Общие дифференциальные уравнения относительного движения

Общие дифференциальные уравнения относительного движения 221 [c.221]

ОБЩИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ [c.221]

Мы получим общее дифференциальное уравнение относительного движения [c.222]

Дифференциальные уравнения относительного движения мы можем написать в следующем общем виде [c.654]

В последующих разделах при обсуждении методов специальных и общих возмущений нам понадобятся дифференциальные уравнения относительного движения п тел (п 2) для случаев, когда начало системы координат совпадает с центром одного из тел. [c.180]

Плоское движение твердого тела. Наиболее общим приемом составления уравнений в задачах, где определяются силы реакций связей либо закон дви ения, является применение дифференциальных уравнений плоского движения твердого тела. В число данных и неизвестных величин должны входить масса и момент инерции твердого тела относительно оси, проходящей через его центр инерции перпендикулярно к неподвижной плоскости, уравнения движения центра инерции, уравнение вращения твердого тела вокруг оси, проходящей через центр инерции перпендикулярно [c.541]

Вместе с тем появились и существенные дополнения, среди которых следует отметить написанную К. А. Лурье новую (тридцать первую) главу, содержащую изложение основ специальной теории относительности. В заново написанных параграфах получили освещение вопросы полета ракеты простейшей схемы, теории колебаний систем с произвольным конечным числом степеней свободы, применения общих теорем динамики систем материальных точек к сплошным средам (теоремы Эйлера, Бернулли, Борда), а также к выводу общих дифференциальных уравнений динамики сплошных сред и выражения мощности внутренних сил в сплошной среде. Последнее в случае сред с внутренним трением позволяет глубже судить о важном для механики понятии потерь (диссипации) механической энергии при движении среды. [c.7]

Время опорожнения резервуара, находящегося в переносном движении, определяется, по общему дифференциальному уравнению (XI-1), в котором — расход, вычисляемый по относительной скорости истечения через выпускное устройство. [c.315]

Рассмотрим нецилиндрический (сужающийся или расширяющийся по длине) канал. В этом случае дифференциальное уравнение неравномерного движения оказывается относительно сложным [см. уравнение (7-24)]. Такое уравнение в общем случае не интегрируется даже приближенно. [c.310]

Разъяснив таким образом поведение сил при продольном движении, близком к любому нормальному движению, мы в состоянии теперь вывести соответствующие уравнения в вариациях. Для этой цели мы должны снова взять общие дифференциальные уравнения (52), (53), приписать в них величинам R , Ry, только что найденные значения и положить v — Vq- -s, рассматривая е, 9, 6 как величины первого порядка и, следовательно, пренебрегая членами второго порядка относительно них. [c.53]

Условия равновесия моментов рыскания относительно центра масс вертолета дают дифференциальное уравнение для движения рыскания. Учитываются только моменты рыскания, создаваемые тягой рулевого винта. Переменной управления является общий шаг рулевого винта 0о, рв, изменения силы тяги которого вследствие угловой скорости рыскания вертолета, его поперечной скорости и поперечных порывов ветра обусловлены осевым демпфированием рулевого винта. Предполагается, однако, что влияние угла ipB на движение крена мало, тогда движение рыскания можно рассматривать изолированно, а ув можно считать еще одним входным сигналом. С использованием низкочастотной модели изменения тяги рулевого винта уравнение движения приобретает вид [c.714]

При доказательстве общей теоремы об эквивалентности (применительно к движущимся телам) сначала необходимо отметить, что векторные уравнения (1) равносильны шести дифференциальным уравнениям 2-го порядка, определяющим движение центра масс и вращение вокруг центра масс. (С таким утверждением студенты, знакомые с выводом дифференциальных уравнений плоского движения, могут согласиться даже в том случае, когда в курсе динамики дифференциальные уравнения сферического движения в явном виде не приводятся.) Поэтому из уравнений (1) следует, что движения тела под действием каждой из двух систем сил и неизменных начальных условиях будут одинаковыми тогда и только тогда, когда главные векторы и главные моменты относительно центра масс попарно равны. Для завершения доказательства достаточно применить формулу (2). [c.5]

