Изгиб стержней на упругом основании

Как видим, решение рассматриваемой задачи сводится к дифференциальному уравнению (10.38), которое было получено для изгиба стержня на упругом основании (см. 4.7). Родственность этих задач несомненна. Цилиндрическую оболочку можно рассматривать как совокупность совместно изгибающихся полосок, связанных между собой упругими силами (рис. 10.34). При симметричном нагружении все полоски изгибаются одинаково, и радиальная составляющая сил Ny в каждом сечении, как и для стержня на упругом основании, пропорциональна местному прогибу w. [c.427]

ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ [c.223]

Рис. 42. Динамический изгиб стержня на упругом основании.

Интегрирование уравнения изгиба. Интегрированию уравнения (116.4) посвящена весьма большая литература, хотя математически вопрос и представляемая элементарным. Правая часть уравнения обычно не является аналитической функцией координаты г, аналитическое выражение момента меняется от участка к участку. Поэтому задача об определении прогибов может оказаться довольно трудоемкой. На каждом участке появляются свои константы интегрирования, я их приходится определять из условий сопряжения. Излагаемый ниже метод интегрирования по идее восходит к Эйлеру, для более сложных уравнений изгиба балки на упругом основании % колебаний стержня ои разработан А. Н. Крыловым для уравнения (116.4) этот метод использовался многими авторами. Проинтегрировав уравнение (116.4) в пределах от нуля до г, получим [c.253]

Стержень (кругового сечения) бесконечной длины лежит на упругом основании, т. е. при изгибе на него действует сила К == —пропорциональная прогибу. Определить форму, принимаемую стержнем при действии на него сосредоточенной силы /. [c.117]

Большое значение получил в последнее время расчет несущих конструкций зданий повышенной этажности как каркасных, так и панельных. Этажерка несущих конструкций многоэтажного здания может рассматриваться как составной стержень, в котором связями сдвига являются перемычки над проемами и ригели каркаса. Перекрытия при этом обеспечивают неизменяемость горизонтальных сечений здания и играют роль абсолютно жестких поперечных связей. Вся конструкция здания часто работает пространственно на изгиб в обоих направлениях и на кручение под действием бокового ветра. По схеме составного стержня могут рассчитываться также и протяженные малоэтажные здания. Стержень при этом считается лежащим на упругом основании или на отдельных фундаментных опорах, а связями сдвига будут простенки и поперечные стены. Внешним воздействием здесь обычно является неравномерная осадка здания. [c.25]

Мы видели, что давление Р колеса на рельс распределяется на целый ряд опор. Чем больше жесткость рельса и чем податливее опоры, тем на большее число опор передается давление. Если сосредоточенные опорные реакции заменить сплошными реактивными усилиями, то мы перейдем от балки, лежащей на упругих опорах, к балке, лежащей на сплошном упругом основании. Такая замена повлечет за собой тем меньшие погрешности в вели-чине изгибающих моментов и опорных давлений, чем на большее число шпал распределяется давление от груза Р. Чтобы оценить эти погрешности, напомним здесь некоторые формулы, относящиеся к задаче об изгибе стержня на сплошном упругом основании. [c.326]

ИЗГИБ СТЕРЖНЯ НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ [c.327]

Вид получающейся при этом волнообразной кривой, представлен на рис. 2. Для получения подобного искривления нужно себе представить, что скрепления стержня с упругим основанием не допускают свободного вертикального перемещения стержня при изгибе. [c.327]

Этот же ряд (50) можно применить к балкам на упругом основании с шарнирно закрепленными концами. При определении коэффициентов следует в этом случае к потенциальной энергии изгиба стержня прибавить еще потенциальную энергию деформации основания. Тогда получим [c.598]

