Интегрирование методы—в задачах задачах о распространении волн

На примере задачи о распространении волн в упруго/вязкопластическом стержне рассмотрим интересный метод непосредственного приближенного интегрирования системы уравнений, [c.147]

Интегрирование задач ведется в основном численными методами. При изучении распространения одномерных волн в средах с усложненными свойствами использу [c.3]

В работе [98] сделаны оценки пяти различных методов решения краевых задач для неупругих сред и их эффективности при решении краевых задач. На примере проведенных вычислений для задачи распространения цилиндрической волны сдвига в упруго/вязкопластической среде показано, что результаты, полученные при использовании итерационного метода Куранта, метода непосредственного интегрирования и метода конечных разностей, близки. Максимальное отличие результатов, полученных этими методами, не превышает 3% в рассматриваемом отрезке времени. [c.68]

Изложим вкратце некоторые численные методы непосредственного интегрирования системы уравнений задачи о распространении волн в упруго/вязкопластическом стержне. Рассмотрим систему уравнений (15.1) и (15.3). Численно решим эту систему при начальных условиях [c.146]

В теории упругости выдающиеся результаты были получены при разработке общих методов интегрирования дифференциальных уравнений равновесия упругого тела, приближенных методов их решения и в исследовании многочисленных частных задач. Это было продолжением и расширением исследований русских механиков дореволюционного периода. Но сложились также новые школы и направления. Систематически велись исследования по плоской задаче теории упругости с помощью методов теории функций комплексного переменного, большая группа ученых работала по теории пластинок и оболочек, приобретавшей все большее значение для техники. Меньше внимания уделялось контактным задачам, но гг они стали постоянным предметом исследований. Впервые после трудов Остроградского значительные результаты были получены в теории распространения упругих волн, которая разрабатывалась в связи с запросами сейсмологии. К этому списку надо добавить исследование устойчивости упругих систем, теорию стержневых систем, графические методы. Тут мы находимся на стыке теории упругости п таких прикладных дисциплин, как строительная механика и сопротивление материалов. [c.291]

В общем случае двух- или трехмерного распространения приходится иметь дело с большим числом независимых переменных и геометрия становится еще сложнее не удивительно поэтому, что приходится прибегать к приближенным методам. В самом деле, единственные точные решения, которые удается найти, зто автомодельные решения для частных задач, и даже в них обычно требуется численное интегрирование приведенных уравнении. Автомодельные решения для цилиндрических и сферических волн и для волн в неоднородной среде были рассмотрены в 6.16, [c.254]

Функция Грина (3.120) не только обладает свойством гладкого убывания до нуля при приближении к своему фронту, но, с учетом (3.113), дает возможность для достаточно удобного теоретического и численного исследования решений уравнения (3.33) или (3.38) при постановке различных начальных и граничных задач. Интегральное представление (3.120) совместно с (3.113) является математически точным представлением рещения фундаментальной задачи Коши (3.78)-(3.79) для этих уравнений, поэтому вопрос о математической точности этих выражений не стоит, а точность и скорость численных вычислений по этим формулам определяется только точностью и скоростью примененного метода численного интегрирования. Вопрос о границах применимости самого уравнения (3.33) для описания физических процессов, определяется наличием у физических систем фрактальных стохастических самоподобных свойств, границы диапазона масштабов самоподобия которых достаточно широко охватывают, например, полосу длин волн в спектре переходных волн, распространение которых мы описываем с помощью этого уравнения. В случае если спектр переходных волн приближается (или переходит) к нижней или верхней границам диапазона масштабов самоподобия фрактальной структуры, определяющей закон дисперсии волн данного типа в рассматриваемой системе, следует перейти к использованию других моделей описания этого процесса, в частности, можно воспользоваться другими уравнениями, из предложенных в Главе 1 данной части книги. [c.173]

Введя систему биполярных координат [179, 186, 189], решим задачу о распространении волн, интегрируя уравнения задачи по времени и используя метод Треанора [150] с переменным шагом интегрирования. [c.245]