Основная операция. Чтобы получить дифференциальные уравнения относительно переменных 8, Жр, нужно продифференцировать по времени уравнения (4.42) и из полученных равенств исключить производные координат. Выведем общее правило перехода от уравнений (4.42) к уравнениям, связывающим производные оскулирующих элементов с проекциями возмущающей силы. Уравнения (4.42) являются интегралами дифференциальных уравнений возмущенного движения (4.41) и выражают соотношения между переменными [c.99]

Совокупность динамических и кинематических уравнений Эйлера является системой шести нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно ф, гр, 0 и сот,, со . При заданном моменте внешних сил М и известных начальных условиях определение движения тела сводится к указанной системе дифференциальных уравнений. В общем виде эта задача не решена. Однако несколько частных случаев движения тела около неподвижной точки всесторонне исследованы и уравнения их проинтегрированы. Среди них наиболее простой и широко применяемый в технике случай движения симметричного гироскопа, для которого А = В. [c.180]

Во многих задачах динамики рассматривается движение материальной точки относительно системы отсчета, движущейся относительно инерциальной системы. Дифференциальные уравнения движения материальной точки относительно таких подвижных, в общем случае неинерциальных, систем отсчета получают из уравнений движения точки относительно инерциальной системы отсчета и кинематической теоремы Кориолиса о сложении ускорений. [c.249]

Сделаем несколько общих замечаний относительно интегрирования уравнений движения материальной точки в координатной форме. Эти замечания могут быть отнесены также и к другим формам дифференциальных уравнений движения материальной точки ). [c.322]

Движение твердого тела в общем случае можно определить, зная движение его центра масс и вращение относительно центра масс. Для составления дифференциальных уравнений движения следует применить теоремы о движении центра масс [c.597]

Из механики твердого тела известно, что уравнение относительного покоя может быть получено из общего уравнения равновесия путем добавления к действующим силам сил инерции переносного движения. Следовательно, для вывода уравнения относительного покоя жидкости из дифференциального уравнения равновесия (22) [c.51]

Используя этот оператор, получаем из (4.6) обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции р=р(.1) при граничном условии l = k при р = 0. В более общем случае краевые условия можно записать в виде Z = Z, при р = ро, где нагрузка ро, соответствующая началу движения конца трещины, должна задаваться на основании экспериментальных данных. Например, уравнение (28.8) в этом случае примет вид [c.247]

Для простейших динамических моделей механизмов с одной степенью свободы уравнения движения могут быть представлены в виде обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При установлении ти повых уравнений ограничимся рассмотрением только тех уравнений движения, которые выражаются дифференциальными уравнениями не выше второго порядка относительно обобщенной координаты или первого порядка относительно обобщенной скорости, хотя в механизмах с приводом от электродвигателя и в механизмах с голономными связями порядок дифференциального уравнения движения механизма может быть выше второго ). Обобщенные силы считаем в общем случае зависящими от обобщенных координат, обобщенной скорости, времени и первой производной момента сил движущих или сил сопротивления по времени. [c.162]

Медленное движение систем с двумя медленными переменными. В этом случае можно довольно подробно изучить семейство фазовых кривых медленного движения вопрос сводится к теории дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Для простоты мы считаем, что быстрая переменная одна. Медленное движение в системах общего положения с любым числом быстрых переменных и всего двумя медленными такое же, как в случае с одной быстрой переменной. Действительно, для систем общего положения менее чем с четырьмя медленными переменными ядро проектирования медленной поверхности одномерно. [c.175]

Случай, когда дифференциальные уравнения (2), определяющие вспомогательные параметры и неголономные контактные связи, разрешены относительно р величин йд. Для того чтобы уравнения движения представлялись наиболее просто, полезно разрешить р уравнений (2) относительно р величин из общего числа к в = п р этих величин. Таким путем мы выразим, с одной стороны, р производных Яп+р Функ- [c.353]

Замечание. — Следует заметить, что когда движение подвижной системы отсчета задано, то сила инерции переносного движения зависит лишь от положения точки в этой системе, а сложная центробежная сила зависит от положения точки и от ее скорости. Эти фиктивные силы не зависят, таким образом, от действующих на точку реальных сил. Уравнения (1) относительного движения представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка такого же вида, как уравнения абсолютного движения в самом общем случае (п° 115). [c.210]