При исследовании малых прогибов упругих стержней показано, как можно ввести поперечный сдвиг в дифференциальное уравнение равновесия этой теории. Излагается расчет балок на упругом основании и важная для судостроения задача, поставленная И. Г. Бубновым, о расчете перекрестных балок. Рассмотрен продольно-поперечный изгиб балок, приводится точное, а также приближенное, развитое автором, решение в тригонометрических рядах. Дается систематизированное изложение теории выпучивания прямых сплошных стержней, полос, круговых колец, двутавровых балок, устойчивости вала при кручении. Уточняется известная задача Ф. С. Ясинского о расчете на устойчивость пояса открытых мостов. Приводятся точные и приближенные решения этой задачи энергетическим методом, данные самим автором. Особенно ценны результаты, относящиеся к устойчивости плоской формы изгиба полос и двутавровых балок. Теория изгиба, кручения и устойчивости двутавровых балок была разработана автором в 1905—1906 годах и оказалась основополагающим исследованием для последующих разработок в области расчета и общей теории тонкостенных стержней. Автор приводит компактные формулы для расчета критических сил. [c.6]

Это уравнение приходится брать вместо уравнения (2), когда желательно найти более точное выражение для изогнутой оси стержня. Интегрируя уравнение (2) или (5) и принимая при этом во внимание условия закрепления концов, мы без особых затруднений можем в каждом частном случае найти прогибы стержня и углы поворота отдельных поперечных сечений. Ряд простейших примеров этого рода разобран в курсе сопротивления материалов, и мы в дальнейшем ограничимся рассмотрением нескольких более сложных задач, относящихся к исследованию изгиба балок, лежащих на упругом основании, и балок, подвергающихся одновременному действию изгиба и сжатия или изгиба и растяжения. [c.191]

Если в знаменателях членов полученного ряда положим ге = О, то придем к статическому изгибу стержня, лежавшего на упругом основании, под действием силы Р sin nt. Чтобы от статики перейти к динамике, нужно, как видно из (с), коэффициент заменить меньшей величиной [c.348]

Если в полученном решении положим у = О и wi = с, придем к известному выражению (81) для статического изгиба стержня, лежащего на упругом основании, сосредоточенной силой Р. Динамический прогиб отличается от статического тем, что в знаменатель каждого члена ряда (е) входит добавочный член [c.348]

Далее необходимо отметить, что, в отличие от обычной линейной теории изгиба стержней и арок, основанной на предположении о малости перемещений, здесь вследствие нелинейной зависимости больших упругих перемещений при изгибе от значения си- [c.11]

В первой главе рассмотрены, более сложные задачи изгиба призматических стержней. Подробно разобраны важные задачи изгиба стержней, лежащих на упругом основании, и даны приложения теории по исследованию напряжений в рельсах й трубах. Также разобрано приложение тригонометрических рядов к исследованию задач изгиба и выведены важные приближенные формулы для случаев одновременного действия продольных и поперечных нагрузок. [c.6]

Однако следует отметить здесь те цели, которые имеются в виду при отыскании решений. Приближенные методы отыскания напряжений и деформаций в упругих телах, основанные на частных гипотезах простейшего характера, принято относить к тому, что называется сопротивлением материалов. Примером может служить приближенная теория растяжения и изгиба стержней, изложенная в гл. 2, 3 и 5. Теория упругости позволяет получить точное решение задачи изгиба для определенных случаев и сравнить его с приближенным таким образом, находится строгая оценка погрешности элементарной теории. [c.266]

На рис. XII.2 приведены графики зависимостей Р = Р(у) для тре.х значений ф, построенные на основании решения задачи о продольном изгибе достаточно длинного упругого консольного стержня. Это решение получено путем интегрирования точного дифференциального уравнения упругой линии стержня (У.47) [c.352]

Если упругая линия балки при продольно-поперечном изгибе имеет форму упругой линии стержня с опорными устройствами балки, после потери устойчивости, то на основании (XII.52) можно приближенно определять S , как критическую силу для стержня с опорными устройствами балки с той разницей, что в выражение S, должен входить не а Zj— момент инерции относительно главной центральной оси сечения, перпендикулярной оси у. [c.387]

На двух первых уравнениях основан часто применяемый способ определения коэффициента упругости Е при помощи измерений изгиба стержня. Когда коэффициент упругости найден, третье уравнение позволяет определить постоянное 9, входящее в выражение р, если произвести измерение кручения стержня. Пуассон высказал предположение, что для [c.356]

Это уравнение совпадает с линеаризованным уравнением изгиба сжатого прямого стержня, связанного с упругим винклеров-ским основанием (см. 15). Роль изгибной жесткости стержня EJ играет изгибная жесткость оболочки D, а роль упругого основания — жесткость оболочки на растяжение-сжатие в окружном направлении. [c.259]

