Другие формы дифференциальных уравнений движения

Сделаем несколько общих замечаний относительно интегрирования уравнений движения материальной точки в координатной форме. Эти замечания могут быть отнесены также и к другим формам дифференциальных уравнений движения материальной точки ). [c.322]

Вывод канонических уравнений Гамильтона из принципа Гамильтона — Остроградского. Из принципа Гамильтона—Остроградского можно получить и другую форму дифференциальных уравнений движения голономной механической системы — канонические уравнения Гамильтона. Будем предполагать, что на рассматриваемую систему наложены идеальные голономные связи, а действующие на точки системы активные силы обладают силовой функцией и. Принцип Гамильтона для такой системы запишется в виде равенства [c.465]

ДРУГИЕ ФОРМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. 8 [c.370]

Дифференциальное уравнение движения механизма. Уравнение движения механизма в форме интеграла энергии используется преимущественно в случаях, когда приведенные силы зависят от положений звеньев. В других случаях используется дифференциальное уравнение движения механизма, которое можно получить из уравнения кинетической энергии в дифференциальной форме АТ=АА. [c.75]

Указанная задача сведена Ляпуновым к задаче устойчивости нулевого положения равновесия другой системы дифференциальных уравнений - системы возмущенного движения описывающей отклонение траекторий исходной системы от изучаемого решения (процесса, движения). В результате в теории устойчивости Ляпунова рассматривается обладающая большой общностью единообразная задача об устойчивости нулевого положения равновесия х = (л ь. . ., х,,) = О системы обыкновенных дифференциальных уравнений (в векторной форме) [c.10]

Механическую характеристику не всегда можно представить в аналитической или графической форме вследствие того, что движущая сила или момент зависят от нескольких переменных, например, перемещения и скорости. С геометрической точки зрения такая зависимость должна представляться в форме поверхности трехмерного или многомерного пространства. Практически формой изображения в трехмерном или многомерном пространстве воспользоваться трудно и вопрос о величине силы должен выясняться совместно с решением дифференциального уравнения движения. В качестве примера такой сложной зависимости можно указать на силы в пневматических, электромагнитных механизмах и ряде других. [c.363]

Это уравнение называется дифференциальным уравнением движения материальной точки. В зависимости от способа задания движения дифференциальное уравнение может быть записано и в других формах. [c.157]

Уравнение (6) есть также общее решение дифференциального уравнения (3). но в другой форме. Постоянными интегрирования здесь являются а и а. Решение (6) показывает, что точка движется по закону синуса (или косинуса). Такое движение носит название [c.361]

Каждое из этих семи всеобщих уравнений движения выглядит так или иначе, в зависимости от того, для какого объекта оно составлено, написано ли оно для одной материальной точки, для твердого тела, совершающего определенное движение, или для изменяемой механической системы. Они могут быть написаны в конечном или в дифференциальном виде. В зависимости от условий задачи приходится выбирать уравнение и форму его, соответствующую заданным условиям. При этом полезно иметь в виду, что если проекции силы являются функциями времени, то часто бывает возможно проинтегрировать уравнения проекций количества движения. Уравнение кинетической энергии дает интеграл в тех случаях, когда силы являются функциями расстояния. Этим часто определяется выбор того или другого уравнения для решения задачи. Выводу семи всеобщих уравнений движения для различных движущихся объектов посвящены 35—37. [c.132]

Записанные в приведенном виде, они называются уравнениями движения механизма в дифференциальной форме. Приведенная сила или момент в правой части этих уравнений может быть представлена алгебраической суммой двух слагаемых, одно из которых определено для двп/кущих сил, а другое — для сил сопротивления. Для машин различного технологического назначения силы движущие и силы сопротивления зависят от одного или нескольких параметров — перемещения, скорости и времени, что определяется механическими характеристиками двигателя и механизма исполнительного органа. [c.283]

Векторное равенство (2), являющееся лишь другой формой основного уравнения динамики (1), выражает собой теорему об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме производная по времени от количеетва движения материальной точки равна дейетеующей на эту точку еиле. [c.571]

