Продольные движения упругого стержня

Продольные движения упругого стержня [c.78]

Рис. 2.3. Запись движения продольно изогнутого упругого стержня, иа которой э метны перескоки между двумя устойчивыми положениями равновесия.

Точно таким же образом, как это было сделано для продольных колебаний пружины, можно вывести уравнение продольных колебаний упругого стержня. Ход рассуждений будет полностью аналогичен, но в этом случае целесообразно ввести модуль упругости Е и плотность р материала стержня. Таким образом приходят к уравнению движения (2.42), где константа имеет значение [c.43]

К продольным колебаниям относят такие колебательные движения системы, в частности упругого стержня, при которых перемещения всех точек направлены вдоль оси стержня при этом имеет место деформация его удлинения или укорочения. Возникающие при та- [c.530]

С этой целью рассмотрим продольные собственные колебания, возникающие в однородном упругом стержне длиной I (рис. 432). Положим, что концы стержня свободны и на один из его торцов (для определенности — левый) в результате удара в момент t = О начинает действовать кратковременная сила /, направленная вдоль оси х вправо (мы не будем учитывать движения стержня как целого). Как было [c.659]

К продольным колебаниям относят такие колебательные движения системы, в частности упругого стержня, при которых перемещения всех точек направлены вдоль оси стержня при этом имеет место деформация его удлинения или укорочения. Возникающие при такого рода колебаниях нормальные напряжения распределены равномерно по поперечному сечению. Следовательно, продольные колебания иначе можно назвать колебаниями растяжения — сжатия. [c.592]

Во многих машинах и приборах в качестве элементов конструкции или чувствительных упругих элементов используют гибкие и абсолютно гибкие стержни, имеющие продольное движение. Классическим примером таких упругих элементов являются передачи с гибкой связью (рис. 5.1). В электротехнической промышленности при технологических процессах смотки и намотки провода (рис. 5.2), в прокатной (рис. 5.3), текстильной (рис. 5.4) и ряде других отраслей надо рассчитывать гибкие элементы. В последнее время значительно увеличились скорости при намотке в рулоны готовой продукции, которые могут достигать 50—70 м/с. Гибкие стержни используют и в системах управления по проводам движущимися объектами (рис. 5.5). Скорость движущегося объекта достигает 100 м/с, поэтому возникающие дополнительные усилия в проводнике (нити) оказывают существенное влияние на его прочность. [c.104]

Пример 3. Уравнение возмущенного движения тонкого упругого стержня, нагруженного сжимающей продольной силой М, при малых отклонениях от прямолинейной формы равновесия имеет вид [c.460]

Прежде чем переходить к анализу полученного решения, необ ходимо уточнить постановку задачи о распространении волн в сто хаотической упругой среде. Классическое волновое уравнение (8.1) описывающее продольные волны в стержне постоянного сечения можно использовать для формулировки стохастической задачи если плотность материала р — случайная функция координаты х а модуль упругости Е — постоянная величина. Однако в мате риале, обладающем пространственной неоднородностью, оба параметра р и Е переменны. Уравнение движения при продольном растяжении (сжатии) имеет вид [c.233]

Ультразвуковые измерения 92 Упругие постоянные 17, 178, 182 Упругий импульс в цилиндрическом стержне 73 Уравнение частот продольных колебаний цилиндрического стержня 61 Уравнении движения изотропного упругого тела 83 --упругой среды 18 [c.190]

Для обширного класса задач теории упругой устойчивости уравнения возмущенного движения содержат коэффициенты, периодически зависящие от времени. Таковы задачи об устойчивости установившихся вынужденных колебаний упругих систем прямолинейного упругого стержня, сжатого периодической продольной силой, упругой пластины или оболочки, совершающей периодические колебания в условиях безмоментной деформации, и т. д. К этому классу примыкают также некоторые задачи теории упругих колебаний для систем, параметры которых периодически изменяются во времени. Явления неустойчивости в таких системах называются параметрическим резонансом. [c.353]

