Продольные колебания упругого стержня

Все сказанное о колебаниях струн при известных условиях справедливо и для продольных колебаний упругого стержня. Если оба конца стержня закреплены, то они находятся в таких же условиях, [c.654]

ДОБАВЛЕНИЯ К ГЛАВЕ VI I. Продольные колебания упругого стержня [c.459]

Точно таким же образом, как это было сделано для продольных колебаний пружины, можно вывести уравнение продольных колебаний упругого стержня. Ход рассуждений будет полностью аналогичен, но в этом случае целесообразно ввести модуль упругости Е и плотность р материала стержня. Таким образом приходят к уравнению движения (2.42), где константа имеет значение [c.43]

ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ [c.240]

Пользуясь принципом Гамильтона — Остроградского, составить дифференциальное уравнение продольных колебаний тонкого стержня, заделанного на одном конце и с массой т на другом конце, и получить граничные условия. Плотность материала стержня р, модуль продольной упругости Е, площадь поперечного сечения Р, длина I, [c.377]

Тому же уравнению подчиняются продольные колебания однородного стержня (или газа в трубе). Параметр v равен п = / /р, где —модуль упругости материала, р —объемная плот- [c.320]

Такое дифференциальное уравнение мы рассматривали неоднократно, последний раз — при исследовании продольных и крутильных колебании упругого стержня. Среди рассмотренных там случаев находится также случай, в котором должны быть выполнены такие же граничные условия, как и здесь определенное уже частное решение, а также все, что было сказано о возможных простых тонах и соответственных узлах, годится и здесь. Из указанных там частных решений мы составим теперь более общее для поперечных колебаний струны. Чтобы несколько сократить формулы, введем такие единицы длины и времени, чтобы / = л и продолжительность простого колебания при основном тоне была равна я. Тогда одним частным решением будет [c.368]

Параметрические колебания упругого стержня как неустойчивость режима установившихся вынужденных продольных колебаний. Пусть и (х, t) — продольное перемещение точек оси стержня, EF — жесткость сечения при растяжении (сжатии). С учетом наиболее существенных нелинейных членов уравнения совместных продольных и поперечных колебаний имеют вид [c.247]

Последние два вектора определяют формы упругих продольных колебаний рассматриваемого стержня (рис. 10.2). [c.364]

В фундаментальной работе Пуассона 1829 г. содержится, помимо указанного выше, немало других важных результатов из общих уравнений теории упругости вновь выведено уравнение для продольных колебаний тонких стержней, раньше полученное Навье (1824 г.), и для их поперечных (изгибных) колебаний, а также впервые дано уравнение для их крутильных колебаний. Там же решена задача о свободных радиальных колебаниях упругой сферы. Эти результаты стали отправными для многочисленных работ, сколько-ни-будь подробное освещение которых возможно лишь в специальном исследовании по истории теории упругости. Здесь достаточно сказать, что этими работами был подготовлен новый этап в развитии теории колебаний, обобщение основных положений, относящихся к линейным колебательным системам с конечным числом степеней свободы, на линейные колебательные системы с бесконечно большим числом степеней свободы. Один из общих результатов такого рода был установлен Стоксом в работе О динамической теории дифракции название которой напоминает о том, что в эту эпоху — эпоху торжества теории упругого светоносного эфира Юнга — Френеля оптика снова содействовала развитию теории колебаний, как и во времена Гюйгенса. Для свободных колебаний системы с конечным числом степеней свободы, вводя нормальные координаты , для изменения каждой из них, получают уравнение вида [c.277]

Одномерные волновые уравнения (6), (6 ) или (6") являются классическими уравнениями математической физики. К такого рода уравнениям приводит решение задачи о продольных и крутильных колебаниях упругого стержня и др. Общее решение каждого из этих уравнений, как известно, можно представить в виде суммы двух произвольных функций [c.154]

Покажем теперь, что задача о продольных колебаниях этого стержня может иметь лишь единственное решение при условии упругой заделки его концов (в частности, при свободных или при жестко закрепленных концах), а также задания перемеш ения сечений гг, их скоростей (1и/(И и, кроме того, напряжений а в начальное мгновение о= О как функций переменной ж, т.е. продольной координаты сечений стержня. [c.483]

Ультразвуковые измерения 92 Упругие постоянные 17, 178, 182 Упругий импульс в цилиндрическом стержне 73 Уравнение частот продольных колебаний цилиндрического стержня 61 Уравнении движения изотропного упругого тела 83 --упругой среды 18 [c.190]

