Стержни — Стержни упругие

Проиллюстрируем этот принцип на упоминавшейся выше задаче о нагруженном гибком стержне. Равновесие стержня определяется из условия минимальности его потенциальной энергии. Мы не будем останавливаться на выводе выражения для упругой энергии стержня, который можно найти в любом учебнике по теории упругости. Обозначим через I длину стержня, а через х — независимую переменную, изменяющуюся от О до / и определяющую положение любой точки стержня. Малое вертикальное перемещение (прогиб) под действием нагрузки обозначим через у х), а величину нагрузки на единицу длины — через р(д ). Предположим также, что стержень имеет постоянное сечение. Тогда потенциальная энергия, обусловленная силами упругости, определится формулой [c.93]

Это справедливо лишь для длинных болтов. У коротких болтов 1/(1 <4- 5) деформации концевых элементов соизмеримы с деформациями стержня. Упругую характеристику таких болтов определяют экспериментально. [c.425]

В 9ii рассматривалась задача об устойчивости стержня за пределами упругости. Она также относится к классу задач, не вписывающихся полностью в классическую схему. Чтобы пояснить это, вернемся к исходному определению устойчивости. [c.453]

Изменение объема стержня при его упругом деформировании характеризуется объемной деформацией (относительным изменением объема) [c.195]

Под прикладной теорией упругости понимают обычно раздел теории упругости, в котором кроме предположения об идеальной упругости материала вводятся дополнительные упрощающие гипотезы, такие как гипотезы плоских сечений или об отсутствии взаимодействия между продольными волокнами стержня в сопротивлении материалов. Так, например, для пластин и оболочек вводится упрощающая гипотеза о прямолинейном элементе, ортогональном к срединной поверхности как до, так и после деформации и др. В основном в прикладной теории упругости изучаются расчеты на изгиб и устойчивость тонкостенных элементов конструкций тонкостенные стержни, пластины, оболочки. [c.185]

В пособии изложены методы решения задач прикладной теории упругости, приведены расчеты плоской гибкой нити, сплошного стержня, тонкостенного стержня открытого профиля, тонких пластинок и оболочек, толстых плит, призматических пространственных рам, массивных тел и непрерывных сред. Каждая глава содержит общие положения, принятые рабочие гипотезы, расчетные уравнения на прочность, устойчивость и ко- [c.351]

Привести к квадратурам задачу об определении формы стержня кругового сечения (упругого прута), сильно изогнутого в одной плоскости приложенными к нему сосредоточенными силами. [c.105]

Исследовать устойчивость прямого стержня постоянного сечения, упруго закрепленного по концам и нагруженного продольной силой (рис. 41). [c.113]

Стержень с промежуточными упругими опорами. На рис. 2.8,6 показан пространственно-криволинейный стержень с промежуточной упругой связью, линейная жесткость которой r, угловая —Сг. При нагружении в сечениях стержня, связанных с упругими элементами, возникнут сосредоточенные реакции силы и моменты, которые, воспользовавшись б-функциями, можно ввести в уравнения равновесия. Рассмотрим наиболее простой случай упругих связей, когда на обобщенные перемещения (линейные и угловые) точек крепления связей дополнительных ограничений не наложено, т. е. когда можно положить [c.80]

Прямолинейные стержни, лежащие на упругом основании [c.155]

Основная особенность задач статики стержней, контактирующих с упругой средой, заключается в том, что при отклонении осевой линии стержня от естественного состояния (как для начально прямолинейных, так и начально криволинейных стержней) появляются распределенные силы, зависящие в общем случае от вектора перемещений и точек осевой линии стержня, т, е. q = q(u). Когда характеристика упругого основания линейна, то [c.156]

В этом примере (рис. 4.7) при отклонении стержня от положения равновесия возникает распределенная нагрузка, направленная от положения равновесия, а в случае стержня, лежащего на упругом основании (см. рис. 4.6), при отклонении от положения равновесия возникают силы q 2, направленные к положению равновесия. [c.157]

Получим в качестве примера выражение для работы сил, приложенных к стержню, лежащему на упругом основании (рис. 4.10). Введем для безразмерных прогибов обозначение Uj (как это было сделано в предыдущих главах). Работа внешних сил на возможных перемещениях [c.168]

