Энергии какой сохранения интеграл

Так как связи стационарны, то закон сохранения обобщенной энергии совпадает с полной энергией. Второй первый интеграл имеет вид [c.152]

Полученное равенство можно рассматривать как первый интеграл уравнений Эйлера, справедливый в случае стационарного движения при наличии функции давлений, представляющей потенциал объемного действия поверхностных сил, и потенциала объемных сил. Этот интеграл, выведенный путем скалярного умножения обеих частей уравнений (10) на вектор скорости V, может трактоваться как интеграл живых сил, или интеграл кинетической энергии уравнений движения центра инерции элементарного объема жидкости (интеграл Бернулли). Его не следует отождествлять с законом сохранения полной механической энергии движущейся жидкости, а функцию В трехчлен Бернулли —с отнесенной к единице массы полной механической энергией. [c.116]

Первый из них выражает закон сохранения энергии вихрей. Второй интеграл есть следствие инвариантности гамильтониана относительно сдвигов вдоль оси г и с точностью до множителя совпадает с импульсом течения жидкости, обусловленного наличием системы вихревых колец. Так как = О, то при М = 2 система (1.3) является интегрируемой по Лиу-виллю для всех значений параметров Г1 и Г2. Докажем теперь, что в случае трех вихревых колец задача уже не всегда будет интегрируемой. [c.370]

Уравнения (14.47) — (14.49) в определенном смысле эквивалентны уравнениям системы (14.45), поскольку они выражают те же законы сохранения энергии — (14.49), импульса— (14.48) и массы—(14.47). Уравнения (14.48) и (14.49) —интегральные уравнения, так как неизвестные Юх а входят под знак интеграла. Для расчетной практики важнейшим свойством этих двух уравнений является удобство их использования при приближенном расчете. Действительно, подставив под знак интеграла приближенные выражения для профилей скорости и температуры и вычислив интегралы в пределах толщин пограничного слоя 6 и б(, можно получить расчетные формулы для теплового потока и трения на стенке. Приближенные выражения для профилей температуры и скорости выбирают в виде полиномов (в этом случае интегралы легко вычисляются), коэффициенты которых определяются граничными условиями. [c.351]

Существует еще один первый интеграл, а именно интеграл энергии (так как система консервативна). На основании общей теоремы о сохранении энергии мы можем непосредственно установить, что постоянной движения является величина [c.76]

Якоби раскритиковал рассуждения Лагранжа, касающиеся принципа наименьшего действия , указав на важность того обстоятельства, что варьирование происходит при определенных граничных значениях последнее невозможно, если в качестве аргумента выбрано время. В этом случае верхний предел интеграла действия должен варьироваться определенным образом с тем, чтобы обеспечить сохранение энергии вдоль истинного и варьированного путей. Тем не менее если соответствующим образом понять формулировку принципа наименьшего действия, данную Эйлером и Лагранжем, то окажется, что их выкладки совершенно правильны, а их принцип отличается от принципа Якоби лишь формально. Как мы видели, принцип Якоби представляет собой результат следующих операций. [c.163]

Резюме. При параметрическом задании движения время является дополнительной координатой, которая может принять участие в процессе варьирования. Импульс, соответствующий временной координате, является полной энергией, взятой с обратным знаком. Для склерономных систем время становится циклической координатой, а соответствующий импульс — константой. Это приводит к теореме сохранения энергии для консервативных систем. Исключение времени как циклической координаты позволяет сформулировать новый принцип, определяющий лишь путь механической системы, а не ее движение во времени. Это — принцип Якоби, аналогичный принципу Ферма в оптике. Этот же принцип может быть сформулирован как принцип наименьшего действия . В последнем случае интеграл по времени от удвоенной кинетической энергии минимизируется с дополнительным условием, что при движении и вдоль истинного, и вдоль проварьированного пути должна выполняться теорема о сохранении энергии. Если этот принцип рассматривать с помощью метода неопределенных множителей, то в качестве результирующих уравнений получаются уравнения движения Лагранжа. [c.165]