Свойства колебаний, совершаемых упруго-вязким телом, можно проиллюстрировать на примере продольных колебаний упруго-вязкого стержня, описываемых уравнением [c.136]

Дифференциальное уравнение параметрических колебаний упругого стержня, опертого по концам и сжатого силой Р (() (рис. 3). Пренебрегая продольными колебаниями, найдем, что в линейном приближении изгибные колебания описываются уравнением [c.349]

МОЖНО изменять его жесткость и тем самым осуществлять настройку ВЗУ иа заданный режим. Колебания рабочего органа при такой упругой системе будут происходить в плоскости, перпендикулярной продольной оси упругого стержня, которая расположена под некоторым углом к горизонту. [c.181]

В главе VI изучаются упругие колебания систем с распределенными массами (продольные колебания прямолинейных стержней, крутильные колебания валов, изгибные колебания балок). [c.4]

Рассмотрим простой пример продольные колебания прямого стержня с малой нелинейной добавкой в соотношениях упругости [c.250]

Рис. 2.7. а — Частотный спектр колебаний продольно изогнутого упругого стержня при возбуждении с малой амплитудой (линейный периодический отклик) б — частотный спектр колебаний продольно изогнутого упругого стержня при более сильном возбуждении (широкополосный спектр отклика объясняется хаотичностью колебаний). [c.56]

Подходы, применявшиеся к решению задач, излагавшихся в предыдущих параграфах, обнаруживают известное сходство с методом нормальных форм колебаний, с помощью которого исследовались в гл. 4 системы со многими степенями свободы. Теперь применим метод нормальных форм колебаний к исследованию призматических стержней с непрерывно распределенной массой и бесконечным числом степеней свободы. Хотя метод будет сформулирован применительно к частной задаче о продольных колебаниях призматических стержней, общие положения рассматриваемого здесь метода нормальных форм колебаний можно распространить на исследование произвольных упругих тел. [c.338]

Продольные неустановившиеся колебания упругих стержней рассмотрены также в работах [1.137, 1.164, 1.194, 1.244, 1.333]. [c.114]

Составить, исходя из уравнения (81.4), дифференциальное уравнение продольных колебаний упруго-вязкого стержня [c.403]

Последнее соотношение обычно используют для определения модуля упругости по резонансным частотам продольных колебаний тонких стержней. Форма колебаний определяется выражением [c.70]

К продольным колебаниям относят такие колебательные движения системы, в частности упругого стержня, при которых перемещения всех точек направлены вдоль оси стержня при этом имеет место деформация его удлинения или укорочения. Возникающие при та- [c.530]

Например, эта теория используется при рассмотрении взаимно связанных продольных и поперечных колебаний тонких упругих стержней, при изучении колебаний пластины, находящейся под действием касательных и нормальных к срединной поверхности силовых воздействии, при исследовании колебаний кручения коленчатых валов, если принимается во внимание переменность приведенного момента инерции кривошипно-шатунного механизма, при исследованиях колебаний спарников ведущих колес электровозов и т. д. [c.316]

С этой целью рассмотрим продольные собственные колебания, возникающие в однородном упругом стержне длиной I (рис. 432). Положим, что концы стержня свободны и на один из его торцов (для определенности — левый) в результате удара в момент t = О начинает действовать кратковременная сила /, направленная вдоль оси х вправо (мы не будем учитывать движения стержня как целого). Как было [c.659]

К продольным колебаниям относят такие колебательные движения системы, в частности упругого стержня, при которых перемещения всех точек направлены вдоль оси стержня при этом имеет место деформация его удлинения или укорочения. Возникающие при такого рода колебаниях нормальные напряжения распределены равномерно по поперечному сечению. Следовательно, продольные колебания иначе можно назвать колебаниями растяжения — сжатия. [c.592]

В гл. 5 рассматриваются некоторые общие свойства упругих и пластических стержневых систем. Существенно заметить, что вариационные принципы теории упругости, ассоциированный закон течения, свойство выпуклости поверхности нагружения для пластической системы доказываются здесь совершенно элементарно. Все эти теоремы будут сформулированы и доказаны впоследствии при более общих предположениях. Автору представляется по опыту его педагогической работы, что иллюстрация общих принципов на простейших примерах, где эти общие принципы совершенно очевидны, способствует лучшему их пониманию и усвоению. Гл. 6 посвящена теории колебаний, которая должна занять подобающее место как во втузовских, так и в университетских программах. Кроме собственно задач о колебаниях здесь излагается метод характеристик для решения задач о продольных волнах в стержнях. Этот метод настолько прост И ясен, что им можно пользоваться и его легко понять, не прослушав общего курса дифференциальных уравнений математи- [c.12]

