Классические решения краевых задач

Допустим, что решается задача II. Тогда плотность потенциала простого слоя (т. е. решение интегрального уравнения) будет принадлежать классу С° 5 и, согласно сказанному в 1, потенциал простого слоя будет представлять собой функцию класса С Р, являющуюся регулярным (классическим) решением краевой задачи. Аналогичное же рассмотрение задачи I не приводит к такому результату. Поскольку плотность по-прежнему принадлежит классу С Р, то потенциал двойного слоя будет принадлежать классу С° Р, который не представляет собой регулярного решения. В этом случае о решении надо говорить как об обобщенном. [c.569]

Классические решения краевых задач методом Даламбера. Определим классическое решение краевой задачи. [c.25]

Если и х, t) — классическое решение краевой задачи, то для любой функции F x,t) G справедливо равенство [c.65]

Классические решения краевых задач I и II [c.156]

Функции, представленные формулами (6.25) и (6.26), задают классическое решение краевой задачи I, если функции Ф х), Ф х) и ( ) непрерывно дифференцируемы при —21 ж 3/ и —21/а t 21/а. Это возможно при выполнении следующих условий на функции (fi x), ф х) и /j, t) [c.157]

Функции, представленные формулами (6.28) и (6.29), задают классическое решение краевой задачи II, если по-прежнему функции Ф х), Ф х) и fl(t) непрерывно дифференцируемы при —21 ж 3/ и —21/а 21 /а. Этого удается достичь при выполнении следующих условий на функции < (ж), ф х) и / (/) [c.158]

Функции, представленные формулами (6.34) и (6.35), задают классическое решение краевой задачи II с финальными условиями, если по-прежнему функции Ф х), х) и Jb t) непрерывно дифференцируемы при —21 X 31 и Этого удается достичь [c.159]

Уравнение (7-1.6) представляет собой так называемое уравнение Эйлера или уравнение движения идеальной жидкости (т. е. жидкости с ц = О, у которой, следовательно, напряжение всегда изотропно, Т = —р1). Литература по решению краевых задач для уравнения (7-1.6) весьма обширна и составляет содержание классической гидромеханики. Одним из лучших руководств-по этому предмету является монография Ламба [1]. [c.255]

Например, при решении задач теории упругости вариационными методами осуществляется переход к задаче об определении в некотором классе функций минимума соответствующего функционала. Доказывается, что решение этой задачи всегда существует и соответствующее ему поле смещений удовлетворяет дифференциальным уравнениям, однако краевые условия выполняются уже в некотором обобщенном смысле. Аналогичная ситуация возникает и при решении задач теории упругости методом потенциалов. При определенных ограничениях на форму поверхности и краевые условия доказывается, что получаемое посредством соответствующих интегральных уравнений решение краевой задачи может и не удовлетворять условиям, требуемым классической постановкой. Лишь при более строгих ограничениях (в чем, по сути дела, нет необходимости) решение оказывается регулярным. [c.243]

Структура исходных уравнений нелинейной теории многослойных анизотропных оболочек довольно сложна, получить аналитическое решение уравнений (1.42), (1.43) непросто, позтому будем ориентироваться на их численное решение на ЭВМ, В последние годы самое широкое распространение и признание получила методика решения задач прочности оболочек вращения, согласно которой исходная система уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние конструкции в геометрически линейной постановке, сводилась к решению краевой задачи для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот прием в сочетании с методом ортогональной прогонки оказался настолько плодотворным, что проблема расчета осесимметричных оболочек вращения в классической постановке оказалась в основном завершенной [ 1.16]. [c.23]

Основная идея предлагаемого метода изучения контактных задач с учетом геометрической и физической нелинейностей соотношений теории тонких оболочек заключается в решении краевой задачи для системы (1.1) при явном задании связи контактного давления с нормальным перемещением (прогибом) ш срединной поверхности оболочки. Такой подход имеет следующие преимущества. Отпадает необходимость построения на каждом шаге итеративного процесса функций Грина, входящих в уравнение (1.3) классического метода решения контактных задач. Получение этих функций в аналитической форме невозможно, численное их определение представляет весьма трудоемкую процедуру. Контактное давление исключается из числа искомых и является непрерывной функцией, равной нулю на границах зон контакта. Итеративный процесс решения нелинейных уравнений совмещается с процессом уточнения областей контакта и становится единым процессом решения конструктивно, геометрически и физически нелинейной задачи. [c.27]