Перейдем теперь к обш,ему случаю реономной системы, не удовлетворяюш,ей закону сохранения энергии. В соответствии с изложенным раньше методом результаты, полученные для консервативных систем, всегда могут быть обобщены, если включить время i в число позиционных координат qi и рассматривать задачу как консервативную, но в расширенном фазовом пространстве.. Имеется канонический интеграл [c.271]

Так как наличие гироскопических сил не нарушает закона сохранения полной энергии, то для приведенной системы существует интеграл Е = Щ И. Если теперь в п. 225 заменить Е на Е и повторить рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы Лагранжа, то придем к следующей теореме Рауса об устойчивости стационарных движений голономной консервативной системы с циклическими координатами. [c.497]

Сохранение энергии. Формула (3.4.5), выражающая классический интеграл энергии, играет важную роль во всей механике. Ее значение не ограничивается рамками классической механики и распространяется буквально на все области физических наук. Например, работа, затрачиваемая на растяжение струны, переходит в энергию натянутой струны. Если один конец струны закреплен, а другой соединен с частицей, то при освобождении струны запасенная в ней энергия переходит в кинетическую энергию частицы. Общий закон о сохранении энергии занимает столь важное место в нашем представлении о физическом мире, что, даже встречаясь с динамической задачей, в которой энергия не сохраняется, мы предпочитаем говорить, что энергия не уничтожается, а переходит в другую форму, отличную от кинетической или потенциальной энергии механической системы (например, в тепло). Тем не менее, несмотря на всеобъемлющий характер этого принципа для физики в целом, не следует придавать уравнению (3.4.5) большее значение, чем оно имеет в действительности. Мы будем рассматривать его как чрезвычайно простой первый интеграл уравнений движения. [c.47]

Чтобы исключить из выражения (XI.22) плотность р, необходимо к системе уравнений (XI.19) — (XI.21) добавить еще одно условие, которым может быть либо уравнение Эйлера в проекции на ось 2, либо уравнение закона сохранения энергии (XI.3). Введение того или другого уравнения приведет, естественно, к одному и тому же результату, так как при течении без теплообмена уравнение энергии есть интеграл уравнений движения. Для упрощения выкладок воспользуемся уравнением (XI.3), которое для сечения 1—1 при обычных предположениях di ldr = О и д к/дг = О примет вид [c.193]

Как видно из формулы (85.9), уравнение Больцмана представляет собой сложное нелинейное интегро-дифференциальное уравнение, приближенное решение которого возможно только в некоторых весьма частных случаях. Однако, как мы увидим в последующих параграфах, уравнение Больцмана позволяет получить ряд важных следствий весьма общего характера. Ограничиваясь рассмотрением только упругих столкновений и считая массы молекул одинаковыми, запишем законы сохранения импульсов и энергии при ударе в форме [c.470]

Так как эти выражения удовлетворяют законам сохранения импульса и энергии, то подстановка этих значений в интеграл столкновений обращает в нуль аргументы всех -функций. [c.471]

Таким образом, абсолютно правильные, вытекающие из физических законов сохранения инвариантные Г-интегралы оказываются расходящимися в сингулярностях, т. е. теряют инвариантность в особых точках. Потеря инвариантности Г-интеграла даже в особой точке недопустима, так как она означает нарушение закона сохранения энергии в этой точке. Необходимо было любой ценой спасти инвариантность и законы сохранения, даже если бы для этого пришлось изменить обычные правила интегрирования. С этой целью еще в 1965 г., когда была закопчена работа [1], автор разработал эвристическое правило интегрирования расходящихся инвариантных интегралов в особых точках, сохраняющее их инвариантность. [c.358]

Как известно, дифференциальные уравнения задачи п тел допускают десять классических интегралов шесть интегралов количества движения, три интеграла площадей и один интеграл энергии, которые соответствуют законам сохранения количества движения, кинетического момента и механической энергии системы. Эти интегралы обладают тем свойством, что они алгебраически содержат координаты и скорости точек. На вопрос, существуют ли другие подобные интегралы, отвечает теорема Брунса [c.108]

