Дифференциальные уравнения в полных в частных производных

Уравнение (9.3) является дифференциальным уравнением первого порядка в частных производных. Так как оно содержит п -f 1 независимых переменных, то полный интеграл его должен содержать +1 независимых постоянных аь , п, ап+ )-Следует, однако, заметить, что сама функция S в это уравнение не входит, а входят лишь ее производные по q или по t. Поэтому, если S есть некоторое решение уравнения (9.3), то решением этого уравнения будет и S + а, где а —любая постоянная [c.302]

Такая сложная конструкция имеет систему управления ориентацией, состоящую из реактивных двигателей, маховиков, силовых гироскопов. Процесс в ней описывается дифференциальными или интегро-дифференциальными уравнениями в обыкновенных и частных производных. Возникающие при этом задачи управления весьма разнообразны. Однако во всех случаях наибольший интерес представляют задачи синтеза управления при полной и неполной информации о состоянии управляемой системы. [c.11]

Однако ведь и задачи классической динамики могут быть сведены к дифференциальному уравнению в частных производных, а именно к уравнению Гамильтона. При этом множество решений подобной задачи вовсе не соответствует множеству решений у. Г. Любой полный интеграл у. Г. уже полностью решает механическую проблему, каждый другой полный интеграл приводит к тем же траекториям, множество которых лишь по-иному составлено. [c.693]

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах 208 —— в частных производных 224 [c.570]

Уравнение (82) есть нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка относительно неизвестной функции 5, зависящей от (5+1) переменных дг,. . д , г. Так как представление функции Я через канонические переменные нам известно, то составить уравнение (82) всегда можно. Полный интеграл уравнения (82) будет иметь вид [c.520]

Обозначив постоянную величину + 1/1 2 = тч подставив соотношение (11.1) в уравнение (11.4), получим дифференциальное уравнение первого порядка в полных производных для местного температурного напора 1 — d t — Щ/df = —тк t— д). Частное решение последнего уравнения, удовлетворяющее граничному условию [c.337]

Свободная точка единичной массы движется в вертикальной плоскости ху под действием силы тяжести. Составить дифференциальное уравнение в частных производных Якоби— Гамильтона и найти его полный интеграл (ось у направлена вертикально вверх). [c.376]

В полный интеграл дифференциального уравнения (11.367) войдет аддитивная постоянная, так как это уравнение не содержит функции W вне знаков частных производных. Аддитивная постоянная соответствует постоянной С в формуле (11.364). Предположим, что полный интеграл уравнения (И. 367) имеет следующий вид [c.371]

Определение действия V по формуле (7.14) предполагает знание закона движения материальной системы. Поэтому нет ничего удивительного, что в формулах (7.15) мы так просто получили то, что предположили известным с самого начала. Чтобы обойти трудности определения действия V по формуле (7.14), Гамильтон нашел то дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка, для которого действие V является полным интегралом. [c.219]

Математическая модель с распределенными параметрами содержит переменные, зависящие от пространственных координат, и представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных или систему интегро-дифференциальных уравнений. Важной характеристикой дифференциальных уравнений является их порядок, т. е. порядок старшей производной, которая входит в эти уравнения. Порядок производной по времени в большинстве динамических моделей процессов химической технологии — первый. Производные по координатам могут быть как первого, так и более высоких порядков. Модели обычно получаются в предположении о полном вытеснении (поршневом режиме течения) фаз. Производные второго порядка по координатам появляются в тех математических моделях, где учитывается перемешивание фаз. [c.5]

Наиболее полные математические модели процессов теплообмена протекающих в различных технических устройствах, учитывают наличие неравномерных пространственно-временных полей у искомых величин — температур твердых тел и жидкостей, тепловых потоков, интенсивностей излучения и т. д. Такие модели представляют собой системы дифференциальных уравнений в частных производных, интегральных и интегродифференциальных уравнений. Однако при решении реальных технических задач, как правило, не ограничиваются использованием только таких моделей, что объясняется несколькими причинами. [c.6]

