Колебания стержней в упругой среде

Уравнение колебаний стержня в упругой среде [c.6]

Среди различных типов собственных колебаний, возникающих в упругом стержне, продольные колебания являются наиболее простыми для исследования. В стержне могут возникнуть крутильные и поперечные колебания, которые рассматриваются в соответствующих параграфах. При исследовании продольных колебаний предполагаем, что поперечные сечения стержня остаются плоскими и что каждая точка поперечного сечения совершает только осевые перемещения. Продольные растяжения и сжатия, имеющие место при таких колебаниях стержня, сопровождаются возникновением той или иной величины поперечных деформаций. Однако в последующем обсуждении рассмотрим только те случаи, для которых длина продольных волн колебаний велика по сравнению с размерами поперечных сечений стержня. В этих случаях , не совершая существенной ошибки, можно пренебречь влиянием поперечных перемещений на характер продольных движений [c.323]

Распространение возмущений в системе с большим числом степеней свободы. Скорость распространения. Возбуждение волн. Группа волн и ее скорость. Волновое уравнение. Волны в сплошном шнуре. Отражение волн. Возбуждение стоячих волн в шнуре. Моды колебаний. Волны в упругих тепах. Поперечные волны. Энергия, переносимая волной. Вектор Умова. Продольные волны. Скорость волн в тонком и толстом стержнях. Отражение и прохождение волн на границах двух сред. Удельное волновое сопротивление. [c.63]

Это означает, что С и Q для сплошного стержня инвариантны к частоте колебаний. Борн и Карман (1912 г.) решили задачу об упругих колебаниях кристалла с учетом периодической дискретной структуры кристалла. Существенное отличие спектра колебаний по Борну и Карману от спектра Дебая заключается в дисперсии скорости распространения упругих волн в дискретной среде. [c.199]

Примером приложения ур-нин (7) к упруго деформируемой среде может служить задача о продольных вдоль оси X колебаниях призматич. стержня. В этом случае имеется одна обобщенная координата qi = u(x, t), где и — продольное смещение частиц стержня, и ф-ция La, составляемая как разность удельных кинетической и потенциальной энергий, имеет вид 1 Г / Sit IP / [c.543]

Отметим также, что в [4] изучены резонансные явления в упругом стержне, контактирующем с упругим основанием, а в [3, 12] исследованы ограниченные резонансы, возникающие при колебаниях слоя, жестко сцепленного с упругим полупространством, с учетом массы штампа, контактирующего с этой средой. [c.329]

Ультразвуковые измерения 92 Упругие постоянные 17, 178, 182 Упругий импульс в цилиндрическом стержне 73 Уравнение частот продольных колебаний цилиндрического стержня 61 Уравнении движения изотропного упругого тела 83 --упругой среды 18 [c.190]

Частоту измеряют герцами, а уровень — смещением, скоростью или ускорением частиц упругой среды, давлением (в барах), возникающим в ней, или же мощностью (в децибелах) колебательного процесса. Между перечисленными параметрами уровня колебаний существуют переводные масштабы. Воздушные колебания называют шумами (стуками), а колебания материала, из которого состоит механизм, — вибрациями. Шумы воспринимают при помощи микрофона, а параметры вибрации — при помощи пьезоэлектрических датчиков. Полученные таким образом сигналы усиливают, измеряют по масштабу и регистрируют. Средством регистрации может быть осциллограф (при визуальном наблюдении за процессом) или предельный индикатор, например устройство, в котором при достижении заданного уровня колебаний зажигается контрольная лампа. В простейших слуховых приборах (стетоскопах) вибрации воспринимают при помощи стержня и диафрагмы. [c.137]

Стержень или труба определяются двумя размерами длиной и радиусом. В них могут возникать как осевые, так и радиальные упругие колебания, которые взаимодействуют между собой. Особенно сильное взаимодействие наблюдается при распространении звука вдоль оси, так как изменение поперечных размеров, обусловленное сжатием и растяжением, вызывает радиальные колебания. Поскольку деформация в радиальном направлении происходит свободно, вдоль стерл ня распространяется так Называемая волна растяжения, схематически изображенная на фиг. 376, г. При этом расширение в поперечном направлении вызывает уменьшение упругих сил, действующих в осевом направлении, что обусловливает уменьшение скорости распространения звуковых волн в стержнях по сравнению с распространением в неограниченной среде [см. формулу (298)]. Скорость распространения волны растяжения вдоль тонкого стержня определяется формулой [c.382]

