Основные типы кинетических уравнений

Основные типы кинетических уравнений 61 [c.61]

Изучение упомянутых традиционных теорий, хотя оно и не является нашей основной целью, играет очень важную роль. Оно дает возможность великолепно ориентироваться в типах тех уравнений, которые мы должны получить из более общей теории. Кроме того, оказывается, что уравнения, полученные этим грубым методом, являются совершенно справедливыми (в области их применимости) и что точно в таком же виде их можно получить из общей теории. Уже само по себе зто обстоятельство говорит об огромной физической интуиции основателей кинетической теории и прежде всего Людвига Больцмана. [c.10]

Нри выводе кинетического уравнения методом функций Грина нас интересует, в основном, поведение корреляционных функций типа (6.3.97) с близкими значениями аргументов и 2, поэтому, как и раньше, удобно отделить медленную и быструю эволюцию в (6.3.98). Для этого введем соответствующие переменные t = + 2)/ и г = — 2, а также положим Т = t. Тогда корреляционная функция записывается как [c.59]

Для квантовой системы уравнение движения типа (2.3) выполняется только при определённых обстоятельствах. Квантовая система удовлетворяет основному кинетическому уравнению Паули только тогда, когда её оператор плотности p t) диагонален в некотором выбранном базисе фп)- Причиной этого является то, что система не обязательно находится в одном из состояний фп) с вероятностью p n,t), если p t) не является диагональным. В этом случае она может находиться в суперпозиционном состоянии. Даже если оператор плотности p(t) диагонален в момент времени t (что всегда можно обеспечить, выбрав подходящим образом базис), он не может оставаться строго диагональным в последующие моменты времени t > t при наличии взаимодействия. Таким образом, основное кинетическое уравнение Паули справедливо только в некотором ограниченном смысле, который нужно уточнять. [c.62]

Значительно проще обстоит дело с выводом основного кинетического уравнения. Анализ свойств перемешивания динамической системы можно непосредственно включить в схему вывода кинетического уравнения. Прп этом мы сможем не только выяснить условия, при которых кинетическое описание спстемы становится возможным, но и получить это описание при произвольных начальных условиях, не используя никаких априорных гипотез типа приближения хаотических фаз (ПХФ). Такая программа была реализована в работах [83, 106, 141, и мы переходим к ее изложению. [c.107]

Наконец, — и, по-видимому, этот прием является наиболее важным и чаще всего употребляемым — вводятся специально выбранные функции от координат точек и их скоростей и изучается зависимость этих функций от времени. В качестве таких функций используются, в частности, введенные выше меры движения — кинетическая энергия Т и количество движения Q системы. Во многих случаях оказывается, что для описания изменения этих функций во времени можно составить дифференциальные уравнения значительно более простые, чем основные дифференциальные уравнения динамики, так что изменение этих функций во времени исследуется гораздо проще. Так, например, можно установить условия, когда количество движения системы Q заведомо не меняется во время движения. В этом случае можно сразу выписать гри равенства типа заданная функция от координат и скоростей точек равна постоянной . Каждый раз, когда удается найти функции от координат точек и их скоростей, кото- [c.64]

Одна из основных трудностей, возникающих при решении уравнения Больцмана, обусловлена сложным характером интеграла столкновений как в нелинейном (выражение (1.1) гл. 2), так и в линейном (выражение (2.2) гл. 3) случаях. Поэтому неудивительно, что для интеграла столкновений были предложены другие, более простые выражения. Их называют моделями интеграла столкновений. Любое уравнение типа Больцмана, в котором интеграл столкновений Больцмана заменен его моделью, назы-. Бается модельным уравнением или кинетической моделью. [c.100]

Кроме рассмотренных основных видов уравнений движения механических систем с неголономными связями, выражаемых через кинетическую энергию системы, заслуживают внимания и еще некоторые типы уравнений. В первую очередь следует отметить уравнения Маджи [c.8]

С помощью только что доказанной теоремы об изменении кинетической энергии можно решать следующие две основные задачи. В первой определяется скорость материальной точки в конце или начале движения. Решение этой задачи с помощью равенства (3.43) имеет смысл, конечно, только в том случае, если работу всех сил, приложенных к материальной точке, можно вычислить, не зная закона движения, т. е. не интегрируя уравнения движения. К задачам второго типа относится вычисление работы силы по заданной скорости. Использование формулы (3.43) для решения задач такого рода особенно полезно в тех случаях когда трудности, связанные с определением закона движения и вычислением интеграла (3.28), сравнительно велики (см. задачи 3.12 и 3.13) или когда неизвестна аналитическая зависимость силы (см. задачу 10.4). [c.85]