Дифференциальные уравнения движения выражают некоторую зависимость, связывающую между собоИ момент времени t, положение системы, скорости. и ускорения ее точек в этот момент. Если эта зависимость выполняется в каждой точке некоторого пути, то этот путь является прямым. Вариационный же принцип характеризует весь прямой путь в целом. Он формулирует экстремальное (стационарное) свойство некоторого функционала, выделяющее прямой путь среди других кинематически возможных путей. Вариационные принципы имеют более обозримую и компактную форму и часто используются в качестве фундамента для новых (неклассических) областей механики. [c.107]

Аналитическая форма механики, развитая Эйлером и Ла-гранжем, существенно отличается по своим методам и принципам от механики векторной. Основной закон механики, сформулированный Ньютоном произведение массы на ускорение равно движущей силе ,— непосредственно применим лишь к одной частице. Он был выведен при изучении движения частиц в поле тяготения Земли, а затем применен к движению планет под воздействием Солнца. В обоих случаях движущееся тело могло рассматриваться как материальная точка или частица , т. е. можно было считать массу сосредоточенной в одной точке. Таким образом, задача динамики формулировалась в следующем виде Частица, которая может свободно перемещаться в пространстве, находится под действием заданной силы. Описать движение в любой момент времени . Из закона Ньютона получалось дифференциальное уравнение движения, и решение задачи динамики сводилось к интегрированию этого уравнения Если частица не является свободной, а связана с други ми частицами, как, например, в твердом теле или в жидкости то уравнение Ньютона следует применять осторожно. Не обходимо сначала выделить одну частицу и определить силы которые на нее действуют со стороны остальных, окружа ющих ее частиц. Каждая частица является независимым объектом и подчиняется закону движения свободной частицы Этот анализ сил зачастую является затруднительным Так как природа сил взаимодействия заранее неизвестна приходится вводить дополнительные постулаты. Ньютон полагал, что принцип действие равно противодействию известный как его третий закон движения, будет достаточен для всех проблем динамики. Это, однако, не так. Даже в динамике твердого тела пришлось ввести дополнительное предположение о том, что внутренние силы являются цен- [c.25]

Теперь уже трудно найти метафизичеекую причину для принципа наименьшего действия, когда он, как это необходимо, выражен в этой истинной форме. Существуют minima совсем другого рода, из которых тоже можно получить дифференциальные уравнения движения и которые в этом отношении обещают много больше. [c.299]

При помощи этих m уравнений можно исключить из уравнения (1) т из Зп вариаций 6х бу,, 6z и если после этого оставшиеся вариации положить независимыми друг от друга, то символическое уравнение (1) распадется на дифференциальные уравнения движения. Но это исключение было бы очень затруднительно и имело бы, кроме того, некоторые неприятные стороны во-первых, пришлось бы некоторые координаты предпочесть другим, и поэтому получились бы несимметричные формулы, а, во-вторых, для различного числа условных уравнений получалась бы различная форма результатов исключения, вследствие чего общность исследования была бы сильно затруднена. Все эти трудности преодолел Лагранж введением множителей (метод, который уже Эйлер часто употреблял в задачах de maximis et minimis ). Так как в уравнения (1) и (4) вариации 6х 6у dz, входят линейно, то исключение т из них можно произвести следующим образом. Умножаем уравнения (4) соответственно на множители 7, и,. . . и складываем их с (1) полученное уравнение назовем (а). [c.304]

Вместо принципа наименьшего действия можно представить другой принцип, который также состоит в том, что первая вариация некоторого интеграла обращается в нуль, и из которого можно получить дифференциальные уравнения движения еще более просто, чем из принципа наименьшего действия. Этот принцип раньше оставался незамеченньш, вероятно, потому, что здесь вместе с исчезновением вариации вообще не получается минимум, как это имеет место для принципа наименьшего действия. Гамильтон был первым, исходившим из этого принципа. Мы воспользуемся этим принципом для того, чтобы представить уравнения движения в той форме, которую им дал Лагранж в аналитической механике. Пусть, прежде всего. [c.307]

