Нормальные колебания упругого стержня

Нормальные колебания упругого стержня [c.658]

НОРМАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ 659 [c.659]

Найдя нормальные колебания этой одномерной решетки и сопоставив, их с нормальными колебаниями сплошного стержня ( 149), мы сможем судить о том, как влияет атомная структура на характер нормальных колебаний. Конечно, при этом сопоставлении мы должны рассматривать 1) один и тот же тип колебаний, 2) одни и те же размеры (длину /), упругие свойства и плотности дискретной модели и стержня и 3) идентичные краевые условия. [c.694]

Рассмотрим уравнение изгибных колебаний упругого стержня на неоднородном стохастическом основании под действием нормальной нагрузки [c.173]

Например, эта теория используется при рассмотрении взаимно связанных продольных и поперечных колебаний тонких упругих стержней, при изучении колебаний пластины, находящейся под действием касательных и нормальных к срединной поверхности силовых воздействии, при исследовании колебаний кручения коленчатых валов, если принимается во внимание переменность приведенного момента инерции кривошипно-шатунного механизма, при исследованиях колебаний спарников ведущих колес электровозов и т. д. [c.316]

Возникновение нормальных колебаний в результате начального отклонения системы было рассмотрено в 148 на примере струны. При этом были высказаны качественные соображения о характере нормальных колебаний в сплошных телах. Сейчас мы обратимся к рассмотрению колебаний в упругом стержне. В результате этого анализа во многих случаях можно будет получить не только качественные, но для простейших колебательных систем и количественные данные о нормальных колебаниях в сплошной системе. Эта возможность связана с тем, что всякие собственные колебания, возникающие в сплошной системе (как и в связанных системах с конечным числом степеней свободы), представляют собой суперпозицию тех или иных нормальных колебаний, свойственных данной системе. Поэтому гармониками спектра тех собственных колебаний, которые могут возникнуть в какой-либо сплошной системе, должны являться нормальные колебания, свойственные данной системе. Изучить спектры собственных колебаний какой-либо достаточно простой колебательной системы можно элементарными методами зная же эти спектры, можно опре- [c.658]

Такой же критерий (соотношение между размером неоднородностей и длиной волны) определяет роль макроскопических неоднородностей. Если сплошное тело (помимо неоднородностей, обусловленных атомной структурой, которые можно не учитывать) макроскопически неоднородно, например, упругий стержень составлен из сильно прижатых друг к другу чередующихся одинаковых латунных и алюминиевых цилиндров ), то для нормальных колебаний, соответствующих волнам, длина которых значительно превышает высоту одного цилиндра, стержень можно рассматривать как однородный, обладающий средней плотностью и средней упругостью. При расчете же нормальных колебаний, длина волны которых сравнима с высотой цилиндра, необходимо учитывать неоднородность стержня. При наличии неоднородностей решение задачи о колебаниях сплошных систем настолько усложняется, что удается рассмотреть только самые простые случаи, например системы с малой неоднородностью или очень плавно меняющимися вдоль длины системы свойствами. [c.697]

К продольным колебаниям относят такие колебательные движения системы, в частности упругого стержня, при которых перемещения всех точек направлены вдоль оси стержня при этом имеет место деформация его удлинения или укорочения. Возникающие при такого рода колебаниях нормальные напряжения распределены равномерно по поперечному сечению. Следовательно, продольные колебания иначе можно назвать колебаниями растяжения — сжатия. [c.592]

Особенности динамики упругих систем с распределенными параметрами. С увеличением числа степеней свободы упругой системы до бесконечности она превращается в систему с распределенными параметрами. Статика таких упругих систем рассматривалась в гл. VI и VII. Их динамика составляет раздел теории колебаний. Как и в упругих системах с конечны.м числом степеней свободы (свободных координат), колебания систем с распределенными параметрами имеют нормальные формы. Эти формы зависят от конфигурации системы и способов ее закрепления и опирания. На рис. 8.24 изображены нормальные формы поперечных колебаний тонкого стержня с шарнирно опертыми концами. [c.233]

