Задача об упругом стержне

Вариационное исчисление и граничные условия. Задача об упругом стержне Во всех наших предыдущих рассуждениях мы интересовались в основном дифференциальными уравнениями, которые получались как решение задачи о стационарном значении заданного определенного интеграла. Вывод этих уравнений при помощи интегрирования по частям показывает, что вариация определенного интеграла состоит из двух частей из интеграла,распространенного на данный интервал, и граничного члена. Мы не рассматривали до сих пор этот член, так как задача решалась при граничных условиях, обращавших его в нуль. Однако имеются случаи, когда граничный член играет более активную роль. Ниже, при изучении работ Гамильтона по решению дифференциальных уравнений динамики при помощи уравнения в частных производных, мы увидим, что в математически более сложных вопросах механики этот ранее отброшенный член окажется существенным. Здесь, однако, мы хотим обсудить другой аспект вопроса о граничном члене, имеющий более непосредственный физический смысл. [c.92]

Так же как и в статической задаче об упругом стержне ( 1 гл. 4), введем быструю координату и обозначим точкой произ- водную по этой координате, а штрихом — производную по медленной координате х. [c.292]

Рассмотрим более подробно решение этим методом задачи об упругом стержне постоянного поперечного сечения (рис. 5.1, а), один конец которого жестко закреплен, а к другому в момент времени / = О внезапно прикладывается сила р , которая затем сохраняет постоянное значение, т. е. р (() = Ро (О, где [c.255]

В 9ii рассматривалась задача об устойчивости стержня за пределами упругости. Она также относится к классу задач, не вписывающихся полностью в классическую схему. Чтобы пояснить это, вернемся к исходному определению устойчивости. [c.453]

Это означает, что С и Q для сплошного стержня инвариантны к частоте колебаний. Борн и Карман (1912 г.) решили задачу об упругих колебаниях кристалла с учетом периодической дискретной структуры кристалла. Существенное отличие спектра колебаний по Борну и Карману от спектра Дебая заключается в дисперсии скорости распространения упругих волн в дискретной среде. [c.199]

Для решения задач устойчивости, как мы уже выяснили, уравнения равновесия должны составляться для деформированного состояния упругого тела. Соответственно, применяя вариационное уравнение, в нем необходимо удерживать квадратичные члены в формулах для деформаций, как это было сделано для общей теории в 12.2 и для задачи об устойчивости стержня в 12.3. В задачах изгиба пластин достаточно удерживать те квадратичные члены, которые зависят от прогиба w, производные от перемещений мы сохраним лишь в первой степени. Повторяя вывод 12.4, мы найдем, что формулы (12.4.3) сохранят силу и в этом случае, но компоненты деформации срединной поверхности нужно будет вычислять по формулам [c.411]

Решение задачи об упруго-пластическом кручении стержня круглого поперечного сечения можно получить, предполагая, что поперечные сечения остаются плоскими и за пределом упругости материала. Тогда согласно формуле, полученной в сопротивлении материалов, в поперечном сечении стержня возникают только касательные напряжения [c.277]

Упрощение формул для координат центра изгиба. Формулы для координат центра изгиба, как это показал В. В. Новожилов в своем курсе теории упругости ), могут быть упрощены. Это упрощение состоит в том, что интегралы, содержащие функции изгиба и ф , можно выразить через интегралы, содержащие функцию кручения, и, таким образом, для определения координат центра изгиба достаточно решить более простую задачу о кручении стержня, нежели задача об изгибе стержня. Формулы для у1 и XI в этом случае имеют вид [c.344]

В таблице 18.9 приведены результаты решения задачи об устойчивости стержня с упруго опертыми концами для случаев, изображенных на рис. 18.28, г, д,е,0 С,з. [c.342]

Общий метод решения задач об упругом изгибе стержня в больших перемещениях разработан Е. П. Поповым [1]. Дальнейшее развитие эта теория получила в работе [2], где дано численное решение на ЭВМ задачи о больших перемещениях гибких стержней. В статье [6] предлагается метод аппроксимации найденных Е. П. Поповым нелинейных зависимостей алгебраическими выражениями. Вопросам статики и динамики гибких стержней и нитей посвящена фундаментальная работа В. А. Светлиц-кого [3]. [c.28]

При решении задачи об изгибе стержня нужно найти на диаграмме упругих параметров отображение отрезка периодической кривой, подобного изогнутой оси стержня. Главная ветвь А В периодической кривой (рис. 2.15, а) отображается на диаграмме упругих параметров вертикалью АВ, а некоторый отрезок 01 периодической кривой — соответствующим отрезком 01 на, диаграмме (рис. 2.15, б). Если отрезок 0D1 периодической кривой [c.38]