Постановка задачи. Рассмотренные выше задачи параметрических колебаний можно трактовать как задачи об устойчивости некоторых режимов установившихся вынужденных колебаний. Поясним это на примере задач, показанных на рис. 1. В случае, показанном на рис. 1, а, роль невозмущенного движения играют продольные колебания стержня, в случае рис. , б — радиальные колебания кольца, в случае 1, в — колебания пластинки в своей плоскости и т. д. Однако весь предыдущий анализ базировался на предположении, что перемещения в невозмущенном состоянии пренебрежимо малы. Рассмотрим уточненную постановку задачи для случая упругого стержня, сжимаемого периодической продольной силой (рис. 3). [c.365]

Среди различных типов собственных колебаний, возникающих в упругом стержне, продольные колебания являются наиболее простыми для исследования. В стержне могут возникнуть крутильные и поперечные колебания, которые рассматриваются в соответствующих параграфах. При исследовании продольных колебаний предполагаем, что поперечные сечения стержня остаются плоскими и что каждая точка поперечного сечения совершает только осевые перемещения. Продольные растяжения и сжатия, имеющие место при таких колебаниях стержня, сопровождаются возникновением той или иной величины поперечных деформаций. Однако в последующем обсуждении рассмотрим только те случаи, для которых длина продольных волн колебаний велика по сравнению с размерами поперечных сечений стержня. В этих случаях , не совершая существенной ошибки, можно пренебречь влиянием поперечных перемещений на характер продольных движений [c.323]

Наибольший интерес приближенные уравнения продольных колебаний стержней представляют в теории соударения упругих тел. Это объясняется тем, чto уравнения трехмерной теории упругости слишком сложны даже для решения задач неустановившихся движений в стержне. В случае же упругого продольного соударения стержней или удара по стержню [c.109]

Продольная скорость волны для стали, определенная из (П.З), равна примерно 5200 м/с. Выбирая У = 300 Н/мм , получаем максимальную скорость удара для упругих деформаций, равную 7.5 м/с. При скоростях, меньших этого значения, упругий гистерезис в стали приводит к замедлению движения упругой волны в течение времени прохождения стержня. Если эта скорость превышается, то конец стержня становится деформированным пластически и за упругой волной, движущейся со скоростью Со, следует более медленная пластическая волна. [c.389]

Из раскрытой В. Н. Челомеем динамической аналогии между явлением в упругих Системах и рассмотренным Н. Н. Боголюбовым движением маятника с пульсирующей осью подвеса [дифференциальное уравнение движения стержня, возбуждаемого на конце продольной составляющей центробежной силы вращающейся массы (131) в точности совпадает с уравнением малых колебаний маятника с пульсирующей осью [c.89]

С точки зрения инженерных приложений уравнение типа (5.1) можно трактовать по-разному. Это соотношение можно рассматривать как уравнение параметрических колебаний реальной системы. Классическим примером является движение маятника, точка подвеса которого совершает случайные колебания в направлении гравитационных сил. Уравнение типа (5.1) можно использовать как одномерную модель параметрических колебаний сжатого стержня и других упругих конструкций под действием продольных -сил, изменяющихся во времени по случайному закону. [c.134]

Для вывода дифференциального уравнения продольных упругих колебаний стержня нам пришлось бы рассмотреть движение каждого его элемента (см. добавление I к гл. VI). [c.220]

Твердые тела, в отличие от жидкостей, наряду с объемной упругостью характеризуются также упругостью по отношению к сдвиговым деформациям. Поэтому картина упругих волн в твердых телах значительно богаче, чем в жидкостях. Уже в неограниченной твердой среде могут существовать не только продольные, но и поперечные волны, обусловленные сдвиговой упругостью. Наличие границ раздела приводит к появлению новых типов распространяющихся возмущений — поверхностных и граничных волн, волн в пластинах, стержнях и т. д. При описании свободных волновых движений изотропной твердой среды будем исходить из общего [c.193]

НОРМАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ в пластинах и стержнях — гармонические упругие возмущения, распространяющиеся в пластинах и стержнях. В отличие от упругих волн в неограниченных твёрдых средах, Н. в. в пластинах и стержнях удовлетворяют не только ур-ниям теории упругости, но и граничным условиям на поверхностях пластины и стержня (в большинстве практич. случаев эти условия сводятся к отсутствию механич. напряжений на поверхностях). Из-за граничных условий характеристики Н. в., в частности их упругое поле (т. е. распределение смещений и напряжений по поперечному сечению пластины или стержня), существенно более сложны, чем у волн в неограниченных твёрдых средах. Вместе с тем Н. в. в пластинах и стержнях — это такие же элементарные волны, как продольные и сдвиговые в неограниченной среде, в том смысле, что любое сложное волновое движение в пластине и стержне распадается на сумму Н. в., а поток упругой энергии равен сумме потоков во всех Н. в. [c.235]

При определении частот и форм низших тонов свободных колебаний больших ракет-носителей применяют балочную схематизацию. Корпус представляется в виде прямой неоднородной балки (стержня) с упругоподвешенными грузами, колебания которых имитируют колебания жидкости в баках. Для расчета частот свободных колебаний жидкости в баках ракеты при поперечных движениях стенки бака обычно принимают жесткими, а при продольных движениях — упругими, поскольку в этом случае деформации стенок бака оказываются существенными. [c.15]

Приливная волна. Можно провести интересную аналогию между продольными колебаниями упругого стержня и горизонтальным движением воды, когда в русло реки илн канал со стороны моря идст приливная волна. Уравнение движения в каждом случае одно и то же, а сопротивление дается выражением 2f dlldt. [c.498]

Ui( t — x), МЫ предлшагаем, что функции щ по крайней мере дважды дифференцируемы, в противном случае подстановка их в уравнения движения была бы бессмысленна. Первые производные от функций Ui по времени — это скорости. Напряжения выражаются через первые производные от перемещений по координатам. Эти первые производные должны быть непрерывны, следовательно, волны рассматриваемого типа не могут нести разрывов скоростей или разрывов напряжений. Для стержня мы сразу предположим, что на фронте волны скорость и деформация, а следовательно, напряжение, меняются скачком, и получим скорость фронта в этом предположении. Волны, несущие разрывы производных от перемещений, т. е. скоростей и напряжений, называются волнами сильного разрыва или ударными волнами. Возможность распространения ударных волн в неограниченной упругой среде со скоростями с, и Сг требует дополнительного обоснования. Для продольных волн сильного разрыва применение этого обоснования получается в результате буквального повторения анализа 2.10 для стержня. Совершенно аналогичные рассуждения, основанные на теореме о количестве движения, позволяют установить возможность распространения ударных волн искажения. Таким образом, уравнения движения упругой среды допускают решения, содержащие разрывы первых производных от перемещений. [c.441]

Задачи об устойчивости состояний равновесия занимают одно из центральных мест в теории устойчивости механических систем. К этому классу принадлежит большинство задач об устойчивости элементов конструкций и машин, загруженных квазистатическими силами. Кроме того, многие задачи устойчивости движения также приводятся к задачам об устойчивости состояний равновесии. Так, стационарное движение системы при силах, не зависящих от времени, может быть представлено в виде некоторого относительного равновесия. В других случаях нестационарностью невозмущенного движения допустимо пренебречь. Например, рассматривая устойчивость прямолинейной формы упругих стержней, нагруженных продольньпаи силами -периодическими функциями времени, обычно пренебрегают продольными колебаниями от действия этих сил [3]. Задача об устойчивости движения в результате сводится к родственной задаче об устойчивости равновесия. [c.473]

Пример продольные колебания упруго-вязкого стержня. Предполагая, как обычно, поперечные сечения стержня неискри-вляющимися, внесем в дифференциальное уравнение движения [c.300]