Из рассмотренного выше видно, что при продольных колебаниях возможно бесчисленное множество нормальных колебаний, которым соответствует бесчисленное множество собственных частот, кратных обратной величине времени двойного пробега упругой продольной волной по длине стержня ). [c.292]

В фундаментальной работе Пуассона 1829 г. содержится, помимо указанного выше, немало других важных результатов из общих уравнений теории упругости вновь выведено уравнение для продольных колебаний тонких стержней, раньше полученное Навье (1824 г.), и для их поперечных (изгибных) колебаний, а также впервые дано уравнение для их крутильных колебаний. Там же решена задача о свободных радиальных колебаниях упругой сферы. Эти результаты стали отправными для многочисленных работ, сколько-ни-будь подробное освещение которых возможно лишь в специальном исследовании по истории теории упругости. Здесь достаточно сказать, что этими работами был подготовлен новый этап в развитии теории колебаний, обобщение основных положений, относящихся к линейным колебательным системам с конечным числом степеней свободы, на линейные колебательные системы с бесконечно большим числом степеней свободы. Один из общих результатов такого рода был установлен Стоксом в работе О динамической теории дифракции название которой напоминает о том, что в эту эпоху — эпоху торжества теории упругого светоносного эфира Юнга — Френеля оптика снова содействовала развитию теории колебаний, как и во времена Гюйгенса. Для свободных колебаний системы с конечным числом степеней свободы, вводя нормальные координаты , для изменения каждой из них, получают уравнение вида [c.277]

Особое преимущество дает использование нормальных координат в тех случаях, когда желательно сравнить перемещения системы при колебаниях с теми статическими перемещениями, которые мы получили бы при бесконечно медленном изменении раскачивающей силы. Такие сравнения приходится на практике делать во многих случаях, например при оценке степени достоверности показаний индикаторов, применяемых в паровых машинах и газовых двигателях, при определении давлений газов во время взрыва по деформациям особых крешеров и т. д. Поясним это на рассмотренном выше примере груза, подвешенного на упругом стержне. Предположим, что к грузу приложена периодическая сила, изменяющаяся по закону q sin pt. Чтобы найти в этом случае значение обобщенной силы i, соответствующей координате q>i, дадим этой [c.328]

При движении тела, подвешенного на упругом стержне, разумеется, также возможно аналогичное колебание, однако его частота весьма значительно превышает частоты других нормальных колебаний и оно обычно не рассматривается. [c.78]

Подходы, применявшиеся к решению задач, излагавшихся в предыдущих параграфах, обнаруживают известное сходство с методом нормальных форм колебаний, с помощью которого исследовались в гл. 4 системы со многими степенями свободы. Теперь применим метод нормальных форм колебаний к исследованию призматических стержней с непрерывно распределенной массой и бесконечным числом степеней свободы. Хотя метод будет сформулирован применительно к частной задаче о продольных колебаниях призматических стержней, общие положения рассматриваемого здесь метода нормальных форм колебаний можно распространить на исследование произвольных упругих тел. [c.338]

При переходных режимах вынужденным колебаниям сопутствуют свободные, соответствующие начальным условиям. При мгновенном приложении нагрузки или при мгновенном изменении какой-либо из координат (например, при мгновенном перемещении одной из опор) в системе происходит удар. При этом, как и в системах с конечным число.м свободных координат, движение начинается в точке приложения мгновенного возмущения и лишь постепенно распространяется на остальные части системы. При этом образуется бегущая волна, как это поясняет рис. 8.25, на котором изображен заделанный одним конном стержень, к свободному концу которого внезапно приложена нагрузка. Здесь показана примерная упругая линия этого стержня в последовательные моменты времени. Скорость распространения волны деформации и ее форма (крутизна) зависят от параметров системы (от соотношения распределенных масс и упругости, иными словами, от соотношения собственных частот нормальных форм и времени приложения внешней нагрузки). Вследствие постепенности распространения деформации при ударных нагрузках в зоне их приложения возникают динамические напряжения, которые могут во много раз превысить статические, т. е. те, которые соответствуют весьма медленному нагружению системы. Поэтому появление ударных нагрузок в машинах крайне нежелательно. [c.234]

