Интегрирование методы—в задачах

Интегрирование методы—в задачах о [c.669]

Интегрирование уравнений (2-40)—(2-42) не представляет особых трудностей, если коэффициент лобового сопротивления не зависит от числа R0T, т. е. если имеет место автомодельная область обтекания. При других условиях необходимо знание закономерностей типа (2-1"), что позволяет затем графо-аналитически или путем интегрирования получить искомое решение. Подобная задача решена для восходящего прямотока (пневмотранспорт) первым методом в [Л. 143], а вторым в [Л. 48, 50, 292]. В последнем случае окончательные решения особенно громоздки. Особенности прямоточного движения частиц рассмотрены также в [Л. 251, 325] и др. [c.66]

Комбинированные методы и алгоритмы анализа. При решении задач анализа в САПР получило достаточно широкое распространение временное комбинирование численных методов. Наиболее известны рассмотренные выше алгоритмы ФНД для численного интегрирования ОДУ, являющиеся алгоритмами комбинирования формул Гира. Другим примером временного комбинирования методов служат циклические алгоритмы неявно-явного интегрирования ОДУ. В этих алгоритмах циклически меняется формула интегрирования — следом за шагом неявного интегрирования следует шаг явного интегрирования. В базовом алгоритме неявно-явного интегрирования используют формулы первого порядка точности — формулы Эйлера. Такой комбинированный алгоритм оказывается реализацией А-устойчивого метода второго порядка точности, повышение точности объясняется взаимной компенсацией локальных методических погрешностей, допущенных на последовательных неявном и явном шагах. Следует отметить, что в качестве результатов интегрирования принимаются только результаты неявных шагов, поэтому в алгоритме комбинированного неявно-явного интегрирования устраняются ложные колебания, присущие наиболее известному методу второго порядка точности — методу трапеций. [c.247]

Метод решения задач ламинарного движения заключается в составлении дифференциального уравнения движения элемента жидкости, преобразовании этого уравнения с помощью подстановки выражения закона жидкостного трения Ньютона и интегрировании его при заданных граничных условиях задачи. [c.187]

Прямой метод решения задач теории упругости, заключающийся в интегрировании основных уравнений при заданных граничных условиях, не всегда возможен. Обратный метод, примененный в гл. 7 для плоских задач, часто не соответствует практической постановке задачи. Сен-Венаном был предложен так называемый полуобратный метод решения задач теории упругости, который заключается в том, что часть перемещений и напряжений задается, а остальные неизвестные определяются из уравнений теории упругости при заданных граничных условиях. Полуобратный метод не является общим. Однако он оказался одним из самых эффективных методов решения задач теории упругости. [c.172]

Теория возмущений занимает центральное место среди приближенных методов интегрирования дифференциальных уравнений. Однако в задачах с малым параметром е при старшей производной сколь угодно малые изменения параметра приводят к конечным приращениям решения. При в=0 понижается порядок уравнения. Различие фазовых траекторий исходной и вырожденной систем существенно усложняет получение приближенных решений. Сингулярные уравнения встречаются в механике, релятивистской теории поля и в основном теориях движения плазмы, жидкости и газа. [c.331]

В предлагаемом курсе основное место отведено математической постановке задач, анализу дифференциальных уравнений равновесия и движения и их решению, общим и частным методам их интегрирования. Некоторые конкретные задачи, имеющие принципиальное значение, проиллюстрированы числовыми примерами. [c.4]

После установления Навье в 1821 г. основных уравнений и создания Коши теории напряжений и деформаций важнейшее значение для развития теории упругости имели исследования Сен-Венана. В его классических работах по теории кручения и изгиба на основе общих уравнений теории упругости дано решение задач кручения и изгиба призматических брусьев. В этих исследованиях Сен-Венан создал полуобратный метод решения задач теории упругости, сформулировал знаменитый принцип Сен-Венана , дающий возможность получить решение задач теории упругости. С тех пор было затрачено много усилий на развитие теории упругости и ее приложений, доказан ряд общих теорем, предложены общие методы интегрирования дифференциальных уравнений равновесия и движения, решено много частных задач, представляющих принципиальный интерес. Развитие новых областей техники требует более глубокого и широкого изучения теории упругости. Большие скорости вызывают необходимость постановки и решения сложных вибрационных проблем. Легкие металлические конструкции привлекают серьезное внимание к вопросу упругой устойчивости. Концентрация напряжений вызывает опасные последствия, поэтому пренебрегать ею рискованно. [c.5]

