Гамильтона относительности

Это свойство следует из инвариантности невозмущенной функции Гамильтона относительно временного сдвига (по фазовой траектории) и теоремы Лиувилля. [c.166]

В заключение отметим, что коэффициенты С ц в (154) и коэффициент Ср в (157) являются инвариантами функции Гамильтона относительно канонических преобразований [172], т. е. не зависят от способа нахождения нормальной формы. [c.226]

Это утверждение непосредственно вытекает из симметрии функции Гамильтона относительно спинов обеих частиц. В силу этой симметрии стационарные состояния могут быть либо симметричными, либо антисимметричными относительно спиновых координат. [c.34]

Инвариантность гамильтониана относительно вращения следует из того факта, что пространство изотропно. Гамильтониан не меняется при вращении молекулы вокруг любой оси, фиксированной в пространстве и проходящей через центр масс молекулы. Такая операция не меняет расстояния между частицами. Вследствие этого молекулярный гамильтониан инвариантен относительно всех элементов пространственной трехмерной группы вращений К, введенной в гл. 3. [c.102]

В приведенном выше обсуждении инвариантности гамильтониана относительно операций трансляции и вращения мы использовали так называемое активное представление, в котором операции интерпретируются как трансляции или вращения всей молекулы относительно системы осей, фиксированной в пространстве. Действие этих операций на гамильтониан в точности дублируется, если мы сохраняем молекулу фиксированной и транслируем или вращаем пространственно-фиксированные оси относительно молекулярно-фиксированных осей. Этот последний подход к интерпретации операций называется пассивным представлением и дает более ясное понимание инвариантности гамильтониана. Например, вместо перемещения всех частиц молекулы на вектор А, так что их пространственные положения перейдут из Rr в Rr + А, можно переместить оси на вектор —А при этом в [c.102]

Из приведенных выше результатов следует инвариантность молекулярного гамильтониана относительно элементов пяти групп От, К, Sn и Каждая из этих групп является точной группой симметрии О молекулярного гамильтониана. Поэтому полная группа симметрии О гамильтониана будет состоять из этих элементов и из всех возможных произведений элементов этих групп. Таким образом, G можно записать как прямое произведение этих групп [c.105]

Метод разделения переменных. Сущность метода состоит в приведении уравнения с частными производными к системе независимых уравнений с обыкновенными производными. Реализация этого метода возможна лишь при определенном выборе обобщенных координат, учитывающем симметрии гамильтониана относительно группы преобразований фазового пространства. Если определенная симметрия обнаружена, то в результате канонического преобразования можно получить первые интегралы (ра ха, Ра) = Oia- В случае ПОЛНОГО разделения переменных гамильтониан имеет вид (см. пример 25.5) [c.280]

Последовательными поворотами вокруг собственных осей тело повернули на угол 180° вокруг оси О01 и на угол 90° вокруг оси 002- Другое такое же тело из того же начального положения повернули на угол 90° вокруг оси О02 и на угол 180° вокруг оси О01. Пайти параметры Родрига-Гамильтона относительного положения тел. [c.43]

Случай Гесса во многом аналогичен случаю Лагранжа и связан с наличием у системы (3.1) циклической переменной (явная симметрия гамильтониана относительно вращений) на одном из уровней некоторого циклического интеграла. Для того чтобы показать это явно, запишем гамильтониан (3.1) в системе координат, для которой одна из осей Охз совпадет с осью, перпендикулярной круговому сечению эллипсоида (3.2) (см. рис. 57, гл. 2) [c.241]

При инверсии времени волновой вектор к переходит в вектор — к. Поэтому следствием инвариантности оператора Гамильтона относительно инверсии времени будет равенство энергий возбуждений, не зависящих от спина [c.31]

Этот ряд позволяет понять важность введения рассматриваемых величин Si. Благодаря симметрии гамильтониана относительно пространственных вращений S-матрица в представлении угловых моментов диагональна, что отражает сохранение этих величин в процессе рассеяния. Числа Si как раз и являются собственными значениями S-матрицы. Далее, в гл. 7, 2, п. 4 мы видели, что в силу сохранения потока, обусловленного эрмитовостью гамильтониана, S-матрица должна быть унитарной. Поэтому ее собственные значения по модулю должны быть равны единице [c.282]

Система уравнений (1.1) обладает, помимо энергии (1.2), первыми интегралами, связанными с инвариантностью гамильтониана относительно параллельных переносов и вращений системы координат (образующих группу движений плоскости (2)) [c.27]