Распространение звука в твердом теле можно представить себе в виде упругой колебательной деформации отдельных участков тела. Очевидно, такие упругие колебания сопровождаются потерями энергии. Как известно, свободные коле- бания твердого тела, например стержня, камертона, колокола и т. д., затухают, даже если принять все меры к устранению передачи энергии в окружающую среду или в держатель. Колеблющееся тело обладает внутренним затуханием, благодаря которому происходит постепенное превращение колебательной энергии в теплоту. [c.397]

Рассмотрим в качестве примера колебания железнодорожного пути (рис. 7.13,а), который можно рассматривать как стержень, лежащий на упругом основании, при движении по нему состава бесконечной длины. Состав можно приближенно рассматривать как одномерную среду с нулевой изгибной жесткостью. Это возможно в том случае, когда расстояние между колесами тележек много меньше длины стержня I. При колебаниях на стержень действует инерционная нагрузка со стороны вагонов, которую можно рассматривать (в пределе) как распределенную. Каждая тележка имеет две контактные силы, которые приводятся к равнодействующей силе / и равнодействующему моменту ци (рис. 7.13,6) [c.196]

Без преувеличения можно сказать, что книга Ю, Н. Работнова к настоящему времени является лучшей среди подобных ей книг как у нас в стране, так и за рубежом. Впервые с единых позиций в ней дается изложение основ всех главных разделов механики деформируемого твердого тела. Книгу отличает компактность изложения, достигаемая за счет широкого применения таких эффективных методов исследования, как вариационные принципы, тензорные исчисления, теория функций комплексного переменного, интегральные преобразования и т. д. Этому также способствует и оригинальная трактовка теории напряжений. Естественно, что, представляя проблему во всем ее многообразии (стержни, пластинки, оболочки, пространственные тела, упругость, пластичность, ползучесть, наследственность, устойчивость, колебания, распространение волн, длительная прочность, разрушение), автор сконцентрировал внимание на принципиальных вопросах. Тем не менее книга снабжена достаточно большим количеством примеров расчета, для того чтобы читатель мог составить представление о практических возможностях теории. [c.9]

Механикой называют область науки, цель которой — изучение движения и напряженного состояния элементов машин, строительных конструкций, сплошных сред и т. п. под действием приложенных к ним сил. Современное состояние этой науки достаточно полно определяется ее основными составными частями общей механикой, к которой относят механику материальных точек, тел и их систем, сплошных и дискретных сред, колебания механических систем, теорию механизмов и машин и др. механикой деформируемых твердых тел, к которой относят теории упругости, пластичности, ползучести, теорию, стержней, ферм, оболочек и др. механикой жидкости и газа с разделами газо- и аэродинамика, магнитная гидродинамика и др. комплексными и специальными разделами механики, в частности биомеханикой, теорией прочности конструкций и материалов, экспериментальными методами исследования свойств материалов и др. [c.4]

Такое дифференциальное уравнение мы рассматривали неоднократно, последний раз — при исследовании продольных и крутильных колебании упругого стержня. Среди рассмотренных там случаев находится также случай, в котором должны быть выполнены такие же граничные условия, как и здесь определенное уже частное решение, а также все, что было сказано о возможных простых тонах и соответственных узлах, годится и здесь. Из указанных там частных решений мы составим теперь более общее для поперечных колебаний струны. Чтобы несколько сократить формулы, введем такие единицы длины и времени, чтобы / = л и продолжительность простого колебания при основном тоне была равна я. Тогда одним частным решением будет [c.368]

Значения р, х, с и / = рс для некоторых сред приводятся в табл. 12.1, причем для стали, латуни и свинца приводится скорость распространения продольных упругих колебаний в стержнях. [c.324]

