Напряжения, уравнения движения и граничные условия

Напряжения, уравнения движения и граничные условия [c.14]

Определяющие уравнения в этом случае позволяют вычислить только компоненты девиатора напряжений. Используя уравнения движения и граничные условия, можно определить шаровой тензор напряжений. Назовем поле девиатора статически возможным, если оно может быть дополнено некоторым шаровым тензором oqI, где оо — непрерывная и непрерывно-дифференцируемая функция координат до статически возможного поля напряжений. Для [c.150]

Уравнения движения и граничные условия. Напряженное состояние в точке тела в текущем состоянии характеризуется тензором истинных напряжений а (тензором напряжений Коши) [131, 228]. Если тензор истинных напряжений известен, то вектор напряжений на площадке с внешней нормалью 7V, заданной в текущем состоянии, может быть определен по формуле [c.285]

Совокупность критериев подобия, характеризующая движение газожидкостных систем, может быть получена из рассмотрения уравнений движения сред, граничных условий, определяющих непрерывность скорости, нормального давления и касательных напряжений при переходе от одной среды к другой [Л. 8, [c.343]

Ряд простейших теорий [Л. 30, 93, 112, 139] основывается на том, что распад струи рассматривается как следствие нарушения равновесия свободной поверхности под действием сил поверхностного натяжения. Касательные напряжения на поверхности струи предполагаются при этом равными нулю. Возникшие в струе незначительные возмущения приводят к образованию волн с самопроизвольно увеличивающейся амплитудой. Этот процесс является ускоряющимся вследствие дополнительных возмущений, создаваемых относительным движением жидкости и газа. Уравнения неразрывности, движения и граничные условия, записанные через соответствующие пульсационные составляющие скорости и давления, могут быть в этом случае представлены в цилиндрической системе координат в следующем виде [c.243]

Учет свойства вязкости жидкостей и газов ведет к повышению порядка дифференциальных уравнений движения и в связи с этим появляются добавочные краевые условия на границах объема движуш ейся среды. Типичными примерами таких условий являются условие полного прилипания жидкости или газа к подвижным телам или неподвижным граничным стенкам и условие непрерывности трех компонент вектора силы напряжения на поверхностях контакта двух сред. [c.253]

В предположении непрерывной дифференцируемости компонент тензора напряжений Коши s эквивалентность уравнения (3.1) и уравнений движения и статических граничных условий (естественные граничные условия) (1.114) следует из произвольности йи. Кинематические граничные условия в (1.114) заложены в варьируемые перемещения (жесткие граничные условия), так что выполнено равенство (3.2). [c.110]

В предположении непрерывной дифференцируемости компонент второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа S эквивалентность уравнения (3.3) и уравнений движения и статических (естественных) граничных условий (1.119) и (1.120) следует из произвольности йи. Кинематические граничные условия (на Su) в (1.119) или (1.120) являются жесткими. [c.111]

В предположении непрерывной дифференцируемости компонент первого тензора напряжений Пиола — Кирхгофа Р эквивалентность уравнения (3.5) и уравнений движения и статических (естественных) граничных условий (1.118) (с учетом Р = Р ) следует из произвольности йи. Кинематические граничные условия (на Sy,) в (1.118) являются жесткими. [c.111]

Этим требованиям удовлетворяет предложенный в работе [ 75 ] сингулярный элемент с аппроксимацией поля перемещений исходя из собственных функций для установившегося распространения трещины. В указанной работе выведен соответствующий вариационный принцип, позволяющий получить несимметричные конечно элементные уравнения движения, и предложена процедура перестроения сетки конечных элементов при распространении трещины. Достоинства введенного авторами элемента заключаются в том, что на берегах трещины точно удовлетворяются свободные граничные условия, в результате же решения системы уравнений движения определяются коэффициент интенсивности напряжений, а также его первая и вторая производные по времени (что представляет интерес при решении задач, в которых скорость распространения трещины непостоянна на каждом шаге по времени и определяется.из некоторого критерия). Кроме того, поскольку элемент основан на аппроксимации по достаточно большому числу собственных функций, он нечувствителен к изменению геометрических размеров. [c.77]

При линеаризации определяющих соотношений в начально-деформиро-ванной конфигурации необходимо исходить из уравнений движения (1.7.8) и граничных условий (1.7.9) и (1.7.10), заданных в векторном базисе актуальной конфигурации. Однако процесс варьирования в этой конфигурации представляется достаточно сложным в связи с тем, что возмущению должны подвергаться как описывающие напряженно-деформированное состояние функции (тензоры напряжений и деформаций), так и сама актуальная конфигурация (т. е. система координат, связанная с ее векторным базисом, а также определенный в этом базисе набла-оператор). [c.38]