При очень высоких температурах, когда молекулярные газы диссоциированы, ионизация и рекомбинация в них протекают примерно так же, как и в атомарных газах. При более низких температурах, когда значительна концентрация молекул, положение существенным образом меняется и на первый план выступают процессы, связанные с участием молекул. Так, в воздухе при температурах ниже примерно 10 000° основным механизмом ионизации служит реакция (6.69) N -f- О + 2,8 эв = N0+ + е, требующая минимальной энергии активации. В реакциях такого типа на отрыв электрона затрачивается энергия связи, которая выделяется при объединении атомов в молекулу, поэтому для них и нужна небольшая дополнительная энергия из запаса тепловой. Реакция типа А + В АВ+ + е может протекать, если пересекаются потенциальные кривые систем, обозначенных в правой и левой частях уравнения, как схематически показано на рис. 6.5. Пусть атомы обладают запасом энергии (скажем, кинетической энергии относительного движения), равным АЕ = Е — ), [c.351]

Однако подход к составлению уравнений типа уравнений Лагранжа второго рода в переменных Эйлера должен быть изменен. Как известно, здесь основное значение имеет плотность кинетической энергии и кинетическая энергия системы в целом [18, 78]. По существу рассмотренные выше выражения кинетической энергии совпадают с выражениями ее плотности в избранной выше системе отсчета, т. е. в переменных Лагранжа. [c.59]

Уравнение Больцмана необратимо во времени. Наиболее ярко эта необратимость выражена в <9Г-теореме. В п. в) мы уже обсудили, почему при переходе от уравнения Лиувилля к уравнению Больцмана была потеряна инвариантность по отношению к обращению времени, — это те дополнительные условия типа граничных при т 00, которым были подчинены высшие корреляционные функции в цепочке Боголюбова и которые обеспечивали появление физически осмысленного решения. В свете работ Боголюбова все это понятно и общепризнано. В конце XIX века появление этой необратимости (в частности, Pf-теоремы) вызывало резкие возражения против всего кинетического подхода Больцмана. Идеи основных возражений можио разделить на две фуппы. [c.330]

Проблема термоцпклической прочности является комплексной проблемой, включающей в себя три основных вопроса. Первый вопрос заключается в разработке уравнений состояния, способных с удовлетворяющей инженерную практику точностью описать кинетику напряженно-деформированного состояния, процессы пластичности и ползучести при переменных нагрузках и температурах. Уравнения состояния должны включать параметры, характеризующие процесс накопления повреждений и разрушения материала. Второй вопрос заключается в выборе физически обоснованной меры повреждаемости материала, характеризующей кинетику разрушения материала на различных стадиях процесса деформирования, и разработке соответствующих кинетических уравнений, устанавливающих связь между указанной мерой и параметрами процесса. Третьим вопросом является формулировка соответствующих гипотез, связывающих кинетику процесса деформирования и накопления повреждений с типом разрушения, и критериев разрушения, связывающих параметры напряженно-деформированного состояния и меры повреждаемости для критических состояний материала. При решении указанных трех проблем должна учитываться существенная нестационарность нагрун<ения н нагрева Б условиях малоциклового термоусталостного разрушения, а формулировка соответствующих уравнений и критериев должна опираться на современные представления физики твердого тела о микро- и субмикроскопическом механизмах пластических деформаций и накопления повреждений в материале [42—64 . [c.141]

Вскоре после статьи Ван Хова появилась работа Браута и Пригожииа, открывшая многочисленную серию работ, выполненных так называемой брюссельской школой . При этом основная идея заключалась в введении фурье-разложения функции распределения и последовательном применении переменных угол—действие (в классической механике). Такое представление продемонстрировало роль раздельного анализа различных типов корреляций (т. е. динамики корреляций). При этом также в асимптотическом пределе Я О, t оо (Я 4 — конечная величина) было получено необратимое основное кинетическое уравнение для iV-частичной функции распределения по импульсам (играющей роль вакуума в этом представлении) [c.217]

