Колеблющаяся струна

Суперпозиция в классической и квантовой физике. Суперпозиция часто встречается в классической физике это хорошо известная суперпозиция классических волн. С математической точки зрения классическая суперпозиция и суперпозиция в квантовой физике аналогичны. Именно это обстоятельство немало способствовало развитию квантовой теории. В то же время оно затрудняло осмысливание физического содержания получаемых в теории результатов, так как порождало соблазн проводить неоправданные аналогии с классическими волнами. Как писал Дирак, допущение суперпозиционных связей между состояниями приводит к математической теории, в которой уравнения движения, определяюш,ие состояния, линейны по отношению к неизвестным. Ввиду этого многие пытались установить аналогии с системами классической механики, такими, как колеблющиеся струны или мембраны, которые подчиняются линейным уравнениям, а следовательно, и принципу суперпозиции. Важно помнить, однако, что суперпозиция в квантовой физике существенным образом отличается от суперпозиции, встречающейся в любой классической теории. Это [c.108]

Прикрепив струну к ножке камертона с электромагнитным возбуждением (рис. 442, а), можно возбуждать в струне поперечные колебания каждая точка колеблющейся струны движется в плоскости ху, перпендикулярной к струне. Но в плоскости ху каждая точка струны может совершать криволинейное движение. Так же как и в случае одной материальной точки, колеблющейся в плоскости ху, каждая точка струны может двигаться так, что одновременно будут изменяться ее координаты ху у. Движение каждой точки струны можно рассматривать как результат сложения [c.672]

Таким образом, колеблющаяся струна (колеблющийся континуум) в динамическом отношении эквивалентна совокупности гармонически колеблющихся осцилляторов. [c.251]

Если 6 — средняя энергия осциллятора частоты и, то средняя энергия осцилляторов (т. е. колеблющейся струны) в интервале частот d[c.251]

В первом случае закрепления по мере увеличения силы натяжения изменяется масса колеблющейся струны при [c.377]

Даниил Бернулли отметил это сложение простых и изохронных колебаний при движении колеблющейся струны, нагруженной множеством мелких грузов он рассматривал его как общий закон всех малых взаимных движений, которые могут иметь место в любой системе тел. Единственного случая, подобного случаю колеблющихся струн, было недостаточно для того, чтобы установить этот общий закон однако тот анализ, который мы только что дали, обосновывает этот закон вполне надежно и в общем виде из него видно, что сколь неправильными ни могли бы нам показаться малые колебания, наблюдаемые в природе, они всегда могут быть сведены к простым колебаниям, число которых равно числу колеблющихся в той же системе тел. [c.458]

Переменные выражают продольные смещения тел по прямой линии или оси, проходящей через оба конца струны, а переменные у г. Кг выражают их поперечные или боковые смещения по направлению, перпендикулярному к оси,— единственные смещения, которые до сих пор рассматривали при решении проблемы о колеблющихся струнах. [c.484]

Общее решение, данное нами для проблемы колеблющихся струн, имеет силу, каково бы ни было число п движущихся тел и каково бы ни было начальное состояние этих тел следовательно, его можно применить и в том случае, когда п становится бесконечно большим, а промежутки между телами становятся бесконечно малыми так, что длина струны остается при этом неизменной тогда движение каждого тела будет выражено с помощью бесконечного ряда [c.495]

Распределенные системы. В классической механике изучаются главным образом системы, имеющие конечное число степеней свободы, о них в основном и будет идти речь в этой книге. Тем не менее естественно предположить, основываясь на физических соображениях, что основное уравнение Справедливо также и для распределенных систем, имеющих бесконечное число степеней свободы, например движущейся жидкости или колеблющейся струны. [c.50]

Это условие подобия называется правилом Струхаля, а безразмерная величина Sh — числом Струхаля. Для периодических движений (для колеблющейся струны, вращающегося винта, ступени турбины и т. п.) за характерный промежуток времени т принимается период явления, например для турбинной ступени — время одного оборота. В качестве характерного размера в турбинных ступенях и воздушных винтах принимается диаметр. [c.61]

Почему собственные колебания сплошных ограниченных сред связаны с образованием стоячих волн (на примере колебания струны) Сколько собственных частот имеет свободно колеблющаяся струна Какая частота называется основной Как связаны частоты гармоник с основной частотой В каком случае у стержня длиной I основная частота ниже когда он укреплен на двух концах или на одном конце [c.390]