Переход от дискретной системы к непрерывной. В качестве примера применения такой процедуры рассмотрим задачу о продольных колебаниях бесконечно длинного упругого стержня. Дискретная система, аппроксимирующая этот стержень, состоит из бесконечного числа точек равной массы, отстоящих друг от друга на расстоянии а и связанных между собой невесомыми пружинами с жесткостью k (рис. 71). Мы будем предполагать, что эти точки могут двигаться только вдоль прямой, на которой они Лежат. Эту дискретную систему можно рассматривать кйк обобщение линейной трехатомной молекулы, исследованной в предыдущей главе. Поэтому мы можем воспользоваться обычным методом изучения малых колебаний. Обозначая отклонение t-й точки от положения равновесия через Цг, получаем выражение для кинетической энергии [c.377]

В качестве простого примера применения полученных уравнений рассмотрим снова продольные колебания длинного упругого стержня. В этом случае й будет определяться формулой [c.385]

Li лагранжиан на единицу длины в задаче о продольных колебаниях бесконечно длинного упругого стержня, [c.408]

Приливная волна. Можно провести интересную аналогию между продольными колебаниями упругого стержня и горизонтальным движением воды, когда в русло реки илн канал со стороны моря идст приливная волна. Уравнение движения в каждом случае одно и то же, а сопротивление дается выражением 2f dlldt. [c.498]

В первой главе рассматриваются общие закономерности колебания упруговязких систем. Выводятся условия, при которых решение может быть разложено в ряды по собственным функциям недемпфированной системы. С помощью методов возмущений анализируется влияние ошибок исходных параметров на точность вычисления собственных частот и векторов. Введение комплексных модулей упругости позволило использовать единую методологию при рассмотрении собственных и вынужденных колебаний, а также систем с сосредоточенными и распределенными параметрами. На конкретных примерах показывается, что эквивалентная масса, которую Е. Скучик полагал постоянной, оказывается зависящей от вида формы колебаний и для каждого из них сохраняет стабильные значения в широком диапазоне частот. Наиболее полными характеристиками виброизолирующих свойств механических структур являются комплексные переходные податливости. Рассмотрена эффективность виброизоляции конкретных конструкций. Приводится решение задачи о распространении продольных колебаний по стержню при наличии сухого трения и даются конкретные примеры приложения этой задачи. [c.5]

Нелинейное дифференциальное уравнение параметрических колебаний упругого стержня, нагруженного продольной силой Р (t) = Р(, + -f Pi osoj с учетом перечисленных выше нелинейных факторов, имеет вид [35] [c.9]

В то же время ряд задач механики и автоматического управления сводится к исследованию систем со случайно изменяющимися параметрами, которые находятся под действием детерминированных или случайных[внеш-них возмущений. Здесь можно указать на задачи управления системами, содержащими в качестве звена человека-оператора [74, 75]. В работе [75] описывается структурная схема системы человек—машина.Подчеркивается, что в настоящее время информационные комплексы, автоматические системы контроля и т. д. содержат живое звено — человека-оператора. Эффективность работы системы человек — машина во многом определяется функциональным состоянием последнего. Приводятся значения коэффициентов отличия некоторых функциональных состояний от состояния оперативного покоя оператора и решается статистическая задача обнаружения сигналов состояния внимания и состояния эмоционального напряжения человека. Задачи сопровождения, телеуправления ит. п., связанные с приемом и передачей сигналов, распространяющихся в статистически неоднородной среде, задачи стабилизации и гиростабилизации также сводятся к исследованию систем со случайно изменяющимися параметрами. В качестве примеров из механики можно привести задачу об изгиб- ных колебаниях упругого стержня под действием периодической во времени лоперечной нагрузки и случайной во времени продольной силы, а также задачу о прохождении ротора через критическое число оборотов при ограниченной мопщости [76] и случайных изменениях массы или упругих характеристик системы ротор — опоры . [c.15]