Формулы (2.2.9)-(2.2.12) представляют собой функции, заданные в базисе начально-деформированной конфигурации и определяющие напряженное состояние упругой среды в возмущенной конфигурации. Нетрудно заметить, что тензор (2.2.12), участвующий в представлениях уравнений движения (2.2.6) и граничных условиях (2.2.7), является линейной функцией относительно тензора Viu, но в то же время нелинейной относительно градиента начальной деформации i. [c.40]

Сначала будем использовать выражение принципа виртуальной мощности, записанного для истинных (заданных) скоростей тела. В качестве допустимого поля напряжений o°j возьмем такое поле, которое удовлетворяет уравнениям движения при заданных ускорениях й , условию пластичности и граничному условию на части поверхности тела Oi nj = Pi. Принцип виртуальной мощности в этом случае имеет вид [c.62]

Таким образом, замкнутая система уравнений МСС в лагранжевых координатах определяет (вместе с начальными и граничными условиями) две искомые функции вектор-функцию х = = ф(х, О н скалярную функцию Г(х, 1), т. е. закон движения физических частиц и.температуру. Все другие функции, представляющие теоретический или практический интерес, являются заданными операторами по (х, t) от <р(х, t) и 7 (х, /), например деформации (ИЛ), напряжения (11.5),, критерии разрушения в твердых телах, условия начала турбулентности, отрыва потоков в жидкостях и газах и т. п., и могут быть найдены. [c.161]

Волны напряжений. Рассмотрим поведение полубесконечного вязко-упругого стержня, к свободному концу которого в начальный момент времени прикладывается напряжение которое затем не меняется с течением времени. В пространстве Лапласа уравнение движения такого стержня и граничное условие имеют вид [c.713]

В предыдущей главе были получены уравнения движения изотропной твердой среды (2.8), (2.9) и (2.20), выраженные через перемещения. Теоретически распространение волн напряжения в ограниченном изотропном твердом теле можно изучить, решая эти уравнения при определенных граничных условиях. Из рассмотрения отражения плоской упругой волны от плоскости раздела можно видеть, что при наличии нескольких свободных поверхностей задача не является столь простой и фактически, за исключением простейших случаев, точных ее решений не найдено. [c.47]

Из всех напряженных состояний, удовлетворяющих уравнениям движения (3) и граничным условиям на Ла, в действительности осуществляется напряженное состояние, определяемое вариационным уравнением (25). Заметим, что при со-> О уравнение (25) представляет собой теорему о минимуме дополнительной работы, подробно обсужденную в 4.7. [c.593]

Вследствие нарушений однородной структуры материала (границы зерен, включения, области скопления дефектов, тепловые флуктуации) возникают искажения плоской формы фронта, что приводит к неоднородному распределению нагрузки и, как следствие, к сильным сдвиговым напряжениям. Как отмечалось в [40, 41], это может существенно влиять на характер поведения материала. Анализ поведения ионной подсистемы при распространении ударной волны с неплоским фронтом проводился также в работах [36, 37, 42]. Форма фронта задавалась специальным и граничными условиями либо нарушением идеальной структуры кристаллита. В первом случае для моделирования использовался кристаллит a-Fe, представляющий собой прямоугольную область на плоскости [110], содержащую около 10 атомов. Ударная волна инициировалась в направлении [110]. Межатомное воздействие описывалось потенциалом Джонсона [43]. Эволюция рассматриваемой системы из N атомов во времени описывалась уравнениями движения (7.5). Для учета взаимодействия кристаллита с окружением полагалось, что на атомы граничного слоя действуют дополнительные силы F , величина и направление которых определяются в начальный момент времени из условия равенства нулю результирующей силы. Обычно для инициирования ударной волны в кристаллите полагается, что атомы на одной из граней кристаллита движутся с некоторой постоянной скоростью и (граничное условие 1-го типа) уравнение (7.5) для этих атомов принимает вид [c.221]

Буссинеск установил, что дифференциальное уравнение и граничное условие, служащие для определения функции напряжений / (х, у) при кручении призматических стержней, совершенно одинаковы по виду с уравнением и граничным условием, которыми определяются скорости различных слоев вязкой жидкости при ламинарном движении жидкости по цилиндрической трубе того же поперечного сечения, что и скручиваемый стержень. [c.254]

Рассмотрим две системы сил, вызываемые ими движения и напряжен-но-деформированные состояния. Чтобы различать состояния тела, вызванные этими системами сил, величины, соответствующие второму состоянию, снабдим штрихами. Каждое из этих состояний описывается уравнениями динамической теории упругости с заданными начальными и граничными условиями. Применим к ним интегральное/-преобразование Лапласа [c.201]