Статические граничные условия на боковой поверхности слоя, как и в классической теории оболочек, формулируются в терминах обобщенных усилий и моментов Кирхгофа (2.4). Преимущество уравнений (2.3) по сравнению с (1.10) состоит в том, что они записаны в этих усилиях, и проявляется при численном решении краевых задач. [c.95]

Во второй части даны приложения полученных соотношений к выводу разрешающих уравнений состояния наиболее характерных классов оболочек оболочек вращения, пологих и цилиндрических оболочек, разработке методов решения краевых задач, возникающих при их расчете. Последняя глава посвящена постановке и решению одного класса нетрадиционных задач о контактном взаимодействии твердых жестких тел с упругими пластинками и оболочками, который характерен тем, что применение классической теории приводит к несоответствиям физической сущности таких задач и служит определенной иллюстрацией возможностей излагаемой в книге теории. [c.4]

Поиск подходов к решению контактных задач для штампа полигональной формы в плане [181] привел к разработке нового математического подхода — метода / -функций, который соединил в себе алгебраические методы математики с классическими методами математической физики. На базе аппарата / -функций В. Л. Рвачевым [184] на аналитическом уровне разработан структурный метод решения краевых задач для областей сложной формы со сложным характером краевых условий. Характерной особенностью данного подхода является построение координатных последовательностей для сложных областей в рамках элементарных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям вариационной задачи, рассматриваемой методами типа Бубнова — Галеркина. [c.10]

Суть метода состоит в сведении краевой задачи для дифференциальных уравнений к интегральному уравнению по границе области (или ее части). Он является одним из классических методов исследования и решения краевых задач. В связи с успехами электронно-вычислительной техники появились возможности построения эффективных численных и численно-аналитических методов решения интегральных уравнений. Это привело к интенсивному развитию метода граничных интегральных уравнений, который наряду с конечно-раз-ностными методами и методом конечных элементов успешно применяется в инженерной практике. [c.5]

Точные (аналитические или классические) методы решения краевой задачи теплопроводности — [c.76]

При этом на допустимые управления fi(t) и v t) наложено ограничение t) Л и (i) Л, где Л — заданная постоянная. Здесь норма элемента берется с учетом того конкретного пространства управляющих функций, элементы которого однозначно определяют решение краевой задачи (классическое или обобщенное), представимое в виде ряда Фурье по собственным функциям соответствующей задачи Штурма-Лиувилля. [c.8]

Нам представляется, что в решении (1.4), как и в других формах общих решений, следует видеть полезное вспомогательное средство решения краевых задач теории упругости, допускающее непосредственное использование классических частных решений уравнения Лапласа. При построении решения конкретной задачи сохранение четвертой гармонической [c.7]

Интефальные преобразования. Классические методы решения краевых задач, изложенные выше, обладают рядом недостатков они требуют определенной изобретательности, дают решения, мало пригодные для числовых расчетов, и т. п. Методы интегральных преобразований обладают рядом преимуществ перед классическими методами они стандартны, позволяют получать решения в уДобном для расчета виде (например, для малых и больших значений независимой переменной) использование таблиц изображения функций ускоряет и упрощает процесс нахождения решения и т. д. Наряду с очевидными достоинствами интегральные преобразования имеют общий существенный недостаток они применимы лишь к линейным уравнениям. [c.114]

При решении краевых задач уточненные уравнения (2.5) и (2.6) дополняются граничными условиями в соответствии с соотношениями (2.1) и (2.2). При этом весьма существен-Бым является вопрос о корректности граничных условий. В некоторых работах [1.43, 1.346, 2.59] уравнения балки Тимошенко решались с граничными условиями классической теории, что некорректно. [c.17]

Наиболее распространенным приемом численного решения линейной краевой задачи является метод комбинаций решений, позволяющий свести решение краевой задачи к последовательному решению задач Коши. Во многих случаях этот классический способ позволяет получать достаточно точные результаты. [c.64]

Рассматривая классический метод численного решения краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, мы убедились, что для успешного решения необходимо, [c.69]

