Разложение в ряды степенные

Будем интегрировать эту систему путем разложения в ряды по степеням малой безразмерной величины (at. Если принять. [c.435]

Для более сложных случаев краевых условий возможны решения путем разложения в ряды по степеням малого параметра [114] и разложения по фундаментальным балочным функциям с применением вариационных методов [68]. [c.268]

Применяя разложение в ряд, можно показать, что в данном случае величина б ( е ) будет пропорциональна шагу h = Ах в первой степени. Следовательно, рассматриваемая разностная схема имеет первый порядок точности. [c.231]

Применение такого варианта метода медленно меняющихся амплитуд иногда упрощает нахождение стационарных решений, особенно в задачах, где отсутствует опорное колебание (вызванное, например, внешней силой, модуляцией параметра, синхронизирующим сигналом), фазовый сдвиг (фаза) которого относительно искомого колебания естественно вошел бы в решение. К подобным системам относятся, в частности, пассивные линейные и нелинейные колебательные системы, автоколебательные системы и др. Некоторое облегчение решения задач этот вариант метода ММА дает также в тех случаях, когда нелинейные характеристики каких-либо параметров колебательной системы аппроксимируются высокими степенями разложения в ряд. [c.75]

Однако это решение будет иметь на бесконечности, вообще говоря, полюс порядка —х, и поэтому для существования аналитического в бесконечности решения необходимо потребовать выполнение дополнительных условий. Для функции (г) эти условия состоят в том, что ее разложение в ряд по степеням 1/z должно начинаться с члена XJz -. Относительно же функции g i) эти условия принимают вид [c.23]

Если же функция аналитична в бесконечности, то для коэффициентов ее разложения в ряд по степеням 1/г выполняется оценка [c.410]

Подставив ряды (6.156) в уравнения (6.153) и сократив тригонометрические функции, приведем задачу к трем однородным алгебраическим уравнениям с тремя неизвестными для каждого члена разложения. Приравняв нулю детерминант этой системы, найдем определяющее уравнение для частоты собственных колебаний Для более сложных случаев краевых условий возможны решения путем разложения в ряды по степеням малого параметра [74] и разложения по фундаментальным балочным функциям с применением вариационных методов [14]. [c.189]

Приращение энтропии в результате скачка можно определить, если воспользоваться разложением в ряд по степеням s.j—Si и ро—Pi в предположении, что изменения параметров состояния в результате скачка невелики. Индекс 1 относится к состоянию газа перед скачком, а индекс 2 — к состоянию его после скачка. [c.350]

При температуре Т равновесное давление чистого г-го компонента есть pi , а разность химических потенциалов паровой и жидкой фаз чистого г-го компонента по условиям равновесия этих фаз равна нулю. При давлении р,- Ф и той же температуре Т разность химических потенциалов определяется из разложения в ряд по степеням (р—p ), г. е. [c.488]

В настоящее время единственным теоретически обоснованным уравнением состояния реальных газов является уравнение состояния в вириальной форме, представляющее собой разложение в ряд коэффициента сжимаемости Z по степеням плотности р, [c.66]

Если сначала пренебречь очень малыми величинами второго и высших порядков, то получаются линейные уравнения, пользуясь которыми можно значения некоторых из этих переменных выразить через другие затем с помощью этих первых значений можно найти более точные значения, приняв во внимание вторые, а по желанию и более высокие степени. Этим путем можно получить значения некоторых из переменных а, Р, у, а, . .., выраженных в виде разложенных в ряд функций остальных переменных, а эти оставшиеся переменные будут тогда совершенно независимы друг от друга. [c.440]

Так как переменная интегрирования [i. остается всегда меньше, чем ра/2<р, то с тем большим основанием можно пренебречь степенями [X, начиная с четвертой. Поэтому если применим разложение в ряд Тэйлора к выражению +1 = (1+ то можно будет остановиться на втором члене, опуская остаток, содержащий множителем [c.209]

Чтобы исследовать, при каких условиях уравнения (51 ) можно решить относительно р°, найдем первые члены разложений в ряды по степеням t— функций

[c.438]

Это точное выражение для R. Предположим теперь, что С очень велико, и произведем разложение в ряд но степеням 1/С отбросив члены порядка 1/С и выше, получим [c.179]

Если подставить (12) в выражение / (х, йх), то оно переходит в Е (и, йи) или же при разложении в ряд по степеням. [c.608]

Для последующего разложения в ряд по степеням 1/г воспользуемся формулой Тейлора [c.24]

Численное решение системы (3) не позволяет судить о степени влияния различных параметров на устойчивость равновесия номинальной точки БП в малом (в смысле Ляпунова). Для анализа устойчивости номинальной точки используем первую теорему Ляпунова [3]. Линеаризуем функции (4), входящие в правые части уравнений (3), в окрестности исследуемой равновесной точки Хах) разложением в ряд Тейлора с удержанием первого члена. После линеаризации система уравнений (3) приобретает вид [c.77]