Для точного определения модуля нормальной упругости необходимо знать модуль касательной упругости G, который определяют по частоте свободных колебаний образца в виде стержня с одинаковыми массами на концах. При одинаковых массах узел колебаний находится посредине стержня. Модуль касательной упругости можно вычислить, пользуясь формулой [c.136]

Уравнения (2.110) соответствуют движению системы с двумя степенями свободы и служат для определения перемещений точек Л и 5 стержня. Решение этих уравнений удобно искать в виде разложения по нормальным формам колебаний. Этот метод позволяет окончательное решение для дисперсии упругих колебаний свести к квадратурам, которые вычисляют по таблицам. [c.132]

Если увеличивать частоту колебаний или толщину пластинки (стержня), то появляются дополнительные направления сильного незеркального отражения. В самом деле, толстая пластинка (толстый стержень) представляет собой упругий слой. Оказывается, что различные колебания могут распространяться вдоль слоя с определенными отличными друг от друга скоростями распространения. Величина этих скоростей определяется упругими параметрами слоя и зависит от толщины слоя и частоты колебаний. Каждое колебание, распространяющееся вдоль слоя с одной из скоростей, представляет собой так называемую нормальную волну. Незеркальное отражение звука от толстой пластинки (стержня) наблюдается всякий раз, когда фазовая скорость падающей звуковой волны в жидкости вдоль пластинки совпадает со скоростью одной из нормальных волн в пластинке. [c.513]

О — средний диаметр пружины г — число рабочих витков пружины и Р — соответственно модуль упругости и площадь поперечного сечения эквивалентного стержня с — жесткость сечения проволоки при кручении. Любое перемещение системы и — [ x t) можно получить наложением нормальных форм колебаний, вызванных возмущающей силой, и представить рядом [c.140]

Кроме обсуждавшихся в предыдущих параграфах концевых условий типа жесткого закрепления или свободных от закреплений концов могут встретиться случаи сосредоточенной массы или упругого подкрепления, что изображено у правого конца стержня, показанного на рис. 5.5. Оба этих случая будут рассмотрены в этом параграфе с помощью метода нормальных форм колебаний. [c.345]

Собственные частоты и формы колебаний сооружений с распределенными параметрами. Экспериментально доказано, что упругая система с распределенными параметрами и малым демпфированием при гармоническом возбуждении испытывает резонансные колебания на некоторых явно выраженных характерных частотах. Каждой такой резонансной или собственной частоте соответствует собственная или нормальная форма распределения амплитуд колебаний сооружения. Например, на рис. 5.4 изображены первые четыре собственные формы колебаний вертикального консольного стержня. [c.143]

Нормальные частоты стержня зависят от его размеров, плотности и упругих свойств материала, из которого он изготовлен. Поэтому для данного стержня его пор.чальные частоты имеют вполне определенные значения. Нормальные частоты поперечных колебаний данной струны зависят, кроме того, еще и от ее силы натяжения. Выбирая соответствующим образом на-чал1)Иые условия в стержне, можно возбудить те или иные свойственные им нормальные колебания. Например, если струну, закрепленную по концам, слегка оттянуть в средней ее точке, а затем отпусппь, то мы возбудим в ней первое нормальное колебание. При этом все точки струны, кроме крайних, колеблются в одинаковых фазах, а отклонения различных точек от по.чожения равновесия находятся в определенном отношении, которое все время сохраняется и равно отношению их амплитуд (рис, 161, а). Такое колебание струны происходит с наиболее низкой нормальной частотой п является основным тоном собственных колебаний струны (см. 49). Как мы видели, второе нормальное колебание связанной системы из трех маятников происходит так, что средний маятник все время остается в покое, а крайние колеб.тются в противоположных фазах. Подобное нормальное колебание (рис. 161, б) можно возбудить и в струпе. Для этого нужно оттянуть средние точки каждой половины струны па одинаковое расстояние, но в противоположные стороны, и затем их одновременно отпустить. Тогда струна начнет колебаться так, что ее средняя точка будет все время находиться в покое, а точки одной половины струны колебаться в противофазе по отношению к точкам другой половины струны. [c.198]