Волны растяжения возникают в объектах типа стержня. Тогда частицы колеблются вдоль направления распространения волн и перпендикулярно к нему. Поверхностные волны обусловлены колебанием частиц со значительной амплитудой на поверхности тела и постепенным ее уменьшением при удалении частиц от поверхности. Если продольная волна падает перпендикулярно на плоскую границу раздела двух сред, обладающих различным акустическим сопротивлением, то одна часть ее энергии переходит во вторую среду, а другая отражается в первую. Доля отраженной энергии тем больше, чем больше разность акустических сопротивлений сред. Если продольная волна попадает на границу раздела двух твердых сред под углом, го отраженная и прошедшая волны преломляются и трансформируются в продольные и сдвиговые, распространяющиеся в первой и второй средах под различными углами. Законы отражения и преломления волн аналогичны законам геометрической оптики. Свойства упругих волн учитываются при разработке технологии и средств контроля изделий. [c.58]

Задача о распространении термоупругих волн в прямоугольном стержне, на боковых поверхностях которого напряжения и температура равны нулю, изучалась в работе [48]. Решение разлагалось по степеням толщины слоя (г) и, таким образом, была получена последовательность систем уравнений. Для основной системы уравнений определены три типа волн, фазовые скорости которых зависят от частоты колебаний. Задача о колебаниях в термоупругом слое, на поверхностях которого задается конвективный теплообмен со средой, рассматривалась в работах 49а—с]. Было показано, что колебания затухают и диспергируют, фазовые скорости зависят от упругости и теплофизических свойств слоя, а также от условий теплообмена на поверхностях слоя. Значения фазовых скоростей при продольных колебаниях ниже, чем при поперечных, и меньше зависят от условий теплообмена на поверхностях слоя. Показано также, что фазовые скорости термоупругих волн меньше, чем упругих, например, для малых значений частот. [c.242]

В применении к механике системы принцип Гамильтона эквивалентен законам Ньютона, представляя простую математич. формулировку законов движения. Распространенный на механику непрерывной среды, он дает возможность легко выводить диференциальные ур-ия движения. Возьмем например случай колебаний упругого стержня, расположенного на оси X с концами при х = й п х = 1 обозначим черев и(х, I) отклонение точки с абсциссой X от положения равновесия в момент времени г. Обозначая через линейную плотность стержня, получаем для Т выражение [c.184]

Рассмотренные в разделе 3.1 случаи распространения волн в средах, ограниченных в поперечном по отношению к направлению распространения волны направлении, могут в известном приближении служить основой для расчета форм и частот собственных колебаний тел, ограниченных во всех направлениях. Наиболее просто это осуществляется для длинных стержней, у которых длина много больше поперечных размеров, и тонких пластин, имеющих размеры, во много раз превышающие их толщину. При этом низшие частоты и формы собственных колебаний определяются наибольшим размером тела, в направлении которого устанавливается стоячая волна, так что на границе исчезают механические напряжения. В простейшем случае тонкого стержня длиной /, совершающего продольные колебания, скорость упругих волн равна Со = - /ЁТр. Значения собственных частот равны [c.70]

Вместо галилеевского принципа расчета по предельному, разрушающему состоянию стал утверждаться новый принцип рабочего состояния. Напряжения в рабочем состоянии каждого элемента предполагалось ограничить допустимыми, т. е. такими, чтобы возипкающие в нем изменения не возрастали со временем . Определение же напряженного состояния кан дого кусочка вещества внутри конструкции стало возможно с помощью выведенных Навье и Коши уравнений равновесия. Оказалось, что полная картина напряжений во внутренней точке тела описывается девятью величинами тремя напряженнями растяжения — сжатия и шестью сдвиговыми напряжениями, по они связаны шестью уравнениями равновесия, и независимых среди них, самое большее, три. Имя Пуассона обессмертили не только полученные им уравнения равновесия и колебания стержней, но н известный каждому инженеру коэффициент Пуассона, входящий наряду с модулем Юнга в наснорт любого упругого материала. [c.22]