Здесь параметры а и 6 выбираются из условия устойчивости и точности интегрирования. Если S = 0,5, а = 0,25, то метод Нью-марка имеет второй порядок точности интегрирования во времени, при этом отсутствует схемная диссипация. При других зна-чених S и а метод Ньюмарка имеет первый порядок точности и появляется схемная диссипация при интегрировании уравнений движения. Диссипативные схемы интегрирования оказываются полезными при решении задач о распространении ударных волн и при решении динамических контактных задач [59, 91, 92]. Для линейных задач схема Ньюмарка является безусловно устойчивой при [49, 122] [c.185]

Метод асимптотического интегрирования Маслова [70], использованный в гл. 7-10, в работах Г.И.Михасева [170, 171] применен для решения нестационарных динамических задач о распространении изгибных волн в цилиндрической оболочке. [c.309]

Рассмотрим вначале стационарные схемы конечных элементов. На ранних стадиях применения метода конечных элементов к задачам распространения трещин [ 78 движетие трещины моделировалось дискретными скачками, т. е. положение вершины трещины изменялось от уэла к уэлу вдоль оси трещины и скорость распространения трещины п 1 этом, очевидно, была связанной с шагом интегрирования системы уравнений движения. Последнее обстоятельство приводит к существенным усложнениям, так как для получения точных результатов в задачах о распространении волн необходимо использовать сравнительно маленький шаг (не превышающий времени проховдения волны расширения через наименьший конечный элемент). Скорость же распространения трещины имеет обычно значительно меньшую величину, чем скорость распространения волны расширения, поэтому в течение шага по времени вершина трещины не может переместиться на расстояние между двумя узлами. Кроме того, npi использовании стационарных схем разбивки на элементы вследствие скачкообразного изменения положения вершины трещины возникают нежелательные высокочастотные осцилляции решения. Для преодоления этих трудностей были предложены методики последовательного освобовдения узлов. [c.75]

Содержание данного параграфа основано на работе Гринберга и Фока. Мы остановились так подробно на задаче о береговой рефракции, довольно далеко отстоящей от тематики этой книги, по нескольким причинам. Во-первых, задача о береговой рефракции явилась, по существу, первой диффракцион-ной задачей, к которой был применен метод решения интегральных уравнений, развитый в работе [1]. В этой задаче впервые была проведена факторизация с помощью дифференцирования и последующего интегрирования, т. е. использован прием, к KOTopoJviy мы прибегали на протяжении всей книги. Во-вторых, эта задача после небольшой модификации позволяет рассчитать диффракцию поверхностной волны на койце по-лубесконечной импедансной структуры, поддерживающей распространение этой волны ( 60). В-третьих, решение задачи о береговой рефракции, полученное при достаточно частных предположениях, позволяет разобраться в более сложных вопросах, относящихся к распространению и диффракции волн. Последнее обстоятельство придает задаче о береговой рефракции особое значение, поэтому мы продолжим ее рассмотрение в 59. [c.326]

Исследование распространения цилиндрических волн сдвига показало (X. А. Рахматулин, 1948), что в случае линейного упрочнения материала величины скоростей и деформаций на фронте упругих волн падают обратно пропорционально квадратному корню расстояния до центра симметрии.. Относительно просто исследуется вопрос о напряжениях в цилиндрической трубе из идеально пластического несжимаемого материала при внезапном приложении нагрузки дело сводится к интегрированию обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения первого порядка (Е. X. Агабабян, 1953). В случае сжимаемого материала с одним и тем же модулем сжатия как в области упругих, так и в области пластических деформаций задача решается методом характеристик (Е. X. Агабабян, 1955). При этом обнаружено наличие особого типа волн, исходяш их от внутренней поверхности цилиндра с одной и той же скоростью и в дальнейшем расслаивающихся. [c.314]

