Интеграл сохранения энергии

Интеграл сохранения энергии [c.464]

Эти уравнения имеют первый интеграл — интеграл сохранения энергии, обладающий всеми свойствами интеграла Н теоремы Ляпунова. Отсюда следует, что уравнение (13.38) обладает периодическим решением, разлагающимся по степеням достаточно [c.547]

С учетом свойств аддитивности поверхностного интеграла и принятых частей контрольной поверхности уравнение сохранения энергии может быть записано в виде [122] [c.204]

В тех случаях, когда система не консервативна, но имеет место равенство (24) i), формула (25) устанавливает интеграл уравнений движения, подобный интегралу энергии в натуральных консервативных системах. Поэтому при выполнении условия (24) гамильтониан называется обобщенной энергией, а утверждение (25) — обобщенным законом сохранения энергии. Системы, удовлетворяющие условию (24), далее называются обобщенно консервативными системами. [c.265]

Изменение, теорема об изменении, приращение, дифференциал, (обобщённый) интеграл, сохранение, закон сохранения, величина, потеря, производная, вычисление, единица, минимум, определение, постоянная интеграла, диссипация, константа. .. энергии. Выражение, формула. .. для энергии. [c.29]

Кроме трех классических интегралов интеграла сохранения кинетического момента относительно оси Oz, интеграла энергии и тривиального интеграла (III. 17), легко найти четвертый интеграл уравнений движения. [c.428]

Уравнение (9.12) представляет собой общин интеграл уравнений движения идеальной жидкости, выражающий закон сохранения энергии. Это ясно из самого вывода этого уравнения кроме того, в этом можно убедиться и из сопоставления его с уравнением (2.8) первого начала термодинамики. Приращение кинетической энергии жидкости есть располагаемая полезная внешняя работа, которая может быть произведена потоком жидкости над внешним объектом работы согласно уравнению (2.8) полезная внешняя работа равняется убыли энтальпии, что и заключено в уравнении (9.12). Из этого ясно, что уравнение (9.12) справедливо и для теплоизолированного течения с трением, однако только для средних (например, усредненных по сечению канала) значений удельной кинетической энергии и энтальпии, а не иР . [c.290]

Уравнение (4.31) представляет собой общий интеграл уравнений движения удельной жидкости, выражающий закон сохранения энергии. Это ясно из самого вывода уравнения кроме того, в этом можно убедиться из сопоставления его с уравнением (1.31) первого начала термодинамики. [c.311]

Уравнения (14.47) — (14.49) в определенном смысле эквивалентны уравнениям системы (14.45), поскольку они выражают те же законы сохранения энергии — (14.49), импульса— (14.48) и массы—(14.47). Уравнения (14.48) и (14.49) —интегральные уравнения, так как неизвестные Юх а входят под знак интеграла. Для расчетной практики важнейшим свойством этих двух уравнений является удобство их использования при приближенном расчете. Действительно, подставив под знак интеграла приближенные выражения для профилей скорости и температуры и вычислив интегралы в пределах толщин пограничного слоя 6 и б(, можно получить расчетные формулы для теплового потока и трения на стенке. Приближенные выражения для профилей температуры и скорости выбирают в виде полиномов (в этом случае интегралы легко вычисляются), коэффициенты которых определяются граничными условиями. [c.351]

Существует еще один первый интеграл, а именно интеграл энергии (так как система консервативна). На основании общей теоремы о сохранении энергии мы можем непосредственно установить, что постоянной движения является величина [c.76]

Якоби раскритиковал рассуждения Лагранжа, касающиеся принципа наименьшего действия , указав на важность того обстоятельства, что варьирование происходит при определенных граничных значениях последнее невозможно, если в качестве аргумента выбрано время. В этом случае верхний предел интеграла действия должен варьироваться определенным образом с тем, чтобы обеспечить сохранение энергии вдоль истинного и варьированного путей. Тем не менее если соответствующим образом понять формулировку принципа наименьшего действия, данную Эйлером и Лагранжем, то окажется, что их выкладки совершенно правильны, а их принцип отличается от принципа Якоби лишь формально. Как мы видели, принцип Якоби представляет собой результат следующих операций. [c.163]

