Интеграл комплексный

Инструктаж работающих 401 Интеграл комплексный 108 [c.447]

Следовательно, напряжение т определено, если известно значение интеграла в правой части (5-1.27). Поскольку это значение однозначно определяется частотой со, можно определить также единственную комплексную материальную функцию комплексную вязкость т), характеризующую поведение материала в периодических течениях. Поскольку т] — комплексная величина, ее [c.173]

Для нахождения решений используется общий интеграл этого уравнения в расширенной комплексной форме [c.218]

Возвращаясь теперь к формуле (75), определяющей обратное преобразование Фурье, подставляя под знак интеграла (75) выражение комплексного спектра координаты (84) и выражая экспоненциальную функцию через тригонометрические, получаем [c.255]

Пусть действительная часть комплексного спектра координаты <7у —четная функция. В таком случае вместо (88) можно написать еще более простой интеграл [c.256]

Формула (88) или соответственно формула (89) сводит задачу определения движения стационарной системы, возникающего вблизи положения устойчивого равновесия под действием внешней силы, начинающей действовать с момента t = 0 при нулевых начальных условиях, к одной квадратуре в действительной области. Зная действующую силу Qf t), можно вычислить комплексный спектр ее и координаты q и затем выделить действительную часть спектра д,. Полученная таким образом действительная функция действительного аргумента P(Q) называется действительной частотной характеристикой возмущения, и зная ее, можно без особого труда любым приближенным способом подсчитать интеграл (88) или (89). Самый простой способ для этого — представить кривую Р Q) кусочно-линейной функцией и провести интегрирование по отрезкам прямых. [c.256]

В этой формуле будем полагать постоянную интегрирования С комплексной. Нижний предел определенного интеграла мы поставим пока что совершенно произвольно. [c.353]

В виду существенной положительности интеграла, отсюда следует искомый результат Re со = 02). Отметим, что при /1 < О (жидкость подогревается сверху), чему формально отвечает < О, интеграл мог бы обращаться в нуль и го) могло бы быть комплексным. [c.313]

Обозначим посредством Q (z) функцию, определенную во всей плоскости комплексного г (с разрезом по отрезку (а , а )), как интеграл [c.170]

В каждой главе приведены принятые рабочие гипотезы, упрощающие расчетные уравнения для рассматриваемого геометрического тела, после чего приводятся преимущественно точные методы общего и частного решений этих уравнений. Для получения общего решения широко используются специальные функции. Частный интеграл системы неоднородных дифференциальных уравнений находится при помощи метода вариации произвольных постоянных (из общего решения системы однородных уравнений) или его интерпретации, методом начальных условий. При решении задачи методами комплексной переменной частный интеграл находится из уравнений более низкого порядка [см. уравнение (7.80)]. Расчетные системы уравнений Приведены для правой системы координат. [c.6]

С — произвольные постоянные У — любой частный интеграл уравнения (г). При 5>г все четыре значения k являются комплексными [c.20]

Пользуясь методом, основанным на применении аппарата теории функций комплексного переменного, С. В. Ковалевская нашла в этом случае общий интеграл дифференциальных уравнений движения (17) [c.710]

В уравнения движения время t явно не входит. Исключая имеем пять уравнений, для которых найдены четыре первых интеграла. Согласно теории последнего множителя ) задача сводится к квадратурам. С. В. Ковалевская доказала, что кроме четырех случаев — Эйлера, Лагранжа, полной кинетической симметрии А = В = С и ее — нет случаев, когда общее решение уравнений движения является мероморфной функцией в комплексной плоскости переменного t. [c.197]

Прежде чем перейти к изучению поведения интеграла типа Коши на линии интегрирования, рассмотрим вопрос о классах функций. Пусть f(i) — некоторая функция, причем аргумент t и функция f(t) могут быть как действительными, так и комплексными. Если f(i) является функцией из класса непрерывных функций, то, по определению, приращение аргумента 2—1 и функции If( 2) —/( i)l одновременно стремится к нулю. При этом вопрос [c.137]

Величины С и С — комплексные постоянные числа. Если одной из вершин многоугольника соответствует бесконечно удаленная точка, то соответствующий множитель в формуле Кристоффеля—Шварца под знаком интеграла отсутствует. [c.255]

Ортогональность собственных функций. Собственные функции линейного самосопряженного оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу, т. е. интеграл по всей области изменения независимых переменных от произведения одной из них на функцию, комплексно сопряженную с другой, равен нулю. Пусть и -собственные функции оператора А, принадлежащие различным собственным зна- [c.107]