Изложенный процесс численного решения краевой задачи обладает высокой точностью. В табл. 3.3 приведены результаты) численного решения краевой задачи (3.13) — (3.15) для /=30. Как показывают проведенные расчеты, метод ортогональной прогонки позволяет получать решение, отличающееся на различных торцах лишь в последней значащей цифре, в то время как классический метод дает решение (см. табл. 3.2), справедливое лишь в окрестности дг = 0. [c.72]

Проведем линейный анализ устойчивости стационарных решений краевой задачи (4.3.1) — (4.3.5) методом функционала Ляпунова [40] по схеме, предложенной в работе [41]. Использование классического метода малых возмущений в данном случае затруднено тем, что не известно аналитического стационарного решения краевой задачи (4.3.1) — [c.154]

В книге изложены основы механики твердого деформируемого тела, методы и алгоритмы решения соответствующих краевых и начально-краевых задач на ЭВМ и некоторые вопросы математического исследования этих задач и алгоритмов. Основное внимание уделено задачам и методам классической теории упругости. [c.3]

В третьей главе обсуждается постановка граничных и начально-граничных задач теории упругости, доказывается их единственность. Рассмотрению двумерных задач предшествует формулировка принципа Сен-Венана и его доказательство в случае нагружения цилиндрического стержня. Далее вводятся общие представления смещений через гармонические и через волновые функции, позволяющие свести некоторые важные задачи теории упругости к одной или нескольким последовательно решаемым классическим краевым задачам. Обстоятельно рассмотрены качественные вопросы, связанные с понятием сосредоточенной силы, нерегулярных решений задач теории упругости, возникающих при наличии на границе угловых линий, конических точек и т. п. Указанные решения легли в основу постановок задач механики хрупкого разрушения. [c.7]

В статьях С. Л, Каменомостской [15, 16] рассмотрена задача Стефана в самой общей постановке многомерный случай, произвольное число заранее неизвестных поверхностей раздела фаз, зависимость тепловых коэффициентов от температуры. Введено определение обобщенного решения, показано, что классическое решение является обобщенным, доказана его единственность. При помощи метода конечных разностей доказано существование решения краевой задачи и задачи Коши. [c.211]

Классические методы решения краевых задач, изложенные выше, обладают рядом недостатков они требуют определенной изобретательности, дают решения, малопригодные для числовых расчетов, и т. п. Методы интегральных преобразований обладают рядом преимуществ перед классическими методами они стаИд ртиы, позволяют получать решения в удобном для расчета виде (например, для малых и больших значений независимой переменной) использование таблиц изображения функций ускоряет и упрощает процесс нахождения реше- [c.106]

Рассматриваются два варианта 1ео )ИЙ армирующего слоя — сдвиговая и обобщенная классическая. Каждая теория имеет свои преимущества и недостатки. Ос1сопные преимущества классической теории, на наш взгляд, п том, что ома имеет более низкий порядок уравнений, чем сдвиговая, и в том, что она не использует закон упругости для перерезывающих усилий. Последние определяются из уравнений равновесия. Было бы неправильным утверждать, что классическгш теория является частным случаем сдвиговой в прямом смысле. Решение краевой задачи, полученное по сдвиговой теории, может оказаться менее точным, чем по классической. Это те случаи, когда приближенно выполняются равенства е з = егз = О, т. е. сдвиги малы по сравнению с углами Поворота от изгиба. [c.85]

Отметим еще одно обстоятельство в пользу сдвиговой теории слоя, которое выявилось при численном решении краевых задач. Оказалось, что касательные сапряжеиия (Т12 от усилий S и от скручивающего момента Я одного порядка, но классическая теория не позволяет удовлетворить граничному условию для И (для трех величин S, N и Н имеется только два условия), что приводит к большим погрешностям расчета. [c.85]