Приближение, которое использовалось при выводе интеграла столкновений для неидеальной квантовой системы, соответствует приближению, сделанному в разделе 3.3.5 при выводе классического уравнения Энскога. Как мы уже отмечали, обобщенная теория Энскога фактически основана на двух предположениях а) столкновения описываются в терминах двухчастичной динамики, б) наиболее важные многочастичные корреляции обусловлены законом сохранения энергии. Таким образом, кинетиче- [c.295]

Механический смысл этого интеграла состоит в том, что кинетическая энергия тела во все время движения остается постоянной величиной. Найденный первый интеграл можно также получить из закона сохранения полной механической энергии Г + П = /г (П = 0, так как тело движется по инерции). [c.323]

Уравнение (1.49), полученное как следствие уравнений Максвелла, выражает закон сохранения энергии для электромагнитного поля. Проинтегрируем обе части (1.49) по некоторому объему V, ограниченному замкнутой поверхностью а. Интеграл по объему от (1 у8 в правой части преобразуем с помощью математической теоремы Остроградского — Гаусса в интеграл по поверхности а, ограничивающей этот объем [c.31]

Интеграл, выражающий принцип сохранения энергии, будет, как легко видеть, иметь вид [c.261]

В отсутствие внешних сил и диссипации движение жидкости, как и любой другой механической системы, сопровождается сохранением энергии (квадратичного функционала от поля скорости). Наряду с характером нелинейности существование такого интеграла движения является второй важнейшей особенностью уравнений гидродинамики, которую необходимо учитывать при построении конечномерных динамических моделей, претендующих на описание реальных гидродинамических систем. Вообще нужно стремиться к тому, чтобы в рамках упрощенной модели существовали аналоги общих интегралов движения, которыми обладают исходные уравнения движения. Так, например, уравнения движения баротропной атмосферы, состояние которой описывается функцией тока т ), с учетом сжимаемости имеют вид (см., например, [194]) [c.39]

Для замкнутых, или изолированных систем (такие системы не взаимодействуют с внешними телами и не обмениваются энергией ни в какой форме с внешней средой) сущ,ествуют функции переменных Лагранжа, называемые интегралами движения. Интеграл движения системы называется аддитивным (от латинского addi-iio — прибавление), если он равен сумме интегралов движения составляющих систему частиц. Аддитивных интегралов движения четыре — масса, импульс, момент импульса и энергия. Как показывает опыт, эти четыре величины, характеризующие состояние замкнутой системы, не меняются со временем. Это позволило сформулировать в ньютоновской механике законы сохранения массы, импульса момента импульса и энергии, которые обусловлены основными свойствами материи и движения, а также пространства и времени, как основных форм существования материи. [c.134]

Резюме. Для склерономных систем уравнения движения Лагранжа дают первый интеграл в форме 2Pi i — L Е. Это уравнение можно интерпретировать как закон сохранения энергии, если определить левую часть уравнения как полную энергию системы. Для обычных задач классической механики сумма Hpiqi равна удвоенной кинетической энергии в этом случае теорема о сохранении энергии принимает форму Т + V = Е. [c.150]

Дифференциальные уравнения движения не только допускают интегральный инвариант (71), но и являются единственными дифференциальными уравнениями, обладающими этим свойством. Поэтому в основу механики можно положить следующий принцип — принцип сохранения количества движения и энергии Движения материальной системы (с вполне голоном-ными связями), находящейся под действием сил, имеющих силовую функцию, управляются дифференциальными уравнениями первого порядка, связывающими время, параметры положения и параметры скоростей и эти дифференциальные уравнения характеризуются тем свойством, что интеграл тензора количество движения —энергия , распространенный на любую непрерывную, линейную, замкнутую последовательность состояний системы, не меняет значения при перемещении этих состояний каким-либо способом вдоль соответственных траекторий ). [c.845]