Связь аналитической механики и современной физики. Два великих достижения современной физики теория относительности и квантовая механика — теснейшим образом связаны с аналитической механикой. Теория относительности Эйнштейна революционизировала все области физики. Было показано, что ньютонова механика справедлива лишь приближенно для скоростей, малых по сравнению со скоростью света. Однако аналитический метод, основанный на использовании принципа наименьшего действия, остался неизменным. Модифицирована была лишь функция Лагранжа получение же дифференциальных уравнений движения из принципа минимума осталось. Действительно, полная независимость вариационного принципа от какой-либо специальной системы отсчета делала его особенно ценным для построения уравнений, удовлетворяющих принципу общей относительности. Этот принцип требует, чтобы основные уравнения природы оставались инвариантными при произвольных преобразованиях координат. [c.394]

Пуассон в одном из своих мемуаров изложил весьма общую теорему, на которой он основал новый метод изложения теО рии вариации произвольных постоянных. Хотя эта теу>ема сама по себе представлялась чрезвычайно интересной, Пуассон удовольствовался применением ее к специальной цели, которую он себе поставил, не отметив даже того обстоятельства, что ее можно применить и в других случаях. Спустя больше чем тридцать лет после этого, уже в момент смерти Пуассона, внимание математиков снова было привлечено к этому вопросу знаменитым Якоби, который указал на теорему Пуассона как на замечательное достижение, по его мнению, — наиболее важное во всей науке о движении. Впрочем, Якоби не подкрепил какими-либо выводами своего утверждения, относительно которого, быть может, мы найдем более подробные указания в его посмертных трудах. Цель настоящей статьи заключается в том, чтобы изложить теорему Пуассона и указать ту пользу, какая может быть из нее извлечена для интегрирования дифференциальных уравнений механики. [c.566]

Общие замечания о теоремах и законах динамики. Рассмотрим движение системы материальных точек Pj = 1, 2,. .., N) в некоторой инерциальной системе координат. Пусть — масса точки а — ее радиус-вектор относительно начала координат. Если система несвободна, то ее можно рассматривать как свободную, если помимо активных сил, приложенных к точкам системы, учесть реакции связей. Если затем все силы, приложенные к системе, разбить на внешние и внутренние, то из аксиом Ньютона получим дифференциальные уравнения движения рассматриваемой механической системы в виде [c.156]

Выше получены общие выражения для передаточных функций машинного агрегата, схематизированного в виде простой цепной разомкнутой системы. Аналогичные выражения можно получить также для разветвленных цепных систем. Различные варианты таких систем, встречающиеся в практике, и методы составления для них интегро-дифференциальных уравнений движения при принятых в и. 9 допущениях подробно рассмотрены в работах [27, 107]. Отметим лишь, что в случае разветвленных цепных систем с несколькими заданными моментами сил сопротивлений, приложенными к исполнительным звеньям, необходимо отыскивать передаточные функции для каждого /-го (/ = 1,2,...) входа. Так как рассматриваемая система линейна, то, воспользовавшись методом суперпозиции, можно определить изображение по Лапласу функции на выходе (например, относительной скорости массы / ,) по формуле [c.65]

В настоящей главе наряду с общим решением системы дифференциальных уравнений движения машинного агрегата ставится также задача отыскания частного (при фиксированных начальных данных) и периодического решений. Поэтому в исходной системе уравнений (16.7) необходимо перейти к таким переменным, для которых отыскание периодического решения имело бы смысл. В качестве системы обобщенных координат, удовлетворяющей указанному выше требованию, можно принять угловые скорости масс или относительные углы закручивания смежных масс. Останавливаясь на последней, отметим, что к этой системе координат можно перейти путем линейного преобразования вектор-функции ф (О при помощи матрицы Q по формуле [c.107]