Первый из них выражает закон сохранения энергии вихрей. Второй интеграл есть следствие инвариантности гамильтониана относительно сдвигов вдоль оси г и с точностью до множителя совпадает с импульсом течения жидкости, обусловленного наличием системы вихревых колец. Так как = О, то при М = 2 система (1.3) является интегрируемой по Лиу-виллю для всех значений параметров Г1 и Г2. Докажем теперь, что в случае трех вихревых колец задача уже не всегда будет интегрируемой. [c.370]

Инвариантность действия по Гамильтону относительно групп преобразований конфигурационного пространства тесно связана с законами сохранения— интегралами уравнений Лагранжа. Пусть у х) — векторное поле на М. Ему можно сопоставить дифференциальное уравнение [c.56]

В (5.36) величины Сгд. — константы, являющиеся инвариантами исходной функции Гамильтона относительно канонических преобразований. Процедура нахождения формы Wi и коэффициентов нормальной формы (5.36) весьма стандартна (см. преобразование Биркгофа в 1 главы 3), и потому мы здесь на ней не останавливаемся. Форму И 4 будем представлять в виде такой суммы [c.291]

Мы дадим другое доказательство результатов 10.06, основанное на простых принципах, и, кроме того, установим общую форму новой функции Гамильтона относительно С, и Р [c.215]

Таким образом, закон сохранения импульса получается из симметрии функции Гамильтона относительно пространственного сдвига. Поэтому в координатном пространстве все точки являются равноправными и ни одна точка не выделяется специально. Это свойство называется однородностью простран-ства. [c.85]

Закон сохранения энергии является следствием симметрии функции Гамильтона относительно временного сдвига. Поэтому ни один момент времени также- не выделяется специально, что соответствует однородности времени. [c.85]

Эти зеркальные отображения перестановочны со всеми вращениями. Поэтому каждая собственная функция должна при таких отображениях просто умножаться на постоянный множитель. (Можно также представить себе, что благодаря введению внешнего магнитного поля, вырождение, связанное с группой вращений, совершенно снимается без нарушения инвариантности функции Гамильтона относительно зеркальных отображений.) Двукратное зеркальное отображение даёт тождественное преобразование. Поэтому фактор е, определяемый равенством [c.179]

Покажем, что в силу инвариантности гамильтониана относительно преобразования д [c.56]

Следовательно, из инвариантности действия по Гамильтону относительно преобразования сдвига координат следует закон сохранения количества движения замкнутой системы. [c.293]

Физический маятник массы М вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси. Момент инерции маятника относительно этой оси равен /, расстояние от центра масс маятника до оси равно I. Составить дифференциальное уравнение Якоби — Гамильтона, найти его полный интеграл и первые интегралы движения маятника (нулевой уровень потенциальной энергии взять на уровне оси маятника). [c.376]

Вспомним теперь, что искомая производящая функция S является функцией q, q, t. Но если бы функция, удовлетворяющая уравнению (132), была бы найдена, то, как уже говорилось выше, q и р были бы константами. Поэтому интересующая нас функция S должна зависеть помимо п констант ai,. ... .., а (они входят вместо q ) лишь от старых координат q и от t. Теперь видно, что уравнение (132) является уравнением в частных производных относительно искомой функции S. Это уравнение в частных производных называют уравнением Гамильтона — коби. [c.323]

Зеркальная симметрия (С. относительно инверсии Р). Осуществляется в процессах, вызываемых сильными и эл.-магн. взаимодействиями, а также в системах, связанных с помощью этих взаимодействий (атомах, атомных ядрах, молекулах, кристаллах и т. д.). Наличие зеркальной С. означает, что для любого процесса, обусловленного сильным или ал.-магн. взаимодействием, с равной вероятностью могут осуществляться два зеркально-симметричных перехода. Это обусловливает, яапр., симметричность относительно плоскости, перпендикулярной спину, угл. распределения квантов, испускаемых поляризов. ядрами [поскольку вероятности вылета у-кванта под углами 9 и я — 9 к спину ядра одинаковы гс(0) = и (п — 9)]. Зеркально-симметричные состояния отличаются друг от друга противоположными направлениями скоростей (импульсов) частиц и электрич. полей и имеют одинаковые направления магн. полей и спинов частиц. С. гамильтониана относительно пространственной инверсии отвечает закон сохранения пространственной чётности системы. Пространственная чётность, подобно др. величинам, существование к-рых связано с дискретными С., не имеет аналога в классич. механике (т. к. в последней нет понятия относит, фазы между состояниями), однако она может служить характеристикой волновых движений (напр., в волноводах). [c.507]