Огромный прогресс, достигаемый при использовании субдина-мического описания (фиг. 22.1), иояшо понять следующим образом. Более традиционный подход к той же проблеме состоит в попытке показать, что кинетическое охшсание позволяет получить удовлетворительное приближение к закону эволюции систем. Такой результат не может быть достаточно общим. Он может быть получен только для простых систем, в которых имеется существенное различие между временными масштабами процессов соударения и релаксации. Тогда сложные переходные процессы затухают весьма быстро, а кинетическое уравнение на временах порядка времени релаксации действительно является хорошим приближением при описании поздней стадии эволюции системы. Однако при исследовании плотных жидкостей или сильно взаимодействующих систем оба упомянутых характерных масштаба времени имеют один порядок величины. Тогда переходные эффекты, которыми мы прежде пренебрегали, начинают влиять на простую эволюцию системы к равновесию. Математически такое положение описывается основным кинетическим уравнением Пригожина — Резибуа (см. разд. 16.3). Однако, чтобы записать член типа источника в их уравнении, необходимо задать все начальные корреляции, а при постановке задач мы обычно не располагаем такими сведениями. Поэтому упомянутое основное кинетическое уравнение может быть применено конкретно лишь для простых предельных случаев. [c.350]

Выводы. Мы видели, что основное кинетическое уравнение Паули (2.3) имеет силу лишь в довольно специфических случаях. С другой стороны, кинетическое уравнение Цванцига (2.11) имеет очень общий характер, но оно настолько сложное, что необходимо вводить некоторые приближения для его практического использования. Метод неравновесного статистического оператора также обладает общим характером и ограничен лишь операторами, для которых справедливы соотношения (2.15), а для получения кинетических уравнений типа (2.22) на неравновесные средние динамических переменных, с точностью до высших порядков теории возмущений (по меньшей мере, начиная с третьего), этот метод требует проведения весьма сложных математических выкладок. Для балансных уравнений типа (2.23) в частном случае (отсутствие внешнего излучения накачки и неоптических переходов) показано [170, 171], что они вытекают из основных уравнений квантовой оптики, однако в общем случае не следуют из уравнений квантовой электродинамики. Их можно получить лишь используя специальные предположения, которыми и ограничивается область их применимости. [c.68]

Осцилляции того же типа, что и в эффекте де Гааза —ван Альфена наблюдаются также в кинетических явлениях, например в проводимости и теплопроводности. Осцилляции проводимости (ШуЗников и де Гааз, 1930) [68] являются наиболее удобными для экспериментального наблюдения поэтому мы остановимся именно на этом эффекте. Кинетическое уравнение, которым мы пользовались до сих пор, в данном случае неприменимо, а построение полной квантовой теории кинетических явлений по своему уровню выходит за рамки данной книги ). Ввиду этого мы найдем по порядку величины осциллирующую добавку к проводимости, воспользовавшись тем, что основной вклад в нее происходит от изменения вероятности рассеяния [71]. [c.175]

Мясников в работе [4661 рассмотрел другой предельный случай, когда частота оптического фонона меньше, чем 2//]/ео. Решалось кинетическое уравнение типа (67.45) при Я = О при возбуждениях кристалла монохроматическим светом частоты, соответствующей частоте дна экситонной зоны. Учитывалось взаимодействие экси-, тонов только с одной ветвью оптических колебаний Уц (без дисперсии). При этом было показано, что в спектральной плотности поляритонов и интенсивности люминесценции кристалла появляются максимумы, соответствующие кратному числу рассеяний на частоте Уц. Более того, оказалось, что в не очень тонком кристалле основной максимум распределения соответствует не одному, а нескольким рассеяниям. [c.600]

Фундаментальные достижения на пути получения кинетических уравнений как больцмановского типа, так п типа основного уравнения были получены Боголюбовым [99—102]. Им были разработаны совершенные формальные схемы получения кинетических уравнений и сформулированы в строгой форме те предположения, которыми следует дополнить метод. К последним относятся условия на спектральные свойства возмущения [99, 100] при выводе основного кинетического уравнення и принцип ослабления корреляций при выводе уравнения больцмановского типа [101] (ком. 2). Условие, необходимое для получения основного кинетического уравнения, после ряда модификаций приобрело форму, которую сейчас принято называть приближением хаотических фаз (ПХФ). Мы остановимся на нем подробнее в следующем параграфе (ком. 3). [c.105]

Если отвлечься от неравенств типа (2.16), которые играют не столько принциппальную роль, сколько техническую, то нетрудно видеть, что основным условием, использованным при выводе основного кинетического уравнения, является предположение о начальных условиях (2.10). Оно называется приближением хаотических фаз (ПХФ). Смысл этих слов может быть понят из разложения (2.5) при = 0. Действительно, если считать, что фазы при = 0 случайны, то усреднение по ним в выражении [c.112]

