Теория Больцмана

Больцман дал статистическое толкование второго закона и отметил пределы его применимости. Кратко теорию Больцмана можно изложить следующим образом. [c.128]

Теория Больцмана является наиболее общей из линейных теорий деформирования вязкоупругих сред. На интегральные связи [c.297]

Для построения условий, обеспечивающих заданные нормалями перемещения и перегрузки защищаемого объекта, модель виброзащитного устройства наделяется вязкоупругими свойствами, при которых связь между усилиями Рх (I) и перемещениями Ux (i) принимается в форме наследственной теории Больцмана — Вольте р ра [c.253]

Хотя прогресс, достигнутый благодаря использованию предложенного Больцманом подхода, поразителен, остается немало и нерешенных вопросов [13]. Во-первых, мы сталкиваемся с чисто практическими трудностями, возникающими, например, при желании использовать выведенные Больцманом уравнения для решения более общих задач (например, возникающих при изучении поведения газов большой плотности). За последние несколько лет кинетическая теория достигла выдающихся успехов. Тем не менее если мы внимательно проанализируем публикации, посвященные современной кинетической теории газов или статистической механики неравновесных систем, то не найдем в них ничего, что было бы похоже па, У/ -теорему Больцмана, хотя эта теорема остается справедливой для более общих случаев. Результат, полученный Больцманом, остался изолированным, что противоречит той общности, которую мы приписываем второму закону термодинамики. [c.145]

Кинетическое уравнение, выведенное Больцманом в 1872 г., оказалось столь успешным и сыграло столь важную роль имении потому, что из него вытекала возможность определения энтропии, а также следовало, что энтропия обладает свойством (12.2.2). Таким образом, теория Больцмана исторически была первой теорией, объясняющей необратимость на ( почти ) механическом уровне. Теорема Больцмана известна также под названием Н-тео-ремы такое название объясняется тем, что Больцман использовал букву И для обозначения величины [—7 (х f)b [c.55]

С помощью кинетического уравнения (3.1.44) можно доказать знаменитую Н-теорему Больцмана о возрастании энтропии (2.2.35) (см. задачу 3.5). [c.174]

Уравнение (3.3.74) представляет собой обобщение кинетического уравнения, предложенного в 1922 году Энскогом, который исходил из интуитивных физических аргументов. Идея Энскога очень проста. Как и в теории Больцмана для разреженных газов, микроскопическая динамика твердых сфер определяется парными столкновениями. Вследствие конечности размеров твердых сфер столкновения между ними являются нелокальными , в связи с чем в интеграле столкновений пространственные аргументы одночастичных функций распределения должны быть разнесены на расстояние, равное диаметру твердых сфер а. И, наконец, вероятность столкновения в плотных газах возрастает, благодаря эффектам исключенного объема . Для учета этих эффектов Энског ввел в интеграл столкновений дополнительный множитель. Его явную форму Энског выбрал, исходя из термодинамических соображений. Можно показать [138], что множитель Энскога близок к значению равновесной функции G2 (r ,r2) при г — Г2 = а. Это согласуется со структурой интеграла столкновений в уравнении (3.3.74), если состояние системы мало отличается от равновесного. Мы видели, однако, что в общем случае в интеграл столкновений Энскога входит квазиравновесная функция (3.3.70). [c.215]

По теории Больцмана, внутренняя энергия газа определенным, образом распределена между степенями свободы газа. При не слишком низких температурах на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится 1/2 кТ к—постоянная Больцмана), на каждую колебательную степень свободы кТ. [c.380]