Если подойти к определению аналитической функции другим путем, а именно, охарактеризовать ее возможностью разложения в сходящийся степенной ряд, то можно получить [c.23]

Если введение новых фазовых координат нежелательно (в ряде случаев это приводит к существенному повышению порядка исходной системы уравнений и к необходимости вычисления дополнительных начальных условий), то можно воспользоваться используемой выше идеей представления таких выражений в виде ряда Тейлора в окрестности точек л ,- = т,- по степеням центрированных фазовых координат. Для широкого круга задач разложение в ряд Тейлора относительно математических ожиданий достаточно быстро сходится. [c.156]

Этот метод позволяет исследовать параметрический резонанс любого порядка в зависимости от учета членов разложения в ряд Фурье по малому параметру правых частей уравнений (5.5). В дальнейшем ограничимся, как уже отмечалось, первым приближением, что соответствует исследованию основного резонанса и позволит определить нижнюю границу динамической неустойчивости исследуемой системы. Так как при широкополосном спектре возмуш,ений избежать возникновения основного параметрического резонанса невозможно, то такой вывод является вполне оправданным, а резонансы более высокого порядка для системы со случайными возмуш,ениями в известной степени теряют смысл. Считаем, что время корреляции возмущений % и г[ значительно меньше времени релаксации Тр амплитуды или фазы системы. Если время наблюдения за системой значительно превосходит (но не превосходит величины /Ро), то возможно применение стохастических методов на основе замены реального процесса возмуш,ений % и if] эквивалентными S-коррелированными и использование аппарата процессов Маркова и уравнения ФПК [81 ]. Стохастические методы, связанные с использованием процессов Маркова, могут быть использованы при любом времени корреляции, если уменьшать интенсивность флюктуаций возмущений, оставляя скорость ее изменения постоянной. В этом случае время релаксации амплитуды и фазы будет увеличиваться и условие < Тр будет выполненным. [c.201]

Как было показано в предыдущем параграфе, динамическая работа фундамента турбогенератора описывается системами со многими степенями свободы, требующими вычисления высших частот колебаний. В ряде случаев необходимо выяснить формы колебаний, что можно сделать, зная лишь точные значения частот. Поэтому наиболее целесообразно решать эту задачу при помощи разложения в ряд векового уравнения движения материальных точек, позволяющего найти весь спектр частот собственных колебаний. Ранее практиковавшиеся способы расчета Л. 20, 21 и 29] не давали обобщенного решения, пригодного для определения колебаний в любом направлении. Ниже дан обобщенный способ решения. Следует заметить также, что применение уточненных схем и точной методики расчета позволяет отказаться от так называемых условных значений частот собственных колебаний, благодаря чему отпадает условность расчетной методики. [c.109]

Вывод закона изменения v и а" построен в предположении, что вблизи критической точки удельный термодинамический потенциал может быть разложен в ряд по степеням(а—Ик), р—рк) я (Т -Т к). [c.21]

Линеаризация может быть произведена при помощи ряда Тейлора. Применим разложение в ряд Тейлора к уравнениям (9.2) и ограничимся только членами первого порядка. Разложение произведем по степеням (Ху — и (jjk — Щк) [c.262]

Блини показал [109], что сверхтонкая структура приводит к появлению в выражении для восприимчивости только членов, содержащих 1/Т и более высокие степени Т для любого направлепия в кристалле. Поэтому константа Кюри не изменяется и нет необходимости Jшoдить вейссовское Н. Если использовать разложение в ряд [c.466]

Если плотность газа не очень значительна, то при разложении в ряд по степеням 1/г/ всеми членами, содержащими 1/у во второй и более высоких степенях, можно пренебречь. Соответственно этому для производной (дь дТ)р получается следующее приближенное выражег ние [c.177]

Чтобы найти значение второй производной д р1дУ )т в критической точке, воспользуемся разложением в ряд по степеням V — И , Т — Г величины др1д т для точек 1 и 2 кривой фазового равновесия, соответствующих одной и той же температуре правомерность подобного разложения будет рассмотрена ниже. [c.240]

И Г (х, 2 — /) в ряд по степеням I, казалось бы, что при обращении в нуль дт дг или дТ1дг надо брать следующий, т. е. третий член ряда. Однако такое рещение едва ли является приемлемым, так как, во-первых, неясно, сохраняет ли силу это разложение в ряд для точек, где дwJдz или дТ1дг обращаются в нуль во-вторых, и Т( могут зависеть от удельной кинетической энергии турбулентности (т. е. от кинетической энергии турбу- [c.396]

Имея в виду выражения (2.111) и (2.112), а также полагая, что параметры Л независимые, можно получить простое выражение для й и величины dSldx, являющихся функциями Л", в форме ряда по степеням Л . Если состояние системы близко к равновесному, то величины Л будут сравнительно малы, и поэтому в разложении в ряд можно ограничиться только первыми двумя членами. Тогда [c.158]