К расчету подъемных шахтных канатов. Их подробный обзор содержится в книге Г. Н. Савина и О. А. Горошко (1962). Н. М. Беляев (1925) положил начало развитию теории динамической устойчивости движений упругих систем, решив задачу об устойчивости прямолинейного призматического стержня с шарнирными опорами, сжатого продольной гармонически меняющейся со временем силой. Результаты последующих работ в этой области суммированы в монографии В. В. Болотина (1956). [c.293]

В. В. Соколовского (1948), в которой для анализа распространения продольных волн в стержне была использована известная (предложенная К. Хоэнемзером и В. Прагером) упруго-вязко-пластическая модель материала. При скоростях деформаций, равных нулю, уравнения этой модели переходят в уравнения идеальной пластичности, а при бесконечно больших скоростях деформаций — в уравнения теории упругости. Модифицированная модель, учитывающая деформационное упрочнение материала, была предложена в 1951 г. в США Л. Малверном. Уравнения одноосного движения, основанные на этой модели, принадлежат к гиперболическому типу. [c.303]

Помимо флаттера или колебаний на предельном цикле в модели на магнитной подвеске возможны статические бифуркации. Так, при определенных скоростях вертикальное состояние равновесия может смениться парой устойчивых наклонных состояний, показан-нь1Х на рис. 3.21. Эта неустойчивость известна в динамике летательных аппаратов как расхождение колебаний, она аналогична выпучиванию упругой колонны. В наших экспериментах хаотические колебания обнаруживались, когда система была подвержена расхождению колебаний (множественности состояний равновесия) и флаттеру одновременно. Флаттер обеспечивает перебрасывание модели с одной стороны направляющих на другую, как это происходит и в задаче с изогнутым стержнем, обсуждавшейся в гл. 2. Но математическая модель этой неустойчивости имеет две степени свободы. Динамические свойства боковых и продольных движений изучались с помощью киносъемки хаотических колебаний (рис. 3.22). ЗИ и колебания довольно сильны, и если бы они происходили яа настоящей машине, движущейся со скоростью 4(Ю—500 км/ч, она бы, вероятно. сошла с рельсов и разрушилась. [c.102]

При определенных условиях вынужденное плоское движение нелинейного упругого стержня (балки, полоски) описываемое уравнением (3.3.5), становится неустойчивым и возникают трехмерные движения. Похожее явление известно и для плоского движения натянутой струны [133]. В Корнеллском университете мы провели несколько экспериментов с толщиномерами — очень тонкими, гибкими, упругими стальными стержнями прямоугольного сечения (например, 0,25 мм X 10 мм X 20 см) (рис. 3.27). Их слабое боковое движение (по отношению к неизогнутому стержню) почти невозможно без продольного изгиба или перекоса локальных поперечных сечений. Однако при сильном изгибе в разрешенном направлении становятся возможными и боковые смещения, сопровождающиеся перекосом поперечных сечений. Мы показали, что плоские колебания стержня в разрешенном направлении на частоте, близкой к [c.108]

Потери в конструкциях. Выше говорилось о потерях в материалах и в отдельных однородных упругих элементах. Рассмотрим теперь потери в конструкциях, которые составлены из многих элементов, изготовленных из различных материалов. Очевидно, что общие потери в конструкции складываются из потерь в ее составных элементах. Однако вклад этих элементарных потерь в общие потери различен и существенным образом зависит от формы колебаний конструкции в целол1. Так, потери машины, установленной на амортизаторы, зависят от того, насколько близко к пучностям или узлам собственной формы колебаний машины расположены амортизаторы. Потери в простейшей конструкции — однородном стержне — зависят от того, совершает он из-гибные, продольные или крутильные колебания. На одной и той же частоте потери этих трех форм движения различны, так как обусловлены разными физическими механизмами демпфирования. Для расчета общих потерь в конструкции, таким образом, требуется знать не только потери в отдельных ее элементах, но и форму колебаний всей конструкции. Ниже приводятся примеры расчета потерь в двух типичных составных машинных конструкциях и обсуждаются полученные результаты. Такие расчеты необходимы при проектировании машинных конструкций с оптимальными демпфирующими свойствами. [c.218]

