичном элементе объёма фазового пространства в окрестности точки (г, v). С помощью ф-ции распределения выражаются ср. величины, характеризующие звёздную систему плотность р( , г), ср. скорость м (г, г), тензор давлений P/k(t, г) и др. Ф-цпя распределения удовлетворяет кинетическому уравнению Больцмана—Власова, в к-ром учитываются общее усреднённое (самосогласованноо) поле тяготения системы, определяемое гравитационным потенциалом Ф (t, г), и столкновения отд. звёзд, определяемые столкновительным членом St.(f) (интеграл столкновений) [c.60]

Это зфавнение, называемое уравнением Власова — Ландау, содержит все эффекты, обсуждавшиеся выше. Прежде чем переходить к дальнейшему его анализу, заметим, что среднее поле имеет первый порядок по потенциалу взаимодействия V (г), а столкнови-тельный член — второй порядок. Поэтому, если мы сохраняем представление о слабом взаимодействии, то среднее поле оказывается весьма важным, и имеет смысл рассмотреть зфавнение, пренебрегая столкновительным членом [c.44]

Член (12.1.12) обладает весьма большой обпщостью он сохраняется в неизменном виде для всех кинетических уравнений. Самосогласованный член (12.1.13) присутствует во всех тех случаях, когда играет роль усредненное поле, т. е. он пренебрежимо мал в обычном газе молекул с короткодействующими силами. Вклад столкновительного члена пока что наиболее сложен. Кроме того, столкновительный член весьма чувствителен к деталям механизма столкновений и имеет совершенно различный вид в зависимости от того, какое уравнение используется, скажем, Больцмана или Ландау. Мы не будем проводить подробную его оценку, но введем новое удобное обозначение [c.54]

Обе эти группы процессов существенно различны. За возникновение энтропии ответствен только столкновительный член — лишь столкновения являются источником необратимости. Свободное течение и эффекты, обусловленные средним полем, представляют собой обратимые эффекты, не приводяпще к возникновению энтропии. Влияние их суперпозиции будет исследовано-в разд.13.2. [c.62]

Таким образом, мы обнаружили, что, если речь идет о зависимости от скорости, то уравнение Ландау имеет точно пять независимых инвариантов столкновений. Аналогичные рассзгждения, которые мы предоставляем провести в качестве упражнения читателю, показывают, что и в случае столкновительного члена Больцмана имеются точно те же пять инвариантов столкновений. [c.65]

V -V/ и столкновительного члена ). В гидродинамическом режиме первый из них описывает медленный процесс, протекающий со скоростью порядка //тд, а второй — быстрый процесс со скоростью порядка fix,.. Следовательно, начав эволю1щонировать из произвольного начального состояния, система в результате столкновений сначала стремится быстро отрелаксировать к равновесному распределению в пространстве скоростей. Однако, как мы знаем из разд. 12.2, если первоначально система была неоднородной, то в результате столкновительной эволюции она не обязательно перейдет в состояние истинного равновесия. Более вероятно, что конечным состоянием окажется состояние локального равновесия, определенное формулой (12.2.30), которую мы приведем еще раз [c.92]

Интересно посмотреть, как модифицируются в тйшом слз ае-основные результаты предыдупщх разделов. Все выражения существенно упрощаются. В частности, в кинетическом уравнении остается лишь столкновительный член [c.206]

Переход к гидродина шческому пределу в столкновительном члене не вызывает никаких особых трудностей, однако даже в однородной плазме здесь возникает серьезная проблема иного рода. Дело в том, что коэффициент В (11.6.24) для кулоновского потенциала обращается в бесконечность. Это обусловлено дальнодей-ствующим характером сил аналогичная проблема рассматривалась в разд. 6.5 при исследовании равновесной плазмы. [c.234]

Таким образом, как и в классическом случае, здесь остается только столкновительный член. Для его вычисления сначала рассмотрим довольно сложные чисто квантовостатистические члены, например матричный элемент (12 [ 1 2 3). Удобнее всего представить его в виде матричного элемента между состояниями с различными волновыми векторами, т. е. в том же представлении, что и операторы симметризации (3.8.9). [c.248]

Уравнение (18.8.1), так ще как и классическое уравнение Больцмана, представляет собой зфавнение баланса, содержащее члены, соответствующие прибыли и убыли . Столкновительный член описывает скорость изменения ф (р ), обусловленного двумя процессами убылью за счет столкновений частиц с импульсами Рх и р2, в результате которых частицы оказываются в состояниях с импульсами pi + Й1, Ра — Й1, и прибылью за счет обратных столкновений, конечными состояниями которых являются р и pj. Отметим, что аргумент б-функции в сечении рассеяния (18.8.2) этих процессов представляет собой разность энергий начального и конечного состояний. Следовательно, произвольное рассматриваемое столкновение возможно лишь в том случае, если оно удовлетворяет закону сохранения энергии. Число столкновений первого типа пропорхщонально вероятности появления частиц с импульсами Pi и р2, т. е. произведению ф (р ) ф (рг) (аналогично классическому случаю), а также вероятности того, что конечные состояния Pi -Ь Й1, р2 — Й1 пусты, т. е. произведению [1 — [c.252]

Действительно, решение уравнения (20.2.5) выглядит так же, как и решение (15.1.24) уравнения (15.1.22) с g (t) = Ц2У12 (t), зто решение точно совпадает с (20.2.4). Но уравнение (20.2.5) представляет собой уравнение Лиувилля для изолированной двухчастичной системы следовательно, (t) является точным двухчастичным пропагатором. Таким образом, в пределе малой плотности столкновительный член кинетического уравнения целиком определяется двухчастичной динамикой, что согласуется с качественными соображениями, приведенными в разд. 11.4. Тем самым подтверждается интуитивное представление о том, что столкновения трех и более частиц в разреженном газе происходят чрезвычайно редко. [c.273]

Так как зависимость столкновительного члена от координаты дз возникает лишь вследствие зависимости потенциала Fjj от разности г = q2 — qj, можно в качестве переменной интегрирования в (20.2.3) вместо qj взять г. Кроме того, вместо импульсов обычно принято пользоваться скоростями Vj — fjim. Таким образом мы приходим к кинетическому уравнению [c.274]

С помощью уравнений (20.3.4), (20.3.10) и (20.3.20) теперь нетрудно записать столкновительный член кинетического ypaB-i [c.277]

После успешного определения первого неравновесного вири-ального коэффициента многие исследователи начали работу над следующими поправками с тем, чтобы получить общее вириальное разложение, подобное равновесному. Но уже на следующем этапе энтузиастов поджидало глубокое разочарование. Коэн и Дорфман в 1965 г. показали, что четырехчастичный столкновительный член содержит расходимости ). В действительности в двумерной [c.283]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...