Ограниченный объем книги и в еще большей степени ограниченные возможности автора не позволили изложить кинетическую теорию газов во всей ее полноте. В частности, поэтому книгу следует рассматривать как введение в кинетическую теорию газов. Естественно, что на книгу наложили отпечаток те результаты, которые стремился получить в построении кинетической теории еще до написания этой книги ее автор. Все это может быть причиной отнюдь не полного удовлетворения читателя. Однако я все же стремился отразить в этой книге ту характерную тенденцию современной кинетической теории вообще и кинетической теории газов в частности, которая проявляется в непрестанном совершенствовании и развитии, и переходе от изучения явлений, описываемых кинетической теорией Больцмана, к изучению явлений, требующих построения новой кинетической теории. Именно эта тенденция привлекает к современной кинетической теории исследователей, прилагающих усилия для ее развития, и, как мне хотелось бы, привлечет некоторых из тех, кто прочитает эту книгу. [c.8]

Из уравнения (5.3) можно вывести знаменитую Я-теорему Больцмана если через границу нет микроскопического потока величины Н или если граница действует как отрицательный источник величины Я, то Н со временем никогда не растет и остается постоянной, только когда функция распределения — максвелловская. [c.69]

Линейная наследственная теория, предложенная Больцманом, развита Вольтерром. Им предложены нелинейные интегральные соотношения, обобщающие уравнения Больцмана. Поэтому часто данная теория называется теорией Больцмана — Вольтерра. Для [c.333]

Полученную в 6.7 Я-теорему Больцмана для однокомпонентного газа легко обобщить на случай многокомпонентных газов. Определение (6.44) функции Я теперь заменяется выражением [c.281]

В теории Больцмана, как и в теории упругости, часто достигают дальнейшего упрощения ценой допущения, что ] Р — 11 или какая-нибудь другая мера величины тензора Р — 1 в некотором смысле мала. Приближения такого рода облегчают решение конкретных задач, но при построении общей теории они не столько помогают, сколько вносят путаницу. [c.161]

В отличие от теор 1и материалов дифференциального типа степени п теория Больцмана не может служить в качестве примера теории, пригодной при общих деформациях, поскольку она не является не зависящей от системы отсчета. Подобно линейной теории упругости бесконечно малых деформаций, теория Больцмана представляет собой лишь приближенную теорию. Линейная теория упругости служит общим первым приближением для бесконечного множества различных достаточно гладких теорий конечных упругих деформаций. В этом смысле теория Больцмана есть обобщение теории упругости, поскольку она представляет собой общее первое приближение для бесконечного множества различных достаточно гладких теорий материалов с памятью при бесконечно малых деформациях. [c.395]

Задача 60. Доказать iPf -теорему Больцмана на основе кинетического уравнения Паули (уравнения кинетического баланса). [c.436]

Работы Максвелла и Больцмана составили один из наиболее важных этапов в понимании тепловых величин. С тех пор стало возможным определять температуру либо через макроскопические термодинамические величины, такие, как теплота и работа, либо (с равным основанием и тождественными результатами) как величину, которая характеризует распределение энергии между частицами системы. Однако ограничение кинетической теории Максвелла и Больцмана заключалось в том, что она применима только к системам невзаимодействующих частиц, т. е. исключительно к идеальным газам, а на практике — к реальным газам в пределе низких давлений или высоких температур. [c.20]

Стоксово и антистоксово излучение с точки зрения квантовой теории. Для объяснения закономерностей стоксова и антистоксова излучений рассмотрим три электронных уровня атома Ei, и 3. При термодинамическом равновесии атомы распределены по энергетическим уровням согласно закону Больцмана [c.364]

Полученное соотношение (7.61) позволило Больцману пойти дальше и трактовать функцию —кН как энтропию 5 не только равновесного, но и неравновесного газа, а Я-теорему Больцма на — как статистическое обоснование второго начала термодинамики для неравновесных процессов. Такая интерпретация Я-тео-ремы вызвала возражения И. Лошмидта (1876) и ученика М. Планка Э. Цермело (1896). [c.122]

Именно такой ее считали Лошмидт и Цермело, выступавшие с возражениями против кинетической теории Больцмана. [c.125]