Резюме. При параметрическом задании движения время является дополнительной координатой, которая может принять участие в процессе варьирования. Импульс, соответствующий временной координате, является полной энергией, взятой с обратным знаком. Для склерономных систем время становится циклической координатой, а соответствующий импульс — константой. Это приводит к теореме сохранения энергии для консервативных систем. Исключение времени как циклической координаты позволяет сформулировать новый принцип, определяющий лишь путь механической системы, а не ее движение во времени. Это — принцип Якоби, аналогичный принципу Ферма в оптике. Этот же принцип может быть сформулирован как принцип наименьшего действия . В последнем случае интеграл по времени от удвоенной кинетической энергии минимизируется с дополнительным условием, что при движении и вдоль истинного, и вдоль проварьированного пути должна выполняться теорема о сохранении энергии. Если этот принцип рассматривать с помощью метода неопределенных множителей, то в качестве результирующих уравнений получаются уравнения движения Лагранжа. [c.165]

Перейдем теперь к обш,ему случаю реономной системы, не удовлетворяюш,ей закону сохранения энергии. В соответствии с изложенным раньше методом результаты, полученные для консервативных систем, всегда могут быть обобщены, если включить время i в число позиционных координат qi и рассматривать задачу как консервативную, но в расширенном фазовом пространстве.. Имеется канонический интеграл [c.271]

Сохранение энергии. Формула (3.4.5), выражающая классический интеграл энергии, играет важную роль во всей механике. Ее значение не ограничивается рамками классической механики и распространяется буквально на все области физических наук. Например, работа, затрачиваемая на растяжение струны, переходит в энергию натянутой струны. Если один конец струны закреплен, а другой соединен с частицей, то при освобождении струны запасенная в ней энергия переходит в кинетическую энергию частицы. Общий закон о сохранении энергии занимает столь важное место в нашем представлении о физическом мире, что, даже встречаясь с динамической задачей, в которой энергия не сохраняется, мы предпочитаем говорить, что энергия не уничтожается, а переходит в другую форму, отличную от кинетической или потенциальной энергии механической системы (например, в тепло). Тем не менее, несмотря на всеобъемлющий характер этого принципа для физики в целом, не следует придавать уравнению (3.4.5) большее значение, чем оно имеет в действительности. Мы будем рассматривать его как чрезвычайно простой первый интеграл уравнений движения. [c.47]

Современные знания о физической сущности процессов, при которых протекает сложный теплообмен, позволяют о<писать математически весь комплекс этих процессов системой дифференциальных и интегро-дифференци-альных уравнений. Эта система в общем случае, когда совместно происходят радиационный, конвективный и кондуктивный переносы энергии, состоит из следующих уравнений движения среды, неразрывности потока, сохранения энергии, переноса излучения и, наконец, характеристических уравнений физических параметров среды и соответствующих уравнений краевых условий. Система перечисленных уравнений сложного теплообмена имеет [c.333]

Чтобы исключить из выражения (XI.22) плотность р, необходимо к системе уравнений (XI.19) — (XI.21) добавить еще одно условие, которым может быть либо уравнение Эйлера в проекции на ось 2, либо уравнение закона сохранения энергии (XI.3). Введение того или другого уравнения приведет, естественно, к одному и тому же результату, так как при течении без теплообмена уравнение энергии есть интеграл уравнений движения. Для упрощения выкладок воспользуемся уравнением (XI.3), которое для сечения 1—1 при обычных предположениях di ldr = О и д к/дг = О примет вид [c.193]

В другом важном частном случае установившегося баротропного движения газа в поле распределенных сил, перпендикулярных к относительной скорости Ю потока (такое движение идеализирует течение через вращающиеся решетки с бесконечно большим числом лопаток), уравнения Эйлера интегрируются в общем виде и дают интеграл Бернулли, эквивалентный в данном случае уравнению сохранения энергии и справедливый вдоль каждой линии тока [c.277]