Уравнение (7.12) для несжимаемой жидкости в равномерном поле сил тяжести, полученное как интеграл уравнений движения вдоль линии тока, также носит название уравнения Бернулли для элементарной етруйки идеальной жидкости. В курсе общей физики и в некоторых курсах гидравлики оно получается с помощью общих законов сохранения массы и энергии. [c.61]

В случае распространяющейся трещины не зависящие от пути интегралы имеют более сложный вид. Форма интеграла Ji, при которой он равен скорости высвобождения энергии, была получена в [86]. Первоначально в работе [51 ] был предложен обищй закон сохранения для тел, которые могут испытывать малые или конечные деформации и которые подчиняются инкрементальным законам состояния, с учетом массовых сил, сил инерции и произвольных граничных условий на берегах трещины (заданных в виде усилий или перемещений). На зтой основе в [ 51 ] был введен не зависящий от пути интеграл для случая трещины, распространяющейся в упругом или неупругом материале. В упругодинамическом случае бьшо найдено, что этот интеграл не равен скорости высвобождения энергии при распространении трещины, но его физический смысл заключается в том, что он характеризует скорость изменения лагранжиана тела. Этот вывод противоречит утверждениям работ [58, 75 ], в которых также предложены не зависящие от пути интегрирования интегралы, причем последние отличаются от приведенных в [ 51 ], и главные отличия состоят в следующем. В работе [ 51 ] используется зафиксированный в пространстве контур (который, тем не менее, в любой момент времени окружает вершину движущейся трещины), в отличие от работы [ 58 ], в которой контур является жестко связанным с вершиной (т. е. он является фиксированным для наблюдателя, перемещающегося вместе с вершиной трещины). Отличие интегралов в [ 51 ] и [ 75 ] касается, как будет продемонстрировано ниже, математической формы выражений. Не зависящий от пути интегрирования интеграл, введенный в [ 51 ], имеет вид [c.27]

Второе допущение состоит в том, что параметр плотности п = пг много меньше единицы или, другими словами, что радиус взаимодействия много меньше среднего расстояния между частицами. Благодаря этому допущению оказалось возможным оборвать цепочку ББГКИ на уровне двухчастичной функции распределения, пренебрегая тройными столкновениями. Приближенная форма (3.1.25) двухчастичной функции распределения в теории Больцмана содержит оператор 5 оо(12), который описывает мгновенные столкновения двух частиц. Это приводит к тому, что интеграл столкновений Больцмана обеспечивает сохранение локальной кинетической энергии, в то время как в плотных системах должна сохраняться полная энергия. [c.174]

Первый член этого выражения представляет собой не что иное как интеграл столкновений Больцмана-Боголюбова [см. выражение (3.1.73)] ). Второй член, описывающий основной вклад эффектов запаздывания, впервые был получен Климонтовичем [34]. Им же была показана необходимость учета этого члена в законах сохранения энергии и импульса, включающих главные поправки по плотности к неравновесным термодинамическим величинам. Более подробное обсуждение свойств кинетического уравнения с интегралом столкновений (3.3.5) читатель найдет в книге [35]. [c.199]

Как уже отмечалось, интерес к немарковским кинетическим уравнениям возник в связи с началом активного исследования быстрых процессов в веществе иод действием мощного лазерного излучения. Тот факт, что уравнение Левинсона не нарушает закон сохранения полной энергии, явился приятной неожиданностью . Казалось, что включение эффектов памяти ведет лишь к техническим сложностям в решении кинетических уравнений и не создает каких-либо принципиальных проблем. Очень скоро, однако, численное решение кинетических уравнений типа уравнения Левинсона показало, что все они обладают серьезными дефектами [94]. Во-первых, в процессе решения возникали нефизические отрицательные значения одночастичной функции распределения. Оказалось также, что уравнение Левинсона не описывает релаксацию системы к равновесию после окончания действия внешнего поля и, вообще, в пределе больших времен его решение не стремится к какой-либо стационарной функции распределения. Формальные причины такого поведения решений уравнения Левинсона легко обнаружить. В отличие от интеграла столкновений Улинга-Уленбека (4.1.86), интеграл столкновений Левинсона (4.5.14) не обращается в нуль если в него подставить равновесные распределения Ферми или Бозе ). Иначе говоря, уравнение Левинсона не имеет равновесного решения Поэтому нет ничего удивительного в том, что уравнение Левинсона предсказывает нефизическое поведение системы на стадии релаксации после окончания действия поля. Впрочем, поскольку это кинетическое уравнение имеет внутренние дефекты, возникают сомнения и в его применимости к описанию стадии возбуждения системы полем. [c.313]

