Специальные системы координат

Кинетическая энергия и риманова геометрия Использование произвольных обобщенных координат для описания движения механической системы является одной. из существенных черт аналитической механики. Структура уравнений аналитической механики такова, что они могут быть записаны в виде, не зависящем от применяемых координат. Это свойство общих уравнений движения связывает аналитическую механику с одним из крупнейших достижений математики девятнадцатого века — теорией инвариантов и ковариантов. Эта теория окончательно созрела в наши дни, когда теория относительности Эйнштейна показала, как законы природы связаны с проблемами инвариантности. В основе теории относительности лежит требование, чтобы формулировки законов природы не зависели от какой-либо специальной системы координат. Математическое решение этой проблемы показало, что между законами, управляющими материей, и римановым основанием геометрии, существует глубокая внутренняя связь. Согласно общей теории относительности Эйнштейна, истинная геометрия природы не евклидова, а более общая— риманова эта геометрия связывает пространство и время в единое четырехмерное многообразие. [c.39]

Эти и другие ускорения можно также вычислить с помощью движущихся осей ср. Уиттекер [28], стр. 32—35, где рассмотрены различные специальные системы координат. [c.62]

Вывод эмпирической формулы (54) следует начинать с определения ее вида [25]. Функциональную зависимость выбирают из числа наиболее простых, сравнивая их графики с графиками заданной функции. В некоторых случаях выбор типа эмпирической формулы может быть произведен на основе теоретических представлений и характера изучаемой зависимости. В других случаях, как это сделано нами, можно подобрать такую формулу, сравнивая кривую, построенную по известным данным в декартовых координатах или специальных системах координат (полулогарифмической, логарифмической и т. д.) с образцами кривых (отдельные неправильности при этом игнорируются). Для облегчения выбора полезно использовать специальные альбомы кривых. При известном навыке по положению точек, определяющих некоторую плавную кривую, можно определить общий вид зависимости. [c.62]

Для исследования преобразователя как оптического прибора Удобно из специальной системы координат, введенной выше, перейти в неподвижную систему, не зависяш ую от положения ИК-источника и определяемую положением кристалла и источником накачки. Ясно, что в качестве оптической оси в пространстве объектов удобно выбрать прямую, проходящую через центр кристалла под углом синхронизма к направлению пз кристалла на источник накачки и лежащую в плоскости у — 0. Эта прямая является осью Zi, в пространстве объектов в неподвижной системе координат. Ось Xi перпендикулярна к ней и лежит в плоскости у = 0. Ось Fir направлена по-прежнему. Начало координат совпадает с центром кристалла. Ось в пространстве изображений проходит через центр кристалла под углом Р к направлению из кристалла на источник накачки (рис. 4.9). Положение ИК-источника в системе координат пространства объектов характеризуется вектором [c.92]

Вторую часть равенства (7.9)2 проще проверить в специальной системе координат, например, когда gf s = 6/ s- [c.47]

Тождество X = о следует из того, что оно тензорное и справедливо в специальных системах координат. [c.142]

Уравнение (1) представляет собой обычное уравнение Лапласа У Ф = О, записанное в специальной системе координат, поэтому функции х, у, г, ху, уг, гх и любая сферическая гармоническая функция являются фактически решениями уравнения (1). [c.479]

Определение вида функции распределения. Статистическая оценка характеристик генерального распределения случайной величины I существенно облегчается (может быть выполнена по результатам меньшего числа испытаний), если известен вид (аналитическое выражение) функции распределения F x). Так, например, если величина распределена нормально, то статистическая оценка генерального распределения сводится к уже описанному определению среднего и дисперсии с заданной точностью и надежностью. Поэтому главной задачей статистической обработки является определение вида функции распределения данной механической характеристики при этом важно установить является ли неизвестное распределение или заданной функции ф( ) хотя бы приближенно нормальным. Наиболее наглядным способом проверки, насколько полученная по данным выборки эмпирическая функция распределения (12.55) близка к некоторой гипотетической функции Р х), является графический способ. Сопоставление кривой накопленной частоты или гистограммы с гипотетической кривой дает качественное представление о степени близости эмпирического и гипотетического распределений. Для повышения точности и наглядности графического сопоставления удобно показывать эмпирическое распределение не в системе координат с равномерной шкалой, как это делалось на рис. 12.10, а, а в специальной системе координат, в которой график гипотетического распределения является прямой линией. Новая система координат может быть задана либо таблицей, либо нанесена на специальную бумагу, которая называется вероятностной бумагой [23]. [c.409]