Многогранное развитие современной теории дифракции прежде всего связано с освоением новых диапазонов электромагнитных колебаний н решением ряда прикладных задач науки и техники. С математической точки зрения целью теории дифракции является, во-первых, разработка аналитических и вычислительных методов нахождения решения краевых задач для волновых уравнений, во-вторых, изучение и классификация свойств решений этих задач, отражающих поведение волн в различных условиях. Выбор конкретных задач теории дифракции и появление новых направлений обусловливаются внутренней логикой развития теории и потребностями разделов физики и техники, связанных с волновыми движениями. Трудно перечислить все те многообразные области человеческого знания, в которых основу явлений и процессов составляют периодические структуры и волноведущие системы. Задачи рассеяния волн на периодических структурах в свободном пространстве н неоднородностях в прямоугольных волноводах относятся к числу классических задач теории дифракции. Они являются весьма сложными с математической точки зрения и ввиду большого практического значения для радиофизики сверхвысоких частот, антенной техники, оптики на протяжении многих лет находятся в центре внимания исследователей. В данной работе изучаются и классифицируются явления дифракции волн иа целом ряде периодических структур (т. 1) и волноводных неоднородностей (т. 2), широко применяемых в физике и технике наших дней. [c.3]

Продолжением этой работы является статья Б, Ранецкого и А. Савчука (Польша). В ней в рамках классической термодинамики предлагается метод построения простейшей неизотермической теории пластичности, в котором используется один скалярный внутренний параметр. Предполагается, что упрочнение является изотропным и чтл деформации малы. Особое внимание уделено вопросам единственности решения краевых задач и устойчивости термопластической деформации. Обсуждены возможности перехода от связанной теории к несвязанной. В специально написанном авторами для предлагаемого сборника приложении к этой статье содержится краткий обзор новейших успехов в данной области. [c.6]

Кешении задачи теории упругости (Труды Ленинградского политехи, нн-та, s 4, 1947) н М. Г, Слободянского Общие формы решений уравнений упругости для односвязных и многосвязных областей, выраженные через гармонические функции (Прикл. матем. и мех. 18, 1954, стр. 55), в которых трактуется вопрос о допустимости илн недопустимости уменьшения числа гармонических функций в общем решении до трёх (вместо четырёх). Наша точка зрения сводится к тому, что решение П. Ф. Папковича, равно как и другие формы общих решений, является весьма полезным вспомогательным средством решения краевых задач теории упругости, допускающим непосредственное применение прн выборе частных решений хорошо известных классических решений в форме гармонических функций. Если и верно, что общее решение должно содержать только три гармонические функции, а не четыре, то прн построении решения конкретной задачи сохранение четвёртой гармонической функции может облегчить выбор необходимых частных решений, и поэтому нет нужды от него отказываться. [c.69]

В рамках классической теории пограничного слоя [Prandtl L., 1904] задача об асимптотическом состоянии вязкого течения около твердого тела при больших числах Рейнольдса приводит к исследованию областей внешнего невязкого потока и пограничного слоя. Пограничный слой описывается системой уравнений параболического типа, а внешний поток при сверхзвуковых скоростях — системой гиперболического типа. Решения краевых задач для таких систем обладают тем свойством, что распределение искомых функций в некоторой области пространства определяется краевыми условиями на границе, лежащей вверх по потоку от этой области. Такая ситуация имеет место, например, при обтекании тонкого тела потоком с умеренной сверхзвуковой скоростью или в случае гиперзвукового обтекания, если только взаимодействие пограничного слоя с внешним потоком является слабым. Однако если краевые условия заранее неизвестны и подлежат определению при совместном решении задач для обеих областей, то ситуация будет иной. Это относится, в частности, к течению со свободным взаимодействием в области, расположенной перед точкой отрыва потока [Нейланд В. Я., 1969, а глава 1] или перед донным срезом тела [Матвеева Н.С., Нейланд В.Я., 1967 глава 3], а также к гиперзвуковому обтеканию пластинки конечной длины [Нейланд В. Я., 1970] и течению около треугольного крыла при сильном взаимодействии [Козлова И.Г., Михайлов В.В, 1970]. В таких задачах внешнее течение, а значит, и давление в пограничном слое, определяется распределением толщины вытеснения пограничного слоя, которое выражается интегральным образом через искомые функции этого слоя. Следствием интегро-дифференциального характера задачи является то, что возмущения, задаваемые в плоскости симметрии треугольного крыла, могут распространяться по потоку вплоть до его передних кромок. [c.187]