Я приступил к решению этой задачи, анализ которой казался мне сам по себе новым и интересным, так как одновременно надо решать уравнения, число которых не является определенным. К счастью, метод, которым я воспользовался, дал мне формулы не слишком сложные, если учесть большое число операций, которые пришлось проделать. Я рассматриваю эти формулы сначала в том случае, когда число движущихся тел конечно, и я легко получаЮ всю теорию смешения простых и правильных колебаний, которую г-н Даниил Бернулли нашел только с помощью частных и косвенных примеров. Я перехожу к случаю бесконечного числа движущихся тел, и, показав недостаточность предыдущей теории в этом случае я извлекаю из моих формул то же построение для решения проблемы колеблющихся струн, которое дал г-н Эйлер и которое так энергично оспаривалось г-ном Даламбером В последнем замечании Лагранж имеет в виду графическое построение Эйлера, которое [c.268]

Нет, вероятно, необходимости подчеркивать, что разложение периодической функции t в виде ( ) является единственным действительно, коэффициенты, даваемые (2) и (3), имеют вполне определенные значения. В частности, ряд описанного выше типа может обратиться в нуль для всех значений t только в том случае, если обращаются в нуль в отдельности все его коэффициенты. Так, если в любой заданной точке х свободно колеблющейся струны приостановить колебания, например прикосновением войлочного штифта, то в общей формуле (7) 25 [c.138]

По скрипичной струне ведут равномерно смычком, сила трепия смычка о струну должна бы оттянуть струну, однако всем известно, что при этом возникают периодические колебания струны. Если бы в отсутствие ветра и смычка мы отклонили струну от положения равновесия и отпустили, то возникли бы собственные колебания, которые через некоторое время прекратились бы. Но при наличии ветра или движении смычка силы, действующие на колеблющуюся струну, изменяются таким образом, что поддерживают колебания работа этих сил идет на компенсацию работы остальных сил трения, неизбежно возникающих при колебании струны. При колебаниях струны возникают такие условия, при которых появляется определенная периодическая сила, поддерживающая эти колебания в отсутствие колебаний внешнее воздействие со стороны смычка оставалось бы постоянным. [c.454]

Любое тело, совершающее механические колебания, частота которых лежит в указанном диапазоне, является источником звука. Так, например, колеблющаяся струна, мембрана, пластинка п т. п. вызывают продольные колебания в окружающей среде. Источником звука может быть и не твердое тело, а газообразное или жидкое, например паровозный свисток, органная труба, голосовой аппарат человека, водопроводный кран (его пение ) и т. п. Здесь источником звука являются колебания газа или жидкости, заключенных в определенном объеме или протекающих по некоторым каналам. Источник звука, вызывая вблизи себя определенные колебания плотности (или давления), вызывает такие же колебания плотности частиц окружающей среды, распространяющиеся в виде волн, вообще говоря, во все стороны. [c.503]

Рис. 8. Обтекание воздухом колеблющейся струны.

Перейдем к третьей группе инструментов — инструментам, работающим от удара или соударений тел. В голову сразу приходит мысль о медных тарелках оркестра и барабанах. В качестве примера рассмотрим тарелки. Барабаном мы займемся отдельно в гла-ре 8. У тарелки много общего с колеблющейся струной. Теоретически струна, совершающая колебания, представляет собою одномерную систему нас интересуют только длина ее и расстояние, на которое она [c.46]

Рис. 11.6. Принципиальная и структурные схемы контроля толщины покрытия путем измерений масс колеблющейся струны

Рис. 11.6. Принципиальная и <a href="/info/2014">структурные схемы</a> <a href="/info/349426">контроля толщины покрытия</a> путем <a href="/info/245281">измерений масс</a> колеблющейся струны

Звук получается, — говорил Аристотель, — когда действуют на воздух, и дело не в том, что производится отпечаток (как думают некоторые), а в том, что вызывается соответствующее движение. Воздух сжимается и расширяется и опять сжимается и так далее, ударяемый импульсами колеблющейся струны. Когда воздух движется и ударяет соседний воздух, тот перемещается вперед с импульсом следующая часть поступает таким же образом звук распространяется настолько далеко, насколько движение имеет место . [c.110]

Если трение между стержнем и кольцом отсутствует, то на свободном конце колеблющейся струны нет поперечной силы, действующей на струну. Это значит, что наклон струны на свободном [c.75]