В дальнейшем мы не будем применять метод А. В. Верховского для определения касательных напряжений. Для чисто упругой деформации мы непосредственно используем результат, полученный А. В. Верховским для напряжений, нормальных к соответствующим сечениям. Для упруго-пластической деформации и для деформации ползучести используем деформационные гипотезы А. В. Верховского, подобно тому, как гипотеза плоских сечений при изгибе стержней постоянного сечения используется для упруго-пластической стадии деформации [13] и стадии ползучести [14]. Однако в этих случаях напряжения, нормальные к соответствующим сечениям, должны быть определены на основании соответствующих нелинейных зависимостей между напряжениями и деформациями (или скоростями деформации). При этом плоская деформация приближенно заменяется линейным напряженным состоянием. [c.129]

Если стержень не скреплен с упругим основанием, то при действии силы Р мы будем иметь реактивные усилия основания, отличные от нуля лишь на протяжении я/2а в обе стороны от места приложения силы. Дальше прогиб становится отрицательным, и так как мы собственным весом стержня пренебрегаем, то работать на изгиб за пределами указанного выше участка он не будет. [c.329]

Воспользуемся результатами предыдущего параграфа для расчета рельс. Мы видели, что все обстоятельства изгиба стержня, лежащего на сплошном упругом основании, определяются величинами k и а. Выразим эти величины в зависимости от жесткости рельса и шпалы. Если через I назовем, как и прежде, расстояние между шпалами, то при переходе от упругих опор к упругому основанию за k придется принять величину, определяемую такой формулой [c.329]

В прикладных задачах статики стержней часто внешние силы, действующие на стержни, зависят от перемещений стержня (или от их первых двух производных). Классическим примером являются стержни на упругом основании (рис. 2.1). При нагружении стержня возникают со стороны основания распределенные силы, зависящие от перемещений (прогибов) стержня. Стержни (вернее конструкции или элементы конструкций, которые сводятся к модели стержня) из разных областей техники показаны на рис. 2.2 — 2.6. Упругий металлический элемент прибора, находящийся в магнитном поле, изображен на рис. 2.2. Сила притяжения (распределенная) зависит от прогибов стержня аналогично случаю балки на упругом основании. Стержень, находящийся на вращаю.щейся платформе (см. рис. 2.3), нагружается силами, зависящими от прогибов, причем в этом случае наряду с нормальной распределенной нагрузкой qy (у) появляется и осевая распределенная нагрузка у). При продольно-поперечном изгибе (см. рис. 2.4) в произвольном сечении стержня возникает момент от осевой силы, пропорциональный прогибу. К этому классу относятся задачи статики трубопроводов, зашолненных движущейся жидкостью. При поперечном изгибе трубопровода (см. рис. 2.5) из-за появляющейся кривизны осевой линии стержня возникают распределенные силы, обратно пропорциональные радиусу кривизны. К этому классу можно причислить задачи, относяшд1еся к плавающим объектам и сводящиеся к схеме стержней (см. рис. 2.6), например понтон. [c.33]

Отметим прежде всего работы Б. Г, Галеркина (1932, 1935) по применению к анализу толстых плит общих решений уравнений теории упругости, выраженных через бигармонические функции, а также монографии Б. Г. Галеркина (1934) и Ю, А. Шиманского (1934), посвященные расчету пластинок разного очертания по классической теории изгиба. Метод асимптотического интегрирования для расчета оболочек вращения впервые был применен И. Я, Штаерманом (1924) он же указал на аналогию между статическими расчетами оболочки вращения и кривого (плоского) стержня на упругом основании. Решение ряда интересных задач безмоментной теории куполов дано в монографии В. Э. Новодворского (1932), с именем которого связано одно из условий применимости безмоментной теории тангенциальные краевые условия не должны допускать изгибания срединной поверхности (В. Э. Новодворский, 1933), [c.228]

Продольно-поперечный изгиб стержня на упругом Рис. 44 основании. Решениепо [c.236]

Стержни на упругом основании — Изгиб 223, 224 — Иэгнб продольнопоперечный 236—238 —Линия упругая — Уравнения 224, 22в — Прогибы 227 — Равновесие 224 [c.826]