Интеграл типа Коши. Пусть L — гладкий замкнутый контур в плоскости комплексного переменного а. Область, расположенную внутри контура, будем обозначать через 0+, а вне — через 0 . Пусть непрерывная функция f(т) есть краевое значение на контуре L некоторой функции (г), аналитической в 0+ или в 0 , а точка г располагается либо в 0+, либо в 0 . Рассмотрим интеграл [c.12]

Теорию одномерных сингулярных уравнений принято излагать для произвольных контуров в комплексной плоскости, что позволяет сразу, без вспомогательных преобразований, использовать ее для рещения некоторых двумерных краевых задач математической физики. Тогда само построение теории опирается на свойства интеграла типа Коши. [c.51]

Лемма Жордана дает возможность при вычислении интеграла вдоль прямой в комплексной области использовать теорию вычетов. Для этого рассматривается совокупность конечных отрезков, переходящих в пределе в заданную прямую. Концы каждого из отрезков соединяются какой-либо другой, а заданная на прямой функция аналитически продолжается на эти дуги, и далее рассматриваются интегралы по образованным таким образом замкнутым контурам. В лемме Жордана специально оговаривается случай, когда с увеличением длины дополнительной дуги интеграл по этой дуге стремится к нулю. Наиболее просто требуемые оценки получаются, когда такой дугой выбирается дуга окружности. [c.75]

В самом деле, определив производные от функции, заданной неявно, подставив полученные выражения в (9,2) и учитывая (9.4), убеждаемся, что выражение (9.3) дает интеграл системы (9.2). Таким образом, доказано, что волновое уравнение (9.1) имеет класс решений указанного вида. Отметим, что если /(Й) — комплексная функция, то решениями также будут и функции ц = Не/(Й) ии = 1т/(й). [c.431]

Если все числа /, т, п — действительные, то получаем решение волнового уравнения, называемое плоской волной. Коэффициенты /, т, п могут быть комплексными числами. При ш = 1, п = (, 1 = 0 получаем общий интеграл уравнения Лапласа, который, конечно, удовлетворяет и волновому уравнению. В случае. же, когда псе три коэффициента отличны от нуля и являются комплексными величинами, мы получаем существенно новое решение, которое называется плоской волной [52]. [c.432]

Нас будет интересовать особенность в кончике трещины, например при Z = а. Заметим, что в формуле (19.4.6) интегральный член остается ограниченным при г = а, слабые особенности типа (2 —а) в подынтегральном выражении и перед интегралом взаимно компенсируются. На самом деле всегда можно выбрать такую функцию p z) комплексной переменной z, что p t) представляет ее значение на отрезке [—а, а] действительной оси. Тогда этот интеграл представляет собою интеграл Коши, его [c.662]

Анализ вибрации и распространения волн в вязкоупругих композитах проведен в [1]. Причем основное внимание уделено расчету поведения при стационарном гармоническом нагружении. Хорошо известно, что, используя свойство интеграла Фурье, решения для стационарного случая можно применить для расчета поведения при нестационарных воздействиях произвольного вида. Обсудим вкратце этот подход с точки зрения применения к решению задачи алгоритма FFT [20]. В динамическом анализе композитов используются и другие методы, например преобразование Лапласа [1] и метод характеристик [21]. Однако есть основания полагать, что точность и вычислительная эффективность алгоритма РТТ плюс легкость получения стационарного поведения при помощи упругих решений делают этот подход наиболее привлекательным. Здесь представляет интерес также удобство применения численных или очень общих аналитических представлений комплексных модулей (податливостей). [c.196]

Рис. 65. Комплексная плоскость г и кривые интегрирования для вычисления интеграла I

Если введем комплексную переменную 2=е , то, согласно [3], интеграл второго слагаемого (14) по переменной z в комплексной области берется по полукругу единичного радиу- [c.10]

Вычисление интеграла второго члена (16" ). Этот интеграл в комплексной области [c.29]

Для вычисления (9) воспользуемся свойством этого интеграла, сводящимся к тому, что для положительных и отрицательных т и Jy являются комплексно-сопряженными величинами [c.7]

Другой возможный способ мы приведем здесь в качестве иллюстрации приемов интегрирования, хотя в данном случае ои особых преимуществ не имеет. Рассматривая г как комплексную переменную, произведем интегрирование по контуру. Чтобы сделать подынтегральную функцию однозначной, произведем в плоскости разрез от ri до rj. Непосредственно ниже разреза радикал будем считать положительным. Выражение (18.16.1) для можно трактовать как интеграл по простому замкнутому контуру С, охватывающему разрез (рис. 70) [c.353]