Таким образом, в общем случае волна, возникающая вследствие присутствия тела, определяется перемещениями его поверхности, отсчитываемыми от движущейся поверхности фиктивного тела — части среды, ограниченной (мысленно) поверхностью тела. При этом движение поверхности фиктивного тела полностью определяется падающей волной, распространяющейся в сплошной среде при отсутствии рассматриваемого реального тела. Если абсолютные перемещения поверхности тела Ui не заданы, а определяются, например, напряжениями, то явно не определено и граничное условие (34.3). При ЭТОМ к уравнениям теории упругости с граничным условием [c.208]

Уравнение (4.78) основано на предположении, что диффузия тепла определяется законом Фурье. В выписанной системе зависимостей переменными являются составляющие скорости давление и температура. Они должны удовлетворять основным уравнениям (4.73), (4.75) и (4.77) и граничным условиям. Такая формулировка является полной в том смысле, что имеется достаточное количество уравнений. Однако, так как уравнения нелинейны, за исключением относительно простых задач, приходится прибегать к численному решению. Заметим, что в рассматриваемом случае поток является баротропным, т. е. механическое и тепловое поведение не связаны друг с другом, и мы имеем десять уравнений (три уравнения количества движения, уравнение неразрывности, шесть уравнений, связывающих напряжения со скоростями деформаций) и десять неизвестных (шесть компонентов напряжений, три проекции скорости и давление). Для сжимаемого потока давление и плотность связаны уравнением состояния. [c.148]

Выведем принцип виртуальной работы из уравнения количества движения в напряжениях и граничных условий для напряжений [см. уравнение (4.45)] [c.149]

После трех-четырехкратного пробега волн напряжений по сфере наступает процесс колебательного движения сферы, находящейся под действием указанных внешних силовых факторов. Этот процесс характеризуется тензором кинетических напряжений (Т). Построение этого тензора выполняется в сферической системе координат (0, ф, г, л ) с началом в центре сферы и основано на использовании обш,его решения (2.1.61) уравнений равновесия фиктивного тела, которое выражает компоненты тензора (Т) через функцию кинетических напряжений / (г, х ). Функция кинетических напряжений / (/ л °) строится так, чтобы выполнялись следующие граничные условия [c.286]

При учете действия сил инерции в паровой пленке и касательных напряжений на границе ее с жидкостью наряду со слоем пара (рис. 13-19) рассматривается пограничный слой жидкости. Поэтому исходная система дифференциальных уравнений энергии и движения. для паровой пленки дополняется аналогичной системой уравнений для пограничного слоя жидкости. При этом граничное условие для поверхности раздела паровой и жидкой фаз принимает вид [c.320]

Следует заметить, что здесь использовано только одно свойство турбулентности, заключающееся в том, что на стенке турбулентность равна нулю. В большинстве наших рассуждений понятие турбулентного касательного напряжения рассматривалось в том смысле, что величина "с в уравнении (3) отражает лишь процесс осреднения применительно к уравнениям неустойчивого движения. В частности, для потока в канале постоянного сечения линейное распределение касательного напряжений получается в пределе X оо, тогда как закон стенки , вытекаюш,ий из уравнений (4) и (16) с их граничными условиями, справедлив при любом X. [c.143]

Второй путь построения приближенных теорий заключался в введении гипотез физической природы относительно характера распределения смещений и напряжений. Использование вариационных принципов приводило к искомым уравнениям движения и граничным условиям. Таким образом были построены уточненные уравнения продольных и поперечных колебаний, учитывающие влияние инерции поперечного движения (Рэлей (1878)), теория изгибных колебаний круглой пластины (Кирхгоф (1852)), различные варианты теории цилиндрических и сферических оболочек [123]. С. П. Тимошенко (1921) показал, что учет деформации сдвига в поперечном сечении также важен при поиске адекватных моделей поперечных колебаний стержней. Отметим, что поправки на скорость распространения волн в бесконечном цилиндре, получаемые из уточненных теорий колебаний стержней, совпадали с несколькими первыми членами разложения точных решений Похгаммера — Кри. [c.14]

Таким образом, линеаризованные уравнения движения и граничные условия преднапряженной упругой среды в базисе НДК задаются тензором 0 (играет роль тензора напряжений Коши в линейной теории упругости). [c.39]