Может возникнуть вопрос почему решение уравнения (4.114) ищется в виде произведения (4.115) с разделенными переменными. Объясняется это тем, что если такие решения существуют, то определение функций (i), (х) должно свестись к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. к задаче на порядок более простой, чем задача интегрирования уравнения в частных производных. Итак, для того, чтобы предложенный метод отыскания решения задачи (4.114), названный методом разделения переменных или методом Фурье, удалось реализовать, необходимо [c.155]

Задачи 386—387. В задаче 386 определить прогибы / и углы поворота 0 сечений балок методом интегрирования дифференциальных уравнений упругой линии [c.146]

Для интегрирования системы уравнений (2.91) нужно использовать какие-либо приближенные или численные методы. В 3.5 будет изложен один из численных методов решения задачи о взрыве с учетом противодавления рь Здесь отметим некоторые особенности движения газа в этом случае. [c.69]

Движение точки, притягиваемой двумя неподвижными центрами, обратно пропорционально квадрату расстояния. Задача движения точки, притягиваемой двумя неподвижными центрами с силой обратно пропорциональной квадрату расстояния, была впервые приведена к квадратурам Эйлером для случая плоского движения. Лагранж дал общее решение, которое Якоби связал с методами интегрирования, излагаемыми в этой главе. [c.493]

Приложить метод интегрирования Якоби к задачам, рассмотренным в предыдущих главах или предложенным в качестве упражнений в конце этих глав. [c.426]

Введение. Приступая к принципу Даламбера, мы покидаем область статики и попадаем в область динамики. Здесь задачи гораздо более сложны и их решение требует более совершенных методов. В то время как задачи статики для систем с конечным числом степеней свободы приводят к алгебраическим уравнениям, которые могут быть решены при помощи исключения переменных и подстановок, задачи динамики приводят к дифференциальным уравнениям. Настоящая книга посвящена главным образом формулировке и интерпретации основных дифференциальных уравнений движения, а не их окончательному интегрированию. Принцип Даламбера, который мы обсудим в настоящей главе, непосредственно ничего не дает для целей интегрирования. Однако он является важной вехой в истории теоретической механики, так как он дает интерпретацию силе инерции, а это существенно для дальнейшего развития вариационных методов. [c.112]

Исключение циклических переменных. Хотя канонические уравнения имеют гораздо более простую структуру, чем исходные уравнения Лагранжа, у нас нет общего метода интегрирования этих уравнений. Поэтому при интегрировании уравнений движения по-прежнему необычайно важную роль играют циклические переменные. Как только появляются циклические переменные, становится возможным частичное интегрирование данной механической задачи и сведение ее к более простой. Сам процесс сведения, однако, в гамильтоновой форме механики выглядит гораздо проще, чем в лагранжевой форме. [c.214]

Мы знаем общий метод варьирования произвольных постоянных интегралов дифференциальных уравнений с целью согласования этих интегралов с теми же уравнениями, но с прибавлением к ним определенных членов однако та форма, которую мы в предыдущем отделе (п- 10) придали общим уравнениям динамики, имеет то преимущество, что она дает некоторое соотношение между вариациями произвольных постоянных, вводимых при интегрировании, которое особенно упрощает формулы этих вариаций в задачах, где они выражают действие возмущающих сил. Мы выведем сначала это соотношение затем мы дадим наиболее простые уравнения для определения вариаций произвольных постоянных в интересующих нас проблемах. [c.413]

Согласно этому методу решение задачи об НДС оболочки проводят в два этапа на первом выполняют численное интегрирование системы с последовательным проведением ортогонализации, на втором определяют коэффициенты (/ = 1, 2, 3,. .., 8) из условия удовлетворения граничным условиям при s = Sj / затем осуществляют обратный ход, в процессе которого для расчетных точек находят вектор У is)- решение задачи. [c.77]

Как уже отмечалось, поляризационно-оптические измерения позволяют отыскать только направления и разности главных напряжений. Раздельно напряжения можно определить путем дополнительного применения методов интегрирования или других экспериментальных методов. В методе электрической аналогии используется то обстоятельство, что сумма нормальных напряжений в плоской задаче (Oj Стг) и распределение потенциалов V в равномерно проводящей плоской среде удовлетворяют уравнению Лапласа, т. е. [c.224]