Распространение упругих волн в стержнях. Распространение упругих волн в прямолинейных стержнях, как правило, рассматривается в курсах лекций, посвященных уравнениям математической физики и теории колебаний, которые теперь читаются на многих кафедрах технических вузов, поэтому еще раз излагать их в лекциях по механике стержней нецелесообразно. Распространение упругих волн по прямолинейным стержням рассмотрено, например, в учебнике В. Л. Бидермана Теория механических колебаний (М., 1980). [c.277]

При дальнейшем увеличении изгиба стержня упругие силы будут увеличиваться, и при определенном изгибе стержня снова наступит состояние равновесия, уже устойчивое. Этому новому состоянию равновесия соответствует синусоидальная форма стержня. [c.481]

С этой целью рассмотрим продольные собственные колебания, возникающие в однородном упругом стержне длиной I (рис. 432). Положим, что концы стержня свободны и на один из его торцов (для определенности — левый) в результате удара в момент t = О начинает действовать кратковременная сила /, направленная вдоль оси х вправо (мы не будем учитывать движения стержня как целого). Как было [c.659]

В разное время однако во всех сечениях эти изменения будут повторяться через одинаковые промежутки времени Т . Иначе говоря, в стержне возникают продольные упругие колебания с периодом определяемым свойствами стержня (на величину периода могут влиять также условия на концах стержня пример этого будет приведен ниже). [c.660]

Рассмотрим теперь, как распределяются в такой бегущей по стержню упругой волне скорости и деформации. Прежде всего, если смещение какой-либо точки стержня изменяется по закону [c.678]

Вернемся к шарнирно закрепленному стержню и рассмотрим принятую квадратичную зависимость. Ее несомненное достоинство заключается в простоте. Но вместе с тем она имеет существенный недостаток. Под знак интегралов (1) входит не сама функция, у, а ее производные.. Поэтому при выборе упругой линии необходимо следить не столько за самой функцией, сколько за ее производными, т. е. надо позаботиться и о том, насколько точно отражаются законы изменения у и у". Вторая производная от квадратичной функции есть величина постоянная. Следовательно, выбор квадратичной функции равносилен предположению, что изгибающий момент во всех сечениях стержня остается неизменным. В то же время совершенно очевидно, что на концах стержня он равен нулю. Запомним этот дефект и тем не менее попробуем определить критическую силу в этом довольно грубом приближении. [c.144]

При изучении курса Сопротивление материалов основное внимание сосредоточивалось на анализе напряженно-деформированного состояния прямолинейных стержней при осевом растяжении-сжатии, изгибе и кручении. Решение соответствующих задач было получено с использованием гипотезы плоских сечений. Вопрос о том, в какой степени такие решения согласуются со строгими решениями, удовлетворяющими уравнениям теории упругости, остался открытым. [c.128]

Другими словами, в качестве начального приближения принимается решение для упругого стержня с модулем упругости Е, нагруженного силой F, а на каждом последующем шаге вновь решается задача для того же упругого стержня, но ун<е находящегося под действием новой нагрузки [c.312]

Как видно, в этом случае решение нелинейной задачи сводится к решению последовательности линейных упругих задач. В качестве начального приближения, так же как м в предыдущей форме метода упругих решений, принимается решение для упругого стержня с модулем упругости Е. В последующих приближениях также рассматривается упругий стержень, но на каждом шаге с новым модулем упругости. [c.315]

При решении задач 1.1 — 1.82 предполагалось, что деформации стержней весьма малы и схема сооружения практически не изменяется вследствие перемещений. В этом случае получаются линейные соотношения между внешними нагрузками, внутренними усилиями и перемеш,ениями. Ниже приводится ряд задач, в которых необходимо использование нелинейных зависимостей. Во всех задачах материал стержней считается линейно-упругим. Характерные осо-бенности.задач состоят в том, что при их решении а) должны использоваться более точные, чем линейные, соотношения между перемещениями и удлинениями стержней и б) при составлении условий равновесия необходимо учитывать изменение расчетной схемы, вызванное перемещениями. Такие расчеты называются расчетами по деформированному состоянию (по деформированной схеме, деформационными). В следующем параграфе приводятся задачи, связанные с расчетом гибких нитей, относящихся тоже к классу геометрически нелинейных систем. [c.37]

Поэтому окончательные результаты могли быть получены путем расчета заданной системы, в которой стержни 1, 2 упругие с модулями упругости j и 2, и системы, в которой отсутствует стержень 2 (модуль упругости его равен нулю). [c.268]

Критическая сила — сила, при которой прямолинейная форма перестает быть устойчивой формой равновесия сжатого стержня. В пределах упругих деформаций она определяется по формуле Эйлера [c.179]