Метод асимптотического интегрирования обобш ен также для вывода уравнений динамики пластинок при больших перемещениях (Л. Я. Айнола, 1965, 1966). Результаты показывают, что известные уравнения мембранной теории Кармана, линейной теории изгиба с плоским напряженным состоянием и чисто линейной теории являются при определенных условиях нагрузки асимптотическими приближениями уравнений геометрически нелинейной теории упругости. Указанные выше исследования должны представлять интерес в отношении методики — уравнения движения и граничные условия выводятся из требования, чтобы вариация соответствующего функционала равнялась нулю с требуемой асимптотической точностью. [c.264]

При анализе некоторых полей течения в гл. 5 предполагалось вначале, что кинематика движения предопределяется известными граничными условиями и, вообще говоря, физической интуицией-Следующей стадией было вычисление поля напряжений на основании соответствующего уравнения состояния. В гл. 5 рассматривалось общее уравнение для простой жидкости с затухающей памятью, но эти стадии в методике остаются, по существу, теми же самыми, если даже предполагается, что имеет место более частное уравнение состояния. Действительно, тип уравнения состояния, которое могло бы быть использовано, часто подсказывается кинематическим типом течения, о котором известно, что он хорошо описывается определенным типом уравнения состояния. Третьей стадией расчета будет подстановка полей скоростей и напряжений в уравнения движения и определение полей давления и некоторых параметров кинематического описания, которые еще не были определены на первой стадии. [c.271]

В заключение напомним, что виртуальные поля напряжений и скоростей v l удовлетворякут уравнениям движения (V.18), уравнению неразрывности (V.10) и формулам (III.7), а также всем начальным и граничным условиям за исключением условий трения на контактной поверхности скольжения Таким образом, в общем случае поля a t и vi (или f/) не связаны между собой, так как они не удовлетворяют уравнениям состояния. [c.310]

Точно так же и граничные условия совпадают полностью, так как в одном случае напряжения, а в другом скорости должны итти в точках контура вдоль него. Уравнениями (18) и (19) и только что указанным граничным условием задача о кручении определялась однозначно, а потому, если мы сможем найти для сосуда того же сечения движение жидкости, то тем самым мы, наверное, будем иметь для того же контурд и правильное решение задачи о кручении. При этом нужно лишь сохранить за собой право выбрать множитель т таким, чтобы пара сил, даваемая касательными напряжениями, уравновешивалась заданным моментом кручения М. [c.67]

Замечания. 1°. Система уравнений (3.4.1)-(3.4.4) рассматривается с соответствующими начальными и граничными условиями [Румянцев, 1969, 1973]. Эта система аналогична системе уравнений (3.3.1 >-(3.3.4), описывающей движение твердого тела с жидкостью. Отличие состоит в учете относительного движения точек упругого тела по отношению к системе координат Охххгх , и возникающих в нем внутренних напряжений. [c.193]

Формула (3.91) справедлива, когда длина волны велика по сравнению с толщиной пластинки й. Когда же длина волны становится сравнимой с толщиной, распределение напряжений по сечению пластинки, перпендикулярному фронту волны, перестает быть равномерным. Тогда надо использовать точные уравнения теории упругости (2.8), (2.9), (2.10) и граничные условия, выражающие, что поверхности пластинки свободны от напряжений, причем анализ совершенно аналогичен тому, который описан в гл. II для волн Релея. Лемб [78] рассмотрел распространение синусоидальных плоских волн в бесконечной пластинке и показал, что при симметрии движения относительно срединной плоскости пластинки уравнение частот имеет вид [c.80]

Вязкий стоксовский слой возникает при вибрациях не только вблизи твердых поверхностей, но и около свободной поверхности жидкости и поверхности раздела несмешивающихся жидкостей. Генерация средних течений вблизи свободной поверхности изучалась Лонге— Хиггинсом [4], а вблизи поверхности раздела сред — Дором [5]. Ими рассматривались малоамплитудные волны на свободной поверхности жидкости (или соответственно на поверхности раздела жидкостей), при этом анализ течений в стоксовских слоях показал, что и в этом случае они являются местом генерации средних течений вихревого характера, распространяющихся за пределы скин-слоев. Авторами работ [4, 5] получены уравнения и граничные условия, определяющие указанные средние течения. Выяснено, что генерация средних течений вблизи свободной поверхности или поверхности раздела сред имеет некоторые особенности по сравнению с рассмотренной Шлихтингом в [1] генерацией среднего течения вблизи поверхности вибрирующего твердого тела. Осреднение пульсационных движений в стоксовском слое вблизи твердой поверхности приводит к граничному условию, определяющему касательную к поверхности тела компоненту скорости среднего течения. В ситуациях, рассмотренных Лонге-Хиггинсом и Дором, генерация среднего течения проявляется в эффективном дисбалансе касательных напряжений. Механизм Шлихтинга в этих [c.192]