Динамическая задача об упругом неоднородном стержне [c.290]

Рассмотрим теперь в качестве примера динамическую задачу об упругом неоднородном стержне. Для него уравнение движения (1.I) будет иметь вид [c.292]

Большой интерес представляют также сингулярные задачи об упругом деформировании трехмерного тела, армированного тонкими стержнями или нитями из другого материала, при сплошной заделке стержня вдоль всей его боковой поверхности. Рассмотрим некоторые характерные задачи. [c.196]

Под стержнем понимают упругое тело, два размера которого малы по сравнению с третьим, обладающее конечной жесткостью на растяжение, кручение и изгиб. Благодаря тому обстоятельству, что толщина стержня является малой по сравнению с его характерной длиной, задача об изгибе стержня сводится к исследованию изгиба нейтральной линии, т.е. к одномерной задаче. Стержень, работающий на изгиб, часто называют балкой. Говоря о распространении изгибных волн, обычно имеют в виду такой тип колебаний стержня, при которых части стержня подвергаются изгибу, а элементы нейтральной оси в процессе колебаний совершают движение в поперечном направлении. [c.30]

Мы видели, что давление Р колеса на рельс распределяется на целый ряд опор. Чем больше жесткость рельса и чем податливее опоры, тем на большее число опор передается давление. Если сосредоточенные опорные реакции заменить сплошными реактивными усилиями, то мы перейдем от балки, лежащей на упругих опорах, к балке, лежащей на сплошном упругом основании. Такая замена повлечет за собой тем меньшие погрешности в вели-чине изгибающих моментов и опорных давлений, чем на большее число шпал распределяется давление от груза Р. Чтобы оценить эти погрешности, напомним здесь некоторые формулы, относящиеся к задаче об изгибе стержня на сплошном упругом основании. [c.326]

А. Сен-Венан и М. Леви, сформулировав основы теории идеальной пластичности, не дали решения каких-либо двумерных задач. Затем последовал почти сорокалетний перерыв в разработке этой проблемы- Возникший вновь в начале XX в. интерес к теории пластичности был поддержан тем, что Л. Прандтль и А. Надаи нашли в начале 20-х годов решения нескольких важных задач, а Г. Генки исследовал свойства линий скольжения при плоской деформации. Надаи рассмотрел задачи кручения жестко-пластических и упруго-пластических стержней. Помимо аналитического решения, он воспользовался интересной физической аналогией. Согласно ей, поверхность, описываемая функцией напряжений, аналогична поверхности кучи песка, насыпанной на сечение скручиваемого стержня, причем угол внутреннего трения песка пропорционален напряжению текучести. Если это сочетать с аналогией с мыльной пленкой для функции напряжений при кручении упругого стержня, принадлежащей Прандтлю, то задача об упруго-пластическом кручении иллюстрируется при помощи модели пленки, раздуваемой под крышей , образуемой поверхностью кучи песка. [c.266]

Пример. Рассмотрим задачу об упруго-пластическом изгибе стержня прямоугольного сечения прн М — 1600 кгс-см. Стержень (рнс. 9) изготовлен из стали ЗОХГСА, кривая дефор. мирования приведена на рис. 10. [c.545]

Задача об упруго-пластическом кручении цилиндрического стержня, поперечное сечение которого близко к эллипсу, а упругое ядро является эллипсом, рассматривалась В. В. Соколовским (Прикл. матем, и мех., 6 [c.567]

Было сделано немало попыток для преодоления указанных трудностей. Ю. Н. Работнов и С. А. Шестериков (1957) впервые применили к задаче об устойчивости стержней и пластин из нелинейного вязко-упругого материала динамический критерий устойчивости. При этом рассматривались возмущения, прикладываемые в некоторый момент времени г > 0. Было найдено некоторое критическое значение такое, что возмущения, приложенные при i приводят к немедленному росту перемещений. [c.349]

В 1892 г. Ф. Ясинский опубликовал своя первые работы об устойчивости сжатых колонн ), а в 1902 г. был опубликован сборник его трудов об устойчивости. Им был впервые решен ряд сложных задач (об устойчивости стержня на упругих опорах об устойчивости сжатого стержня в упругой среде определение критической нагрузки, неравномерно распределенной по длине колонны об устойчивости колонн ступенчатой формы при сжатии одной и двумя силами и мн. др.). Ещё в 1892 г. Ф. Ясинским было введено понятие о приведённой длине и о коэффициенте длины. Им же была составлена таблица критических напряжений в зависимости от гибкости, положенная в основу современных методов расчёта сжатых стержней. [c.671]

В заключение укажем, что при правильном выборе разрешающих параметров соотношения (1.36), (1.42) и (1.48) справедливы для всех задач об упругом равновесии стержней, круглых пластин и оболочек вращения, рассматриваемых в последующих главах. [c.15]