В задаче устойчивости круговой замкнутой цилиндрической оболочки в условиях ползучести при действии продольной сжимающей нагрузки для расчета критического времени необходимо задать некоторый начальный прогиб. В работах Френча и Пателя, Самуэлсона, Хоффа [240] задается осесимметричный периодический по длине оболочки начальный прогиб. В течение всего процесса ползучести в возмущенном движении оболочка остается осесимметричной, й критическое время (в геометрически линейной постановке) определяется обращением прогиба в бесконечность. В уравнениях, описы-вгиощих ползучесть, Хофф в работе [240], как и в большинстве своих работ, не учитывал упругих деформаций. Зависимость критического времени от амплитуды нач-ального прогиба для двухслойной модели оболочки, как и в задачах выпучивания стержней, носит логарифмический характер, В работах последнего времени [242] Хофф предложил учитывать влияние упругой деформации на критическое время с помощью приближенной формулы [c.276]

К. д. в различных областях техники. К. д., обнимающие почти все области техники, м. б. подразделены на К. д. с одной степенью свободы и К. д. со многими степенями свободы (см. Механика теоретическая). К первой категории относятся напр, колебания фундаментов под влиянием К. д. машин, колебания быстро вращающихся валов, колебания кручения быстро и медленно вращающихся валов, движения автоматич. клапанов в поршневых насосах и т. д. К К. д. с несколькими степенями свободы относятся напр, колебания двойных маятников, центробежных регуляторов, маятниковых тахометров, инерционных регуляторов, турбинных регуляторных систем, рулевых механизмов судов и т. п. РГсследования К. д. имеют особенно существенное значение при дви-исении судов, паровозов, аэропланов, при явлениях движения волчков, прй исследовании жиросконич. сил и т. д. В теории упругости особенно важное значение имеет исследование колебаний струн, эластичных пластин (мембран), продольных и поперечных колебаний стержней. В строительном деле исследуются вопросы, связанные с колебаниями мостов, фундаментов, башен, маяков [c.279]

Точное решение задачи определения продольных усилий в поезде, оборудованном автосцепками с мош,ными фрикционными аппаратами, при известной идеализации схемы (отсутствие зазоров между вагонами, линейность характеристик нагружения и разгруже-ния поглош.аюш,их аппаратов, рассмотрение поезда как упруго-вязкого стержня вместо системы дискретных масс с упруго вязкими связями и т. п.) получено проф. В. А. Лазаряном. В этих исследованиях влияние поглощающих аппаратов учтено путём введения в систему сопротивлений, пропорциональных относительным скоростям движения соседних вагонов, справедливость чего иллюстрируется приведённым выше примером рассмотрения двух вагонов, соединённых автосцепками с поглощающими аппаратами, при которых полученные относительные колебания [формула (212)] затухают по закону геометрической прогрессии. Такой вид затуханий колебаний системы соответствует случаю наличия в ней сопротивлений, пропорциональных относительной скорости движения колеблющихся масс. [c.700]

Классические уравнения продольных и изгибных колебаний стержней, по существу, являются одномодовыми аппроксимациями краевых задач трехмерной динамической теории упругости . Уточнения классических теорий, которые не приводят к увеличению числа мод, сравнительно мало улучшают эти теории. К таким уточнениям относятся поправка Лява >, учитывающая силы инерции поперечных движений при продольных колебаниях стержня, и поправка Релея >, которая-учитывает инерцию вращения элемента балки при ее изгибных колебаниях. [c.12]

М. Ф. Гусев [1.19] (1970) исследует колебания пакета стержней, соединенных упруго податливыми распределенными связями сдвига и абсолютно жесткими поперечными связями. Приведены граничные условия и система уравнений движения, описывающая продольные гармонические и поперечные колебания. Учитывалось влияние инерции вращения. Эти уравнения оказываются связанными из-за наличия сдвиговых связей в швах. Рассмотрены различные частные случаи и лсследованы оценки корней характеристического многочлена. [c.91]