Изложенный способ решения алгебраической системы уравнений парогенератора аналогичен решению краевой задачи для системы линейных дифференциальных уравнений путем сведения ее к нескольким задачам Коши. По существу математическая модель трактов рабочей среды представляет собой краевую задачу для уравнений гидродинамики с граничными условиями, заданными на концах интервала изменения координаты длины. Хотя дифференциальное уравнение движения рабочей среды и аппроксимировано в рассматриваемой модели системой алгебраических уравнений сопротивления на участках, следующих друг за другом, такая схема решения оказывается наиболее экономной. Ее удобно применять потому, что при описании моделируемая система представлена как совокупность ориентированных звеньев [Л. 77], для которых уравнения вход —выход разрешены в явном виде относительно выходов. Для каждого звена выходы легко рассчитываются, если известны входы. Эта форма уравнений звеньев обусловливает выбор метода решения системы уравнений, оиисывающей взаимосвязанные теплообменники. [c.156]

Мы видели, что дифференциальное уравнение (84) относительного движения материальной точки имеет тот же вид, что и дифференциальное уравнение движения точки относительно неподвижной системы отсчета различие между этими уравнениями состоит лишь в том, что в уравнение относительного движения, кроме заданных сил и реакций связей, входят еще переносная и кориолисова силы инерции. С другой стороны, в главе 21 мы видели, что все общие теоремы динамики точки (теорема о количестве движения, теорема о моменте количества движения, теорема о кинетической энергии) являются следствием основного дифференциального уравнения динамики точки, выражающего второй закон Ньютона. Отсюда следует, что все эти обпще теоремы применимы и к относительному движению точки, но понятно, что, применяя эти теоремы к относительному движению, мы должны принять во внимание переносную и кориолисову силы инерции. В частности, при решении задач, относящихся к относительному движению точки, нередко приходится пользоваться теоремой о кинетической энергии. Нри составлении уравнения, выражающего эту теорему в относительном движении, необходимо принять во внимание работу переносной и кориолисовой сил инерции на относительном перемещении точки. Но так как ускорение Кориолиса Н7д всегда перпендикулярно к относительной скорости v , то следовательно, работа кориолисовой силы инерции в относительном движении равна нулю, и эта сила в уравнение теоремы о кинетической энергии не войдет. Поэтому это уравнение в дифференциальной форме будет иметь следующий вид [c.456]

Назовем череа и сплы давления, которое оказывает материальная точка на поверхности, дающие своим пересечением линию. Так как линия может быть определена двумя поверхностями, находящим ся в различных положениях относительно лруг друга, то допустим, что эти по-верхнос1и выбраны так, что в рассматриваемой точке М (фиг. 272) они взаимно перпендикулярны. Проведем нормаль к первой поверхЕюсти и назовем углы ее с осями координат через а , проведем также нормаль 2 ко второй поверхности и пусть углы ее с осями будут Напишем дифференциальные уравнения движения материальной точки ло линии в следующей форме [c.372]

Одним из мощных методов исследования гидродинамических движений является метод подобия. Применение этого метода основано на том, что уравнения гидродинамики идеальной жидкости не содержат каких-либо характерных постоянных с размерностью длины или времени. Масштаб движения в каждом конкретном случае задается начальным распределением, которое предполагается известным заранеё. Таким образом, имеется возможность для пересчета движений различного масштаба посредством преобразования подобия, сохраняющего неизменными уравнения движения. Это обстоятельство широко используется в экспериментальной практике, когда необходимо воспроизвести явление большого масштаба в лабораторных условиях. Метод подобия эффективно применяется и для интегрирования дифференциальных уравнений движения. Часто оказывается возможным выбрать начальное распределение таким образом, чтобы последующие распределения в различные моменты времени были подобны друг другу. Такое движение называют автомодельным. Автомодельность движения дает возможность уменьшить число независимых переменных, что значительно упрощает проблему отыскания решения, а в некоторых случаях позволяет получить решение задачи в аналитической форме. [c.270]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...