Наличие зеркальной С. гамильтониана взаимодействий не исключает возможности существования физ. состояний, где такая С. нарушена. Примером могут служить изомерные молекулы, к-рые вращают плоскость поляризации света в противоположные стороны. Существование изомерии молекул явно нарушает зеркальную С. и представляет собой случай т. н. спонтанного нарушения симметрии. Общая С. гамильтониана относительно инверсий проявляется в том, что для любой, яапр. левовращающей, молекулы существует правовращающий изомер, представляющий собой зеркальное изображение первой. Формальное нарушение зеркальной С. связано, т. о., в этом случае с варож-дением осн. состояния и асимметрией физ. вакуума для света, распространяющегося в веществе из одних пра-вовращаюшцх или левовращдющнх молекул. [c.507]

Каждый из наборов этих операций составляет отдельную группу, а каждая группа симметрии гамильтониана представляет собой прямое произведение всех этих групп. При решении конкретных задач используют не все перечисленные группы. Группа (а) используется только в связи с Паули принципом, согласно к-рому волновая ф-ция электрона антисимметрична относительно любой перестановки электронов группа (б) отражает закон сохранения для полного угл. момента молекулы группа (в) для изолнров. молекулы несущественна, т. к, трансляции молекулы не влияют на волновые ф-ции, описывающие ввутр. состояние молекулы инвариантность гамильтониана относительно групп (г) и (д) показывает, что он может содержать только чётные степени угл. моментов и пространственных декартовых координат частиц. [c.515]

В том же смысле, какой мы вкладываем в инвариантность гамильтониана относительно любой перестановки электронов, он инвариантен относительно любой перестановки тождественных ядер. Эта операция состоит в перестановке номеров ядер у величин R, Р, I, Qab, Vab. Инвариапт1юсть Я относительно любой перестановки тождественных ядер доказана в гл. 5, инвариантность остальных членов в Й также легко доказывается. Это следует из неразличимости тождественных ядер. Таким образом, гамильтониан инвариантен относительно элементов полной группы перестановок ядер G > [см. определение (1.55)). [c.103]

Циклический вариант взаимосвязи симметрия — сохранение , заключающийся в том, что каждой обобщенной циклической координате отвечает некоторый.сохраняющийся обобщенный импульс, по существу говоря, был известен уже Лагранжу который и закон сохранения энергии связывал с цикличностью временной координаты В 70—80-х годах XIX в. эта идея Лагранжа была существенно развита и применена к анализу не только механических, но и физических систем в работах Рауса (1877 г.), Гельмгольца, В. Томсона и Тэта, Дж. Дж. Томсона и др. (1879—1888 гг.). Разработанная на основе метода циклических координат (называемых также игнорируемыми , отсутствующими , киностеническими , скоростными и т. д.) теория скрытых движений позволяла механически интерпретировать лагранжианы, имеющие значение в теории теплоты и электродинамике. Вместе с тем упомянутые исследователи не обращали достаточного внимания на, так сказать, нетеровский аспект метода циклических координат. Ведь циклический характер некоторой координаты означает, что движение системы, как целого, соответствующее этой координате, никак не сказывается на свойствах системы. А это эквивалентно инвариантности (или симметрии) системы (ее лагранжиана или гамильтониана) относительно преобразования, характеризующего циклическое движение. Таким образом, устанавливается непосредственная связь между симметриями типа однородности и изотропности пространства с законами сохранения типа импульса. Характер циклической координаты (трансляционный иди вращательный) [c.236]

Инвариантность функции Гамильтона относительно инверсии в классической механике не приводит к новым законам сохранения. Инвариантность гамильтониана в нерелятивистской квантовой механике по отношению к инверсии, означаюш ая коммутативность операторов Я и Р, приводит к закону сохранения четности. Имеется в виду, что четность состояния замкнутой системы не изменяется со временем. Обратим внимание на то, что с операт ом инверсии Р коммутативен также оператор углового момента М = — г/г(г х V), т.к. при инверсии знаки у г и V изменяются одновременно, т.е. система имеет определенную четность вместе с вполне определенным значением М. [c.472]

