Стационарные решения кинетических уравнений

Показать, что при наличии внешнего поля U г) стационарным решением кинетического уравнения Больцмана является функция распределения Максвелла — Больцмана. [c.240]

Существенно, что поскольку нас интересует свободное поперечное поле вне образца, то физический смысл имеет стационарное решение кинетического уравнения при г -> оо. Падающее поле задает начальное состояние при io- —оо. Заметим, что так как образец ограничен в пространстве, то это решение описывает не равновесное поле с температурой вещества, а ТИ. Иначе говоря, мы с помощью кинетического уравнения описываем нагрев термостатом — веществом другого термостата — электромагнитного вакуума. Бесконечная теплоемкость последнего предотвращает выравнивание температур. [c.131]

В инерционном интервале, который в спектральном к-пространстве расположен между областями источника и стока, стационарное решение кинетического уравнения — спектр слабой волновой турбулентности — определяется лишь интегралом столкновений, влияние же области источника и стока энергии можно учесть как граничные условия. Таким образом, задача о нахождении спектров турбулентности [c.436]

Стационарное решение кинетического уравнения при наличии электрического и магнитного полей и градиента температуры. [c.51]

Применение метода сферических гармоник при расчетах теплообмена излучением в диффузионном приближении. Эффективным средством решения уравнения переноса является метод сферических гармоник. Этот метод достаточно хорошо разработан в приложении к решению кинетического уравнения переноса нейтронов. Запишем уравнение переноса излучения в предположении, что процесс является стационарным и рассеянием можно пренебречь, излучение серое. Кроме того, предположим, что излучение находится в локальном термодинамическом равновесии и, следовательно, спонтанное испускание излучения зависит только от локальной температуры Т. Тогда [c.175]

Теперь мы хотим решить уравнение (4Б.8) и найти зависимость функции распределения /(р) от поля. Однако мы сталкиваемся с новой проблемой. Дело в том, что в изолированной электронно-примесной системе, находящейся во внешнем электрическом поле, не может установиться стационарное состояние из-за выделения джоулева тепла. В реальном кристалле энергия, получаемая электронами от поля, поглощается затем термостатом (атомами кристаллической решетки), но при выводе кинетического уравнения взаимодействие с термостатом не учитывалось. Поэтому физический смысл решения кинетического уравнения (4Б.8) и возможность его использования для вычисления проводимости вовсе не очевидны. Так как джоулево тепло пропорционально квадрату напряженности электрического поля, то фактически уравнение (4Б.8) применимо лишь для вычисления линейной реакции электронов на электрическое поле. [c.331]

Черемисин Ф. Г., Численное решение кинетического уравнения Больцмана для одномерных стационарных уравнений газа, Ж. вычисл. мат. и мат. физики, 10, № 3, 654—665 (1970). [c.434]

Заметим, что для ряда характеристик нет нужды в получении общего решения кинетического уравнения. В частности, для изучения плотности состояний Л (х, Т) при Т оо достаточно нахождения стационарного (при > оо) решения уравнения для Р(ф, I) с периодическими граничными условиями. Действительно, плотность состояний (9.17) можно представить с учетом (9.28) так [c.143]

Больцман сформулировал основное уравнение теории газов, носящее ныне название кинетического уравнения Больцмана. Он нашел ряд частных решений этого уравнения и доказал, что в стационарном случае единственным решением газокинетического уравнения является распределение Максвелла. Одновременно Больцман установил статистическую природу второго начала термодинамики и на этой основе в противовес возникшей тогда концепции тепловой смерти Вселенной выдвинул флуктуационную гипотезу, сыгравшую прогрессивную роль в общей борьбе за материалистическое мировоззрение. В настоящее время ясна ложность самой постановки вопроса о тепловой смерти Вселенной. [c.182]

Также в категориях кинетического уравнения в работе [75] аналитически решена стационарная задача о пространственном распределении молекулярной концентрации в концентрической системе объект — камера (радиусы Го и R, Го<сЯ) объект является источником испаряющихся частиц поверхность камеры сорбирует падающие на нее частицы с вероятностью р, причем непоглощенные частицы рассеиваются диффузно. Решение получено в виде [c.53]

Это уравнение есть основное кинетическое уравнение Паули для вероятности p n,t) и имеет форму скоростного уравнения. Оно может быть решено относительно p n,t), если известны все скорости переходов й/пт- в частном случае, когда система подчиняется принципу детального равновесия, получаем стационарное решение [c.62]