Остановимся кратко на некоторых попытках улучшить уравнение Левинсона. На первый взгляд источником проблем является незатухающая память в интеграле столкновений (4.5.14), благодаря которой скорость изменения одночастичной функции распределения в момент времени t зависит от всей предыстории процесса. Поскольку квазичастицы в реальных системах имеют характерное время жизни г ,, ядро в немарковском интеграле столкновений должно затухать за время t — t т . Качественно этот эффект можно учесть, вводя обрезающий множитель ехр — t — t )/т в интеграл столкновений Левинсона [94]. В численных расчетах было обнаружено, что решения улучшенного уравнения Левинсона ведут себя на больших временах более устойчиво (в частности, исчезают отрицательные значения /) и наблюдается переход к марковскому режиму, но, тем не менее, при t оо функция распределения не стремится к равновесной. Дело в том, что введение квазичастичного затухания в интеграл столкновений Левинсона нарушает закон сохранения энергии ). Поэтому с течением времени растут числа заполнения возбужденных состояний, т. е. происходит нефизический перегрев системы. Хаг и Баньян [93] предложили феноменологическое ядро в интеграле столкновений Левинсона для электрон-фононной системы, которое приводит к более разумному поведению функции распределения электронов в марковском пределе. Стационарное решение кинетического уравнения оказалось близким к распределению Ферми, однако точного равенства этих функций достигнуто не было. Впрочем, подбор модельных выражений для ядер в интеграле столкновений Левинсона нельзя рассматривать всерьез как преодоление трудностей немарковской кинетики. Можно показать, что любое улучшение уравнения Левинсона в этом направлении ведет к нарушению закона сохранения энергии, причем стационарное решение не совпадает [c.313]

Неравновесные корреляции, связанные с сохранением энергии. Мы уже говорили в разделах 3.3.4 и 4.3.3, что закон сохранения энергии в кинетической теории требует особого внимания, поскольку, с одной стороны, энергия является интегралом движения и поэтому должна быть включена в набор базисных динамических переменных, но, с другой стороны, среднее значение энергии зависит как от одночастичной, так и от двухчастичной функции распределения. Иначе говоря, баланс энергии определяется не только эволюцией одночастичной функции распределения, но и динамикой корреляций. Напомним, что учет корреляций, связанных с сохранением энергии, является, по существу, основной идеей кинетической теории Энскога для плотных и сильно взаимодействующих систем. На первый взгляд кажется, что для слабо неидеальных газов учет неравновесных корреляций не столь важен, во всяком случае, — в борновском приближении для интеграла столкновений. В марковском режиме эта точка зрения подтверждается нашим анализом, проведенным в разделе 4.3.4. Действительно, мы видели, что интеграл столкновений (4.3.58) совпадает с интегралом столкновений Улинга-Уленбека, если пренебречь вкладом корреляций в двухчастичную матрицу плотности. Как выяснится позже, в немарковском режиме ситуация меняется и корреляции, связанные с законом сохранения энергии, дают вклад в интеграл столкновений уже в борновском приближении. Более того, мы покажем, что именно учет корреляций обеспечивает существование равновесного решения немарковского кинетического уравнения ). [c.314]