Обратимся теперь к исследованию равновесия и движения упругого твердого тела. Общие дифференциальные уравнения для этой задачи, при известных предположениях, уже составлены в 7 одиннадцатой лекции. Сохраним эти предположения и сделаем выводы из приведенных уравнений. Принятые там обозначения применим и здесь, только перемещения I, Л, 5 будем обозначать здесь через и, V, т. Таким образом, представим себе тело, точки которого могут быть приведены в такое относительное положение, что совокупные компоненты давления на них равны нулю. Состояние, в котором тело тогда находится, мы назовем естествгняым. Обозначим через х, у, г координаты точки тела, когда оно находится в каком-нибудь положении в своем естественном состоянии, а через х и, уV, 2 + ш — координаты той же точки в момент Р,и,о, ьу — бесконечно малы. Положим [c.322]

Применяя общие теоремы динамики в абсолютном движении, дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела, уравнения Лагранжа, часто в число рассматриваемых сил ошибочно включают силы инерции. Следует помнить, что силами инерции следует пользоваться только в случае применения а) метода кинетостати> ч, б) общего уравнения динамики, в) уравнений и общих теорем в относительном (либо переносном) движении материальной точки или материальной системы. [c.581]

Мы видели, что дифференциальное уравнение (84) относительного движения материальной точки имеет тот же вид, что и дифференциальное уравнение движения точки относительно неподвижной системы отсчета различие между этими уравнениями состоит лишь в том, что в уравнение относительного движения, кроме заданных сил и реакций связей, входят еще переносная и кориолисова силы инерции. С другой стороны, в главе 21 мы видели, что все общие теоремы динамики точки (теорема о количестве движения, теорема о моменте количества движения, теорема о кинетической энергии) являются следствием основного дифференциального уравнения динамики точки, выражающего второй закон Ньютона. Отсюда следует, что все эти обпще теоремы применимы и к относительному движению точки, но понятно, что, применяя эти теоремы к относительному движению, мы должны принять во внимание переносную и кориолисову силы инерции. В частности, при решении задач, относящихся к относительному движению точки, нередко приходится пользоваться теоремой о кинетической энергии. Нри составлении уравнения, выражающего эту теорему в относительном движении, необходимо принять во внимание работу переносной и кориолисовой сил инерции на относительном перемещении точки. Но так как ускорение Кориолиса Н7д всегда перпендикулярно к относительной скорости v , то следовательно, работа кориолисовой силы инерции в относительном движении равна нулю, и эта сила в уравнение теоремы о кинетической энергии не войдет. Поэтому это уравнение в дифференциальной форме будет иметь следующий вид [c.456]

В самой общей постановке задачи снаряд следует рассматривать как близкий спутник Земли и движение его исследовать методами небесной механики. Решение задачи приводится к интегрированию дифференциальных уравнений (2.18). Соотношения (2.2) позволяют при изучении относительного движения исключить из рассмотрения центробежную и кориолиеову силы инерции и привести интегрирование уравнений (2.18) к интегрированию уравнений абсолютного движения. Поэтому мы будем заниматься интегрированием только дифференциальных уравнений абсолютного движения. Учет вращения Земли будем производить путем преобразования координат в уравнениях абсолютного движения подстановкой (2.2). В общем случае дифференциальные уравнения движения снаряда не могут быть приведены к квадратурам. Интегрирование уравне ний будем производить методом последовательных прибли женнй. Каждому приближенному решению уравнений соответствуют определенные упрощающие предположения [c.40]

Общее уравнение динамики (117.6) позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы. Если механическая система состоит из отдельных твердых тел, то силы и[]ерции точек каждого тела можно привести к силе, приложенной в некоторой точке тела, и паре сил. Сила равна главному вектору сил инерции точек этого тела, а момент пары равен главному моменту этих сил относительно центра приведения (см. 109). [c.320]

Если равенства (22) продифференцировать по времени и подставить в формулы (20), то получим дифференциальные уравнения движения твердого тела, выраженные через параметры, значения которых для каждого твердого тела могут быть определены. Формулами (14) и (20) непосредственно не пользуются при составлении дифференциальных уравнений движения гироскопов, так как в общем случае, поскольку тело Т вращается относительно неподвижных осей агд Уа-< 2д и в каждое мгновение занимает новое положение относительно этих осей, моменты инерции Jx, Jy, 12, Jху1 XX и Jyz не остаются постоян- [c.36]

