Упругая длина стержня

Здесь F - площадь поперечного сечения I - длина стержня, балки -момент сопротивления при изгибе 7 — о.севой момент инерции сечения - момент сопротивления при кручении - момент инерции при кручении h — толщина оболочки, пластины г — радиус оболочки, пластины Е, G - moj h упругости при растяжении и сдвиге соответственно а, а, 1, oi2, а% — коэффициенты, зависящие от условий закрепления, нагружения и коэффициента Пуассона /i. [c.5]

При наезде тележки А на упругий упор В начинаются колебания подвешенного на стержне груза D. Составить дифференциальные уравнения движения материальной системы, если m — масса тележки, тг—масса груза, I—длина стержня, с —коэффициент жесткости пружины упора В. Массой колес и всеми силами сопротивления пренебречь. Начало отсчета оси х [c.364]

В конце В горизонтального стержня АВ длины I, заделанного другим концом, находится груз веса О, совершающий колебания с периодом Т. Момент инерции сечения стержня относительно центральной оси сечения, перпендикулярной плоскости колебаний, равен I. Найти модуль упругости материала стержня. [c.411]

Разделив обе части последнего уравнения на длину стержня и умножив на модуль упругости , перейдем на основании закона Гука от деформаций к напряжениям [c.291]

В ЭТОМ случае даже при весьма малом эксцентриситете е изгибающий момент в стержне, судя по формуле (14.53), обращается в бесконечность. Понятно, что такой результат не является верным, поскольку плечо силы Р при любых прогибах не превышает длины стержня а момент соответственно не может быть больше, чем Р . Указанная невязка является следствием того, что при выводе уравнения упругой линии прогибы предполагались малыми. [c.455]

Указание. Упругая сила пропорциональна разности между действительной длиной стержня и его номинальной длиной при данной температуре. За номинальную длину при данной температуре принять [c.335]

Наконец, интегрируя по всей длине стержня, получим окончательно следующее выражение для свободной упругой энергии изогнутого стержня [c.100]

Взаимные перемещения частей тонкого длинного стержня, вообще говоря, не малы, но деформации настолько малы, что применение математической теории упругости возможно. Последнее обстоятельство приводит к специальному кинематическому исследованию (см. И, 2, п. ж, з). [c.73]

Рассмотрим в качестве примера колебания железнодорожного пути (рис. 7.13,а), который можно рассматривать как стержень, лежащий на упругом основании, при движении по нему состава бесконечной длины. Состав можно приближенно рассматривать как одномерную среду с нулевой изгибной жесткостью. Это возможно в том случае, когда расстояние между колесами тележек много меньше длины стержня I. При колебаниях на стержень действует инерционная нагрузка со стороны вагонов, которую можно рассматривать (в пределе) как распределенную. Каждая тележка имеет две контактные силы, которые приводятся к равнодействующей силе / и равнодействующему моменту ци (рис. 7.13,6) [c.196]

Если диаграмма растяжения построена в координатах (F, Д/), то, как известно из теоретической механики, площадь диаграммы выражает работу деформации. До предела пропорциональности работа выражается площадью треугольника ОАК (см. рис 19.6). Таким образом, потенциальная энергия упругой деформации стержня длиной / постоянного поперечного сечения А при одинаковой во всех сечениях продольной силе N = F будет равна [c.197]

Операцию интегрирования можно не проводить. О результате можно догадаться сразу. Если бы сила была приложена в верхней точке, то принятая функция у точно изображала бы форму упругой линии и для критической силы мы получили бы знакомое нам выражение (2). Но тогда при определении перемещения % мы вели бы интегрирование по всей длине стержня, а теперь ведем по половине длины. Вследствие равноценности верхней и нижней половины дуг принятой синусоиды мы получим величину А. вдвое меньшей. Следовательно, критическая сила будет вдвое больше, т. е. [c.147]