Н. в. встержнях по своим качественным характеристикам и свойствам полностью аналогичны волнам Лэмба и поперечным Н. в. в пластинах. Все свойства этих волн определяются параметрами упругости и плотностью материала, частотой со и поперечным размером волновода — диаметром (1 стержня, к-рый аналогичен здесь толщине 2к пластины. Н. в. в стержнях подразделяются на три типа продольные, изгибные и крутильные. В продольных Н. в. (рис. 3, а), к-рые аналогичны симметричным волнам Лэмба, движение происходит симметрично относительно оси х стержня и преобладает осевая (продольная) компонента смещения. В изгибных Н. в. (рис. 3, б), аналогичных-антисимметричным волнам Лэлхба, ось X претерпевает изгиб и преобладает поперечная компонента смещения. В крутильных Н. в. (рис. 3, в), к-рые аналогичны поперечным Н. в. в пластинах, имеется только одна азимутальная компонента смещения иц), а движение симметрично относительно оси X и представляет собой вращение поперечного сечения стержня относительно этой оси. [c.236]

ШИ относительных перемещений точек при деформации можно пренебречь. Остальные гипотезы, к-рыми пользуется С. м., здесь устранены первоначально в развитии теории упругости они или подтверждаются вполне, или частью, с известным приближением, или отвергаются в связи с анализом отдельных деформаций. Элементарные теории растяжения, кручения круглых брусков, чистого изгиба вполне согласуются с теорией упругости. Изгиб в присутствии срезывающих сил, как оказывается, подчиняется закону прямой линии гипотеза Навье), но не закону плоскости (гипотеза Бернулли). Касательные напряжения при изгибе распределяются по закону параболы, но только в тех сечениях, которые имеют незначительную толщину при большой высоте (узкие прямоугольники). В других сечениях закон распределения касательных напряжений совершенно иной. Для балок переменного сечения, к к-рым в элементарной теории прилагают закон прямой линии и параболы, теория -упругости дает другие решения в этих решениях значения напряжений и деформаций гораздо выше, чем по элементарной теории следует. Общепринятый способ расчета пластин по Баху как обыкновенных балок не оправдывается теорией упругости. Ф-лы С. м. для кручения некруглых стержней не соответствуют таковым в теории упругости. Теория изгиба кривых стержней решительно не совпадает с элементарной теорией Баха-Баумана, но результаты расчета по строгой теории и на основании гипотезы плоских сечений достаточно близки. Поставлена и разрешена для ряда случаев задача о распределении местных напряжений (в местах приложения нагрузки или изменения сечения), к-рая совершенно недоступна теории С. м. Вопрос об устойчивости деформированного состояния, элементарную форму которого представляет в С.м. продольный изгиб, получил в теории упругости общее решение Бриана (Bryan), Тимошенко и Динника. Помимо многочисленных форм устойчивости стержня, сжатого сосредоточенной силой, изучены также явления устойчивости стержней переменного сечения под действием равномерно распределенных сил и другие явления устойчивости балок при изгибе, равномерно сжатой трубы, кольца, оболочек, длинного стержня при скручивании и пр. Теория упругого удара— долевого, поперечного—занимает большое место в теории упругости и включает все большее и большее чис-чо технически важных случаев. Теория колебаний получила настолько прочное положение в теории упругости и в практи-тсе, что методы расчета на ко.чебания проникают область С. м., конечно в элементарном виде. Изучены распространение волны в неограниченной упругой среде (решение Пуассона и Кирхгофа), движение волны по поверхности изотропной среды (решение Релея), волны в всесторонне ограниченных упругих системах с одной, конечно многими и бесконечно многими степенями свободы. В связи с этим находятся решения, относящиеся к колебаниям струн, мембран и оболочек, различной формы стержней, пружин и пластин. [c.208]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...