В монографии Е. Л. Николаи [51 ] детально рассматривается в области больших перемещений задача о пространственной упругой линии прямолинейного стержня с равными главными жесткостями при изгибе, нагруженного по концам силами и парами. Заслугой Е. Л. Николаи является также уточнение известной кинетической аналогии Кирхгофа, устанавливающей, что задача об изгибе первоначально прямолинейного стержня в области больших перемещений математически эквивалентна задаче о движении тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку. Это соответствие между вращением твердого тела и деформацией упругого стержня позволяет для определения его упругой линии использовать уже известные решения задачи о вращении тела. Е. Л. Николаи показал ограниченность этой аналогии не всякое решение задачи о вращении тяжелого твердого тела может быть применено Я, задаче об упругой линии. [c.836]

Ниже рассматриваются задачи об упругом равновесии пластинок единичной толщины, подкрепленных прямолинейными стержнями, при следующих упрощающих предположениях 1) изгибная жесткость стержня равна нулю 2) ширина стержня не влияет на напряженно-деформированное состояние пластины. При рассмотрении данного вопроса опущены задачи о передаче поперечных усилий, либо задачи, в которых учитывается изгибная жесткость стержня (см., например, работы [39, 253, 255]). [c.159]

Эта формула впервые была получена Ф. С. Ясинским именно при решении задачи об устойчивости стержня за пределом упругости. [c.417]

Построено замкнутое решение задачи об упруго-пластическом кручении цилиндрического стержня овального поперечного сечения. Рассмотрен ряд задач о жестко-пластическом кручении призматических стержней различных поперечных сечений и круговых, стержней различных продольных сечений. Приведено весьма простое решение задач о кручении конического стержня из упрочняющегося материала. [c.4]

При этом удобно применять следующий обратный метод задаваясь формой упругой зоны, находить форму контура поперечного сечения стержня, соответствующую этой зоне. Такой обратный метод, предложенный автором [86], позволяет решать многие задачи об упруго-пластическом кручении. [c.145]

Учебник для вузов, в которых сопротивление материалов изучается по полной программе. Книгу в целом отличает глубоко продуманная последовательность изложения - от частного к общему - и разумное повторение материала, позволяющее глубже вникнуть в существо вопроса. В первой части дается традиционный курс сопротивления материалов в элементарном изложении. Во второй части приводятся дополнения по некоторым вопросам, рассмотренным в первой части, а также рассматриваются задачи, требующие применения методов теории упругости. Таковы, например, задачи о кручении стержней, о местных напряжениях, об изгибе пластинок, о кручении тонкостенных стержней. Для возможности более обоснованной трактовки таких задач в книгу включен раздел, посвященный основным уравнениям теории упругости и некоторым наиболее простым задачам этой науки. [c.234]

Привести к квадратурам задачу об определении формы стержня кругового сечения (упругого прута), сильно изогнутого в одной плоскости приложенными к нему сосредоточенными силами. [c.105]

Рассмотрим задачу об устойчивости сжатого упругого стержня (рис. 81). Эта задача относится к числу исторически первых, решенных задач об устойчивости упругих [c.126]

Резюме. Решение дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений не единственно, если не добавлено нужное количество граничных условий. Задачи, связанные с нахождением стационарного значения определенного интеграла, всегда имеют нужное число граничных условий. Если условия задачи не дают достаточного количества граничных условий, то недостаюш,ие условия получаются из самой вариационной задачи, потому что граничный член в вариации б/ добавляет некоторые естественные условия к имеющимся условиям, наложенным извне . Задача об упругом стержне с различными способами закрепления концов прекрасно иллюстрирует это положение. [c.96]

Возвращаясь к примеру остроугольного клипа, обратимся к 3.6, где было дано элементарное рассмотрение задачи об изгибе стержня из упруго-идеально-пластического материала. На рис. 3.5.1 представлены эпюры напряжений в сеченпи. По мере роста изгибающего момента пластические зоны охватывают все большую часть сечения, упругая область суживается, и в пределе, когда М М , упругая область обращается в плоскость (на чертеже в линию), отделяющую растянутую область от сжатой. Таким образом, линия разрыва напряжений может рассматриваться как предельная конфигурация упругой области, если рассматривать полностью пластическое состояние тела как предельное состояние для тела упругопластического. Но в приведенном выше изложении теории предельного равновесия подобного рода соображения могут иметь лишь наводящий характер. [c.515]

Пример 10.11. При решении задачи об упруго-пластинеском кручении стержня с круглым поперечным сечением мы столкнулись с необходимостью иметь диаграмму сдвига материала в области пластических деформаций. Эту диаграмму можно получить либо из прямого испытания на кручение, либо же перестройкой диаграммы растяжения при помощи соотношений пластичности. [c.377]