Как указал Рудольф Юлиус Эммануэль Клаузиус ( lausius [1849, 1]) в своей сильной, хотя отчасти некорректной критике Вертгейма и Вебера, состоящей в том, что динамическая скорость в ( юрмуле Дюамеля является дилатационной волновой скоростью в неограниченной среде, которая заметно выше, чем скорость распространения продольных колебаний в стержне. Клаузиус пытался опровергнуть термические опыты Вебера (см. гл. II, раздел 2.12) и определенные по их данным удельные теплоемкости не на основании ограничений и приближений, связанных с термодинамическим анализом, а исходя из предположения, что Вебер не учитывал эффекта упругого последействия, который, как полагал Клаузиус, должен иметь место в металлах так же, как и в шелке. Вычислив заново отношения Вертгейма, найденные на основе измерения скоростей волн в стержнях, Клаузиус получил значения удельных теплоемкостей, которые, как он считал, были невозможными. Отсюда он заключил, что Вертгейм также должно быть не учитывал эффекта упругого последействия в металлах. В написанном в сильных выражениях ответе на это предположение о том, что упругое последействие может быть причиной расхождения между динамическими и квазистатическими измерениями, выполненными Вебером и Верт-геймом, Вертгейм в своем последнем мемуаре 1860 г. отклонил предположение Клаузиуса о том, что причиной расхождения было упругое последействие Вебера (Wertheim [1860, 1]. См. также [1852, 3]). [c.302]

Предположим, что кеяеблювщйся стержень нри изгибе встречает еопротивле]вия среды, пропорциональные в каждой точке прогибу стержня. Если пренебречь массой упругой среды, считать ее певесемой, то исследование как свободных, так и вынужденных колебаний стержней не встречает никаких затруднений. Рассмотрим в качестве примера колебания стержня с опертыми концами. [c.347]

Теория упругости сформировалась, как один из важных разделов математической физики в первой половине XIX века. До этого времени трудами ученых XVII и XVIII веков — Галилея, Мариотта, Гука, Бернулли, Эйлера, Кулона и других—была довольно детально разработана тбория изгиба тонких упругих стержней. В начале XIX века Лагранжам и Софи Жермен было дано решение задачи об изгибе и колебаниях тонких упругих пластинок. Некоторые особенности таких тонких упругих тел позволили значительно упростить постановку и самое решение задач о деформировани под действием внешних сил, не вникая особенно глубоко в существо явлений, происходящих в материале. Начало XIX века ознаменовалось огромными успехами математического анализа, обусловленными отчасти множеством важных задач, возникших в физике, потребовавших применения сложного математического аппарата и дальнейшего развития его это и послужило основой для возникновения особого направления в физике, названного математической физикой. Среди множества проблем, вставших перед этой молодой дисциплиной, необходимо отметить потребность в глубоком исследовании свойств упругих материалов и в построении математической теории, позволяющей возможно полно изучать внутренние силы, возникающие в упругом теле под действием внешних сил, а также деформацию тела, т. е. изменение формы его. Этого рода исследования оказались крайне необходимыми также для удовлетворения запросов быстро развивавшейся техники в связи со строительством железных дорог и. машиностроением запросы эти вызывались необходимостью создать теоретические методы расчета частей сооружений и машин на прочность. Уже в 1825 г. крупный французский инженер и ученый Навье выпустил, Курс лекций по сопротивлению материалов , основанный на имевшихся к тому времени экспериментальных данных и приближенных теориях, указанных нами выше. В России аналогичный курс [c.9]

Основы теории волн в упругом цилиндрическом стержне были созданы Похгаммером и Кри еще в конце прошлого века. Было установлено наличие различных форм собственных волн. В дальнейшем исследования по распространению нестационарных волн в элементах упругих конструкций проводились, как правило, на основе приближенных уравнений, которые получали из соответствующих уравнений статики. Добавление к этим уравнениям инерционных членов позволило построить решения задач о распространении волн, однако некоторые выводы при этом оказались в противоречии с результатами теории упругости. Так, скорость распространения возмущений при динамическом изгибе стержня, определенная по уравнению Бернулли — Эйлера, не имеет верхнего предела, в то время как по теории упругости она должна быть ограничена скоростью продольных волн в сплошной среде. Упомянутое уравнение вообще не позволяет установить наличия фронтов волн. Скорость продольной волны, определяемая приближенным уравнением продольных колебаний стержня, хотя и ограничена, но не совпадает с соответствующей скоростью из теории упругости (см. 35). [c.10]