Давление р. , согласно разложению в ряд по степеням рз —р , учитывая, что в критическом состоянии dp/dp)s = (ff pldp s = О, [c.275]

Конечно, если все уравнения могут быть решены точно в замкнутой форме, то нет никакой необходимости использовать теорию возмущений но, как правило, мы имеем дело с системалщ, где этого как раз нет и где просто необходимо для нахождения решения использовать разложение в ряд по степеням Я. [c.186]

В данном конкретном случае использованный метод не слишком подходящ, по двум причинам прежде всего мы обнаруживаем, что решения дифференциальных уравнений для q - и допускают еще одно слагаемое, пропорциональное решению невозмущенного уравнения (7.112). Но мы не добавили этот член к выражению q - а добавили к решению Сделано это было для того, чтобы получить правильный ответ, т. е. ответ, получаемый либо вторым способом, либо с помощью канонической теории возмущений— для и Если положить к тому же а равной 11/8, цель будет достигнута [ср. (7.133)]. Вторая трудность состоит в том, что у нас появился член, пропорциональный / osсо/, в выражении для Если разложение в ряд по степеням X имеет хоть какой-нибудь смысл, то должна быть возможность выбрать X столь малым, чтобы члены, содержащие (п Ф 0), оказались бы меньше невозмущенных членов. Но совершенно очевидно, что это невозможно, когда появляется неограниченно возрастающий член такого вида, как t os со/. В следующем параграфе мы увидим, что в выражении для [c.187]

Выражения (5.89) совпадают с аналогичными выражениями, полученными в работах [4, 12, 98] методом разложения в ряд по малому параметру решения исходного уравнения и преобразованием Лапласа. Преимуществом изложенной методики является то обстоятельство, что она без принципиальных трудностей переносится на системы со многими степенями свободы, нелинейные системы и позволяет определить требуемые вероятностные характеристики обобщенных координат. При этом охватывается случай исследования устойчивости динамических систем, содержащих перекрестные нелинейные связи. Отметим, что при Sj ( 2) = onst результаты совпадают с данными работы [108]. Исследование частных случаев (5.73) в детерминированной постановке задачи для комбинационного резонанса описано во многих работах [10, 19, 95 и др. ]. Приведенные выше результаты показывают, что, как и в детерминированном случае, спектр частот, при которых возникают параметрические колебания, состоит из ряда малых интервалов. Длины этих интервалов зависят от амплитуды возмущений и стягиваются к нулю, когда амплитуда стремится к нулю. При этом возрастание амплитуды колебаний системы происходит по показательному закону. Выражение (5.89) в этом случае определяет степень опасности комбинационного резонанса, когда спектральные плотности параметрических возмущений соответствуют, например, сейсмическим воздействиям в виде многоэкстремальных функций несущих частот, что особенно часто встречается на практике. [c.219]

Методы численного решения диферен-циальных уравнений. Метод Адамса. Для того, чтобы найти численным путём решение диференциального уравнения dyjeix = = /(лг, у), принимающее при х = х , значение у = у , отыскивают прежде всего с требуемой степенью точности первые четыре значения искомой функции у, при = Ха -Ь Л, Х2 -= Xq + 2ft, j g = jTo 4" 3 h,Xi = JTQ+4/г. Для этой цели можно воспользоваться разложением в ряд Тэйлора функции у (j ) при j = Xq, так как значения её производных в этой точке могут быть вычислены, если / (х, у) имеет частные производные требуемого порядка. Можно также использовать для построения начала таблицы методы Рунге—Кутта (см. ниже) или Муль-тона (стр. 237). [c.236]

Таким образом, применив известный способ разложения в ряд по нормальным формам колебаний, получаем уравнения, каждое из которых описывает колебания некоторой системы с одной степенью свободы. Обозначив правые части уравнений (3-41) соответственно через F siaЬt , F sinbt,..., запишем стационарную часть решения в виде [c.136]

Для оценки степени опасности отдельных гармоник возмущающего усилия целесообразно после разложения его в ряд Фурье произвести сравнение отдельных гармоник. В качестве примера на рис. 38 приведены результаты такого разложения в ряд возмущающих усилий, обусловленных неоднородностью от кромочных следов для трех аппроксимаций нагрузки и разгрузки прямоугольной (верхняя кривая), треугольной (средняя кривая) и трапецеидальной (нижняя кривая). Пример выполнен для следующего случая [39] число сопловых каналов 2н=2б фиктивное число каналов 2ф=2/е, где е —степень парциальности 2ф=105,4 а — длина сегмента, рад, соответствующая одному каналу сопла. Из разложения следует, что частота гармоники с наибольшей амплитудой равна К п=105я. [c.83]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...