Ui = onst, то для решения дифференциальных уравнений в частных производных можпо использовать классический способ разделения переменных. Таким ь1етодом фактически и воспользовался Мн для решения упоминавшейся выше задачи о сфере, обладающей конечной проводимостью. В этом случае решение краевой задачи имеет вид бесконечного ряда и его ценность зависит от легкости вычисления необходимых функций, а также от скорости, с которой ряд сходится. Этот метод применялся в различных случаях (помимо задачи со сферой) особенно надо отметить его использование в случае дифракции на круглом диске или отверстии [5]. Следует, однако, замерить, что ли1иь некоторые из этих работ относятся к чисто скалярным задачам типа задач, встречающихся в теории звуковых волн малой амплитуды дальше будет показано, что двумерные задачи в электромагнитной теории принадлежат в основно.м к этому типу, но в других случаях векторная природа электромагнитного поля приводит к дополнительным осложнениям. [c.514]

Развиваемая в настоящей книге методика позволяет получить основные уравнения механики в бескомпонентной форме. Однако при решении краевых задач обычно необходимо перейти к координатной форме записи. Ниже этот вопрос освещается применительно к системе трех тензорных уравнений статики классической (линейной) теории упругости [c.52]

Без знакомства с основами этой теории почти Jвeвoзмoжнo читать главы III—V настоящей книги, где читатель часто найдет ссылки на монографию автора по обобщенным аналитическим функциям. Однако следует отметить, что имеется широкий.класс оболочек, В который входят сферические оболочки, а также про-ективно им эквивалентные оболочки, очерченные по поверхностям 2-го порядка положительной кривизны, для которых обобщенные уравнения Коши—Римана становятся классическими (однородными и неоднородными) уравнениями Коши—Римана.. В зтом случае от читателя требуется знакомство с общей теорией аналитических функций от одной Гомплексной переменной, а также владение методами решения краевых задач Римана—Гильберта В объеме монографии Н. И. Мусхелишвили Сингулярные йнте-гральные уравнения . Надо заметить в связи с этим тот важный факт, что многие результаты, относящиеся к указанному частному классу оболочек, почти без изменения переносятся на случай выпуклых оболочек, произвольного очертания. Это обстоятельство, очевидно, несколько облегчает чтение книги тем читателям,. [c.6]

Проблема устойчивости течения жидкости хорошо известна в классической гидромеханике. В обш ем виде эту проблему можно сформулировать следующим образом. Пусть дана хорошо постаь-ленпая краевая задача. Может существовать (и даже быть получено в явном виде) точное решение уравнений движения, удовлетворяющее всем граничным условиям, которое является стационарным в эйлеровом смысле d dt = 0). Все же такое решение может быть неустойчивым в том смысле, что если в некоторый момент времени наложить на это решение малые возмущения, то эти возмущения самопроизвольно будут стремиться возрастать с течением времени, а не затухать. Это означает, что существует другое (возможно, нестационарное) решение уравнений движения и что практически наблюдаемый режим течения будет нестационарным, поскольку, конечно, в реальном случае невозможно избежать каких-либо возмущений. Типичным примером этого является турбулентное течение в трубе постоянного сечения, где имеется также стационарный, но неустойчивый режим течения, называемый ламинарным. [c.297]

Книга содержит нетрадиционное изложение курса теории упругости, базирующегося на специальных разделах теории дифференциальных уравнений в частных производных и математического анализа. В первой главе в достаточно компактной форме дается конспективное изложение тех математических дисциплин, которые уже с успехом используются и могут быть использованы в дальпейи1ем при решении на современном уровне различных задач теории упругости. Две следующие главы посвящены концентрированному, по вместе с тем достаточно полному изложению собственно предмета теории упругости, включая такие сравнительно новые разделы, как. злектромагнитоупругость и механика хрупкого разрушения, постановке краевых задач, а также изложению некоторых приемов сведения краевых задач теории упругости к классическим задачам математической физики, В остальных главах книги (главы VI—VIII) конкретные математические методы, указанные в заглавии, применяются к решению определенных классов задач теории упругости. В ряде случаев эффективность того или иного метода демонстрируется на примерах таких задач, решение которых было получено только в последнее время. Большое внимание уделяется как вопросам строгого математического обоснования тех или иных алгоритмов, так и приемам их численной реализации. [c.2]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...