Зависимость функции W от старых координат qi определяется уравнением (9.20), которое является дифференциальным уравнением в частных производных и подобно уравнению Гамильтона — Якоби (9.3). Полный интеграл его опять будет содержать п независимых постоянных, одна из которых опять будет аддитивной. Остальные постоянные 2,. .., п могут вместе с 1 быть приняты за новые постоянные импульсы. Полагая в первой половине уравнений (9.21) / = О, мы можем связать п постоянных а с начальными значениями Qi и р,-. Наконец, разрешая равенства (9.22Ь) относительно qu мы можем получить их как функции at, Pi и t, чем и заканчивается решение задачи. Следует заметить, что при i ф 1 уравнения (9.22Ь) не содержат времени. Поэтому они позволяют выразить все координаты qi [c.309]

В дальнейшем мы будем рассматривать только такие системы, гамильтониан которых является одним из первых интегралов (при этом он не обязательно должен быть полной энергией). Поэтому мы можем ограничиться рассмотрением лишь тех канонических преобразований, которые осуществляются функцией, определяемой соответствующим дифференциальным уравнением в частных производных. Разделение переменных, которое мы имеем в виду, удается произвести тогда, когда решение вида [c.312]

Роль дифференциального уравнения в частных производных в теориях Гамильтона и Якоби. В предыдущей главе (гл. VII, п. 9) отмечалось, что впервые в аналитической механике фундаментальное уравнение в частных производных открыл Гамильтон. Он также первый выдвинул идею о фундаментальной функции, из которой можно было бы получить при помощи простых дифференцирований и исключения переменных все механические траектории. Однако первоначальная схема Гамильтона была практически неприменима. Более того, главная функция Гамильтона удовлетворяла двум уравнениям в частных производных. Второе уравнение с точки зрения теории интегрирования является ненужным усложнением. С другой стороны, в теории Якоби требуется найти лишь один полный интеграл основного дифференциального уравнения. В случае систем с разделяющимися переменными такой интеграл может быть найден. Поэтому при поверхностном подходе создается впечатление, что Якоби освободил теорию Гамильтона от ненужного усложнения, приведя ее к схеме, применимой на практике, [c.291]

Если судить по тому, как в прошлом параграфе была введена функция. S , можно было бы подумать, что для определения этой функции необходимо предварительно- разрешить рассматриваемую задачу. Но мы сейчас покажем, что эта функция удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка, каждый полный интеграл которого может заменить эту функцию при образовании интегралов механической задачи. [c.558]

Так как из какого-либо полного решения уравнения в частных производных первого порядка выводятся все остальные полные решения, теорема, которую я здесь сформулировал, дает также решение другой интересной задачи, а именно по некоторой данной системе элементов, которые связаны с временем в возмущенном движении системой дифференциальных уравнений в канонической форме, найти все другие системы элементов, которые обладают тем же свойством. [c.292]

ЭТО построение есть точный эквивалент аналитического процесса, посредством которого в теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка переходят от какого-либо полного решения к общему . [Оптика в том смысле, в каком мы ее здесь понимали, есть геометрическая оптика, которая имеет дело с понятием светового луча (следовательно, явления дифракции принципиально исключаются) и при применении обычных прямоугольных координат подчиняется дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка второй степени [c.514]

Якоби указывает, что случай, когда одновременно имеют место закон живых сил и принцип наименьшего действия, очень важен <(Гамильтон заметил, что в этом случае задача может быть сведена к нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка. Если найдено одно его полное решение, то получаются все интегральные уравнения. Функцию, определенную этим дифференциальным уравнением, Гамильтон называет характеристической. [c.826]

Соотношение между полным интегралом и двухточечной характеристической функцией тесно связано со следующим фактом. Полный интеграл дифференциального уравнения в частных производных [c.253]