ШИ относительных перемещений точек при деформации можно пренебречь. Остальные гипотезы, к-рыми пользуется С. м., здесь устранены первоначально в развитии теории упругости они или подтверждаются вполне, или частью, с известным приближением, или отвергаются в связи с анализом отдельных деформаций. Элементарные теории растяжения, кручения круглых брусков, чистого изгиба вполне согласуются с теорией упругости. Изгиб в присутствии срезывающих сил, как оказывается, подчиняется закону прямой линии гипотеза Навье), но не закону плоскости (гипотеза Бернулли). Касательные напряжения при изгибе распределяются по закону параболы, но только в тех сечениях, которые имеют незначительную толщину при большой высоте (узкие прямоугольники). В других сечениях закон распределения касательных напряжений совершенно иной. Для балок переменного сечения, к к-рым в элементарной теории прилагают закон прямой линии и параболы, теория -упругости дает другие решения в этих решениях значения напряжений и деформаций гораздо выше, чем по элементарной теории следует. Общепринятый способ расчета пластин по Баху как обыкновенных балок не оправдывается теорией упругости. Ф-лы С. м. для кручения некруглых стержней не соответствуют таковым в теории упругости. Теория изгиба кривых стержней решительно не совпадает с элементарной теорией Баха-Баумана, но результаты расчета по строгой теории и на основании гипотезы плоских сечений достаточно близки. Поставлена и разрешена для ряда случаев задача о распределении местных напряжений (в местах приложения нагрузки или изменения сечения), к-рая совершенно недоступна теории С. м. Вопрос об устойчивости деформированного состояния, элементарную форму которого представляет в С.м. продольный изгиб, получил в теории упругости общее решение Бриана (Bryan), Тимошенко и Динника. Помимо многочисленных форм устойчивости стержня, сжатого сосредоточенной силой, изучены также явления устойчивости стержней переменного сечения под действием равномерно распределенных сил и другие явления устойчивости балок при изгибе, равномерно сжатой трубы, кольца, оболочек, длинного стержня при скручивании и пр. Теория упругого удара— долевого, поперечного—занимает большое место в теории упругости и включает все большее и большее чис-чо технически важных случаев. Теория колебаний получила настолько прочное положение в теории упругости и в практи-тсе, что методы расчета на ко.чебания проникают область С. м., конечно в элементарном виде. Изучены распространение волны в неограниченной упругой среде (решение Пуассона и Кирхгофа), движение волны по поверхности изотропной среды (решение Релея), волны в всесторонне ограниченных упругих системах с одной, конечно многими и бесконечно многими степенями свободы. В связи с этим находятся решения, относящиеся к колебаниям струн, мембран и оболочек, различной формы стержней, пружин и пластин. [c.208]

Необходимо отметить, что эта скорость меньше (на 15—20%), чем скорость волн сжатия в сплошной среде (см. гл. II). Уменьшение скорости происходит вследствие того, что боковая поверхность стержня может свободно сжиматься и расширяться, благодаря этому модуль упругости будет меньше, чем в сплошной среде. Дело обстоит так, пока поперечные размеры стержня значительно меньше длины волны. При вычислении скорости необходимо поэтому учитывать размеры поперечного сечения стер1жня по сравнению с длиной волны. Колебания магнитострикционных вибраторов обычно можно весьма точно рассчитывать по приведенной выше формуле для скорости звука, так как площадь поперечного сечения стержней значительно меньше длины волны. [c.215]