Если число координат системы бесконечно, как в случае колеблющейся струны, то суммы становятся интегралами. Пусть т du и л — масса и перемещение элемента струны, отстоящего от нее на расстояние и. Тогда все уравнения (2) можно записать в виде одного уравнения [c.309]

Сопротивление воздуха. Предположим, что сопротивление воздуха, оказываемое на колеблющуюся струну, можно представить силой, действующей на каждый элемент струны и пропорциональной скорости этого элемента. Примем такой закон сопротивления независимо от того, являются ли колебания продольными или поперечными, хотя коэффициент сопротивления или трения может не быть одним и тем же для этих двух видов движения. [c.495]

Интенсивность волны колеблющейся струны 503 [c.543]

Возвращаясь теперь на время к физической стороне вопроса, мы предположим (впоследствии мы докажем, что это справедливо в широких пределах), что когда два или большее число источников звука возбуждают колебания воздуха одновременно, то результирующее возмущение в любой точке во внешнем воздухе или в слуховом проходе является простой суммой (в расширенном геометрическом смысле слова) тех возмущений, которые вызывались бы каждым источником, действующим в отдельности. Рассмотрим возмущение, обязанное одновременному звучанию какой-либо ноты и одной или всех ее гармоник. По определению, весь этот комплекс образует ноту, имеющую тот же самый период (и, следовательно, высоту), что и его самый низкий элемент. Сейчас у нас нет критерия, с помощью которого можно было бы различить два таких комплекса или обнаружить присутствие высших гармоник. И тем не менее их обычно нетрудно обнаружить на слух — по крайней мере в случае, когда составляющие звуки имеют независимое происхождение — с тем, чтобы произвести разложение смешанного звука. Это означает, что строго периодическое колебание в состоянии вызвать ощущение, не являющееся простым, но допускающее дальнейшее разложение. Фактически музыкантам давно было известно, что при некоторых условиях вместе с нотой можно слышать и ее гармоники, даже тогда, когда нота издается единичным источником звука, например колеблющейся струной смысл этого факта был, однако, непонятен. После того как этот вопрос привлек к себе внимание, было доказано (главным образом работами Ома и Гельмгольца), что почти все музыкальные ноты чрезвычайно сложны и состоят в действительности из нот гармонической шкалы, один или несколько членов которой в отдельных случаях могут отсутствовать. Мы сейчас коснемся причин несовершенства и трудности анализа. [c.34]

В качестве примера применения этих формул мы можем взять случай колеблющейся струны, у которой линейная плотность р не вполне постоянна. Если л отсчитывается от одного из концов струны, а у есть поперечное смещение, то конфигурация в любой момент времени представляется выражением [c.138]

Приближенное решение проблемы колеблющейся струны, обладающей почти, но не вполне, одинаковой линейной плотностью, было подробно рассмотрено в главе IV, 91 как удобный пример общей теории приближенно простой системы. Здесь будет достаточно повторить результат. Если плотность есть pQ-f-Sp, то период Ху г-го составляющего колебания дается следующим выражением [c.237]

Измерения, приведенные в моем мемуаре о резонансе, были основаны на ином принципе, именно, на оценке ноты максимального резонанса. Ухо помещалось вблизи некоторой полости, и проигрывалась хроматическая гамма. Этим путем оказалось возможно при небольшой практике оценивать высоту хорошего резонатора с точностью до четверти полутона. В случае небольших колб с длинными горлами, к которым предыдущий метод был бы неприложим, оказалось достаточным просто держать колбы вблизи колеблющихся струн рояля. Резонансная нота сама давала знать о себе дрожанием колбы, легко ощущавшимся пальцами. При пользовании этим методом важно выработать способность без предубеждения подразделять интервал между двумя последовательными полутонами. Если теоретический результат уже известен, то почти невозможно прийти к независимому суждению путем эксперимента. [c.200]

В одной из предыдущих глав ( 135) мы видели, что можно получить доказательство теоремы Фурье, рассматривая механику колеблющейся струны. Аналогичное рассмотрение задачи [c.278]

Папример, колеблющаяся струна состоит из очень большого, фактически бесконечного, числа атомов, непрерывно распределенных вдоль нее, и каждый из них совершает колебания. В этом случае х — номер (координата) атома, а р х,1)—амплитуда его колебания в момент времени [c.34]