I. Основные понятия и формулы. Специальной системой координат П. В. Харламов называет прямоугольную систему координат, первая координатная ось которой проходит через центр тяжести тела, а вторая и третья направлены так, что в выражении кинетической энергии тела как квадратичной формы компонент вектора [c.93]

Из определения специальной системы координат следует, что в ней [c.93]

Задача о понижении порядка уравнений движения твердого тела решается П. В. Харламовым в специальной системе координат, чему она, видимо, и обязана своим появлением. Понижение порядка уравнений движения осуществлялось и в системе координат главных осей гирационного эллипсоида инерции. Но специальные оси более приспособлены для этого и теснее связаны с задачей о движении тяжелого тела. [c.96]

Для уравнений П. В. Харламова алгебраические интегралы — многочлены относительно переменных (л , у, z). Естественно, решая задачу о степени алгебраического интеграла, записывать уравнение движения в специальной системе координат. [c.96]

В специальной системе координат условия существования имеют [c.96]

Кратко излагается метод механики твердого тела, связанный с использованием специальной системы координат, введенной П. В. Харламовым. Приведены кинематические уравнения, полученные П. В. Харламовым, позволяющие дать прямое, не использующее промежуточных систем координат, кинематическое толкование движения. Эффек тивность этих методов показана в ряде работ П. В. Харламова и его учеников. [c.125]

В специальной системе координат [c.18]

В дальнейшем будем пользоваться специальной системой координат, для которой координатными линиями является семейство нормалей к срединной поверхности 3. Тогда поверхность 3 будет координатной поверхностью = О, а радиус-вектор 9 точки оболочки выразится формулой [c.271]

В такой специальной системе координат имеем согласно (3,26) [c.53]

Специальные системы координат в конечной области пространства—времени [c.246]

Это выражение записано в специальной системе координат, в которой ось X направлена вдоль вектора Й5. Перепишем это выражение в ковариантном виде. Пусть Л = кп, где п — единичный вектор вдоль направления распространения. Очевидно, что [c.380]

Формулы (1.46) нам потребуются в некоторых специальных системах координат. В первую очередь рассмотрим ортогональные [c.17]

Для специальной системы координат и, v, г, связанной с координатами 1, 2 соотношениями [c.22]

В случае специальной системы координат и, v, 9, которая вводится формулами [c.23]

Для специальной системы координат и, v, 9 (О и < 00,. О у я, 0 9 2я) [c.23]

А. IV. Специальные системы координат [c.546]

При изучении этого тензора удобно перейти к специальной системе координат Мх х х , первая ось которой Мх направлена вдоль вектора г, а две другие оси Л1х и Жх перпендикулярны этому вектору (см. рис. 6). Обозначим значения компонент тензора Вл(г) [c.39]

При решении некоторых задач небесной механики, например в теории движения Луны, используются различные специальные системы координат (цилиндрическая система координат координаты Якоби, в которых положение точки относится к центру инерции всех предыдущих точек 7711, Шг,. .., различные системы вращающихся [c.11]

Пусть далее при s = Su в й -f- 1-м плече резонатора используемая система координат фиксирована равенствами (2.19). Тогда при S = Sft+i направления осей выбранной системы координат, не совпадут с направлениями осей той специальной системы координат которая связана с координатами йл+и ,й+1. Сз,й+1 формулами (2.18). Таким образом, [c.273]

Если связи накладываются на относительно небольшое число степеней свободы, может оказаться более эффективным включение связей в глобальную матрицу жесткости на основе непосредственных выкладок по сравнению с использованием для этого матричного преобразования. Прямой метод аналогичен подходу, применяемому для специальной системы координат в п. 3.5.3. [c.96]

Специальные системы координат на поверхности [c.44]

Рассмотрим специальные системы координат на поверхности тела. Если задано уравнение поверхности, то тем самым задана первая квадратичная форма поверхности а р (а, р = 1, 2). В случае ортогональной системы координат а 2 = 0. Элемент длины на поверхности имеет вид ds = all(d ) + a22(d ) При выборе системы координат на поверхности тела имеется много возможностей. Кро- [c.44]