Полученный график не нуждается ни в каком исправлении, если при разметке пути толкателя (как увидим дальше, графики подъемов при решении обратной задачи в кулачковом механизме, т. е. задачи проектирования, нужны для разметки пути толкателя) не брать больше точек, чем взято делений при вышеописанном интегрировании методом хорд, так как все ординаты углов ломаной на рис. 355, в найдены правильно. Будут лишь неправильными точки на участках ломаной между ее углами. Так, например, участок Оа должен иметь форму кубической параболы [c.327]

Таким образом, поставленная задача о восстановлении напряженно-деформированного состояния упругого тела по известному вектору перемещений на части поверхности сводится к решению системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода (3.9). Исходная информация, необходимая для однозначного нахождения неизвестного вектора реакций или нагрузки, в общем случае должна включать в себя данные о всех трех компонентах вектора перемещений на поверхности измерений. Но во многих случаях эффективному измерению поддаются лишь отдельные компоненты вектора перемещений. Например, при тензометрических исследованиях натурных конструкций или их моделей находят величины относительных удлинений (деформаций) в точках поверхности, что позволяет после предварительной обработки дискретных данных измерений (интерполирование, сглаживание и т.п.), путем интегрирования эпюр деформаций построить в локальной системе координат поверхности эпюры компонент вектора перемещений, касательных к поверхности измерений. В то же время нормальная к поверхности компонента вектора перемещений не может быть определена тензометрическими методами. В таких случаях определение неизвестного вектора напряжений может быть осуществлено по двум или даже одной компоненте вектора перемещений, при этом искомый вектор напряжений может восстанавливаться не однозначно. Это связано с возможностью появления нетривиальных решений для неполной системы однородных уравнений (3.9). В некоторых случаях характер нетривиальных решений можно предсказать. Выбор того или иного решения может быть осуществлен на основании некоторой дополнительной информации (например, информации о величине искомого вектора в какой-либо одной точке) или исходя- из общих представлений о напряженном состоянии исследуемой конструкции. [c.66]

При численном интегрировании методом сеток величины производных функций в выбранных точках заменяются линейными комбинациями значений самой функции в этих же точках. Практически подсчеты трудно осуществлять из-за большого числа однообразных вычислительных операций. Вычисления особенно трудоемки при сложных уравнениях, включающих различного рода нелинейности. Время, затрачиваемое на решение даже сравнительно простых задач, оказывается весьма продолжительным. [c.380]

Исключением одной из искомых переменных, например Ai0, система (4-34) сводится к одному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка с правой частью, интегрирование которого легко выполняется разными методами. Применение для этой цели преобразования Лапласа в задачах динамики предпочтительнее, поскольку можно последовательно получить решение в области изображений (передаточные функции) и во временной области. В области комплексного [c.94]

Три написанных уравнения содержат три неизвестных К), 6(5) и а(6). Заметим сразу, что для решения задачи приходится задаваться величиной после чего из уравнения (20.7) находится функция 6 = 6(5), строится функция 1пУ(6) и из уравнения (20.8) находится исправленное значение У . Эти вычисления повторяются, пока уравнение (20.8) не будет удовлетворяться с необходимой точностью. Затем по (20.9) сразу находится окончательная функция а (6). Наконец, при известных функциях У (Ь) и ос (6) контур входных кромок строится путем интегрирования, как в методе годографа скорости [c.173]

В плазме впервые уединенные волны были найдены Р.З, Сагдеевым в 1958 г, на магнитозвуковой и ионно-звуковой ветвях колебаний [ОЛ]. В 1965 г. было введено понятие солитон [0.2]. С этого момента исследование нелинейных волн и особенно их частного вида уединенной волны стало одной из бурно развивающихся областей физики и математики. Было обнаружено, что некоторые нелинейные уравнения эволюционного типа сводятся к системе линейных уравнений, т.е. являются скрытнолинейными. Почти все они имеют важное приложение в физике. Среди них есть и двумерное уравнение, полученное Б.Б. Кадомцевым и В.И. Петвиашвили [0.3]. Свойства таких уравнений и способ их интегрирования методом обратной задачи рассеяния (03 ) подробно описан в [0.4]. В [0.5—0.7] дано введение в теорию нелинейных волн в плазме. К ним примыкает и книга [0.8], где большое внимание уде- [c.3]

Ограниченно устойчивыми являются остальные из рассмотренных методов, для них характерно сохранение устойчивости вычислений только при выполнении ограничений, накладываемых на значение шага интегрирования. Так, для явного метода Эйлера при /t= onst в задаче (5.10) условие устойчивости имеет вид неравенства [c.238]