Техническая теория продольных колебаний стержней. Под стержнем понимают одномерное упругое тело (два размера малы по сравнению с третьим), обладающее конечной жесткостью на растяжение, кручение и изгиб. Пусть стержень, отнесенный к прямоугольной декартовой системе координат Oxyz, совершает продольные колебания. Параметры стержня являются функциями только одной продольной координаты X. По гипотезе плоских сечений любые точки, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оси стержня, имеют одинаковые перемещения =-- и (х), 112= Н = 0. Все компоненты тензоров напряжений и деформаций, кроме Оц и считают пренебрежимо малыми. Выражения для потенциальной энергии деформации, кинетической энергии и потенциала внешних сил имеют вид [c.146]

Пример продольные колебания упруго-вязкого стержня. Предполагая, как обычно, поперечные сечения стержня неискри-вляющимися, внесем в дифференциальное уравнение движения [c.300]

Принцип Вольтерра [1], который используется при решении статических упруго-наследственных задач, может быть с успехом распространен на динамические упруго-наследственные задачи, в частности, на задачу о свободных продольных колебаниях однородного стержня, возникших в результате снятия сжимающ,их нагрузок в начальный момент времени =0. Пусть длина недефор-мированного стержня была 21, а сжатого до момента t=0 — [c.128]

Как указал Рудольф Юлиус Эммануэль Клаузиус ( lausius [1849, 1]) в своей сильной, хотя отчасти некорректной критике Вертгейма и Вебера, состоящей в том, что динамическая скорость в ( юрмуле Дюамеля является дилатационной волновой скоростью в неограниченной среде, которая заметно выше, чем скорость распространения продольных колебаний в стержне. Клаузиус пытался опровергнуть термические опыты Вебера (см. гл. II, раздел 2.12) и определенные по их данным удельные теплоемкости не на основании ограничений и приближений, связанных с термодинамическим анализом, а исходя из предположения, что Вебер не учитывал эффекта упругого последействия, который, как полагал Клаузиус, должен иметь место в металлах так же, как и в шелке. Вычислив заново отношения Вертгейма, найденные на основе измерения скоростей волн в стержнях, Клаузиус получил значения удельных теплоемкостей, которые, как он считал, были невозможными. Отсюда он заключил, что Вертгейм также должно быть не учитывал эффекта упругого последействия в металлах. В написанном в сильных выражениях ответе на это предположение о том, что упругое последействие может быть причиной расхождения между динамическими и квазистатическими измерениями, выполненными Вебером и Верт-геймом, Вертгейм в своем последнем мемуаре 1860 г. отклонил предположение Клаузиуса о том, что причиной расхождения было упругое последействие Вебера (Wertheim [1860, 1]. См. также [1852, 3]). [c.302]

Сказанным выше история проблемы струны в XVIII в. еще не исчерпана. Эйлер и Лагранж неоднократно возвращались к ней в других работах, помимо указанных выше. Наиболее полное изложение дал Лагранж в Аналитической механике , особенно во втором издании. Отметим только, что он там анализирует и продольные колебания струны, замечая под конец Все авторы, писавшие до сих пор по вопросу о колебаниях звучащих струн, исследовали только поперечные колебания... Что касается продольных колебаний, то, насколько я знаю, только Хладни упомянул о них в своем интерес-ном трактате по акустике... Упомянем также, что Д. Бернулли и Эйлер занимались другой одномерной задачей теории малых колебаний — поперечными колебаниями упругих стержней. [c.270]

К работам рассматриваемого направления может быть отнесено исследование А. Е. Крушевского и А. 3. Севенюка [12], посвященное построению структуры решения задачи по определению спектра частот продольных колебаний консольного стержня прямоугольного сечения с круглым отверстием. Авторами построены степенные ряды для упругих перемещений при условии отсутствия нагрузки на четырех гранях параллелепипеда и цилиндрической поверхности отверстий. В работе рассмотрены ряды по 22-ю степень включительно и построено 39 уравнений связей. [c.289]

В рассмотренном случае обертоны струны (а также продольных колебаний стержня) оказались гармоиимсскими. Это обусловлеь о упомянутым в 146 обстоятельством — пропорциональностью между смещениями и возникающими силами — и однородностью сплощной системы плотность и упругие свойства струны во всех точках одни и те же. Поэтому и скорость распространения импульса вдоль всей струны одис и та же. Импульс отражается только от второго конца струны. [c.672]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...