При доказательстве стационарности больцмановского распределения, так же как и при доказательстве Я-теоремы, Больцман исходит из выведенного им основного интегро-дифференциального уравнения для функции распределения, так называемого кинетического уравнения Больцмана. В ряде работ (1880—1883 гг.) он разрабатывает затем методы приближенного решения этого уравнения, выводит из него гидродинамические уравнения и т. д. Уравнение Больцмана является в настоящее время фундаментом всей кинетической теории газов. [c.12]

Для этого проведем линеаризацию исходной системы кинетических уравнений (1.2.2), рассматривая поведение ее решений вблизи стационарного состояния [c.27]

Если рассмотреть физически реальный случай столкновения двух взаимодействующих друг с другом частиц (при отсутствии внешних сил) и попытаться применить метод, аналогичный изложенному в гл. 10, 1, п. 1 для рассеяния одной частицы во внешнем поле, то мы сразу столкнемся с трудностями, которые типичны для всех случаев, когда имеется не одна, а несколько взаимодействующих частиц. Если имеется связанное состояние с энергией Есв в системе отсчета, связанной с центром масс, то оно будет проявляться в любой системе отсчета при всех энергиях Е, превышающих св, поскольку разность — Есв может быть просто равна кинетической энергии связанной системы. Из этого следует, что в стационарной теории, фиксируя полную энергию таким образом, чтобы она отличалась от Есв, теперь более невозможно считать связанные состояния безвредными , как в случае рассеяния одной частицы. Для всех энергий Е > Есв однородное уравнение Липпмана — Швингера теперь имеет решение и, следовательно, решение неоднородного уравнения определено неоднозначно. [c.261]

В дальнейшем проводились обширные теоретические исследования стационарной структуры волн химической детонации для различных моделей газов и конденсированных взрывчатых веществ с превращением последних в газ. В газах изучалась кинетическая модель детонации, в которой волна детонации представляет собой ударную волну, сопровождаемую зоной химических реакций, идущих с конечной скоростью, в которой процессами переноса можно пренебречь. Оказалось, что в теоретически мыслимых случаях, в которых имеется решение для слабой детонации, это решение существует лишь при определенном значении скорости волны детонации, которое может рассматриваться как собственное число соответствующей краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. По этой причине решение для структуры слабых волн детонации получило название собственного решения. Нейманом, изучавшим кинетическую модель волны детонации еще в 1942 г., эти случаи детонации были названы патологическими. Соответствующая связь между скоростью волны и параметрами среды является в этих случаях дополнительным граничным условием на экзотермическом скачке типа слабой детонации. [c.121]

Остановимся кратко на некоторых попытках улучшить уравнение Левинсона. На первый взгляд источником проблем является незатухающая память в интеграле столкновений (4.5.14), благодаря которой скорость изменения одночастичной функции распределения в момент времени t зависит от всей предыстории процесса. Поскольку квазичастицы в реальных системах имеют характерное время жизни г ,, ядро в немарковском интеграле столкновений должно затухать за время t — t т . Качественно этот эффект можно учесть, вводя обрезающий множитель ехр — t — t )/т в интеграл столкновений Левинсона [94]. В численных расчетах было обнаружено, что решения улучшенного уравнения Левинсона ведут себя на больших временах более устойчиво (в частности, исчезают отрицательные значения /) и наблюдается переход к марковскому режиму, но, тем не менее, при t оо функция распределения не стремится к равновесной. Дело в том, что введение квазичастичного затухания в интеграл столкновений Левинсона нарушает закон сохранения энергии ). Поэтому с течением времени растут числа заполнения возбужденных состояний, т. е. происходит нефизический перегрев системы. Хаг и Баньян [93] предложили феноменологическое ядро в интеграле столкновений Левинсона для электрон-фононной системы, которое приводит к более разумному поведению функции распределения электронов в марковском пределе. Стационарное решение кинетического уравнения оказалось близким к распределению Ферми, однако точного равенства этих функций достигнуто не было. Впрочем, подбор модельных выражений для ядер в интеграле столкновений Левинсона нельзя рассматривать всерьез как преодоление трудностей немарковской кинетики. Можно показать, что любое улучшение уравнения Левинсона в этом направлении ведет к нарушению закона сохранения энергии, причем стационарное решение не совпадает [c.313]