Даже Планк — активный противник Маха и Оствальда— не разделял и взглядов Больцмана Это имело свою основу, — говорил он позже, — так как я в го время приписывал принципу возрастания энтропии такое же абсолютное значение, как и закону сохранения энергии . И это тот самый Планк, который с горечью писал в своей научной автобиографии, что никогда в жизни ему не удавалось доказать что-либо новое, как бы строго ни было это доказательство Только в 1900 году он изменил свои взгляды и присоединился к теории Больцмана. Тогда он и придал статистическому выражению энтропии известную теперь форму 5 = / lnW, где к — постоянная Больцмана, а W — термодинамическая вероятность. (число микросостояний — расположение частиц, их скорости, энергия, — с помощью которых может быть осуществлено данное макросостояние системы, характеризующееся давлением, температурой и т. д.). [c.166]

Независимо от Больцмана и Максвелла развернутую и законченную систему статистической механики газов— статистической термодинамики создал скромный преподаватель йельского университета в США Джо-зайя Уиллард Гиббс. По цельности, глубине и охвату она превосходила теорию Больцмана, но утверждала те же идеи. [c.167]

Вся его бедная событиями жизнь прошла в стенах Йеля, где оя и умер в 1903 г., не добившись признания даже среди студентов и коллег. За год до смерти вышла отдельной книжкой его работа, но она не повлияла на ход борьбы, разыгравшейся вокруг теории Больцмана,— из-за сложности математического аппарата ее мало кто понял. Когда же книга были издана к 100-летию со дня рождения Гиббса, ее пришлось сопроводить комментариями в двух томах на 1700 страницах Только в наше время этот труд начинает находить своего читателя. Уиллард Гиббс, один из величайших американских ученых, фактически создал новую научную дисциплину, лежащую в промежуточной области между физикой и математикой , — сказал о чем Норберт Винер, его соотечественник и отец кибернетики . [c.167]

Чтобы при помощи преобраловапия Л получить функцию Ляпунова (уравнение (36)), необходимо тщательно исследовать сингулярности резольвенты, соответствующей оператору Лиувилля (21). Можно показать, как это недавно сделали Теодосопулу и др. [24], что при небольших отклонениях от термодинамического равновесия функционал Ляпунова И (уравнение (36)) сводится к макроскопической величине S" S (уравнение (9)). Кроме того, при этом во времени эволюционируют только величины, удовлетворяющие закону сохранения. Это означает, что нам удалось в самой общей форме, по крайней мере для онзагеров-ской области, установить взаимосвязь между термодинамикой необратимых процессов и статистической механикой. Следует подчеркнуть, что, по существу, это означает дальнейшее расширение применимости результатов, давно полученных в рамках теории Больцмана, справедливой для разреженных газов (25). [c.152]

В классической теории Больцмана этот недостаток теории формально по предложению Дж. В. Гиббса исправлялся следуюшим образом. Предлагалось состояния газа, отличаюшиеся друг от друга [c.187]

Второе допущение состоит в том, что параметр плотности п = пг много меньше единицы или, другими словами, что радиус взаимодействия много меньше среднего расстояния между частицами. Благодаря этому допущению оказалось возможным оборвать цепочку ББГКИ на уровне двухчастичной функции распределения, пренебрегая тройными столкновениями. Приближенная форма (3.1.25) двухчастичной функции распределения в теории Больцмана содержит оператор 5 оо(12), который описывает мгновенные столкновения двух частиц. Это приводит к тому, что интеграл столкновений Больцмана обеспечивает сохранение локальной кинетической энергии, в то время как в плотных системах должна сохраняться полная энергия. [c.174]

Цермело в своей критике теории Больцмана особенно подчеркивал необходимость доказательства сохранения вероятностных предположений во времени, точнее говоря, доказательства того, что вероятностные предположения без противоречия могут быть отнесены ко всем моментам времени. Главным образом он имел в виду предположение о числе соударений ( гипотезу молекулярного беспорядка ). [c.83]