НИИ по окружности, называемой ларморовской, и дрейфа этой окружности (рис. 50). Гамильтонова система, описывающая это движение, имеет три степени свободы. Из-за инвариантности гамильтониана относительно сдвига вдоль поля и поворота вокруг направления поля число степеней свободы понижается до единицы. Все траектории приведенной системы периодичны, ее переменная действие — магнитный момент 1=уЛ 2В), где Ух — перпендикулярная полю составляющая скорости частицы, В — напряженность поля . Если теперь поле плавно неоднородно (мало меняется на длине ларморовского радиуса), то магнитный момент является адиабатическим инвариантом [1801. Теория движения в плавно неоднородном поле описана в [180] без использования гамильтоновского формализма гамильтонова теория построена в [1531,(166]. [c.218]

В (8.14) величины zmi г, zm.j и а являются инвариантами функ-Щ1И Гамильтона относительно канонических преобразований, а [c.225]

Соответственно этому закон сохранения момента импульса вытекает из симметрии функции Гамильтона относительно пространственного поворота. Это свойство называется зо тропностью пространства. [c.86]

При любых перестановках частиц. Если частицы имеют спин, то спиновые координаты s , должны при этом переставляться одновременно с пространственными координатами Xrf (f = l, 2, 3). Если оператор Гамильтона содержит только пространственные координаты, то, конечно, инвариантность относительно одних пространственных координат уже существует, и если зависящая от спина часть функции Гамильтона относительно мала, то такая инвариантность осуществляется приближённо. К этому обстоятельству мы вернёмся позже сначала мы рассмотрим одновременную перестановку спиновых и пространственных переменных, по отношению к которой осуществляется / очная инвариантность. Итак, пусть Р— перестановка N чисел I, 2,. .г,. .N, нумерующих N одинаковых частиц тогда из каждой собственной функции фСХц,. ... Хт> Sis,. ... Sms, t), применяя перестановку Р, мы получим новую собственную функцию, которая принадлежит к тому же самому наблюдаемому состоянию [c.187]

В квантовой механике эрмитовы матрицы или операторы сопоставляются физическим величинам, а соотношение коммутации (10.18а) означает, что соответствующая физическая величина является интегралом двйжения. Таким образом, законы сохранения в квантовой механике можно рассматривать как следствие симметрии гамильтониана относительно некоторой непрерывной хрушш преобразований. [c.123]

Положение оси симметрии г волчка, движущегося относительно неподвижной точки О под действием силы тяжесги, определяется углами Эйлера, углом прецессии ф и углом нутации 0. Составить функцию Гамильтона для углов ф, 0 и ф (угол собственного вращения) и соответствующих импульсов, если т — масса волчка, I — расстояние от его центра масс до точки О, С — момент инерции отно-с1.1те.льно оси 2, А — момент инерции относительно любой оси, лежащей в экваториальной плоскости, проходящей через точку О. [c.375]

Записанный так интегральный инвариант Пуанкаре — Картана для консервативных систем отличается от интегрального И11ва-рианта в общем случае движения в потенциальном поле в трех отношениях во-первых, суммирование в первом члене ведется не от единицы до л, а от двух до п во-вторых, вместо гамильтониана Я в этом выражении стоит функция К, которая получилась, когда интеграл энергии (136) был разрешен относительно импульса Pi (см. выражение (138)) в-третьнх, роль t играет теперь <7i. Таким образом, воспользовавшись тем, что для консервативных и обобщенно консервативных систем гамильтониан не зависит явно от времени, мы исключили время из выражения интегрального инварианта Пуанкаре — Картана. Теперь совершенно так же, как в общих случаях движения систем в потенциальном поле из интегрального инварианта Пуанкаре — Картана следуют канонические уравнения Гамильтона, для консервативных и обобщенно консервативных систем из интегрального инварианта (139) следуют уравнения [c.328]

Данное пособие состоит из двух глав и приложения. В первой главе изложены методики, приведены примеры и программы получения с помощью системы аналитических вычислений REDU E, а также численных методов основных уравнений аналитической динамики (уравнений Лагранжа, Гамильтона, Рауса и др.). Рассмотрена задача вывода уравнений Эйлера - Лагранжа с использованием общих теорем динамики, а также уравнений относительного движения в обобщенных координатах. [c.3]

Рассмотрим задачу о приведении к нормальной форме (2.93) гамильтониана //j в разложении функции Гамильтона (2.44), описывающей возмущенное движение динамически симметричного спутника относительно центра масс в окрестности цилиндрической прецессии. Предполагается, что значения параметров задачи а, /J принадлежат об/щстям /, //устойчивости цилиндрической прецессии (см. рис. 15). Из рассмотрения исключается единственная точка a — 1, = 2 области /, в которой [c.126]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...