G. Herrmann и А. Е. Armenakas [2.1021 (1960), исходя из принципа Гамильтона—Остроградского, вывели пять уравнений движения упругой однородной пластины при конечных прогибах ее срединной поверхности и граничные условия в рамках теории типа Тимошенко. Затем они рассмотрели пластину под действием начальных напряжений с учетом поперечного сдвига и инерции вращения и получили линеаризованные уравнения движения относительно точки срединной поверхности и двух углов сдвига в ортогональных плоскостях. Решение этих уравнений продемонстрировано на задачах определения частоты колебаний при равномерном начальном сжатии, изгибающем моменте, поперечной сдвигающей силе. [c.167]

Рассмотрим уравнение (2.11.20) и соответствующие граничные условия при отсутствии массовых сил и напряжения на поверхности для материала с тензорным коэффициентом упругости, определяемым соотношениями (2.12.5) и (2.12.4). Обозначения см. на рис. 2.14.2. Для движений, которые зависят только от координат хи Х2 и времени, полевое уравнение и граничное условие для (поперечной) компоненты перемещения 3 = Пг отщепляется от уравнений для двух других компонент щ и 2. Плоскость х, х2) назывзется сагиттальной плоскостью Рз, здесь х — направление распространения волны и, следовательно, ненулевое упругое перемещение поляризовано параллельно Рз. Мы должны решить следующую краевую задачу [c.145]

Из анализа уравнений Навье—Стокса [68] можно [юказать, что движение жидкости, вызванное сжатием или расширением сферического пузырька, описывается уравнением невязкой жидкости, а влияние вязкости учитывается граничными условиями. Из курса динамики вязкой жидкости известно, что при движении вязкой жидкости возникают касательные напряжения и изменяются нормальные напряжения (по сравнению с невязкой жидкостью). На основании гипотезы Ньютона при ламинарном [c.31]

Уравнения (1.25) можно рассматривать как граничные условия для решения гидродинамической задачи о развитии по оси z течения, созданного завихрителем, если, конечно, постоянные j исг определяют именно то распределение локальных моментов количества движения г, которое задает завихритель. Если при зтом принимается во внимание прилипание жидкости к стенке, то должно учитываться развитие пограничного слоя у твердой границы. Его можно и не учитьтать. Но принимается во внимание нарастание пограничного слоя на стенке или нет, в обоих случаях необходимо учитывать развитие пограничного слоя на свободной внутренней границе. Неизбежность нарастания пограничного слоя на свободной границе вскрыта Дж. Бэтчелором [14, с. 454]. На свободной цилиндрической границе должен существовать разрыв непрерывности в значении составляющей тензора напряжений (1.23). А именно, с внутренней стороны этой границы (изнутри вращающегося слоя) О, а с внешней стороны этой границы = 0. Это приведет к резкому торможению прилегающего к границе тонкого слоя в направлении и приближению зависимости скорости от радиуса к прямой пропорциональности. [c.24]

Величины, входящие в (XIV. 1), удовлетворяют уравнениям движения (V.18) уравнению неразрывности (V.iO) формулам (III.7), выражающим связь между скоростями деформаций и скоростями перемещений динамическим (XI.6)—(XI.8), кинематическим (XI.9) и смешанным (XI.11) граничным условиям. Никаких других ограничений на поля напряжений и скоростей ке накла> 294 [c.294]

Итак, если с помощью каких-то математических методов удалось решить уравнения движения (28) гл. II при заданных граничных условиях и найти коэффициент интенсивности напряжений, то из (88) можно определить закон двинчения трещины. Например, в случае распро-страпепня полубесконечной трещины продольного сдвига в поле равномерного сдвигающего напряжения [c.162]

Райс указывает, что обычные численные методы (конечные разности или конечные элементы) не позволяют вычислить напряжения и перемещения с требуемой точностью у вершины трещины. Граничные условия вблизи вершины удовлетворяются с трудом, особенно в случае крупной сетки конечных разностей, требуемой для бигармонического уравнения (см. раздел 16 в гл. III). Во многих случаях только один из узлов помещается у вершины трещины, так что вариации смещений, существующие там, подсчитать невозможно. Поэтому в области веера весьма удобным является модифицированный четырехсторонний конечный элемент, ограниченный линиями г = onst, 0 = onst и дающий требуемую зависимость сдвиговой деформации Mr. Два узла элемента у вершины трещины расположены в одной физической точке, но позволяют получать разные смещения в зависимости от выбранной радиальной линии движения к трещине. [c.86]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...