Сейчас можно линп> выразить сожаление о том, что работы Боголюбова [99, 1001 по выводу кинетического уравнения типа основного уравнения были опубликованы в труднодоступных изданиях н остались для многих физиков неизвестны вплоть до издания трудов [102]. Результаты этих работ в значительной степени предвосхитили те методы и способы ониса-ння, которые были в дальнейшем развиты. Несмотря на давность публикаций работ [99, 100], они до снх пор поражают глубиной и тонкостью исследования предмета. [c.121]

Квантовое кинетическое уравнение типа уравнения Больцмана было впервые приведено в работах Улинга и Уленбека [153, 154]. Строгий вывод этих уравнений, основанный на предположении об ослаблении корреляций, был дан Боголюбовым [101, 102]. Другая форма квантового кинетического уравнения, имеющая вид основного кинетического уравнения toaster equation), была предложена Паули [155] и обоснована с помощью приближения хаотических фаз также Боголюбовым (см. [102, с. 5]). [c.198]

Во многих случаях, как, например, для волн на поверхности жидкости [36, 37], закон дисперсии волн таков, что условия трехчастотного взаимодействия не выполнены. В этом случае говорят, что спектр нераспадный. Тогда основным процессом, определяющим характер нелинейных волновых явлений в слабонелинейной среде, будет четырехквантовый процесс типа Ш] = Шк -Ь Шкз -Ь . кз либо Ш] + Ш] = Ш] . Ч-Шк . В приближении хаотических фаз волн для его описания, повторяя операции, проделанные при выводе (20.29) (исходными здесь будут уравнения типа и а а1аи), можно получить кинетическое уравнение [c.435]

Работа [Ш] содержит обзор математических работ, относящихся к тематике данной главы и опубликованных, в основном, с 1968 по 1975 г. В монографии [23] изложены результаты, развивающие подход, который был предложен в 1], [2]. Обзор последующих результатов в эхам иаправлеиин содержится в [24]. Работы [28], [29] посвящены результатам, связывающим кинетические уравнения с различными типами цепочек уравнений (аналогичных цепочке уравнений Боголюбова), возникающих при описании движения различных физических систем. [c.279]

Наиболее полные результаты для течения продавливания в плоском канале бесконечной длины (течения типа Пуазейля) получены в [2], где численно решено линеаризованное кинетическое уравнение Больцмана для упругих сферических молекул. Основной особенностью течения является наличие минимума в зависимости расхода разреженного газа через поперечное сечение канала, отнесенного к перепаду давления на единицу его длины, от числа Кнудсена Кп = Xld (X - средняя длина свободного пробега молекул, d - поперечный размер канала) - парадокс Кнудсена. Причем при Кп О и Кп - оо относительный расход неограниченно возрастает. Для каналов конечной длины относительный расход при Кп - оо остается конечным (свободномолекулярное значение), увеличивающимся при увеличении их длины. [c.193]

Сравним эти две задачи на оптимум для продо.лт.ных и изгиб-пых колебаний. Основное их различие заключается в уравнениях оптимальности во второе уравнение (7.73) входят обе неизвестные функции, в то время как в уравнение (7.68) входит только оптимал],лая форма колебаний и(х). Именно благодаря этому удалось найти сначала и х), не зная S x), а затем и функцию S z). Отсюда ясно, что класс задач, которые можно решить аналитически, ограничивается теми, в которых уравнения оптимальности не содержат изменяемого параметра конструкции и зависят только от смещений. Анализ выражений для вариации функ-циона.1гов типа (7.64) и (7.72) приводит к следующему выводу задачи акустической оптимизации конструкций с параметрами, непрерывно зависящими от пространственных координат, решаются аналитически до конца, если функционал (7.54) и ограничительные равенства (7.52) линейно зависят от этих параметров. Таковы, в частности, задачи, в которых искомые параметры линейно входят в Еыражедия для кинетической и потенциальной [c.264]

Систематическое исследование уравнений движения тяжелого гироскопа твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона (а также Кэли-Клейна) развивается в замечательной книге Ф. Клейна, А. Зоммерфельда Теория волчка [238] (разумеется, что основные результаты в этом вопросе принадлежат Ф. Клейну, см. также [237]). В то время еще не была известна гамильтонова структура этих уравнений (как уравнений на алгебре Ли), тем не менее эти параметры оказались удобными как для явного интегрирования в эллиптических функциях, так и для анализа различных частных решений. Близкую к кватернионам систему избыточных переменных (типа плюккеровых координат) в своей книге Геометрия динамы исследовал Э. Штуди. Он также вычислил в этих координатах кинетическую энергию твердого тела. [c.47]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...