Г. П. Черепанов [192] и Дж. Райс [3101, записав закон сохранения энергии для тела с трещиной, показали, что величина интеграла при плоской деформации [c.22]

В 1967 г. автор получил основной инвариантный Г-интеграл механики разрушения непосредственно из закона сохранения энергии [1] [c.353]

Таким образом, абсолютно правильные, вытекающие из физических законов сохранения инвариантные Г-интегралы оказываются расходящимися в сингулярностях, т. е. теряют инвариантность в особых точках. Потеря инвариантности Г-интеграла даже в особой точке недопустима, так как она означает нарушение закона сохранения энергии в этой точке. Необходимо было любой ценой спасти инвариантность и законы сохранения, даже если бы для этого пришлось изменить обычные правила интегрирования. С этой целью еще в 1965 г., когда была закопчена работа [1], автор разработал эвристическое правило интегрирования расходящихся инвариантных интегралов в особых точках, сохраняющее их инвариантность. [c.358]

Приближение, которое использовалось при выводе интеграла столкновений для неидеальной квантовой системы, соответствует приближению, сделанному в разделе 3.3.5 при выводе классического уравнения Энскога. Как мы уже отмечали, обобщенная теория Энскога фактически основана на двух предположениях а) столкновения описываются в терминах двухчастичной динамики, б) наиболее важные многочастичные корреляции обусловлены законом сохранения энергии. Таким образом, кинетиче- [c.295]

Подчеркнем, что при выводе уравнения (4.5.80) мы не вводили никаких приближений ). По существу, это уравнение является прямым следствием закона сохранения энергии и не зависит от конкретного вида интеграла столкновений. [c.324]

Нерешенной проблемой квантовой кинетической теории остается учет неравновесных многочастичных корреляций. В параграфе 4.3 первого тома было получено квантовое обобщение кинетического уравнения Энскога, в котором учитываются корреляции, связанные с законом сохранения энергии. Классическое уравнение Энскога применялось и до сих пор успешно применяется для описания кинетических процессов в плотных газах. Это позволяет предположить, что и в квантовых системах основную роль играют многочастичные корреляции, связанные с сохранением энергии. К сожалению, интеграл столкновений в квантовом уравнении Энскога имеет гораздо более сложную структуру, чем в классическом случае, поэтому для решения конкретных задач требуется разработка эффективных численных методов. [c.283]

В физике существует закон, управляющий всеми явлениями природы, который называется законом сохранения энергии. В теоретической механике мы ограничиваемся только механическими движениями и не касаемся других форм движения. Поэтому в механике может вообще и не существовать закона сохранения энергии. Интеграл живых сил не имеет места, если не существует силовой функции. Чтобы записать закон сохранения энергии при неконсервативных силах, надо кроме механической принимать во внимание и другие виды энергии, например тепловую, электрическую и т. п. Все эти виды энергии не рассматриваются в курсах теоретической механики. [c.225]

Интеграл (2.1.7) дает закон сохранения энергии в следующем виде [c.60]

Уравнение (1.49), полученное как следствие уравнений Максвелла, выражает закон сохранения энергии для электромагнитного поля. Проинтегрируем обе части (1.49) по некоторому объему V, ограниченному замкнутой поверхностью а. Интеграл по объему от (1 у8 в правой части преобразуем с помощью математической теоремы Остроградского — Гаусса в интеграл по поверхности а, ограничивающей этот объем [c.31]

Получили 1-й интеграл, который называется интегралом энергии и выражает закон сохранения энергии. [c.220]

Заметим, что, кроме обобщенного интеграла площадей, в общем случае качения по инерции однородного шара по сфере имеет место интеграл сохранения кинетической энергии [c.52]