Конфигурацию колеблющейся струны на частотах (4.39) можно легко нарисовать, когда амплитуды бегущей и отраженной волн не меняются вдоль шнура и равны между собой. Очевидно, что это будут стоячие волны, рассмотренные нами выше и соответствующие одинаковым граничным условиям на обоих концах шнура должны быть узлы смещения. [c.77]

Конечно, колебания струны вследствие сопротивления воздуха и внутреннего третш в резине постепенно затухают. При этом не только уменьшается амплитуда колебаний струны, но изменяется и форма колебаршй. Это объясняется тем, что, оттягивая струну в одной точке, мы возбуждаем в пей не одно нормальное колебание, а ряд нормальных колебаний (все, для которых эта точка ire является узловой). Но частоты этих колебаний различны и затухают эти колебания с разной скоростью ---тем быстрее, чем выше частота колебаний. Поэтому и изменяется форма колебаний к концу в струне остается только одно [гормальпое колебание, соответствующее наиболее низкой частоте, и колеблющаяся струна принимает форму синусоиды (рис. 425). Отдельные точки струны колеблются с одной и той же частотой, но с разными амплитудами, причем эти амплитуды распределяются по закону синуса. [c.653]

Колеблющаяся струна вызывает сжатие воздуха, с одной стороны, и в то же время разрежение — с другой. Так как выравнивание давления в воздухе происходит со скоростью звука, то эти сжатия и разрежения в значительной мере компенсируют друг друга. При этом осноинаи часть энергии колебания струны затрачивается не на возбуждение звуковой волны в воздухе, а на перекачку прилегающего к струне воздуха с одной ее стороны на другую. [c.233]

В этом сообщении я собираюсь показать на простейшем примере нерелятивистского свободного атома водорода, что обычные правила квантования могут быть заменены другими положениями, в которых уже не вводится каких-либо целых чисел . Целочисленность получается при этом естественным образом сама по себе подобно тому, как сама по себе получается целочисленность числа узлов при рассмотрении колеблющейся струны. Это новое представление может быть обобщено, и я думаю, что оно тесно связано с истинной природой квантования. [c.668]

С. Раман [8, 9] (1912—1917 гг.) подверг критике работу Дж. Релея, в которой отсутствует зависимость между фазой и амплитудой колебаний, и повторил опыты С. Мельде с целью нахождения фазовых соотношений м )жду движением колеблющейся струны и ножкой камертона . На основании своих опытов автор установил, что соотношение между фазами существенно зависит от амплитуды колебаний камертона. С. Раман также показал, что, если натянуть струну между двумя камертонами, собственные частоты которых panHHiVj иЛ , то при возбуждении колебаний в камертонах в струне возникнут колебания с частотой rN + j SN , где г и S — [c.6]

Асимптотическое распределение собственных частот для некоторых классов упругих систем. Данные об асимптотических распределениях даны в табл. 3. Для стержней, совершающих продольные или крутильные колебания, а также для колеблющихся струн собственные частоты распределены приблизительно равномерно. Асимптотически равномерное распределение наблюдается также для тонких пластин и для трехмерных упругих тел, все измгрения которых сопоставимы. Плотность частот для стержней, совершающих изгибные колебания, с увеличением частоты уменьшается. Более сложный характер носит распределение собственных частот для тонких упругих оболочек (см. гл. XIII). [c.177]

Daniel Bernoulli (1700—1782), один из младших представителей знаменитой семьи швейцарских математиков. В 1725—1733 гг. профессор математики в Санкт-Петербурге, в 1750—1782 гг. профессор физики в Бале. Его основные работы относятся к гидродинамике, теории колеблющихся струн п изгибу упругих балок- [c.66]

Стокс математически исследовал также случай цилиндра, осциллирующего под прямым углом к оси и в этом случае имеют место те же эффекты. Этим способом была получена оценка непосредственного излучения звуковых волн в воздух колеблющейся струной. Результат определяется отношением периметра поперечного сечения струны к длине звуковой волны в воздухе, и в любом практически интересном случае излучение чрезвычайно мало. Как было разъяснено в 24, почти весь звук при ударе ио струне фортепьяно идет от деки. [c.303]