Например, если 6 тождественно равно нулю, то мы опять придем к случаю, когда дифференциальное уравнение движения однородно относительно х и V. Бертран уже давно заметил, что общая формула прямолинейного тауто-хронного движения должна содержать произвольную функцию от двух переменных. [c.321]

Однако более фундаментальным, чем все эти особенности, является наличие в аналитической механике объединяющего принципа, который является кульминационным пунктом аналитического подхода. Движение достаточно сложной механической системы описывается больщим числом — иногда даже бесконечным числом — отдельных дифференциальных уравнений. Вариационные принципы аналитической механики образуют единую основу, из которой следуют все эти уравнения. За всеми этими уравнениями скрывается общий принцип, заключающий в себе смысл всей этой совокупности уравнений. Вводится одна фундаментальная величина действие принцип, согласно которому эта величина должна иметь стационарное значение, приводит к полной системе дифференциальных уравнений. Более того, установление этого принципа не связано с какой-либо специальной системой координат. Поэтому и аналитические уравнения движения также инвариантны относительно любых преобразований координат. [c.27]

Мы уже многократно рассматривали как примеры для объяснения общих понятий и законов механики те движения, причиной которых считают силу тяжести, рассмотрим эти движения подробнее и вначале разъясним, как измеряется сила тяжести. Для этого нам послужит наблюдение колебаний тяжелого тела, которое способно вращаться вокруг горизонтальной оси. Такое приспособление называют маятником, а именно сложным маятником — в противоположность простому маятнику, о котором мы уже говорили. Допустим, что сила тяжести — постоянная ускоряющая сила. Рассмотрим маятник как твердое тело и пренебрежем влиянием воздуха, движением Земли и трением оси вращения тогда мы сможем очень легко вычислить движение такого маятника. Положение последнего в некоторый момент определено одной переменной выберем в качестве ее угол образованный плоскостью, проходящей через ось вращения и центр тяжести маятника, и вертикальной плоскостью, проходящей через ось вращения. Согласно 5 четвертой лекции, имеем теорему площадей относительно плоскости, перпендикулярной к оси вращения, так как связи точек маятника допускают вращение вокруг нее эта теорема дает дифференциальное уравнение для такого угла. Обозначим величину силы тяжести — g, массу маятника—т, расстояние от его центра тяжести до оси вращения—s, момент инерции маятника относительно этой оси — к, таким образом получим дифференциа ное уравнение [c.69]

Мы возвращаемся теперь снова к общему рассмотрению минимума для принципа наименьшего действия. Произвольные постоянные, которые получаются после интегрирования дифференциальных уравнений движения, определятся всего проще через начальные положения и начальные скорости движения через эти начальные данные определятся все постоянные интегрирования, так что не может быть никакой многозначности. Но в принципе наименьшего действия предполагаются заданными не начальные положения и начальные скорости, а начальные и конечные положения системы. Поэтому, чтобы найти истинное движение, надо решить уравнения, определяющие начальные скорости из конечных положений. Эти уравнения не обязательно будут линейными, вследствие чего можно получить несколько систем значений начальных скоростей, и им соответствует тогда несколько движений системы из данных начальных положений в данные конечные положения, и все эти движения дают minima относительно бесконечно близких к ним движений. Если теперь интервал начальных и конечных положений изменять непрерывно, начиная от нуля, то различные системы значений, которые получаются при решении уравнений для начальных скоростей, также будут изменяться. Когда при таком изменении систем значений наступит случай, что две системы значений равны друг другу, то это и будет границей, за которой нет больше минимума. [c.300]

В первой главе рассматриваются уравнения Лагранжа второго рода для механических систем с иеременными массами. С помощью принципа условного затвердевания получено удобное на практике выраягение для обобщенной силы, возникающей за счет изменения кинетической энергии частиц перемепной массы. Исследована структура приведенного момента массовых сил и составлено дифференциальное уравнение движения машинного агрегата относительно его кинетической энергии. Рассматривается вопрос о влиянии масс обрабатываемого продукта, поступающих к исполнительным звеньям механизма, на инерционные параметры и суммарную приведенную характеристику машинного агрегата. В аналитической форме даются условия работы широких классов машинных агрегатов, время разбега и выбега которых мало но сравнению с общим временем их движения. Выясняется динамический смысл этих условий. [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...