П. П. Кобеко, Е. В. Кувшинский и Г. И. Гуревич (1937) впервые предложили релаксационную теорию деформации полимеров, а В. А. Картин и Г. Л. Слонимский (1941, 1948, 1960), исходя из общей теории Больцмана — Вольтерра и представлений о молекулярном строении полимеров, разработали математическую теорию трех деформационных состояний (стеклообразное, высокоэластичное и вязкотекучее), имеющих место при малых напряжениях. При больших напряжениях возникает ряд интересных особенностей, например ориентированная структура при растяжении твердых полимеров, влияющая на прочность и разрушение и резко упрочняющая материал. [c.427]

С использованием шкалы модифицированного времени определяющее дифференциальное уравнение (1.58) можно представить в интегральной форме [271, позволяющей сравнить его с такими известными уравнениями ползучести наследственного типа, как теории Больцмана и Шепери [242 , основанными на использовании шкалы модифицированного времени. [c.80]

Сейчас, знакомясь с ответами Больцмана, можно лишь удивляться тому, насколько глубоко он уже в то время представлял основные принципы созданной им кинетической теории. К сожалению, в силу чисто объективных причин еще не существовала возможность создать достаточно четкую и строгую схему описания статистических явлений. Теория Больцмана подвергалась жестокой критике и постоянным нападкам, что, как иногда считают, послужило одной из причин его трагической гибели. В предисловии ко второму тому своих Лекций по кинетической теории газов (1904 г.) Больцман писал (см. Ансельм А. И. Основы статистической физики и термодинамики.—М. Наука, 1973) [c.36]

Теореме Пуанкаре суждено было сыграть особую роль в развитии стохастической теории. Эта теорема легла в основу парадокса Цермело (он будет рассмотрен нпже), который явился одной из причин (как будет видно далее — необоснованной) критического отношения к кинетической теории Больцмана. [c.40]

Введение. В глаье 1 мы видели, что при понижении температуры удельная теплоёмкость почти всех простых твёрдых тел монотонно убывает, стремясь к нулю при приближении температуры к абсолютному нулю. Классическая теория не объясняла этот факт сколько-нибудь удовлетворительно. Качественное объяснение его Эйнштейном ) на основе квантовой теории явилось одним из первых успехов этой теории. Эйнштейн считал (что делалось и до него), что простой кристалл может рассматриваться как совокупность атомных осцилляторов эти осцилляторы колеблются с одной и той же собственной частотой. Кроме того, он предположил, что разрешённые энергетические уровни этих осцилляторов являются целыми кратными Ау, где V — частота колебаний, а А — постоянная Планка. В классической механике энергетический спектр принимался непрерывным, что вместе с классической статистической механикой приводило при всех температурах к закону Дюлонга и Пти. Применяя теорему Больцмана к постулированной совокупности квантовых осцилляторов, Эйнштейн нашёл, что качественно можно объяснить наблюдаемое спадание удельной теплоёмкости. [c.113]

При бесконечно малых деформациях. Теория Больцмана, предназначенная для учета начальных напряжений в соответствии с (ХП1.8-5), служит общим первым приближением определяющих уравнений для всех материалов с затухающей памятью Колемана — Нолла первого порядка, подверженных деформациям, которые малы сейчас и всегда были достаточно малы. [c.396]

Флитнер [70] обратил внимание на удивительный результат теории переноса Грина и др. [33] для случая эффекта поля в полупроводниках, заключающийся в том, что и- имеет иикообраз-ную зависимость от изгиба зон А . Более тщательное рассмотрение теории [71] показало, что пик является неизбежным следствием теории Больцмана—Фукса в нелокальном случае //< >1, когда с =0. За одним возможным исключением ), пик никогда не наблюдался, даже когда lid превышало 2 (последнее реализовалось в случае поверхности InSb, исследованной Дэвисом [73]). В этом случае было усмотрено [62] явное противоречие между экспериментом и теорией Больцмана—Фукса. Работа Обри й др. на висмуте предлагала, однако, выход из положения — переработку теории явлений переноса на поверхности с учетом угловой зависимости параметра Фукса. Когда это было сделано [67], было найдено, что существование пика определяется зависимостью (0), а именно пик предсказывается тогда и только тогда, когда = 0 для электронов, падающих касательно к поверхности. [c.115]