Для задач об упругом контакте стержней, оболочек. и пластинок функции влия1ния находятся из известных соотношений между перемещениями и действующими нагрузками (например, с помощью интеграла Мора для стержней). [c.15]

Лившиц П. 3., Напряженное состояние в упругом цилиндре, нагру-HieHHOM ио его боковой поверхности касательными усилиями. Инженерный сборник, 30, стр. 47, 1960 Изв. АН СССР, Механика и машиностроение, № 4, стр. 105, 1964. К задаче об изгибе стержня кругового поперечного сечения. Изв. АН СССР, Механика и машиностроение, № 1, стр. 76, [c.919]

В 1855 г. Сен-Венан предложил находить в деформированном теле напряжения без определения перемещений элементов тела и решил задачу об упругом закручивании стержня. Конец XIX века знаменуется целым рядом исследований в области математической теории упругости. Укажем, например, на разработанный Буссинеском метод расчета давления в полуплоскости и полупространстве, рассмотренную Герцем задачу о местном [c.14]

Рассматривается развитие метода малого параметра применительно к упруго-пластическим задачам теории идеальной пластичности. В настоящее время имеется сравнительно небольшое число точных и приближенных решений упруго-пластических задач теории идеальной пластичности, поскольку возникаюш,ие здесь математические трудности весьма велики. Впервые задачу о распространении пластической области от выреза, вызываюш,его концентрацию напряжений в сечении скручиваемого стержня, решил Треффтц [1]. Он рассматривал уголковый контур и при решении задачи использовал метод конформного отображения. Несколько ранее Надаи [2] была предложена песчаная аналогия, позволившая в соединении с мембранной аналогией Прандтля осуш ествить моделирование задач упруго-пластического кручения стержней. В. В. Соколовский [3] рассмотрел задачу об упруго-пластическом кручении стержня овального сечения ряд решений задач о кручении стержней полигонального сечения был дан Л. А. Галиным [4, 5]. Большая литература посвящена одномерным упруго-пластическим задачам отметим работы [2, 3, 6-8]. Точное решение неодномерной задачи о двуосном растяжении толстой пластины с круговым отверстием было дано Л. А. Галиным [9], использовавшим то обстоятельство, что функция напряжений в пластической области является бигармониче-ской. Там же Л. А. Галин рассмотрел случай более общих условий на бесконечности. Впоследствии Г. Н. Савин и О. С. Парасюк [10-12 рассмотрели некоторые другие задачи об образовании пластических областей вокруг круглых отверстий. [c.189]

Разделим все задачи об упругом изгибе стержня при больших. перемещениях на три ласса 1) задачи основного класса 2) задачи, сводящиеся к основному классу 3) задачи, не сводящиеся к основному классу. [c.20]

Задача об упругом равновесии стержня, боковая поверхность которого нагружена усилиями, являющимися полиномиальными функциями осевой координаты, называется задачей Альманзи. Частный случай этой задачи, когда боковая нагрузка не зависит от осевой координаты, изучался еще Дж. Г. Мичеллом. В 1960 г. Г. Ю. Джанелизе опубликовал общий прием решения задачи Альманзи в напряжениях, сводящийся к решению ряда [c.32]

В ряде задач оказывается необходимым учесть контактную деформацию поверхностных слоев. Приведенное решение окажется справедливым и в этом случае, но функция 113(9) должна определяться на основании специальных экспериментальных исследований. Решение задачи об упругом контакте стержней может быть применено для пластинок, что представляет интерес при расчете беспрокладочных фланцевых соединений. [c.135]

В работе Ю. И. Ларькина [138] при решении задачи об упругом равновесии полуплоскости или плоскости, скрепленных с упругим стержнем конечной длины, использовался метод Б. Н. Жемочкина . Проведе- но сравнение полученного решения с решениями этой же задачи, найденными другими авторами. [c.162]

Вторая аналогия между задачей об упруго-пластическом кручении цилиндрических стержней и задачей о течении нелинейно — вязкой жидкости в цилиндрических трубах была указана Е. Верлеем [168]. [c.144]

Подчеркнем, что все сказанное о волнах справедливо для распространения сравнительно малых возмущений (условие малости деформаций использовалось при выводе дифференциального волнового уравнения в рассмотренных задачах об упругих волнах в стержне и струне). Сильные возмущения подчиняются более сложным уравнениям, чем дифференциальное волновое уравнение (40.4), и их поведение весьма специфично. Упомянем ударные воякь [, солитоны в жидкостях и газах и т.п. Некоторые явления, связанные с распространением сильных возмущений, например смерчи, до сих пор не объяснены. [c.141]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...