Посмотрим, что происходит с производством энтропии, если перейти к марковскому приближению. Как уже отмечалось, формальный переход к этому приближению состоит в том, что все функции распределения берутся в момент времени совершается предельный переход t — tQ oovi вводится множитель ехр —г( — ц) , обеспечивающий сходимость несобственного интеграла. При этом вместо косинуса возникает дельта-функция 5(А 2 обеспечивающая сохранение энергии квазичастиц. [c.326]

Заметим, что в изложенном подходе введение квазичастичного затухания не изменяет равновесного решения кинетического уравнения, т. е. не приводит к нефизическому перегреву системы, и, кроме того, не нарушает закона сохранения энергии. В самом деле, если в интеграле столкновений (4.5.66) феноменологически учесть затухание ядра путем введения обрезающего множителя ехр —( — )/Гу, , то стационарным решением кинетического уравнения все равно будет равновесное распределение (4.5.67). Далее, как мы уже отмечали, уравнение (4.5.80) для квазитемпературы является прямым следствием закона сохранения энергии и не зависит от конкретной формы интеграла столкновений. Поэтому любое изменение интеграла столкновений просто изменяет поведение квазитемпературы со временем. Можно сказать, что в изложенном подходе закон сохранения энергии выполняется принудительно , благодаря тому, что энергия системы рассматривается как независимая наблюдаемая. [c.327]

Следовательно, релятивистский интеграл энергии (П2.22) при О, Л 1 преобразуется в обычный интеграл энергии. Для релятивистского случая закон (П2.22) сохранения энергии Е = ХТ + U записывается как Е = Uq = onst. [c.437]

Рассмотрим движение некоторого индивидуального жидкого объе.ча т с поверхностью а. К такому объе.му, представляющему систему материальных жидких частиц, можно применять общие законы сохранения массы и энергии, теоремы об изменении количеств движения, моментов количесгв движения, кинетической энергии и др. При составлении выражений изменения со временем соответствующих величин приходится вычислять индивидуальную производную от объемного интеграла, представляющего эту величину. По предыдущему, индивидуальная производная может быть представлена как сумма локальной производной, учитывающей нестационарность поля дифференцируемой величины, и конвективной производной, характеризующей неоднородность поля. [c.136]

Заметим, что, как и система точечных вихрей [Гешев, Черных, 1983], система вихревых частиц в круге допускает интегралы движения, независящие от времени - инварианты. Во-первых, это сам гамильтониан Я,у (6.59), который соответствует кинетической энергии движения завихренной жидкости. Во-вторых, поскольку область движения жидкости - круг, то в силу инвариантности гамильтониана (6.59) относительно вращений существует интеграл движения, связанный с законом сохранения момента импульса [c.378]

Закон (2.45) сохранения полной энерпин точки дает один первЬш интеграл — интеграл энергии, который позволяет, не отыскивая решения уравнений движения, определять величину скорости как функцию положения точки. [c.73]

Полученная таким образом упрощенная система уравнений движения также обладает дв я квадратичными интегралами движения. Следует, однако, подчеркнуть, что если существование интеграла энергии является общим свойством всех гидродинамических систем, то наличие других инвариантов связано с их индивидуальными особенностями, которые уже не носят столь универсального характера и могут иметь различный физический смысл. В только что рассмотренном примере существование второго квад-ратнчного7 интеграла движения (2) оказывается прямым следствием двумерностн течения жидкости, тогда как трехмерное течение идеальной жидкости, вообще говоря, сопровождается лишь сохранением энергии. [c.40]

Функция ау, а с нею и сечение йа, определенное согласно (2,2), содержат в себе б-функционные множители, выражающие законы сохранения импульса и энергии, в силу которых переменные р1> Р"> р1 (при заданном р) в действительности не независимы. Но после того, как интеграл столкновений выражен в виде (3,9), можно считать, что эти б-функции уже устранены соответствующими интегрированиями тогда йа будет обычным сечением рассеяния, зависящим (при заданном Оот-н) только от угла рассеяния. [c.25]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...