Полубесконечный стержень постоянной жесткости EF нагружен на конце силой Р (рис. а). Упругие распределенные связи, прикрепляющие его к жесткому основанию, имеют постоянный коэффициент жесткости k (k — интенсивность суммарной распределенной реакции в связях от единичного смещения поперечных сечений стержня относительно основания). Получить зависимость распределения продольных сил по длине стержня и вычислить перемещение его концевого сечения. [c.29]

Опыты, в которых в качестве направляющей применялся желоб, позволили производить соударение тонких и длинных стержней со скоростями 1—5 м/с, что достаточно просто обеспечивает условия, близкие к допущениям теории Сен-Венана, и получить для скоростей стержней после удара значения, согласующиеся с теорией. Все это можно противопоставить результатам Фойгта и Гамбургера и считать, что разногласий между теорией Сен-Венана и надлежащим образом поставленным экспериментом не существует. Для теории удара это имеет принципиальное значение, поскольку теория продольного соударения стержней Сен-Венана представляет в теоретическом отношении безукоризненно строгое аналитическое решение задачи теории упругости при вполне четких и обоснованных допущениях. [c.224]

Пример 128. К грузу Q=100 кГ, укрепленному на конце призматического стержня длиной 1=1 м и площадью поперечного сечения f=l см , подвешен груз Qi 2 кГ, который вращается на плече р=8 ем, делая л=2400 об/мин (рис. 228,а). Модуль продольной упругости материала стержня 2-10 кГ/см . [c.391]

Геометрическая сторона задачи. Так как система симметрична относительно оси среднего стержня и боковые стержни растягиваются одинаковыми силами, то узел А при деформации подвески опустится по вертикали на какую-то величину б. Новое положение узла будет Л (рис. 142, в). Все стержни удлинятся и займут положение, показанное на рис. 142, в штриховыми линиями. Удлинение среднего стержня, очевидно, будет AZi = 6. Удлинения боковых стержней получим, если из точек В и D радиусом, равным ВА (или DA), проведем дуги через точку А и сделаем засечки на новых длинах стержней ВА и DA. Вследствие того, что упругие удлинения очень малы по сравнению с длинами стержней (на рис. 142, в для наглядности удлинения сильно увеличены), можно считать, что углы а между осями стержней не изменяются, а проведенные дуги заменить перпендикулярами, опущенными из узла А на новые направления стержней. Тогда, как видно из рисунка, [c.150]

Определим температурные напряжения в стержне АВ (рис. 144) длиной / и площадью поперечного сечения F. Модуль упругости материала , коэффициент линейного температурного расширения а. Стержень закреплен плотно между двумя стенками и нагрет так, что на конце А температура его повысилась на Т , на конце В — на Тд, а по длине стержня она изменяется по закону [c.154]

Мы не будем рассматривать приложение этого уравнения к задачам об устойчивости балок конечной длины с различными граничными условиями. Система частных решений находится стандартным методом, можно построить систему решений с единичной матрицей, как это описано в 3.9. Вычисления при этом оказываются довольно громоздкими, поскольку нужно находить корни биквадратного уравнения, отделяя в них действительные и мнимые части. Простейший пример — это устойчивость стержня бесконечной длины. Очевидно, что постановка такой задачи при отсутствии окружающей упругой среды лишена смысла, при увеличении длины стержня критическая сила стремится к нулю независимо от способа закрепления его концов. В упругой среде [c.132]

Используя особенности упругой линии, оказывается возможным довольно просто распространить полученное решение и на другие случаи закрепления стержня. Так, например, если стержень на одном сонце жестко защемлен, а на другом — свободен (рис. 492), то упругую линию стержня путем зеркального отображения относительно. заделки легко привести к упругой линии шарнирно закрепленного стержня. Очевидно, критическая сила для защемленного одним концом сгержня длины I равна будет критической силе шарнирно закрепленного стержня, имеющего длину 2/. Таким образом, в рассматриваемом [c.422]