Понятия о колебательных движениях и волнах сформулировались в начале XIX в. В то время получены линейные решения уравнений теоретической механики и гидродинамики, описывающие движения планет и волн на воде. Несколько позднее благодаря наблюдательности Д. С. Рассела [186], теоретическим исследованиям Б. Римана [97, 99] и других исследователей сформировалось понятие о нелинейных волнах. Однако, если линейные колебания и волны были весьма полно изучены в XIX в., что нашло отражение в фундаментальном курсе Д. Рэлея [177], то этого нельзя сказать о нелинейных колебаниях. Сознание того, что нелинейные уравнения содержат в себе качественно новую информацию об окружающем мире пришло после разработки А. Пуанкаре новых методов их изучения. Созданные им и другими исследователями методы интегрирования нелинейных уравнений нашли широкое применение в радиофизике [6] и механике твердых тел [73]. Более медленно нелинейные понятия и подходы входили в механику жидкости и твердого деформируемого тела. Показательно, что первые монографии, посвященные нелинейному поведению деформируемых систем, были опубликованы на-рубеже первой половины XX в. [39, 72, 107, 153]. В это же время резко возрос интерес к нелинейным колебаниям и волнам в различных сплошных средах. Сформировались нелинейная оптика, нелинейная акустика [97, 173], теория ударных волн [9, 198] и другие нелинейные науки [184, 195, 207]. В них рассматриваются обычно закономерности формоизменения волн, взаимодействия их друг с другом и физическими полями в безграничных средах. Нелинейные волны в ограниченных средах исследованы в значительно меньшей степени, несмотря на то что они интересны для приложений. В последнем случае важнейшее значение приобретает проблема формирования волн в среде в результате силового, кинематического, теплового или ударного нагружения ее границ. Сложность проблемы связана с необходимостью учета физических явлений, которые обычно не проявляют себя вдали от границ, таких как плавление, испарение и разрушение среды, а также взаимодействия соприкасающихся сред. В монографии рассмотрен широкий круг задач генерации и распространения нелинейных волн давления, деформаций, напряжений в ограниченных неоднородных сплошных средах. Большое внимание уделено динамическому разрушению и испарению жидких и твердых сред вблизи границ, модельным построениям для адекватного математического описания этих процессов. Анализируется влияние на них взаимодействия соприкасающихся сред, а также механических и тепловых явлений, происходящих в объемах, прилегающих к границам. [c.3]

Отправным пунктом вычислительного эксперимента является физико-математическая модель. Прежде чем переходить к построению численных алгоритмов, ее необходимо исследовать, так как для выбора наиболее эффективных методов численного решения задач большую роль играет знание основных закономерностей изучаемых явлений. При исследовании математической модели используются все традиционные методы и средства, которые включают в себя отыскание аналитических решений в частных случаях, построение асимптотик, применение теории размерностей и подобия [75] и т. д. Значительную помощь в получении информации об изучаемом процессе может оказать анализ инвариантных решений, вид которых определяется из теории групповых свойств дифференциальных уравнений [48, 63]. Наиболее распространенными типами инвариантных решений являются автомодельные решения и решения типа бегущих волн. Автомодельные решения позволяют дать качественную картину отдельных сторон исследуемых процессов. Следует отметить, что при учете большого числа физических эффектов класс автомодельных решений существенным образом ограничен. Однако несмотря на это их свойства зачастую характерны и для более общих случаев. Они могут дать достаточно широкую информацию о сложных нелинейных процессах и позволяют установить зависимости характерных величин от различных параметров задачи. Автомодельные решения представляют собой также хорошие тесты для отработки методов численного интегрирования. Сопоставление результатов расчетов с известными решениями позволяет судить о точности разностных схем, скорости сходимости и т. д. Поэтому построение тестовых решений, в том числе автомодельных, представляет собой необходимый элемент в общей программе конструирования численных методов. Следует подчеркнуть, что при выполнении [c.5]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...