НИИ точных или приближенных решений этих уравнений. Тот или иной метод может быть построен на одной из указанных моделей среды. Кроме того, на основе предварительного изучения стрюится расчетная модель или расчетная схема данного явления, в которой по возможности полно учитываются его существенные черты и игнорируются остальные. Общие уравнения движения упрощаются на основе учета характерных особенностей данного явления или задачи, и выбирается подходящий математический метод решения полученных таким путем уравнений. Важную роль при этом играет выбор рациональной системы координат одна и та же задача, неразрешимая в произвольно выбранной системе, может быть решена, если выбрана подходящая специальная система координат. Граничные условия при математической формулировке задачи назначаются в соответствии с данными предварительного качественного изучения явления или логического анализа. Математический аппарат, применяемый в гидромеханике, весьма разнообразен, но в качестве разделов математики, наиболее широко используемых, можно назвать обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения математической физики, функции комплексного переменного, интегральные уравнения, численные методы. [c.26]

Анализ конических оболочек требует введения специальной системы координат, отличной от той, которая была- принята в разделе 1У,А для оболочки вращения двойной кривизны. В теории конических оболочек используются две системы координат 1) традиционные коцические координаты 2) усеченные конические координаты. Геометрические параметры срединной поверхности конической оболочки в традиционных конических координатах конкретизируются следующим образом [c.229]

Однако более фундаментальным, чем все эти особенности, является наличие в аналитической механике объединяющего принципа, который является кульминационным пунктом аналитического подхода. Движение достаточно сложной механической системы описывается больщим числом — иногда даже бесконечным числом — отдельных дифференциальных уравнений. Вариационные принципы аналитической механики образуют единую основу, из которой следуют все эти уравнения. За всеми этими уравнениями скрывается общий принцип, заключающий в себе смысл всей этой совокупности уравнений. Вводится одна фундаментальная величина действие принцип, согласно которому эта величина должна иметь стационарное значение, приводит к полной системе дифференциальных уравнений. Более того, установление этого принципа не связано с какой-либо специальной системой координат. Поэтому и аналитические уравнения движения также инвариантны относительно любых преобразований координат. [c.27]

В рассматриваемой задаче можно достаточно хорошо разобраться геометрически, используя специальную систему координат, связанную с нашим однопараметрическим семейством прямых. В качестве специальной системы координат рассмотрим угол S, образуемый осью х с прямыми, и направленное расстояние h вдоль линии, ортогонально пересекающей прямые и отсчитываемой от некоторой фиксированной кривой, как показано на рис. 26. Если вспомнить, что заданные прямые представляют собой, вообще говоря , касательные к некоторой плоской кривой Г, то сразу видно (1) линии 0 = onst суть данные прямые (2) линии h = onst образуют ортогональное семейство эволют кривой Г (3) ds = dh -f rW, где г = Л -t- s (S) есть радиус кривизны эволюты, а s означает длину дуги вдоль Г. [c.186]

Интеграл (30) в обозначениях, введеных для специальной системы координат после исключения гг с помощью соотношений (21), запишется в виде [c.97]

Отметим интересное свойство прецессии А. И. Докшевича, а именно произведения скоростей собственного вращения и прецессии фф = 6263. Условия на распределение масс в теле, указанные в системе (30), после записи их в главной системе координат показывают, что тело — гироскоп Гесса. Это утверждение не является тривиальным, поскольку требует значительных вычислений [8]. Доказательство того факта, что равенство (29) описывает решение А. И. Докшевича, основано на записи решения (29) через компоненты вектора момента количества движения в специальной системе координат и приведении его к виду [19]. [c.245]

После такого двойного преобразования мы получаем метрическое нефизическое многообразие с естественной гладкой границей. Хотя прелыдущие рассуждения были проделаны в специальной системе координат, можно сформулировать понятие асимптотическн-простого трехмерного многообразия в ковариантном виде. [c.161]

Элементы матрицы (3.15а) образуют систему составляющих симметричного-тензора, называемого тензором скоростей деформации. Математические свойства этого тензора аналогичны свойствам тензора напряжений, также симметричного. Из теории упругости [ ], [ ], а также из тензорной алгебры [Щ известно, что с каждым симметричным тензором можно связать три взаимно ортогональные главные оси, которые определяют три взаимно ортогональные главные плоскости, образующие привилегированную декартову систему координат. В этой систвхме координат вектор напряжения в каждой главной плоскости (или мгновенное движение в такой плоскости) нормален к ней, т. е. параллелен одной из главных осей. Когда применяется такая специальная система координат, матрицы (3.10) или (3.15а) содержат одни [c.64]

Прежде чем переходить к решёточным моделям, следует напомнить геометрический смысл калибровочного поля Лр,. Как объясняется в приложении в конце книги, Ац — это компоненты некоторой формы связности в главном расслоении, выраженные в специальной системе координат (обеспечивающей локальную тривиализацию расслоения)Один-форма = со значениями в алгебре Ли g выбранной [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...