Пример 134. Определить работу силы упругости растянутого стержня, к концу которого нодвешен груз А1, ирп перемещении этого груза из положения /VI,, в положение М, если длина недеформпрованиого стержня равна / вычислить также потенциальную энерпио точки в положении М (рис. 174). [c.301]

Пример 188. Составить дифференциальное уравнение малых колебаний системы, показанной на рис. 226, около ее равновесного положения и найти период этих колебаний, если известны массы т, и грузов А и D, жесткость с пружины BE и длины стержней 0/4 = / , ОВ = 0С D = 1 . Массами пружины и стержней, а также размерами груза А можно пренебречь. При горизонтальном положении стержня А В вес груза А уравновеши-ваегся силой упругости пружины. При малых отклонениях систег ы от равновесного положения можно считать, что пружина остается вертикальной. [c.405]

Стержень длиной / = 2 м и площадью поперечного сечения А = 2см при растяжении силой F = 40kH удлиняется на 2 мм. Чему равен модуль упругости материала стержня [c.123]

Подход Рэлея к изучению теплового излучения. Во всех разобранных выше случаях подход к изучению теплового излучения был термодинамическим. Рэлей в отличие от своих предшественников впервые применил методы статистической физики к явлениям теплового излучения. Равновесное электромагнитное излучение, находящееся в замкнутой полости с постоянной температурой стенок, рассматривалось им как система стоячих волн разных частот, распространяющихся во всевозможных направлениях. Частоты образовавшихся стоячих волн должны удовлетворять тем же условиям, что и частоты стоячих упругих волн в стержне. При колебаниях упругого стержня на его закрепленпых концах образуются узлы смещения и на длине стержня L укладывается целое число полуволн [c.330]

Задача 2.1. Стержень длиной 1=2,Ъ м и площадью поперечного сечения р=1,5 см растягивается силой Р=20 кн. Определить величину абсолютного и относительного удлинения, если известно, что модуль упругости материала стержня =2,0-10° н1мм . [c.239]

Введя, таким образом, векторхарактеризующий деформацию, и выяснив его свойства, мы можем вывести выражение для упругой свободной энергии изогнутого стержня. Упругая энергия (отнесенная к единице длины стержня) является квадратичной функцией деформации, т. е. в данном случае квадратичной функцией компонент вектора й. Легко видеть, что в этой квадратичной форме должны отсутствовать члены, пропорциональные кли Действительно, поскольку стержень однороден вдоль [c.99]

Колебания прямолинейного стержня, вызванные подвижной ьнагрузкой. Движущаяся постоянная нагрузка вызывает колебания стержня. В этом причина вибраций мостов при прохождении состава, вибраций поезда при движении по рельсам, лежащим на упругом грунте, и т. д. Если стержень имеет ограниченную длину (например, мост, который часто для приближенных расчетов рассматривается как стержень), то колебания, вызванные подвижной нагрузкой, являются нестационарными, так как время движения нагрузки по стержню ограничено. Если длина стержня очень большая (практически бесконечная), то при движении нагрузки можно считать, что колебания являются установившимися. [c.212]

Чтобы сделать результат и истолкование опыта Траутона и Нобля более наглядными, мы рассмотрим упрощенную модель этого опыта. Представим себе два шарика, укрепленных на концах упругого изолирующего стержня, подвешенного горизонтально на нити, прикрепленной к точке О (рис. 129). Оба шарика заряжены разноименными зарядами одинаковой величины е. Стержень покоится в системе координат К Пусть в системе К длина стержня равна I, а угол, который он образует с [c.291]