Для поступательной кинематической пары с контактом звеньев по плоскости (рис. 23.4) определение контактной деформации сводится к расчету деформации изгиба стержня I на упругом основании 2, рассматриваемой в курсе сопротивления материалов. При сплошной массивной конструкции элемента звена 2 распределение нагрузки определяется контактной жесткостью поверхностей и может быть принято равномерным на участке аЬ (рис. 23.4, а). Если конструкция элементов позволяет им деформироваться, то нзгиб-ная деформация элемента 2 приведет к перераспределению нагрузки и смещению равнодействующей (рис. 23.4, б, в). [c.296]

Моделируются такж е балки и рамы на упругом основании, тонкостенные стержни, стержни и рамы при продольно-поперечном изгибе [32]. [c.603]

Пример 4.6 [291, с.437]. Построить эпюры М, О, N длинной железобетонной рамы с замкнутым контуром (рисунок 4.8), лежашей на упругом основании при следуюших данных коэффициент Пуассона упругого основания Д)=0,3 коэффициент Пуассона материала рамы Д)=0,167 модупи упругости основания и материала рамы Eq = 32-10 кПа, =2,7-10 кПа ширина и высота стержней рамы Z = 1 м /г = 0,3 м значения коэффициента у примем равными 1,5 1,0 0,5 м жесткость при изгибе стержней рамы EI = ЕЬ1 /12(1-/I)-, мош,ность основания примем для случая упругой полуплоскости Я- оо коэффициенты Гх =Ъ 2у, 5ц=Ьу2 приЯ- оо. [c.205]

Нормальные координаты, имеющие столь важное значение в акустике, могут быть применены с большой выгодой в различных задачах строительной механики. Ими, например, пользуются прп нахождении лишних неизвестных в системах с лишними закреплениями или лишними стержнями i). Применяя нормальные координаты при исследовании изгиба стержней и пластинок, можно получить обш,ие выражения для изогнутой оси стержня и для изогнутой поверхности пластинки. Эти общие выражения особенно удобны для вычисления прогибов в тех случаях, когда кроме поперечных нагрузок имеются силы, действующие по оси стержня или в плоскости пластинки. Исходя из общего выражения для изогнутой оси стержня, можно дать приближенные формулы для вычисления прогибов сжатых и растянутых стержней, лежащих на упругом основании. Некоторые частные задачи этого рода подробно рассмотрены в статьях А. Фан-дер-Флита =) и Ф. Форшхеймера ). [c.180]

При решении вопрсхга о напряжениях, возникающих в рельсах под действием катящихся колес, будем исходить из обычного предположения, что поперечины в местах прикрепления рельсов упруго оседают от приходящихся на них нагрузок и что эти осадки пропорциональны давлениям. В таком случае расчет рельса сводится к исследованию изгиба многопролетной балки, расположенной на упругих опорах. В настоящей статье мы показываем, что без ущерба для надежности получаемых результатов можно исследование изгиба многопролетной балки заменить рассмотрением изгиба стержня, непрерывно опирающегося на упругое основание. Такая замена в значительной степени упрощает статические расчеты рельс в особенности в тех случаях, когда желательно оценить влияние на изгиб рельса не одиночного груза, а целой системы грузов. [c.322]

В тех случаях, когда форма стержня значительно отличается от призматической, точность приближенного метода Рэлея может оказаться недостаточной, в особенности при исследовании высших типов колебений. Здесь уместно воспользоваться методом Ритца который мы уже применяли при исследовании изгиба стержней переменного сечения, лежащих на упругом основании (см. 7). [c.351]

На основании формул (9—11) можно сделать вывод, что задачу о стесненном кручении тонкостенного стержня, имеющего замкнутый деформируемый контур переменного сечения, можно заменить задачей об изгибе балки фиктивной жесткости Е1ф = лежащей на упругом винклеровском основании с переменным коэффициентом постели Кф = g , а замена задачи о стесненном кручении слабоконических стержней задачей об изгибе балки, лежащей на винклеров- [c.29]

Пусть стержень неограниченной длины, лежащий на сплошном упругом основании, изгибается сосредоточенной силой Р (рис. 1). Ди еренциальное уравнение изогнутой оси стержня напишется так [c.326]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...