Эпюры распределения упругих деформаций Эг в первых циклах показаны на рис. 1.31,а. Все стержни модели можно разбить на три группы. Стержни первой их них г < 2гв / (в — г ), наиболее слабые , деформируются неупруго при симметричном по напряжениям цикле никаких изменений с ростом числа циклов здесь не происходит. В третьей z гп/сх), наиболее сильной группе, стержни работают упруго, т. е. также стабильно по числу циклов. Во второй, промежуточной группе будет происходить постепенное смеш ение петель гистерезиса с уменьшением асимметрии по напряжениям. Стабилизация наступит после того, как часть стержней перейдет в третью группу, в то время как другая — в первую группу (рис. 1.31, а, эпюра ОЕОВС и ОНКЬМ). На плоскости е г это соответствует смеш ению петли асимптотическое состояние показано пунктиром на рис. 7.37, б. Переход в это состояние (циклическая релаксация напряжений) происходит с постепенно убываюш ей скоростью. [c.212]

Рисунок 4.67 показывает изменение напряжений на плоскостях заполнителя вдоль оси стержня при различных упругих характеристиках материала заполнителя напряжения на верхней (z — с) м нижней (z — —с) поверхностях соответственно в случае трехслойного пакета Д16Т-фторопласт-Д16Т 1, 2 — напряжения на тех же поверхностях, если величины модулей упругости материала увеличены в 10 раз. Значения напряжений отнесены к q = 10 Па. [c.210]

При малых значениях силы Р во всех стержнях системы возникают упругие деформации. Усилия в стеришях определяются обычными методами раскрытия статической Р1еоиределимости. Поскольку такая задача уже рассматривалась ранее (см. стр. 42), здесь мы выпишем значения усилий в стержнях без вывода [c.357]

Подход Рэлея к изучению теплового излучения. Во всех разобранных выше случаях подход к изучению теплового излучения был термодинамическим. Рэлей в отличие от своих предшественников впервые применил методы статистической физики к явлениям теплового излучения. Равновесное электромагнитное излучение, находящееся в замкнутой полости с постоянной температурой стенок, рассматривалось им как система стоячих волн разных частот, распространяющихся во всевозможных направлениях. Частоты образовавшихся стоячих волн должны удовлетворять тем же условиям, что и частоты стоячих упругих волн в стержне. При колебаниях упругого стержня на его закрепленпых концах образуются узлы смещения и на длине стержня L укладывается целое число полуволн [c.330]

Для поступательной кинематической пары с контактом звеньев по плоскости (рис. 23.4) определение контактной деформации сводится к расчету деформации изгиба стержня I на упругом основании 2, рассматриваемой в курсе сопротивления материалов. При сплошной массивной конструкции элемента звена 2 распределение нагрузки определяется контактной жесткостью поверхностей и может быть принято равномерным на участке аЬ (рис. 23.4, а). Если конструкция элементов позволяет им деформироваться, то нзгиб-ная деформация элемента 2 приведет к перераспределению нагрузки и смещению равнодействующей (рис. 23.4, б, в). [c.296]

Повороту стержня препятствует сила упругости, возникающая при закручлвании подвеса. [c.24]

Введя, таким образом, векторхарактеризующий деформацию, и выяснив его свойства, мы можем вывести выражение для упругой свободной энергии изогнутого стержня. Упругая энергия (отнесенная к единице длины стержня) является квадратичной функцией деформации, т. е. в данном случае квадратичной функцией компонент вектора й. Легко видеть, что в этой квадратичной форме должны отсутствовать члены, пропорциональные кли Действительно, поскольку стержень однороден вдоль [c.99]

Эта сила вызовет движеиие вправо частиц стержня, лежащих у левого его конца, вследствие чего возникнет деформация сжатия в крайнем левом слое стержня. Упругие сплы, возникающие при деформации, остановят частицы, набегаюи ие слева, и сообщат частицам, прилегающим справа к крайнему левому слою, скорость, направлеиную вправо. В результате этого деформация будет исчезать в крайнем слое и возникать в следующем слое. Так от слоя к слою с конечной скоростью будут передаваться деформация сжатия и скорость частиц. [c.484]