Наиболее общие условия получаются из требования устойчивости по вероятности. Эта задача тесно связана с оценкой надежности. Самые полные сведения об устойчивости (одновременно и надежности) системы (6.2) по вероятности содержатся в уравнении (6.18). Однако современная теория систем дифференциальных уравнений в частных производных не дает возможности непосред- [c.249]

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОГО, ЧТО ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ВЫВЕДЕННЫЕ ИЗ ПОЛНОГО РЕШЕНИЯ ГАМИЛЬТОНОВА УРАВ-НЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ, ДЕЙСТВИТЕЛЬНО УДОВЛЕТВОРЯЮТ СИСТЕМЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА ДЛЯ СЛУЧАЯ СВОБОД- [c.137]

Все эти уравнения однотипны — они являются дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка. Методика решения подобных уравнений с помощью электроинтеграторов достаточно полно освещена в литературе [I]. Суть этого метода состоит в замене точного дифференциального уравнения приближенным конечно-разностным и воспроизведении полученного уравнения с помощью электрической сетки. [c.76]

До настоящего времени такая задача теории дифференциальных уравнений в частных производных не рассматривалась. Для преодоления этой трудности при решении системы I применяется обычный прием соответствующим выбором функции координат систему I сводят к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя локальными граничными условиями (названной системой II). Решение такой краевой задачи достаточно полно освещается в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Подобное преобразование координат не является единственным, т. е. имеет место неоднозначное соответствие [14 1, 2, 4]. Различные авторы пытались получить систему II в виде обычной дифференциальной системы. Ввиду сложности явлений в пограничном слое это не всегда возможно. Недавно автор получил систему II в виде обычной однопараметрической дифференциальной системы [14 1,4]. Эта система охватывает большой круг задач по пограничному слою. Над системой II необходимо провести следующие математические доказательства а) доказательство существования и единственности решения системы II с двумя соответствующими граничными условиями б) доказательство существования и единственности потока в отношении некоторых принимаемых условий в) доказательство, что решение системы II с двумя соответствующими локальными граничными условиями является решением системы I с двумя соответствующими функциональными граничными условиями. [c.82]

К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, например, различные краевые задачи для обыкновенных и в частных производных дифференциальных уравнений. Можно с полным основанием утверждать, что данная проблема является одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики. [c.258]

В предшествующем параграфе данной главы рассматривались такие случаи движений, для которых дифференциальные уравнения установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости решались точно благодаря упрощающим предположениям о характере траекторий частиц жидкости. Но к использованию полных дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости можно подойти и с другой стороны, а именно делать заранее предпол жения не о характере траекторий частиц, а о характере тех функций, через которые представляются проекции вектора скорости и давление. Этим путём при удачном выборе характера функций для скоростей и давлений можно в отдельных случаях от системы дифференциальных уравнений с частными производными перейти к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которые можно решить, по крайней. мере, численным способом. [c.146]

Область интегрирования системы (5.114) представляет собой прямоугольный параллелепипед. Для решения полной краевой задачи необходимо сначала решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений на передних кромках крыла, затем, используя эти решения в качестве краевых условий, решить систему уравнений в частных производных, зависящую от двух независимых переменных и описывающую течение в вершине треугольного крыла. Наконец, задавая краевое условие на задней кромке крыла, например, распределение давления, и используя полученные решения в вершине крыла и на его передних кромках, решается система уравнений трехмерного пограничного слоя (5.114). Метод решения краевой задачи описан в монографии Башкин В.А., Дудин Г.Н., 2000 [c.234]

Действуя описанным выше способом, можно вывести дифференциальные уравнения в виде частных производных, принимая независимые переменные сначала р и Т, а затем р и и и после этого для указанных двух случаев найти выражения для полных дифференциалов параметров и, / и s и для йд. [c.87]