ИЗЛУЧАТЕЛИ ЗВУКА, устройства, предназначенные для возбуждения звук, волн в газообразных, жидких, ТВ. средах. Наибольшее распространение в кач-ве И. з. получили электроакустические преобразователи (напр., громкоговорители электродинамич. или электростатич. типа, пьезоэлектрические преобразователи и магнито-стрикционные преобразователи для УЗ техники и акустоэлектроники). В подавляюпз ем большинстве И. з. этого типа энергия электрич. колебаний преобразуется в энергию упругих колебаний к.-л. тв. тела (диафрагмы, пластинки, стержня и др.), к-рое и излучает в окружающую среду акустич. волну. Колебания излучающей системы при этом воспроизводят по форме возбуждающий электрич. сигнал. В преобразователях, предназначенных для излучения монохроматич. волны, используют явление резонанса они работают на одной из собств. частот механич. колебат. системы. [c.206]

Таким образом, как константа внутреннего трения, декремент колебаний имеет еще некоторый смысл только при соблюдении следующих условий 1) определения его на простейших дискретных системах с одной степенью свободы, когда исследуемый упругий стержень можно считать лишенным массы и распределенных инерционных усилий, искажающих однородно напряженное состояние вдоль стержня 2) определения декремента все же с учетом распределенных свойств материала и то, когда искажения вдоль стержня могут быть оценены возможно более точно 3) при отсутствии в системе других видов трения в заделках, подвесках или во внешней среде (применение специальных подвесок, эксперимент в вакууме) 4) при уверенности в том, что силы внутреннего трения не зависят от частоты и потому соблюдается условие /-01 со = onst. [c.87]

В то же время ряд задач механики и автоматического управления сводится к исследованию систем со случайно изменяющимися параметрами, которые находятся под действием детерминированных или случайных[внеш-них возмущений. Здесь можно указать на задачи управления системами, содержащими в качестве звена человека-оператора [74, 75]. В работе [75] описывается структурная схема системы человек—машина.Подчеркивается, что в настоящее время информационные комплексы, автоматические системы контроля и т. д. содержат живое звено — человека-оператора. Эффективность работы системы человек — машина во многом определяется функциональным состоянием последнего. Приводятся значения коэффициентов отличия некоторых функциональных состояний от состояния оперативного покоя оператора и решается статистическая задача обнаружения сигналов состояния внимания и состояния эмоционального напряжения человека. Задачи сопровождения, телеуправления ит. п., связанные с приемом и передачей сигналов, распространяющихся в статистически неоднородной среде, задачи стабилизации и гиростабилизации также сводятся к исследованию систем со случайно изменяющимися параметрами. В качестве примеров из механики можно привести задачу об изгиб- ных колебаниях упругого стержня под действием периодической во времени лоперечной нагрузки и случайной во времени продольной силы, а также задачу о прохождении ротора через критическое число оборотов при ограниченной мопщости [76] и случайных изменениях массы или упругих характеристик системы ротор — опоры . [c.15]

В теории свободных колебаний упругого твердого тела приходится интегрировать. уравнения колебательного движения при заданных граничных условиях, относящихся к напряжениям и смещениям. Пуассон зб) дал решение проблемы свободных радиальных колебаний упругой сферы, а Клебш по образцу решения Пуассона, построил общую теорию. В эту теорию входит обобщение понятия нормальных координат на случай системы с бесконечно большим числом степеней свободы, введение соответствующих фундаментальных функций и доказательство тех свойств этих функций, с которыми приходится иметь дело при разложении любой заданной фуккции по этим функциям. Спор по вопросу о колебаниях струн, стержней, мембран и пластинок, который происходил как до Пуассона так и при нем, подготовил почву для обобщений Клебша. До появления трактата Клебша Ламе ) предложил другую теорию. Будучи знаком с исследованиями Пуассона о двух типах волн, ои пришел к заключению, что колебания всякого упругого тела должны распадаться на два соответствующих класса в согласии С,этим предположением он исследовал колебания различных тел. То обстоятельство, что его решения не удовлетворяли граничным условиям ля тел, поверхность которых свободна от напряжений, в достаточной мере компрометирует его теорию однако она была окончательно оставлена только после того, как все виды свободных колебаний однородной изотропной среди были изучены, и было доказано, что классы, на которые они распадаются, не соответствуют [c.30]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...