В XVIII в. начинается интенсивное развитие в механике аналитических методов, т. е. методов,- основанных на применении дифференциального и интегрального исчислений. Методы решения задач динамики точки и твердого тела путем составления и интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений были разработаны великим математиком и механиком Л. Эйлером (1707—1783). Из других исследований в этой области наибольшее значение для развития механики имели труды выдающихся французских ученых Ж. Даламбера (1717—1783), предложившего свой известный принцип решения зйдач динамики, и Ж. Лагранжа (1736—1813), разработавшего общий аналитический метод решения задач динамики на основе принципа Даламбера и принципа возможных перемещений. В настоящее время аналитические методы решения задач являются в динамике основными. [c.7]

Таким образом, представление, использующее технику функционального интегрирования, физически эквивалентно обычному, использующему дифференциальные уравнения в частных производных. Математически подход, связанный с винеровскими интегралами, более сложен при проведении точных расчетов, однако его основными достоинствами являются компактность записи и физическая наглядность, прежде всего при использовании приближенных методов решения задач ( ). [c.96]

Решение прямой задачи как в перемещениях, так и в напряжениях требует интегрирования довольно сложной системы дифференциальных уравнений в частных производных и, как правило, сопряжено со значительными математическими трудностями. Поэтому при решении прямой задачи часто используют приближенные методы,например метод сеток, прямые методы вариационных задач (методы Ритца, Бубнова—Галеркина, Канторовича и др.), а также получивший за последнее время широкое применение метод конечных элементов. В некоторых же случаях решение можно эффективно получить с помощью так называемого полуобратного метода Сен-Венана. [c.81]

Во многих случаях в книге применяется также энергетический метод решения задач теории упругости. При этом интегрирование дифференциальных уравнений заменяется исследованием условия минимума некоторых интегралов. При помощи метода Ритца эта задача вариационного исчисления сводится к простой задаче отыскания минимума функции. Таким способом удается получить приближенные решения во многих практически важных случаях. [c.17]

Энергетические методы широко применяют в задачах статики и динамики тонкостенных конструкций. Наиболее распространенным из них является метод Релея — Ритца, предусматривающий представление решения в виде ряда по координатным функциям. Выбор метода решения задачи — интегрирование дифференциального уравнения (классическими методам и или методом Галер-кина) или применение энергетического метода — часто связан с определенными трудностями. Можно показать, что при условии корректного применения метода Галеркина к системе дифференциальных уравнений [22], он в математическом отношении эквивалентен методу Релея — Ритца [133]. Однако, если имеется только дифференциальное уравнение, то следует применять метод Галеркина или другие методы его решения, а если имеется только выражение, определяющее энергию системы, следует отдать предпочтение энергетическим методам. Эти соображения не помогают выбрать метод решения задач, которые сформулированы как в дифференциальной, так и в энергетической постановке. Он определяется в этих случаях предшествующими расчетами, а также наличием программ решения задач на собственные значения (для устойчивости и колебаний) для вычислительных машин. Традиционно энергетические методы получили наибольшее распространение в США и Германии, в Англии отдавалось предпочтение конечно-разностным методам решения дифференциальных уравнений, а в СССР — методу Галеркина. [c.179]

Введение. Мы привели дифференциальные уравнения движения к особенно удобному каноническому виду. Однако наша конечная цель будет достигнута только тогда, когда мы сможем решить эти уравнения. Поскольку нам неизвестен метод непосрественного интегрирования этих уравнений, то приходится идти косвенными путями. Одним из таких путей является метод преобразований координат. Мы пытаемся отыскать такую систему координат в фазовом пространстве, в которой входящая в канонические уравнения функция Гамильтона имела бы настолько простой вид, чтобы уравнения движения могли быть непосредственно проинтегрированы. Естественно, что с этой точки зрения желательно исследовать всю группу преобразований координат, связанных с каноническими уравнениями. Изучение этих канонических преобразований оказывает ценную помощь при интегрировании уравнений механики. Теория канонических преобразований в основном связана с именем Якоби. Хотя он, возможно, и не обладал воображением, присущим Гамильтону, и его усилия были в основном направлены на решение задачи интегрирования уравнений, однако открытие канонических преобразований явилось все же огромным достижением. Получившаяся в результате теория интегрирования сыграла важную рель в развитии современной атомной физики. В далеко идущих исследованиях Гамильтона проблема интегрирования являлась второстепенной задачей. [c.225]