Резюме. Для склерономных систем уравнения движения Лагранжа дают первый интеграл в форме 2Pi i — L Е. Это уравнение можно интерпретировать как закон сохранения энергии, если определить левую часть уравнения как полную энергию системы. Для обычных задач классической механики сумма Hpiqi равна удвоенной кинетической энергии в этом случае теорема о сохранении энергии принимает форму Т + V = Е. [c.150]

Количество — II по своему значению и по тому обстоятельству, что оно зависит только от положения двйягущейся точки, называется энергией положения или также потенциальной энергией. Соотношение (11"), которое обыкновенно называют уравнением или интегра.го.ы живой силы, вырая ает поэтому принцип сохранения энергии в самом узком его значении, поскольку здесь речь идет только об одной изолированной материальной точке и ее механической энергии. [c.339]

Герман Г ельмгольц родился в Потсдаме в 1821 г., умер в 1894 г. в Берлине, начал свою карьеру военным врачом. В 1847 г., будучи еще врачом, он прочитал в Берлинском обществе (основанном за два года до этого) свой знаменитый мемуар ОЬег die Erhaltung der Kraft, в котором впервые дается энергетическая формулировка интеграла живых сил с распространением принципа сохранения энергии на все другие виды явлений природы. (Попутно заметим, что в 1842 г. эквивалентность между теплотой и работой была установлена Р. Майером и экспериментально подтверждена Джоулем.) [c.299]

Интеграл энергии. Закон сохранения энергии. Консервативные системы. Исследуем подробнее выражение для элементарной работы реакций. Для этого вставим в третью формулу (31.33) значениеиз равенства (30.15) на стр. 294 мы получим [c.315]

Например, полезно узнать, действует в данной задаче закон сохранения энергии или нет. С точки зрения физики это означает проверку того, сохраняется ли в задаче механическая форма энергии, ибо в узких рамках классической механики выражения типа энергия превращается в тепло не имеют смысла. Поэтому нам предпочтительнее говорить не закон сохранения (раз уж это не совсем закон), а первый интеграл уравнений движения . В общем виде это фу.чкция Ф(г, г, t) такая, что если ( (0. У(0. )) ссть произвольное решение уравнений (1), то сложная функция времени [c.40]

Первый член этого выражения представляет собой не что иное как интеграл столкновений Больцмана-Боголюбова [см. выражение (3.1.73)] ). Второй член, описывающий основной вклад эффектов запаздывания, впервые был получен Климонтовичем [34]. Им же была показана необходимость учета этого члена в законах сохранения энергии и импульса, включающих главные поправки по плотности к неравновесным термодинамическим величинам. Более подробное обсуждение свойств кинетического уравнения с интегралом столкновений (3.3.5) читатель найдет в книге [35]. [c.199]

Остановимся кратко на некоторых попытках улучшить уравнение Левинсона. На первый взгляд источником проблем является незатухающая память в интеграле столкновений (4.5.14), благодаря которой скорость изменения одночастичной функции распределения в момент времени t зависит от всей предыстории процесса. Поскольку квазичастицы в реальных системах имеют характерное время жизни г ,, ядро в немарковском интеграле столкновений должно затухать за время t — t т . Качественно этот эффект можно учесть, вводя обрезающий множитель ехр — t — t )/т в интеграл столкновений Левинсона [94]. В численных расчетах было обнаружено, что решения улучшенного уравнения Левинсона ведут себя на больших временах более устойчиво (в частности, исчезают отрицательные значения /) и наблюдается переход к марковскому режиму, но, тем не менее, при t оо функция распределения не стремится к равновесной. Дело в том, что введение квазичастичного затухания в интеграл столкновений Левинсона нарушает закон сохранения энергии ). Поэтому с течением времени растут числа заполнения возбужденных состояний, т. е. происходит нефизический перегрев системы. Хаг и Баньян [93] предложили феноменологическое ядро в интеграле столкновений Левинсона для электрон-фононной системы, которое приводит к более разумному поведению функции распределения электронов в марковском пределе. Стационарное решение кинетического уравнения оказалось близким к распределению Ферми, однако точного равенства этих функций достигнуто не было. Впрочем, подбор модельных выражений для ядер в интеграле столкновений Левинсона нельзя рассматривать всерьез как преодоление трудностей немарковской кинетики. Можно показать, что любое улучшение уравнения Левинсона в этом направлении ведет к нарушению закона сохранения энергии, причем стационарное решение не совпадает [c.313]