Выражение (2.5а) определяет расход работы, (2.56) и (2.5в) выражают сохранение полного импульса и момента количества движения организма. Траектория организма, определяемая функцией является решением дифференциального уравнения в частных производных [c.149]

Аналоговые звенья описываются ди([)ференциальными уравнениями в полных или частных производных цифровые звенья - дифференциально-разностными уравнениями. Аналоговь е и цифровые звенья подразделяются на линейные и нелинейные в зависимости от того, линейны или нелинейны уравнения, применяемые для их описания. Как линейные, так и нелинейные звенья могут относиться к одному из следующих четырех классов [c.69]

Таким образом, в рассмотренном методе совокупность уравнений теории упругости в частных производных приводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, интегрирование которых осуществляется значительно проще. Приведение к обыкновенным диф-с))еренциальиым уравнениям выполняется путем приближенной минимизации полной энергии. [c.48]

Заключительные замечания. Теоремы существования и единственности решения поставленной задачи представляют собой обобщение соответствующих теорем теории оптимального управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями в частных производных гиперболического типа [15]. Теорема существования будет локальной, поскольку в общем случае минимизируемые функционалы являются многоэкстремальными. Более того, для существования решения требуется свойство полной непрерывности отображения X —> К Х), которое в общем случае можно только постулировать. Проблема доказательства полной непрерывности для рассматриваемых здесь нелинейных прямых краевых задач, описываемых вариационными или квазивариационными неравенствами, по-видимому, пока не решена. [c.483]

Решение дифференциального уравнения в частных п]ю-изводных, содержащее столько произвольных постоянных, сколько имеется независимых переменных, называется полным интегралом этого уравнения. Функция ) в уравнение (6.12) входит только 1ерез свои производные. Это значит, что одна произвольная постоянная будет входить в полный интеграл в виде слагаемого, т. е. полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби имеет вид [c.155]

Книга содержит нетрадиционное изложение курса теории упругости, базирующегося на специальных разделах теории дифференциальных уравнений в частных производных и математического анализа. В первой главе в достаточно компактной форме дается конспективное изложение тех математических дисциплин, которые уже с успехом используются и могут быть использованы в дальпейи1ем при решении на современном уровне различных задач теории упругости. Две следующие главы посвящены концентрированному, по вместе с тем достаточно полному изложению собственно предмета теории упругости, включая такие сравнительно новые разделы, как. злектромагнитоупругость и механика хрупкого разрушения, постановке краевых задач, а также изложению некоторых приемов сведения краевых задач теории упругости к классическим задачам математической физики, В остальных главах книги (главы VI—VIII) конкретные математические методы, указанные в заглавии, применяются к решению определенных классов задач теории упругости. В ряде случаев эффективность того или иного метода демонстрируется на примерах таких задач, решение которых было получено только в последнее время. Большое внимание уделяется как вопросам строгого математического обоснования тех или иных алгоритмов, так и приемам их численной реализации. [c.2]

В. Р. Гамильтон родился в Дублине в 1805 г., умер в Дунсинке в 1865 г., был профессором астрономии Дублинском университете и президентом Ирландской академии. Изобрел метод кватернионов, представляю щий собой алгоритм полного и систематического геометрического исчисления. Под влиянием трудов Гамильтона, Грассмана и Бсллавитиса возникло менее полное, но более элементарное понятие о векторах, которое теперь всюду в употреблении. Классическими являются и вклады Гамильтона в геометрическую оптику, в дифференциальную геометрию систем прямых, в теорию уравнений с частными производными и в аналитическую механику, на основе которой он построил теорию распространения света. [c.240]

Итак, основные этапы развития аналитической динамики таковы первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжев метод вариации произвольных постоянных и аналогичная теория Пуассона и связанные с нею проблемы интегрирования затем Гамильтон представил интегральные уравнения посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или из того условия, что она должна одновременно удовлетворять двум дифференциальным уравнениям в частных производных Гамильтон же нашел новую форму уравнений движения Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений динамики к нахождению полного интеграла единственного дифференциального уравнения в частных производных он же развил теорию последнего множителя системы дифференциальных уравнений движения Остроградский рассмотрел проблему интегрирования уравнений динамики Раус нашел новую форму дифференциальных уравнений движений Пуанкаре развил теорию интегральных инвариантов наконец, [c.848]