Систему уравнений для вывода критериальных зависимостей исследуемого класса дисперсных теплоносителей получим, используя предложенную выше модель гетерогенной элементарной ячейки. Этот подход, по-види-мому, связан с минимальными физическими погрешностями, что существенно для теории подобия. Возникающая при этом математическая некорректность вывода соответствующих дифференциальных уравнений связана с тем, что к рассматриваемому молю гетерогенной системы в силу конечности его размеров и дискретности его 1компонентов неприменимы точные математические методы. Мож но полагать, что для дисперсных систем в принципе невозможно получить полностью корректную (одновременно с физической и формально-математической точек зрения) систему дифференциальных уравнений пока не будут предложены соответствующие функции распределения, аналогичные функциям Максвелла и Больцмана для газа. Поэтому в дальнейшем воспользуемся приближенным методом конечных разностей, дополнительно учитывая следующее [c.33]

Со времени зарождения квантовой теории излучения черного тела вопрос о том, насколько хорощо уравнения Планка и Стефана — Больцмана описывают плотность энергии внутри реальных, конечных полостей, имеющих полуотражающие стенки, был предметом неоднократных обсуждений. Больщин-ство из них имели место в первые два десятилетия нащего века, однако вопрос закрыт полностью не был, и в последние годы интерес к этой и некоторым другим родственным проблемам возродился. Среди причин возрождения интереса к этому старейшему предмету современной физики можно назвать развитие квантовой оптики, теории частичной когерентности и ее применение к изучению статистических свойств излучения недостаточное понимание процессов теплообмена излучением между близкорасположенными телами при низких температурах и проблему эталонов далекого инфракрасного излучения, для которого длина волны не может считаться малой, а также ряд теоретических проблем, относящихся к статистической механике конечных систем. Хорошим введением к современному обзору в этой области являются работы [2, 3, 5]. Еще в 1911 г. Вейль показал, что требованием о том, чтобы полость являлась прямоугольным параллелепипедом, можно пренебречь при условии, что (У /с)- оо. Он показал также, что в пределе больших объемов или высоких температур число Джинса справедливо для полости любой формы. Позднее на основании результатов работы Вейля были получены асимптотические приближения, где Do(v) являлся просто первым членом ряда, полная сумма которого 0 ) представляла собой среднюю плотность мод. Современные вычисления величины 0 ) [2, 4] с использованием численных методов суммирования первых 10 стоячих волн в полостях простой формы показали, что прежние асим- [c.315]

Для выполнения расчетов процессов переноса на основе кинетической теории (уравнение переноса Больцмана) [588] требуются данные о молекулярном взаимодействии, которые значительно усложняют расчеты для некоторых газов [342] и неизвестны для большинства жидкостей [229]. Введением соответствующих феноменологических соотношений в механике сплошной среды [686] удается эффективно заменить фазовое пространство (координаты положения и количества движения) уравнения переноса Больцмана конфигурационным пространством (координаты положения) и свойствами переноса пос.ледние могут быть определены экспериментально. Это составляет основу второго из указанных выше методов исследования, который сравнительно недавно используется при изучении многофазных систем. [c.16]

Закон Планка. Закон Стефана — Больцмана дает величину суммарного излучения абсолютно черного тела. Большое значение в теории теплового излучения имеет спектральное (монохроматическое) распределение энергии излучения абсслютно черного тела. Исходя из [c.15]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...