Неравновесные корреляции, связанные с сохранением энергии. Мы уже говорили в разделах 3.3.4 и 4.3.3, что закон сохранения энергии в кинетической теории требует особого внимания, поскольку, с одной стороны, энергия является интегралом движения и поэтому должна быть включена в набор базисных динамических переменных, но, с другой стороны, среднее значение энергии зависит как от одночастичной, так и от двухчастичной функции распределения. Иначе говоря, баланс энергии определяется не только эволюцией одночастичной функции распределения, но и динамикой корреляций. Напомним, что учет корреляций, связанных с сохранением энергии, является, по существу, основной идеей кинетической теории Энскога для плотных и сильно взаимодействующих систем. На первый взгляд кажется, что для слабо неидеальных газов учет неравновесных корреляций не столь важен, во всяком случае, — в борновском приближении для интеграла столкновений. В марковском режиме эта точка зрения подтверждается нашим анализом, проведенным в разделе 4.3.4. Действительно, мы видели, что интеграл столкновений (4.3.58) совпадает с интегралом столкновений Улинга-Уленбека, если пренебречь вкладом корреляций в двухчастичную матрицу плотности. Как выяснится позже, в немарковском режиме ситуация меняется и корреляции, связанные с законом сохранения энергии, дают вклад в интеграл столкновений уже в борновском приближении. Более того, мы покажем, что именно учет корреляций обеспечивает существование равновесного решения немарковского кинетического уравнения ). [c.314]

Посмотрим, что происходит с производством энтропии, если перейти к марковскому приближению. Как уже отмечалось, формальный переход к этому приближению состоит в том, что все функции распределения берутся в момент времени совершается предельный переход t — tQ oovi вводится множитель ехр —г( — ц) , обеспечивающий сходимость несобственного интеграла. При этом вместо косинуса возникает дельта-функция 5(А 2 обеспечивающая сохранение энергии квазичастиц. [c.326]

Заметим, что в изложенном подходе введение квазичастичного затухания не изменяет равновесного решения кинетического уравнения, т. е. не приводит к нефизическому перегреву системы, и, кроме того, не нарушает закона сохранения энергии. В самом деле, если в интеграле столкновений (4.5.66) феноменологически учесть затухание ядра путем введения обрезающего множителя ехр —( — )/Гу, , то стационарным решением кинетического уравнения все равно будет равновесное распределение (4.5.67). Далее, как мы уже отмечали, уравнение (4.5.80) для квазитемпературы является прямым следствием закона сохранения энергии и не зависит от конкретной формы интеграла столкновений. Поэтому любое изменение интеграла столкновений просто изменяет поведение квазитемпературы со временем. Можно сказать, что в изложенном подходе закон сохранения энергии выполняется принудительно , благодаря тому, что энергия системы рассматривается как независимая наблюдаемая. [c.327]

Следовательно, релятивистский интеграл энергии (П2.22) при О, Л 1 преобразуется в обычный интеграл энергии. Для релятивистского случая закон (П2.22) сохранения энергии Е = ХТ + U записывается как Е = Uq = onst. [c.437]

В 1967 г. Г. П. Черепанов [20] получил инвариантный Г-интеграл механики разрушения непосредственно из закона сохранения энергии. Интенсивное применение инвариантного интеграла (J-интеграла) в механике разрушения в качестве параметра, характеризующего напряженно-деформированное состояние трещины в упругопластических телах, восходит к 1968 г., когда инвариантный интеграл был сформулирован Райсом (J.R. Ri e) [21]. [c.663]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...