Чтобы объяснить, почему это пр оисходит, вернемся к колеблющейся струне, закрепленной для лучшей слышимости звука на резонансной деке. Если осторожно прикоснуться к середине колеблющейся струны, издаваемый ею звук повысится на октаву. На первый взгляд кажется, что причина такого повышения очевидна —мы вдвое уменьшили длину струны, следовательно, вдвое снизили длину волны и удвоили частоту звука. Однако правильное объяснение таково приложив палец к струне, мы остановили ее [c.47]

Однако многие из этих исходных возмущений сами по себе производили бы лишь самый незначи-Т15льный шум. Мало проку было бы от нашей блокфлейты, не будь ее корпус резонатором колебания скрипичной струны были бы еле слышны в отсутствие деки пластмассовая оркестровая тарелка оказалась бы вообще бесполезной. Почему Это происходит по двум причинам. Во-первых, исходные возмущения в блок-флейте беспорядочны, а беспорядочный шум по своей природе не слишком эффективен. Возникшие вихри толкутся без согласованного взаимодействия, и в результате увеличение давления, созданное одним вихрем, часто нейтрализуется за счет падения давления, вызванного другим. Колеблющаяся струна излучает слабый звук, поскольку, как мы уже видели, окружающий ее воздух не сжимается и не разрежается, а просто обтекает ее. А деформация пластмассовой тарелки, обусловленная ударом, затухает слишком быстро, чтобы вызывать заметный шум. [c.106]

Используя указанные преобразователи, можно осуществлять контроль геометрических параметров при производстве интегральных схем — тол-Ш.ИНЫ нанесенного на подложку слоя или линейных координат положения стола фотоштампа. Преобразование перемещений осуществляется путем изменения деформаций двух тонких колеблющихся струн, при этом частота поперечных колебаний одной струны уменьшается, а другой — увеличивается. Разность частот струн является функцией измеряемого перемещения. [c.322]

Второй способ реализации устройства для измерения толщины нанесенного слоя материала сснован на явлении изменения частоты струнного автогенератора при изменении массы частотозадающего элемента, т. е. массы колеблющейся струны. [c.324]

Если число координат велико, то вычисление определителя, входящего в вековое уравнение, может оказаться весьма трудоемким. В ряде случаев координатами можно распорядиться так, что учобно воспользоваться исчислением конечных разностей. Если число ко1)рдинат бесконечно, как в случае колеблющейся струны, то получаемое таким путем уравнение в пределе принимает форму дифференциального уравнения с частными производными. Далее, иногда может случиться так, что хотя известны только некоторые из корней векового уравнения, можно найти СОО"вртствующие коэффициенты в ретеиии. [c.402]

С помощью этой же самой теоремы мы можем доказать, что увеличение массы какой-нибудь части колебательной системы сопровождается увеличением всех ее собственных периодов колебаний или во всяком случае, что ни оди№ из периодов при этом не может уменьшиться. Предположим, что приращение массы бесконечно мало. После изменения массы типы свободных колебаний вообще изменятся, однако с помощью подходящей связи можно добиться того, что система сохранит один какой-нибудь из прежних типов. Но если это сделано, то можно быть уверенным, что период колебания, предполагающего движение той части системы, масса которой была увеличена также увеличится. Только в частном случае (например, когда груз помещен в узле колеблющейся струны) период может остаться неизменным. Эта теорема позволяет нам утверждать, что удаление связи и последующее измене1ше типа колебания могут изменить период только на величину второго порядка и что, следовательно, в пределе собственный период колебания пе может быть меньше, чем он был перед изменением. Суммируя эффекты бесконечно малых изменений, мы заключаем, что конечное увеличение массы должно удлинить период каждого колебания, которое предполагает движение подвергшейся изменению части, и что ни в коем случае период не может уменьшиться однако, чтобы посмотреть, каково соответствие между двумя группами периодов, нужно предположить, что изменение делается шаг за шагом. [c.132]

Эти выражения не предполагают определенного частного движения, свободного или какого-либо иного тем не менее мы можем применять их для вычисления полной энергии свободно колеблющейся струны, а именно, если М есть полная масса труны (р/), а вместо 7 подставляется эквивалентная величина (а ), то для суммы энергий мы находим [c.209]

Узловые линии для квадратной пластинки 392 линии для мембран 328, 333. 343, 351 Узлы колеблющегося стержня 303, 307 >- колеблющейся струны 246 Уитстон 25, 52, 395, 400, 466 Уитстона мости1< 466 [c.503]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...