Заметим, что в изложенном подходе введение квазичастичного затухания не изменяет равновесного решения кинетического уравнения, т. е. не приводит к нефизическому перегреву системы, и, кроме того, не нарушает закона сохранения энергии. В самом деле, если в интеграле столкновений (4.5.66) феноменологически учесть затухание ядра путем введения обрезающего множителя ехр —( — )/Гу, , то стационарным решением кинетического уравнения все равно будет равновесное распределение (4.5.67). Далее, как мы уже отмечали, уравнение (4.5.80) для квазитемпературы является прямым следствием закона сохранения энергии и не зависит от конкретной формы интеграла столкновений. Поэтому любое изменение интеграла столкновений просто изменяет поведение квазитемпературы со временем. Можно сказать, что в изложенном подходе закон сохранения энергии выполняется принудительно , благодаря тому, что энергия системы рассматривается как независимая наблюдаемая. [c.327]

ЯВЛЯЮТСЯ стационарными решениями кинетического уравнения с интегралом столкновений Улинга-Уленбека (4.1.86). [c.335]

Стационарные решения кинетических уравнений. При поиске общих решений нелинейных дифференциальных уравнений важную роль играют так называемые стационарные, или установившиеся, решения, не зависяише от времени. Для этого частного случая имеем = О, [c.16]

Эту трудность, однако, можно преодолеть в общем виде в случае бесстолкновительной плазмы. Заметим, что именно для бесстолкновительной плазмы задача о флуктуациях в стационарном неравновесном состоянии ставится в особенности естественным образом, поскольку в такой плазме в отсутствие внешнего поля любые функции распределения (р), зависящие только от импульсов частиц, являются стационарным решением кинетического уравнения. Коррелятор флуктуаций относительно такого распределения, как и в равновесном случае, будет зависеть от координат двух точек и от двух моментов времени только через разности т = ту—и 1 = 1 —Бесстолкновительность плазмы означает при этом, что рассматриваются времена малые по сравнению с 1/г, где V—эффективная частота столкновений. Излагаемый ниже метод применим именно в этих условиях бесстолкновительность используется в нем с самого начала. Он основан на непосредственном усреднении произведений точных флуктуирующих функций распределения [c.255]

Найдем стационарное решение кинетического уравнения, отвечающее непрерывно происходящему процессу фазового перехода. В таком решении s = onst это постоянное значение потока (направленного в сторону увеличения размеров) как раз дает число зародышей, проходящих (в 1 с в I см среды) через критическую область, т. е. определяет скорость процесса. [c.505]

Как уже отмечалось, интерес к немарковским кинетическим уравнениям возник в связи с началом активного исследования быстрых процессов в веществе иод действием мощного лазерного излучения. Тот факт, что уравнение Левинсона не нарушает закон сохранения полной энергии, явился приятной неожиданностью . Казалось, что включение эффектов памяти ведет лишь к техническим сложностям в решении кинетических уравнений и не создает каких-либо принципиальных проблем. Очень скоро, однако, численное решение кинетических уравнений типа уравнения Левинсона показало, что все они обладают серьезными дефектами [94]. Во-первых, в процессе решения возникали нефизические отрицательные значения одночастичной функции распределения. Оказалось также, что уравнение Левинсона не описывает релаксацию системы к равновесию после окончания действия внешнего поля и, вообще, в пределе больших времен его решение не стремится к какой-либо стационарной функции распределения. Формальные причины такого поведения решений уравнения Левинсона легко обнаружить. В отличие от интеграла столкновений Улинга-Уленбека (4.1.86), интеграл столкновений Левинсона (4.5.14) не обращается в нуль если в него подставить равновесные распределения Ферми или Бозе ). Иначе говоря, уравнение Левинсона не имеет равновесного решения Поэтому нет ничего удивительного в том, что уравнение Левинсона предсказывает нефизическое поведение системы на стадии релаксации после окончания действия поля. Впрочем, поскольку это кинетическое уравнение имеет внутренние дефекты, возникают сомнения и в его применимости к описанию стадии возбуждения системы полем. [c.313]