Это предположение могло бы выполняться толысо" при условии, что изменения деформации, вызванные изменениями силы F, происходят мгповенно по всей длине стержня, т. е. при условии, что деформации распространяются по стержню с бесконечно большой скоростью. Но в таком случае импульсы де4)ормаций в упругом теле могли бы служить для передачи сигналов с бесконечно большой скоростью. Однако передача сигналов со скоростью, превышаюи ей скорость света, как это вытекает из соображений теории огноситель-ности (гл. Х), принципиально невоз.можна. Следовательно, пе может происходить мгновенного распространения в упругом теле изменяющихся со временем деформации. [c.483]

Пусть к однородному стержню длины I и с площадью поперечного сечения 5 приложена растягивающая сила 1, равномерно распределенная по сечению, и направленная перпендикулярно ему (рис. 127). Под действием силы 1 длина стержня увеличится на А1. Когда возникшие в стержне внутренние упругие силы уравновесят растягивающую силу, дальиейщий процесс деформации прекра- [c.158]

Входящие в это выражение геометрические характеристики стержня — момент инерции сечения / и длина стержня I — определяются без труда. А вот что касается модуля упругости Е, то о нем в данном случае необходимо.погово-рить особо. [c.150]

Решение. При отсутствии заделок и равномерном нагреве на t° стержень удлиняется на Д/ = att. Чтобы длина стержня не менялась, необходимо приложить сжимающие силы, вызывающие укорочение стержня Д/ = — atl. Очевидно, что относительная деформация равна в = — at, а нормальное напряжение Oj = — Eat- -- А (а/) . При последующем остывании напряжение уменьшается на величину, которая может быть найдена из решения задач об охлаждении линейно-упругого стержня. В этом случае — Eat. После остывания в стержне сохраняются остаточные напряжения, которые равны разности напряжений Oj и Oj Оост= ( 0 -Как видно из результатов, при нагревании стержень был сжат, а после остывания — растянут. [c.36]

Прямой стальной стержень длиной 1 м, шириной 2,5 см и толщиной 2,5 мм изогнут в виде лука с упругим прогибом посредине, равным 5 см. Его концы связаны тетивой. Приняв модуль упругости материала стержня Е = 2Л0 Kzj M , определить усилие в тетиве и наибольшее напряжение в стержне. [c.271]

Задача 3. Абсолютно жесткая балка (рис. 4.3, а) подвешена на трех стальных стержнях средний стержень на 0,5 мм короче требуемой длины и поставлен на место с начальньш напряжением. Определить монтажные напряжения в стержнях, если площади поперечного сечения стержней одинаковы и равны А = 2 см , и если заданы длина стержня 1=1 м, модуль упругости Е=1 10 Па. [c.125]

ПИЯ стержней расположены на одной горизонтали, площади сечений и модули упругости стержней одинаковы (рис. 2.4.3). Но средний сизржень оказался изготовленным на величину б длиннее, чем это необходимо для сборки системы без приложения усилий. В этом случае сборка становится возможной только за счет упругой деформации стержней. Пр именим общую схему, составим уравнение совместностп деформаций, основываясь на диаграмме, изображенной внн-зу рис. 2.4.3. Условие совместности будет [c.54]

Рассмотрим стержень, находящийся под действием приложенных к нему поперечных, т. е. перпендикулярных его оси, сил. Такие стержни, нагруженные поперечными силами, обычно называют балками. Если тело упруго, а вначале мы будем рассматривать именно упругие стержни, то действие системы сил можно рассматривать как сумму действий каждой из сил, взятых по отдельности. Поэтому мы предположим, что на конце стержня приложена одна единственная сосредоточенная сила Р, а другой конец защемлен неподвин но (рис. 3.1.1). Качественные выводы будут справедливы и для пластических стержней при произвольной, поперечной нагрузке. Предположим, что все поперечные размеры стержня имеют один и тот же порядок h, как это было оговорено в 2.1, длина стержня есть I. Очевидно, что если стержень сломается, то это произойдет в сечении, близком к заделке, так называемом опасном сечении. Выясним, какие напряжения возникнут в этом сечении. [c.76]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...