Можно сделать попытку обозреть основные этапы развития аналитической динамики до середины XIX в. Первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжева теория вариации произвольных постоянных, а также теория Пуассона. Следующим этапом явились во-первых, представление Гамильтоном интегральных уравнений посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или посредством условия, что она одновременно удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям в частных производных, и, во-вторых, установление канонических уравнений движения. Вслед за тем Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений к проблеме нахождения полного интеграла единственного уравнения в частных производных и дал общую теорию связи интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнения в частных производных первого порядка. Наконец, была разработана теория систем канонических интегралов. [c.910]

Тепловые процессы, протекающие в теплоэнергетических установках, в общем случае описываются сложными системами нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (уравнения энергии, сплощности, движения и др.), а также нелинейными алгебраическими уравнениями. Современный математический аппарат не всегда позволяет решить такие системы аналитически. Применение численных методов дает возможность получить приближенное решение с достаточной для инженерной практики точностью. Для получения такого решения необходимо предварительно провести довольно значительную исследовательскую работу по разработке достаточно полных математических моделей, пригодных для реализации на вычислительных машинах. Эта работа, как правило, предполагает [c.7]

В принципе численное решение для трехмерного течения газа можно получить путем совместного решения трех уравнений сохранения количества движения для газа, уравнения состояния, уравнений сохранения массы и состава смеси для шести неизвестных Uzy Ur, Uq, р, р, с. Даже с учетом того, что уравнение сохранения энергии не используется, решение такой системы сопряжено с определенными трудностями. Самая большая из них заключается в том, что дифференциальные уравнения в частных производных для газовой фазы — комбинированного параболическо-эллиптического типа, поэтому анализ затруднен из-за сложности решения начальной задачи Коши. Для решения такой системы уравнений, как задачи на отыскание собственных значений, необходимо полное описание неизвестных во всех точках (г, 0) границы с последующей зоной трубок тока. Но степень сгорания топлива на этой нижней границе зоны горения заранее не известна, поэтому неизвестны концентрации распыленной жидкости и скорости жидкости и газа, как и продольное распределение давления. [c.156]

Во-первых, чем полнее и подробнее осноЕшые уравнения и граничные условия, тем больше информации можно получить об изучаемом процессе. Наиболее подробными основными уравнениями обычно являются дифференциальные. Более того, большинство задач, для которых мы не можем найти полные аналитические решения, описывается одним или несколькими дифференциальными уравнениями в частных производных. Таким образом, к задачам такого рода более всего подходит фракционный анализ. Следует подчеркнуть важность исследования всех уравнений и граничных условий для получения единственного решения. [c.78]

Важным требованием црп численном моделпровапнп негладких или ударно-волновых динамических процессов является выполнение дискретных аналогов интегральных законов сохранения массы, импульса, энергии и термодинамического неравенства (второго закона термодинамики) [20, 161, 192], в частности построение разностных схем, аппроксимирующих дивергентные формы дифференциальных уравнений в частных производных [74, 75]. Эти требования входят в понятие консервативности разностных схем и полной консервативности [46, 47, 101, 162], при которой для копечио-разпостпой или дискретной системы также выполняются определенные эквивалентные преобразования, аналогичные дифференциальным преобразованиям системы уравнений в частных производных. [c.27]