В разделе 2 рассматриваются задачи третьей и четвертой груин. Вопросам расиространения упругих воли по инженерным конструкциям посвящена обширная литература [216, 239, 283, 300, 325, 352], поэтому авторы ограпичились сравнительно простыми конструкциями, но постарались применить наиболее общие методы расчета и обсудить ряд теоретических вопросов, с которыми приходится сталкиваться при расчете распространения волн практически каждой машинной конструкции. Главными из них являются диснерсия волн, определяющая характер распространения акустической энергии, и спектральные свойства конструкций. Исследуются также полнота и ортогональность нормальных волн в твердых волноводах. Значительное место отведено анализу щи1ближенных теорий колебаний топких стержней. По методам борьбы с вибрациями и шумами машин имеется особенно много публикаций [45, 71, 81, 136, 185, 281, 331, 353, 375, 376, 384]. Однако почти все они носят ярко выраженный прикладной характер, поэтому в книге излагаются теоретические основы методов ослабления акустической активности машин. [c.12]

В случае упругого стержня нормальные колебания всегда будут совершаться парпендикулярно друг другу, независимо от того, является ли сечение стержня прямоугольным. До известной степени аналогичные соотношения получаются и для нормальных колебаний многоатомной молекулы, хотя смещения одного и того же атома при двух различных нормальных колебаниях не обязательно перпендикулярны между собой (ср. фиг. 24 и 25). Если и V,— частоты двух нормальных колебаний, то из (2,10) имеем [c.84]

Хорошей иллюстрацией является рассмотренное выше движение упругого стержня, при условии, что он имеет квадратное или круглоэ сечение, так как в этом случае оба нормальных колебания обладают одной и той же частотой. В результате тело, подвешенное на стержне, может совершать простые гармонические колебания с одной и той же частотой в любом направлении, проходящем через положение равновесия. При сложении двух первоначально простых, гармонических движений, фазы которых различны, получится движение тела по эллипсу (фиг. 22, г или по окружности, если сдвиг фаз равен 90°, а амплитуды обеих составляющих движения равны друг другу) этот эллипс будет описываться с частотой вырожденного колебания. [c.88]

В теории свободных колебаний упругого твердого тела приходится интегрировать. уравнения колебательного движения при заданных граничных условиях, относящихся к напряжениям и смещениям. Пуассон зб) дал решение проблемы свободных радиальных колебаний упругой сферы, а Клебш по образцу решения Пуассона, построил общую теорию. В эту теорию входит обобщение понятия нормальных координат на случай системы с бесконечно большим числом степеней свободы, введение соответствующих фундаментальных функций и доказательство тех свойств этих функций, с которыми приходится иметь дело при разложении любой заданной фуккции по этим функциям. Спор по вопросу о колебаниях струн, стержней, мембран и пластинок, который происходил как до Пуассона так и при нем, подготовил почву для обобщений Клебша. До появления трактата Клебша Ламе ) предложил другую теорию. Будучи знаком с исследованиями Пуассона о двух типах волн, ои пришел к заключению, что колебания всякого упругого тела должны распадаться на два соответствующих класса в согласии С,этим предположением он исследовал колебания различных тел. То обстоятельство, что его решения не удовлетворяли граничным условиям ля тел, поверхность которых свободна от напряжений, в достаточной мере компрометирует его теорию однако она была окончательно оставлена только после того, как все виды свободных колебаний однородной изотропной среди были изучены, и было доказано, что классы, на которые они распадаются, не соответствуют [c.30]