Оставшиеся интеграл берется путем поворота пути интегрирования в плоскости комплексного переменного с правой веществепноп на верхнюю мнимую полуось. В результате получим [c.207]

Поскольку запаздывающая функция Грина аналитична в верхней комплексной полуплоскости, а опережающая — в нижней, то, представляя их в виде интеграла Коши и замыкая контур интегрирования полуокружностью большого радиуса (соответственно сверху или снизу), совершенно аналогично тому, как мы делали это в 23, с учетом формулы Сохотского (5.102) находим дисперсионные соотношения для функции Грина (квантовых и классических) [c.173]

Когерентная оптическая система линейна относительно комплексной амплитуды поля, поэтому в случае пространственно инвариантной системы или для изопланатических зон пространственно неинвариантной системы справедлив интеграл суперпозиции [c.48]

Ортогональ11ость собственных функций. 1ве собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу, т. е. интеграл от произведения одной из этих функций на функцию, комплексно сопряженную с другой, взятый по всей области интегрирования, равен нулю. [c.100]

Аг)—Ф(2)], равного производной функции Ф(2). Как известно (см., например, [33]), для функции комплексного переменного из существования первой производной следует существование всех остальных производных. Заметим, что понятие интеграла типа Кощи распространяется и на случай разомкнутых контуров, что приводит к функции, аналитической во всей плоскости, исключая разрез. [c.13]

Были получены решения и для многмх других сечений ), сплошных и полых, включая многоугольники, углы, кардиоиды, лемнискаты ) и (Экруж-ности е одним или несколькими эксцентрическими отверстиями ). Если сечение может быть конформно отображено на единичный круг, то решение можно записать в виде комплексного интеграла ). [c.321]

Вычислим Г-интеграл первого рода для полубесконечпой трещины в плоскости в условиях плоского напряженного состояния или плоской деформации. Пусть кромка трешины совпадает с линией а , = а 2 = 0, а берега трещины вдоль 2=0, а , < О свободны от внешних нагрузок. Вблизи фронта трещины упругое поле описывается комплексными потенщ1алами [187, 307] [c.68]

Здесь использовано явное выражение для A h) Для моментов времени тС J Z или т<0 в вершину трещины еще не успевают прийти волны напряжений, и поэтому i(f) = 0 при Интеграл в (52.20) является вещественным, однако его удобно рассматривать как линейный интеграл в комплексной / -плоско-сти. Подынтегральное выражение имеет простой полюс при h = и точки ветвления h = i , (t-Ь f Z)/Z. При <. 1 + i l)lla 2 подынтегральное выражение аналитично в й-плоскости, имеющей разрезы вдоль линий < Re (/i) < Im(A) = 0, за исключением простого полюса в h = . При <С(т Н- i l)jl подынтегральное выражение аналитично во всей А-нлоскости, разрезанной вдоль Re (/i)< (t + ]" Z)/Z, Im (/г)=0, за исключением простого полюса в h = r . В последнем случае 414 [c.414]

Интеграл (9,68) может быть вычислен элементарными методами, однако особенно быстро и изящно это можно сделать с помощью теории вычетов, что было впервые проделано Зоммер-фельдом. Рассмотрим в общих чертах этот способ. Прежде всего заметим, что Е следует считать отрицательным, так как только тогда движение рассматриваемой точки будет ограниченным (см. 3.3). Далее, так как интегрируемая функция равна здесь Рг = тг, то пределы изменения г определяются корнями выражения, стоящего под знаком радикала. Пусть ri — меньший из этих корней, а Гг — больший (см. рис. 24). Тогда полный цикл изменения г будет состоять из двух частей сначала г будет увеличиваться от значения Гх до значения Гг, а затем будет вновь уменьшаться до первоначального значения Гь В первой фазе этого изменения рг будет положительным, и радикал (9.68) Нужно будет брать со знаком плюс, а во второй фазе, когда рг отрицательно, его нужно будет брать со знаком минус. Следовательно, нам нужно будет произвести интегрирование двузначной функции, двигаясь на участке от ri до по одной ветви, а на участке от Г2 до Г — по другой. Так как точками разветвления этой функции являются точки гх и Г2, то комплексную плоскость этой функции можно рассматривать как один из листов римановой поверхности, разрезанной вдоль вещественной оси на участке от Г1 до Г2, как показано на рис. 65. [c.330]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...