Твердые тела, рассмотре1шые в 96, могут служить моделями соударяющихся молекул только до тех нор, иока можно считать, что соударения этих молекул не вызывают изменения формы молекул. Если же скорости движения молекул так велики, что соударения вызывают деформацию молекул, то твердые гантели не могут служить моделями этих молекул, так как не дают возможности учесть деформации молекул и оценить те последствия, к которым эти деформации приводят. Чтобы учесть деформации молекул, нужно, очевидно, пользоваться моделями молекул, способными деформироваться. В качестве первого шага в этом направлении может служить упругая гантель. Она позволила нам определить характер одного из тех типов упругих колебаний, которые возникают при определенной деформации молекулы. Но совершенно ясно, что в реальной молекуле не существует никаких жестких стержней , подобных стержню в упругой гантели. Все силы, удерживающие атомы в молекуле в определенных положениях, являются упругими силами, и поэтому при соударении молекул могут возникать не только те колебания, которые мы обнаружили в упругой гантели, но и другие типы колебаний. Детальное рассмотрение всех этих типов колебаний потребовало бы много места. [c.648]

Все, что ЛИ)1 можем сказать относительно колебаний большого числа масс, связанных пружинами, в равной мере относится и к колебаниям стержня пли струмы. Стержень и струна обладают множеством нормальных частот. Подобно тому как частоты рюрмальных колебаний системы, состоящей из отдельных масс, зависят от числа и величин этих масс и упругости пружин, нормальные частоты сплошной системы зависят от размеров сплошного тела, его плотности п упругости. В стержне упругие свойства определяются упругостью самого материала, При поперечных колебаниях струны зависимость возникающей силы от величины отклонения определяется натяжением струны. Поэтому для данного стержня нормальные частоты имеют определенные фиксированпые значения. [c.652]

Нормальные частоты стержня зависят от его размеров, плотности и упругих свойств материала, из которого он изготовлен. Поэтому для данного стержня его пор.чальные частоты имеют вполне определенные значения. Нормальные частоты поперечных колебаний данной струны зависят, кроме того, еще и от ее силы натяжения. Выбирая соответствующим образом на-чал1)Иые условия в стержне, можно возбудить те или иные свойственные им нормальные колебания. Например, если струну, закрепленную по концам, слегка оттянуть в средней ее точке, а затем отпусппь, то мы возбудим в ней первое нормальное колебание. При этом все точки струны, кроме крайних, колеблются в одинаковых фазах, а отклонения различных точек от по.чожения равновесия находятся в определенном отношении, которое все время сохраняется и равно отношению их амплитуд (рис, 161, а). Такое колебание струны происходит с наиболее низкой нормальной частотой п является основным тоном собственных колебаний струны (см. 49). Как мы видели, второе нормальное колебание связанной системы из трех маятников происходит так, что средний маятник все время остается в покое, а крайние колеб.тются в противоположных фазах. Подобное нормальное колебание (рис. 161, б) можно возбудить и в струпе. Для этого нужно оттянуть средние точки каждой половины струны па одинаковое расстояние, но в противоположные стороны, и затем их одновременно отпустить. Тогда струна начнет колебаться так, что ее средняя точка будет все время находиться в покое, а точки одной половины струны колебаться в противофазе по отношению к точкам другой половины струны. [c.198]

После того, как было получено выражение приведенного модуля упругости, все вопросы об устойчивости стержня за пределами упругих деформаций казалось бы должны были быть сняты. Однако этого не произошло. И в сороковых годах (уже нашего века) концепция Энгессера — Ясинского — Кармана была подвергнута сомнению. Автором нового подхода оказался американский ученый Шенли. [c.155]

Найдем усилия в элементах системы при нагружении ее силой —Pj, считая, что стержни деформируются упруго. Используя решение предыдущей задачи, получим = — 1,5 F, N-2 = — 0,75 F (рис. в). Следовательно, при разгрузке стержни действительно деформируются упруго, так как усилия в них не превышают Ломакс- Остаточные усилия в элементах равны <рис. г) [c.32]

Решение. Определяем Ркр методом Эйлера. Находим такое значение силы Р, при котором наряду с исходной прямолинейной формой существует смежная риволинейная форма равновесия стержня (рис. 6). Упругий стержень представляет собой систему с бесконечно большим числом степеней свободы. Уравнение равновесия стержня в смежном состоянии будет дифференциальным уравнением изгиба [c.256]

Найти законы изменения крутящих моментов на первом и втором участках стержня, рассмотренного в предыдущей задаче, а такх<е угла закручивания сечения, в котором приложен внешний момент. Материал первого участка стержня упругий с модулем упругости при сдвиге Gi, а второго — В513Коупругий [c.277]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...