Работа Л. Ргезсой а [1.283] (1942) содержит механический и математический анализ динамических явлений в упругих стержнях. Автор вывел уточненные уравнения поперечных колебаний стержня, используя гипотезы, несколько отличные от гипотез С. П. Тимошенко. Он предположил, во-первых, что в стержне отсутствуют либо боковые нормальные напряжения [c.30]

Математическое введение. Мы рассматривали в 3, 7, 8 синусоидальные собстве1шые колебания (их называют также нормальными колебаниями, ср. 3) некоторых упругих тел стержней, пластин, столбов газа, струн. Эти колебания имеют вид стоячих волн, удовлетворяющих волновому уравнению. Длина волны, а также расположение узлов и пучностей определяются условиями на границах упругого тела. [c.219]

Все, что ЛИ)1 можем сказать относительно колебаний большого числа масс, связанных пружинами, в равной мере относится и к колебаниям стержня пли струмы. Стержень и струна обладают множеством нормальных частот. Подобно тому как частоты рюрмальных колебаний системы, состоящей из отдельных масс, зависят от числа и величин этих масс и упругости пружин, нормальные частоты сплошной системы зависят от размеров сплошного тела, его плотности п упругости. В стержне упругие свойства определяются упругостью самого материала, При поперечных колебаниях струны зависимость возникающей силы от величины отклонения определяется натяжением струны. Поэтому для данного стержня нормальные частоты имеют определенные фиксированпые значения. [c.652]

Пусть геометрическая форма лопаток н их установка на диске таковы, что система имеет прямую поворотную симметрию, обладая одновременно плоскостью зеркальной симметрии, нормальной к оси системы. Тогда взаимодействие между изгибными колебаниями лопаток в окружном направлении и колебаниями жестко закрепленного диска, недеформируемого в своей срединной плоскости, отсутствует. В этих условиях параметр связи равен нулю, взаимная интерференция частотных функций отсутствует, пересечения их сохранятся, и эта часть спектря основной системы качественно совпадет с соответствующей частью объединенного спектра парциальных систем. В то же время, связанность семейств изгибных колебаний лопаток в направлении оси системы с изгибными колебаниями диска сохранится, четко проявится взаимная интерференция соответствующих парциальных частотных функций. Сохранится она и для семейства крутильных колебаний лопаток. На рис. 6.13 приведен спектр собственных частот упругого диска, несущего радиально расположенные консольные стержни постоянного (прямоугольного) сечения. Здесь хорошо видна деформация спектра при изменении ориентации главных осей сечения стержней относительно оси системы. При (3=0 и 90" система приобретает прямую поворотную симметрию. При Р = 0° изгибная податливость жестко закрепленного в центре и недеформируемого в своей плоскости диска не сказывается на частотах изгибных колебаний стержней в направлении их минимальной жесткости, и частотные функции имеют точки взаимного пересечения (точки А и В, рис. 6.13). Здес -, взаимодействие колебаний стержней и диска отсутствует (х = 0), однако наблюдается сильная связанность колебаний диска и стержней в направлении максимальной жесткости последних. При р = 90 наблюдаются сильная связан- [c.97]

Рассмотрим малый элемент стержня в невозмущенном положении, который ограничен двумя плоскостями, перпендикулярными к осн в двух соседних точках Р, Q. Делая обычное предположенне о том, что эти плоскости остаются нормальными к оси при увеличении кривизны, заметим, что длины нерастянутых волокон элемента, лежащих по разные стороны от оси PQ, не равны длине PQ волокна имеют большую длнну на выпуклой стороне и меньпгую на вогнутой. Пусть Е — модуль упругости Юнга, ш — площадь сечения в точке Р, момент инерции относительно оси, проведенной через центр тяжести этого сечения перпендикулярно к плоскости колебаний, а — радиус окружности, форму которой имеет ось стержня в его невозмущенном положении. Тогда в результате ннтегрнровання находим, что результирующее натяжение X всех волокон, которые пересекают сечение (о, и нх изгибающий момент L даются соотношениями [c.512]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...