Следует подчеркнуть, что использование численного интегрирования в данном случае не имеет ничего общего с применением этого способа для получения решения при установившемся режиме. В первом случае речь идет об аналитическом методе, в котором численным интегрированием определены лишь отдельные промежуточные функции, вычисленные на ограниченном отрезке времени во втором — об интегрировании до выхода на установившийся режим, что нередко связано с большим объемом вычислений (а следовательно, и машинного времени) и большой накопленной погрешностью. С устранением этих недостатков связана эффективность многих аналитико-вычислительных методов, используемых в современных задачах динамики машин [5, 12, 13,61]. [c.95]

Остановимся на методах решения задач неустановив-шейся ползучести гибких оболочек. Трудность решения таких задач заключается в том, что они физически и геометрически нелинейны. Наиболее распространенный подход к решению физически нелинейных задач неуста-новившейся ползучести основан на методе шагов по времени [4, 9, 19, 39, 63], который реализуется в сочетании с одним из методов решения краевой задачи. Среди последних широкое применение в практике расчета гибких пологих оболочек нашли методы, использующие в качестве основы дифференциальные уравнения краевой задачи — методы конечных разностей [36], численного интегрирования дифференциальных уравнений [10] и вариационные. [c.11]

В задачах с. неподвижндми концами для определения постоянных интегрирования используем граничные условия (1.4) или (1.5). В задачах с подвижными концами для этой цели привлекаются условия трансверсальности. Неопределенный множитель X определяется из изопериметрического условия (1.10). К достоинствам этого точного метода относится то, что оптимальный закон движения выбирается из класса функций, удовлетворяющих минимальному количеству дополнительных условий (непрерывности, граничным и изопериметрическим условиям), т. е. только дополнительным условиям первой группы. Следовательно, имеются основания полагать, что найденный таким образом закон движения сообщает поставленной задаче наиболее сильный оптимум в допустимом классе функций. [c.20]

Двумерные задачи. Решение общих задач теплопроводности в двух и трех измерениях можно получить методом интегральных уравнений с помощью функции Грина подобно тому, как это делается в теории потенциала. Но последовательное решение этих задач методом интегральных уравнений оказывается более трудным, чем решение разобранных у ке нами задач. В этих задачах ядро интегрального уравнения в области интегрирования обращается в бесконечность интегралы оказываются поверхностными или объемными и ряды дво1Т ными или тройными. [c.259]

ИЗ которого следует, что р = Уо ( ). = os (v ---ш), гдеР(>0), v(>0) и (U — постоянные интегрирования, которые, согласно, общему методу решения задачи, изложенному в 7 гл. I, мы должны определить, подчиняя и граничным условиям (в общей теории мы их обозначали Olj, (Ид, ...). [c.54]

Эффективный метод расчета. теплообмена на основе лучистого сальдо (поточная алгебра) был создан Г. Л. Поляком. Метод Г. Л. Поляка позволяет решать широкий круг задач лучистого еплообмена чисто алгебраическими методами, в то время как другие методы требуют сложных вычислений, связанных обычно с процессом многократного интегрирования. [c.395]

Метод функционального интегрирования оказался осе бенно полезен в задачах, в к-рых необходимо суммировать большое (а иногда и бесконечное) число диаграмм. К таким задачам относятся вычисление инфракрасной и ультрафиолетовой асимптотик ф-ций Грина, исследование фазовых переходов, описание коллективных возбуждеюй в квантовой теории поля и в квантовой статистике, [c.384]

Таким образом, существенным недостатком классического вариационного исчисления является практическая невозможность учета в сложных задачах ограничений в форме неравенств. В современной математике разработан ряд методов учета таких ограничений—метод штрафных функций, методы возможных направлений (проекционные методы), метод модифицированных множителей Лагранжа, принцип максимума Понтрягина. Первые два метода, используемые в данной работе, будут рассмотрены ниже более подробно. Анализ метода модифицированных множителей Лагранжа применительно к энергетическим задачам проведен в работах [Л. 47, 48]. Исследования по применению принципа максимума Понтрягина к задаче оптимизации долгосрочных режимов ГЭС только еще начаты в работах Л. С. Беляева, Далина, Шена, Нариты [Л. 48, 95, 96]. Авторы отмечают большую перспективность этого метода решения задачи. Исследования но применению принципа максимума Понтрягина, по-видимому, позволят дать объективную оценку этому методу. В настоящей работе этот метод не рассматривается. Р ешение задачи на основе интегрирования дифференциальных уравнений Эйлера не получило в настоящее время распространения, хотя и не доказано, что оно бесперспективно. [c.37]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...