Один из этих принципов впервые ввел в теорию упругости выдающийся физик Густав Кирхгоф в одной из своих фундаментальных работ, опубликованной в 1850 г. ). Стремясь в этой замечательной статье развить теорию изгиба тонкой плоской упругой пластинки, он сразу же успешно вывел из экстремального условия для потенциальной энергии линейное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка для малых прогибов упругой пластинки (уравнение Лагранжа) и дифференциальные выражения для полной системы двух граничных условий, необходимых для определения формы изогнутой срединной поверхности пластинки. Таким образом, он впервые установил корректные выражения для этих двух граничных условий после многочисленных безуспешных попыток, предпринимавшихся в течение первой половины девятнадцатого столетия математиками французской школы (в том числе Пуассоном). Они утверждали, что поверхность слегка изогнутой упругой пластинки и решение указанного дифференциального уравнения четвертого порядка для прогибов пластинки должны удовлетворять трем независимым граничным условиям, тогда как Кирхгоф установил, что достаточно всего двух ). Он достиг этого применением принципа возможных перемещений, приравняв нулю первую. вариацию определенного интеграла, выражающего полную потенциальную энергию изогнутой пластинки как сумму энергии упругой деформации, вызванной внутренними напряжениями, деформирующими пластинку при изгибе, и потенциальной энергии системы внешних сил (нагрузок), изгибающих пластинку. Внеся вариацию под знак интеграла и применив ее к подинте-гральному выражению, он нашел дифференциальное уравнение [c.142]

Как и в случае конечномерных динамических систем, в области задач об оптимальном управлении системами с распределенными параметрами сохраняют полную работоспособность усовершенствованные методы классического вариационного исчисления. При этом и здесь основное внимание было уделено составлению необходимых условий минимума для экстремальных задач со связями, трактуемыми как проблема Майера — Больца. Главным образом это было сделано для задач, связанных с уравнениями эллиптического типа. Было показано, что в таких типичных задачах, возникающих из проблем оптимального управления, необходимые условия стационарности (уравнение Эйлера и естественные граничные условия, а также условия Вейерштрасса Эрдманна) составляются при помощи обычных приемов. Критерии опираются снова на множители Лагранжа которые здесь зависят уже обычно от пространственных координат, а соответствующие дифференциальные уравнения снова конструируются исходя из подходящих форм функции Гамильтона. Условия стационарности дополняются необходимым условием Вейерштрасса сильного относительного минимума. Разумеется, это условие, которое записывается через условие экстремальности функции Гамильтона на оптимальных решениях, имеет смысл, аналогичный соответствующему условию принципа максимума. Важно, однако, заметить, что при работе с модификациями классических методов вариационного исчисления в случае уравнений с частными производными проявляются некоторые новые черты. В результате получаются условия оптимальности, более сильные, нежели известные в настоящее время обобщения принципа максимума на системы, описываемые уравнениями в частных производных. Упомянутые черты проявляются, в частности, в связи с тем обстоятельством, что приращение минимизируемого функционала при изменении объемного управления (за счет варьирования от оптимального управления) в пределах области достаточно малой меры зависит не только от вариации управления и меры области, но также существенно определяется и предельной формой области варьирования. Таким образом, получается, что при изменении формы области, определяющей вариацию, могут, получаться более или менее широкие необходимые условия экстремальности. Как отмечено выше, эффект анизотропии варьирования пока был получен только классическими методами. Причины этого, по-видимому, различны некоторые работы, посвященные принципу максимума, относятся к таким задачам, где этот эффект вообще не проявляется, в других случаях эффект анизотропии исключался вследствие ограничения при исследованиях лишь вариациями специального вида. Полезно также заметить, что описываемый эффект анизотропии расширяет возможность управления и оптимизации в обширном классе случаев независимо от типа исходных уравнений. Эффективность классических методов вариационного исчисления была проверена на конкретных типах задач. В частности, таким путем была исследована задача об оптимальном распределении проводимости электропроводной жидкости (газа) в канале магнитодинамического генератора электрической энергии. Эта задача как раз доставляет пример вариационной проблемы, где эффект анизотропии варьирования играет существенную роль. Развитию классических методов исследования посвящены работы К. А. Лурье. [c.239]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...