В статистич. теории в общем случае сред, состоящих из взаимодействующих частиц, Н. с. определяется зависящей от времени ф-цией распределения всех частиц по координатам и импульсам или соответствующим статистич. оператором. Однако такое определение Н. с. имеет слишком общий характер, обычно достаточно описывать Н. с. менее детально, на основе огрублённого иля т. и. сокращённого описания. Напр., для газа малой плотности достаточно знать одночастичную ф-цию распределения по координатам и импульсам любой из частиц, удовлетворяющую кинетическому уравнению Больцмана и полностью определяющую ср. значения длотностен энергий, импульса и числа частиц и их потоки. Для состояний, близких к равновесному, можно получить решение кинетич. ур-ния, зависящее от Т(х.1),. i x,t), и(х,1) и их градиентов и позволяющее вывести ур-ния переноса для газа. Однако ф-ция распределения по энергиям для частиц газа в стационарном Н. с. может сильно отличаться от равновесного распределения Максвелла. Напр., для электронов в полупроводниках в сильном электрич. поле, сообщающем электронам большую энергию, теряет смысл даже понятие темп-ры электронов, а ф-ция распределения отличается от максвелловской и сильно зависит от приложенного поля. [c.328]

В газовом разряде электроны могут получать энергию, ускоряясь в электрическом поле, и от возбужденных молекул при ударах второго рода. Эта энергия расходуется при упругих и неупругих столкновениях с атомами и молекулами. В зависимости от соотношения между направленным действием электрического поля и хаотизи-рующими движение упругими взаимодействиями могут установиться различные распределения скоростей электронов от строго направленного до совершенно хаотического. Распределение скоростей электронов можно найти, решая кинетическое уравнение. Однако из-за математических трудностей, связанных с необходимостью учета неупругих и кулоновских столкновений, это решение удается получить строго лишь в ряде простых частных случаев. Стационарное распределение скоростей электронов Ve получено лишь для случая постоянного слабого электрического поля Е при малой концентрации электронов. При = 0 распределение электронов является максвелловским с температурой и средней тепло- [c.79]

Начало наиболее перспективному на наш взгляд направлению исследований процессов диффузии вблизи 1фитических точек двойных жидких смесей положили работы 15-7]. Авторы этих работ рассматривали с единых теоретических позиций кинетические и равновесные свойства, и справедливо утвервдают, что наиболее полную информацию о равновесных и кинетических свойствах смеси вблизи критической точки может дать подход, основанный на первоначальном анализе уравнений потока и последующем поиске асимптотических стационарных решений. [c.99]

Получим теперь решение стационарного кинетического уравнения дод физически интересного случая, когда система помещена в электростатическое поле Е = (О, О, Е). Левая часть стационарного уравнения, рассмотренного в п.б), изме-, нится за счет восстановления члена (-dU/dr) (дР/др). Полагая заряд электрона qe = -е, имеем, учитывая структуру функции F, [c.339]

Задача 15. Рассчитать с помощью решения стационарного кинетического уравнения с релаксационным членом (см. гл. 5, 3) коэффициенты переноса, характеризующие плотноаи потока числа чааиц и потока энергии в приближении поаоянного времени свободного пробега г и поаоянной длины свободного пробега А. [c.378]

В силу условия (36,1) поле можно считать стационарным в течение времени его пролета электроном. С этой же точностью будет стационарной также и функция распределения электронов в поле. Как было указано в конце 27, решение беестолкнови-тельного кинетического уравнения зависит только от интегралов движения частицы для стационарного распределения это могут быть только те интегралы, которые не зависят явно от времени. [c.182]

Математическая модель и метод численного решения задачи. Сверхзвуковое по продольной координате течение в элементарном канале рассматривается в рамках стационарной осредненной параболизованной системы уравнений Навье-Стокса [10] для многокомпонентной среды в квазиламинарном приближении. Эта система получена из полной системы уравнений Навье-Стокса отбрасыванием членов, содержащих вторые производные по продольной координате. Возможность использования такого приближения для расчета сверхзвуковых струйных течений была продемонстрирована ранее [11, 12. Для замыкания задачи используется однопараметрическая дифференциальная модель турбулентной вязкости [13, 14]. Эти уравнения решаются совместно с уравнениями химической кинетики. Кинетическая схема включает 30 реакций для восьми компонент Н2, О2, Н, ОН, [c.339]

Конечно, мы чисто интуитивно полагаем, что предельное при t +оо решение, следующее из уравнения Больцмана, соответствует описанию термодинамически равновесного состояния системы. В задаче 32 показано, что цепочка уравнений для кинетических функций распределения в стационарном случае dFJdt = О содержит в себе цепочку уравнений для равновесных функций F,, О построенных на основе распределения Гиббса, т. е. Рис. 200. Характер эволюции равновесные функции F, удовлетворяют цепочке Pf-функции Больцмана [c.323]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...